從優(yōu)化思維到借題發(fā)揮

1、從優(yōu)化思維到借題發(fā)揮卜以樓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題華羅庚說過，學(xué)數(shù)學(xué)不解題，猶如入寶山而空返大師一語道出了數(shù)學(xué)解題的重要性，而數(shù)學(xué)解題教學(xué)卻又常常陷入下列怪圈：許多學(xué)生課堂上一聽就會(huì)，課后練習(xí)一做就錯(cuò).會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不簡(jiǎn)，已成為一部分學(xué)生解題的通病.出現(xiàn)這種問題的根源在于：教學(xué)中，往往對(duì)問題解決只是展現(xiàn)解法、展現(xiàn)思路，對(duì)思路的尋找過程以及為什么要這樣解、怎樣想到這樣解重視不夠，對(duì)解決問題中思維與策略的自然性與合理性揭示不夠，給人以“買犢還珠”的感覺因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，要高位理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)教學(xué)，高度把握數(shù)學(xué)習(xí)題（問題）的本質(zhì)，深入挖掘數(shù)學(xué)習(xí)題的教育價(jià)值，既要優(yōu)化解題思路，又要借

2、題發(fā)揮，對(duì)習(xí)題（問題）進(jìn)行變式、延伸和拓展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在解數(shù)學(xué)習(xí)題中靜靜地流淌.1問題再現(xiàn)我校八年級(jí)（上）期中測(cè)驗(yàn)，命題者編制了下列試題：如圖1,點(diǎn)0是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，.AOB=105,BOC=,將BOC繞點(diǎn)C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)600,得ADC，連接0D.（1）試判斷COD的形狀，并說明理由；（2）當(dāng):=1500時(shí)，試判斷AOD的形狀，并說明理由;（3）探究：當(dāng):為多少度時(shí)，.AOD是等腰三角形？2解法探究2.1問題立意對(duì)于問題（1）要求學(xué)生能運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)不變性，得到OCD是等邊三角形.而問題（2）要求學(xué)生能挖掘出圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在下列兩個(gè)等量關(guān)系，即：由NAOB+/BOC+N

3、COD+NDOA=360,ZADC=/BOC.可得：DOA195,INODA+6O當(dāng)-1500時(shí)，有OAD=450廠ODC=90。，顯然ODA為等腰直角三角形.對(duì)于問題（3）要求學(xué)生能根據(jù)上述兩個(gè)等量關(guān)系，對(duì)該問題運(yùn)用分類的思想方法進(jìn)行如下探索.設(shè)AOD二：.當(dāng).OAD為頂角，則有AOD=/ADO.則一195,P+60。.解得2：，2767.5.1803當(dāng).AOD為頂角時(shí)，有.OAD=.ADO二一一2:-=195,則180-“60-:.2lot一105。解得二90.lot一105。解得二90.則1畀.150,二45.當(dāng).ODA為頂角，則有.AOD二/DAO二-.當(dāng)-127.53,-105,:3

4、=150時(shí)，AAOD為等腰三角形.2.2優(yōu)化思路在進(jìn)行試題分析和試卷評(píng)講中，我們發(fā)現(xiàn)有必要優(yōu)化上述的解題思路.這是因?yàn)橛胁簧偻瑢W(xué)認(rèn)為，只有當(dāng)-1500時(shí)，才有OAD=450這樣的結(jié)論，因而有必要對(duì)問題（3）用上述提供的方法（即用方程組）去解決.若把解題的結(jié)果也當(dāng)作問題的信息，可以得到：當(dāng)乙OAD為頂角時(shí)，則.=OAD的三角分別為450,67.5。,67.5。；若當(dāng)/AOD為頂角時(shí)和當(dāng)._ODA為頂角時(shí)，lOAD的三角都為90,45,45.即不論為多少時(shí)，總有OAD=45.反思本題的內(nèi)在邏輯關(guān)系，我們有.AOD=195二，ODA二：-60，顯然-AODODA-135，則必有OAD-45，也就是說

