§94三重積分的概念和計算方法ppt課件

1、一、三重積分的定義一、三重積分的定義二、三重積分的二、三重積分的三、小結三、小結設設),(zyxf是是空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，將將閉閉 區(qū)區(qū)域域 任任意意分分成成n個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域1v ，2v , ,nv ，其其 中中iv 表表示示第第i個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也表表示示它它的的體體積積, , 在在每每個個 iv 上上任任取取一一點點),(iii 作作乘乘積積iiiivf ),( ， ), 2 , 1(ni ，并并作作和和, , 如如果果當當各各小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的直直徑徑中中的的 最最大大值值 趨趨近近于于零零時時， 這這和和式式的的極極限限存存在在， 則

2、則稱稱此此極極限限 為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 上上的的三三重重積積分分，記記為為 dvzyxf),(, ,即即 一、三重積分的定義一、三重積分的定義.),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 來來劃劃分分用用平平行行于于坐坐標標面面的的平平面面在在直直角角坐坐標標系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則三重積記為三重積記為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .積元素積元素叫做直角坐標系中的體叫做直角坐標系中的體其中其中dxdydz三重積分的性質與二重積分的類似。三重積分的性質與二重積分的

3、類似。特別地，特別地，被被積積函函數(shù)數(shù)1),( zyxf時時， 的體積的體積 dv . . 直角坐標系中將三重積分化為三次積直角坐標系中將三重積分化為三次積分分二、三重積分的計算二、三重積分的計算)(1xyy )(2xyy 如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點點Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z的的函函數(shù)數(shù)，則則只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(

4、),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計計算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函數(shù)。的函數(shù)。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意相交不多于兩點情形相交不多于兩點情形的邊界曲面的邊界曲面區(qū)域區(qū)域內(nèi)部的直線與閉內(nèi)部的直線與閉軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域平行于平行于Sz )1(分

5、若干個小區(qū)域來討論分若干個小區(qū)域來討論相交多于兩點時，把相交多于兩點時，把的邊界曲面的邊界曲面閉區(qū)域閉區(qū)域內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域若平行于若平行于 )2(Sz三重積分化為三次積分的過程：三重積分化為三次積分的過程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(軸軸投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直線作直線過點過點Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事實上，事實上， dvzyxf),(

6、.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( )2(軸軸投投影影，得得到到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直線作直線過點過點Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事實上，事實上， ).,(),(, ),()( :2111yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy。面面上上投投影影，得得到到向向yzDyoz )1( )2(軸軸投投影影，得得到

7、到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作作直直線線過過點點yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事實上，事實上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdy例例 1 1 計計算算三三重重積積分分 xdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標標 面面及及平平面面12 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 211xozy1。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .210, 10 :x

8、yxD, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過點過點zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxxxx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過點過點zDyx 得到得到.210yxz 例例 2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三次積分，為三次積分， 其

9、中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及 22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 解解由由 22222xzyxz, , 得交線投影區(qū)域得交線投影區(qū)域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , .),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因因此此，故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , oxyz12例例 3 3 計計算算三三重重積積分分 dxdydzz 。 其其中中 ：平平面面 , 0 , , 2 , 1 zxyxx及及 yz 2 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 。面面上上投投影影，得得到到向向Dx

10、oy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點過點zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即于是，于是， dxdydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點過點zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 截截面面法法的的一一般般步步驟驟： ( (1 1) ) 把把積積分分區(qū)區(qū)域域 向向某某軸軸（例例如如z軸軸）投投影影，得得投投影影

11、區(qū)區(qū)間間,21cc； ( (2 2) ) 對對,21ccz 用用過過z軸軸且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; ; (3)(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結果為其結果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF； (4) (4) 最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值. . zzD例例 4 4 計計算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由橢橢球球 面面 1222222 czbyax 所所成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式,2

12、zDccdxdydzz 解解xyzozD| ),(yxDz 1222222czbyax )1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1( .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式因而，因而，例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲由曲 面面221zxy ，122 zx，1 y所圍成所圍成. . 將將 投投影影到到zox平平面面得得 :xzD 122 zx, , 先先對對y積積分分，再再求求 xzD 上上二二重重積積分分, , 解解如圖如圖, ,xyzo111 112221zxDdydxdzxyxz原式原式dzzxxdxxx21221111222 . 11,11, 11:2222yyxxzxxdxzzxxxx )3