5、OAD與角的大小無關(guān).這樣在解決第（3）問時(shí)，我們就沒有必要運(yùn)用方程組解決問題.綜上，本題第（3）部的求解過程可做如下優(yōu)化.AOD=195_：,ODA-：-60；當(dāng)/OAD為頂角時(shí)，有195-60,=127.5.當(dāng)AOD為頂角時(shí)，有180_（19-：）=2（：-60），：=105.當(dāng).ODA為頂角時(shí)，有:-602（195-：），二=15.上述解題過程再反思，條件.DOA=45仍沒有得到充分利用.若放大該條件，如圖2,在AOD中，OAD=45,-AOD=195-ODA-60，則解題過程又可A優(yōu)化為下列形式：當(dāng)OAD為頂角時(shí)，有2（193-：）=135，二=127.5.當(dāng)AOD為頂角時(shí)，有-60=

6、45,-105.當(dāng)ODA為頂角時(shí)，有195-45,-150.2.3借題發(fā)揮本題提供了豐富的圖形背景和數(shù)量關(guān)系，在評(píng)講試卷時(shí)，借題發(fā)揮，對(duì)問題進(jìn)行變式、拓展，與學(xué)生一起探究筆者在原問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下嘗試.（4）當(dāng)壽為多少度時(shí)，AC_0D解析：OCD為等邊三角形，若AC_0D,則AC是0D的垂直平分線，則0A=AD，即NAOD=NADO，口=127.5（5）四邊形AOCD可能為梯形嗎？可能為等腰梯形嗎？解析：若四邊形AOCD為梯形，則分以下兩種情況進(jìn)行討論： CD/AO,由于.OAD=45，則.ADC=135，即：=135,此時(shí).AOC=360-10川-135=120,.OAD.AOC=451

7、20=165即AD不與OC平行當(dāng)=135時(shí)，四邊形AOCD為梯形.而.OAD=45,AOC=12，四邊形AOCD只能是梯形，不可能是等腰梯形. AD/OC，由于.OAD=45，則AOC=135,則、=360-105-135=120此時(shí)OAD=45,ADC-：-120，即AO不與CD平行.當(dāng)=120時(shí)，四邊形AOCD為梯形而.OAD=45,ADC=120,四邊形AOCD只能是梯形，不可能是等腰梯形.（6）將AOB的度數(shù)由105調(diào)整到多少度時(shí)，有OAD=60解析：設(shè)NAOB=x，則NAOD=300。X，/ADO-60,AODADO=（300-x）（：-60）=240-x，又.OAD二60,-240

8、-x=180-60，貝Ux=120故當(dāng)AOB=120時(shí)，OAD=60（7）四邊形AODC可能為平行四邊形嗎？若不能，在不改變題目要義的基礎(chǔ)上，怎樣改造本題的條件，才能使四邊形AODC為平行四邊形？解析：首先，判斷四邊形AODC是不是平行四邊形.我們知道，.OAD=45,-OCD=60,貝帚OAD=-OCD，四邊形OADC不可能為平行四邊形；其次，在不改變題目要義的基礎(chǔ)上，研究改造本題條件的方法策略.反觀本題，共有三個(gè)條件，一是ABC為等邊三角形；二是.AOB-105;三是將BOC繞點(diǎn)C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60而將BOC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60，是為了讓線段BC與AC重合而設(shè)計(jì)的，或者說ABC為

9、等邊三角形是為將BOC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60時(shí)，使線段BC與AC重合的保障，因此，為了不改變?cè)}的命題本意，一要在“ABC是等邊三角形”這一大背景下（此時(shí)為了讓線段BC與AC重合，旋轉(zhuǎn)角只能為60），對(duì)“乂AOB的度數(shù)”這個(gè)可變條件進(jìn)行改造；二要在“MBC是等腰三角形”這一大背景下(此時(shí)為了讓線段BC與AC重合，旋轉(zhuǎn)角不一定為600，則需AC=BC)，對(duì)“NAOB的度數(shù)”和“旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)”這兩個(gè)可變條件進(jìn)行改造.現(xiàn)在按照上述方法策略改造條件.(1) 在“CABC是等邊三角形”這一大背景下，“旋轉(zhuǎn)角為600”這個(gè)條件不變，改變“.AOB二1050”這個(gè)條件.vZBOCEADC二.；.OCD=

10、60,若四邊形AODC為平行四邊形，則.AOC=120.AOB=360。-1200-1200=1200.則在AABC是等邊三角形”這一大背景下，“旋轉(zhuǎn)角為600”這個(gè)條件不變的情況下，將.AOB調(diào)整為1200時(shí)，四邊形AODC為平行四邊形.(2) 在“UABC是等腰三角形”這一大背景下，對(duì)“AOB的度數(shù)”和“旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)”這兩個(gè)可變條件進(jìn)行改造.在此背景下，由于涉及到改變兩個(gè)條件，我們不妨運(yùn)用科學(xué)研究中的“控制變量法”的思想方法，對(duì)原命題進(jìn)行改造和探究.顯然，一是研究只改變兩個(gè)條件中的一個(gè)條件的情況，二是研究?jī)蓚€(gè)條件都改變的情況. 控制“旋轉(zhuǎn)角為600”這個(gè)條件不變，改變“AOB二1050”這

11、個(gè)條件.在旋轉(zhuǎn)角為600的限制下，要保證線段BC與AC重合，則ABC必為等邊三角形，根據(jù)上述結(jié)論，顯然有將ZAOB調(diào)整為1200時(shí)，四邊形AODC為平行四邊形. 控制“AOB-1050”這個(gè)條件不變，改變“旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)”這個(gè)條件(圖3).vZAOC=255i,NAOB=1050，乙BOC=NADC；若四邊形AODC為平行四邊形，貝，AOC二.ADC,.AOC二:.ADa即2550-：,=127.50.二OCD=180。-1800-127.50=52.50則當(dāng)AC=BC時(shí)，在.AOB=1050這個(gè)條件不變的情況下，將ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52.50時(shí)，四邊形AODC為平行四邊形.“AOB-1

12、050”和“旋轉(zhuǎn)角為600”這兩個(gè)條件都改變”.在圖3中，若設(shè)BOC=-,AOB二三，OCA=襌，則旋轉(zhuǎn)角為2.若四邊形AODC為平行四邊形，則AOC二ADC=：,BCO二ACO二ACD二：,則有則有:2丄180,2=360.我們可通過賦:的值，求出,2的值，從而確定AOB和旋轉(zhuǎn)角的大小.3教學(xué)啟示3.1 要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行一題多解引導(dǎo)學(xué)生一題多解，就是引領(lǐng)學(xué)生多角度看待同一問題，運(yùn)用不同的路徑去解決同一個(gè)問題只有讓學(xué)生挖掘出不同的解題方法和解題路徑，為學(xué)生提供優(yōu)化解題方法的基礎(chǔ)，提供選擇解題路徑的條件，學(xué)生才會(huì)有優(yōu)化解題的思維過程的欲望和沖動(dòng)，才會(huì)對(duì)比這些方法的優(yōu)劣、分析這些路徑的曲直，比

13、較這些策略的高低最為關(guān)鍵的是學(xué)生在這些思維過程和活動(dòng)中，看清了問題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)了思考問題的方法，領(lǐng)悟了解決問題的策略，提升了有效思維的水平3.2 要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行優(yōu)化引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解題過程，就是要讓學(xué)生在解決問題中，學(xué)會(huì)刪除不必要的或者是迂回的解題過程，讓學(xué)生關(guān)注知識(shí)交叉點(diǎn)、方法的關(guān)聯(lián)點(diǎn)、思維的高峰點(diǎn)，使學(xué)生站在思維的山巔上，“一覽眾出小”優(yōu)化解題過程，還要求學(xué)生不要急于獲取解決問題的結(jié)果，滿足于問題的解決，而是要讓學(xué)生用審視的眼光，反思解決問題的思想方法，反觀解決問題的方法路徑，達(dá)到增加優(yōu)化意識(shí)，提升思維水平的目的，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)終極目標(biāo)在教學(xué)中的具體體現(xiàn)現(xiàn)在的問題是，我們?cè)诮虒W(xué)中要舍得花時(shí)間讓學(xué)生有反思、優(yōu)化的時(shí)間，在教學(xué)中要精選問題，讓學(xué)生有反思、優(yōu)化的載體，在教學(xué)中要沉下心來，與學(xué)生一起探討問題的方法策略，讓學(xué)生有反思、優(yōu)化的空間，這才是突破數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵舉措之一3.3 要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式延伸引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行變式延伸，讓學(xué)生借題發(fā)揮，就是在學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行一題多解，優(yōu)化解題思維的基礎(chǔ)上，在學(xué)生看清問題的本質(zhì)的基礎(chǔ)上，再根據(jù)問題中的條