大學(xué)數(shù)學(xué)高數(shù)微積分第二章行列式第六節(jié)課堂講義

1、在第四節(jié)中，我們把 n 級(jí)行列式的定義中的n! 項(xiàng)分成 n 組，每組提取公因式后得到如下結(jié)果：ininiiiinnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa2211212222111211i = 1, 2, , n .那么這些 Aij , i, j = 1, 2, , n, 究竟是什么呢？這就是本節(jié)我們將要討論的問(wèn)題.為了找到解決問(wèn)題的線索，還是從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義入手.二級(jí)和三級(jí)行列式的定義分別如下：2112221122211211aaaaaaaa322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaa

2、aaaaaaaa322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa把三級(jí)行列式定義中的 6 項(xiàng)，按含有第一行的3個(gè)元素的規(guī)則進(jìn)行分組，每組提取公因式，得)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa131312121111AaAaAa,3332232211aaaaA 于是就有,3331232112aaaaA.3231222113aaaaA

3、也就是說(shuō)，A11，A12，A13 都是帶符號(hào)的二級(jí)行列式，那么這些二級(jí)行列式的構(gòu)成有規(guī)律嗎？符號(hào)又是怎么確定的呢？下面作進(jìn)一步的研究.A11，A12，A13 的元素在三級(jí)行列式中的位置分別如下：它們的3332232211aaaaA333231232221131211aaaaaaaaa3331232112aaaaA3231222113aaaaA333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaA11，A12，A13 的符號(hào)由它們所對(duì)應(yīng)的元素 a11,a12, a13 在三級(jí)行列式中的位置確定，Aij 的符號(hào)為(-1)i+j .三級(jí)行列式中

4、的 Aij 的構(gòu)成規(guī)則可推廣到 n 級(jí).為了從理論上證明這一結(jié)論，我們先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.行列式，即 按這個(gè)定義，對(duì)于三級(jí)行列式，有131312121111333231232221131211MaMaMaaaaaaaaaa下面就來(lái)證明 .我們先由行列式的定義證明 n 級(jí) 與 n - 1 級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系，1000, 11, 12, 11 , 121, 2222111, 11211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa) 1 (.1, 12, 11 , 11, 222211, 11211nnnnnnaaaaaaaaa左邊事實(shí)上，左邊按行列式定義展開(kāi)得nnnnnnjjjjn

5、jjnjjjjjjaaaa121121121, 121)() 1(在上述展開(kāi)式中，只有 jn = n 的項(xiàng)才可能不為零，而 ann = 1, 所以上式可變形為njjjjnjjnjjjnnnaaa121121121, 121)() 1(顯然 j1 j2 jn-1 是 1, 2, , n - 1 的排列，且).()(121121nnjjjnjjj所以左邊121121121, 121)() 1(nnnjjjjnjjjjjaaa右邊.這就證明了(1) 式.為了證明 ，在ininiiiinnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa2211212222111211i = 1, 2, , n .中令1, 01

6、,1,1ijinjijiiaaaaa得nnnjnnjijaaaaaaA11111010的結(jié)論，把 Aij 的行作如下調(diào)換：把 Aij 的第 i 行依次與第 i + 1 行、第 i + 2行、第 n 行對(duì)調(diào)，這樣 aij = 1就調(diào)到原來(lái) anj位置上，調(diào)換的次數(shù)為 n - i ，于是就有為了利用1000, 11, 12 , 11 , 121, 2222111, 11211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa.1, 12 , 11 , 11, 222211, 11211nnnnnnaaaaaaaaa( (1)1)010) 1(, 1, 11 , 11111nijiinjinijaaaaa

7、aA再把 Aij 的第 j 列依次與第 j+1 列、第 j+2 列、第 n 列對(duì)調(diào)，這樣就使 aij = 1 調(diào)到第 n 行第n 列的位置，調(diào)換的次數(shù)為 n - j ，所以100) 1(, 11, 11 , 111, 111)()(jijiijjjninijaaaaaaAijjinM)(2) 1(.) 1()(ijjiM 利用下列模型求任意一個(gè)四級(jí)行列式的余子式和代數(shù)余子式. nnnnnnaaaaaaaaad212222111211,0,2211dAaAaAainknikik,0,2211dAaAaAanjnljljlnsisksdAa1, 0,nssjsldAa1, 0,0,2211dAaA

8、aAaknknikik由于行列式中行與列的地位是對(duì)稱的,當(dāng) k = i 時(shí)已證，只需證 k i 的情形.設(shè)行列式的第 i 行的元素等于第 k 行的元素，即aij = akj , j = 1, 2, , n , k i .把行列式第 i 行展開(kāi)，得 故只需證.2211ininiiiiAaAaAad由于aij = akj , j = 1, 2, , n , k i ，把上式的 aij 換成 akj ，得.2211inknikikAaAaAad于是就有inknikikAaAaAad2211nnnknkknknaaaaaaaa111111第 i 行第 k 行上式右端的行列式中含有兩個(gè)相同的行，故行列式

9、的值等于零.設(shè) 3 級(jí)行列式333231232221131211aaaaaaaaa的行是向量 1、2、3 在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo),即),(1312111aaa),(2322212aaa).,(3332313aaa那么),(1312111aaa),(2322212aaa).,(13121132AAA設(shè)有設(shè)有 3 級(jí)行列式級(jí)行列式333231232221131211aaaaaaaaa令令證明證明于是),(321131312121111AaAaAa, 0)(322132312221121AaAaAa, 0)(323133312321131AaAaAa由此可得.例如),1, 0 , 1 (),1 , 1

10、, 0(),0 , 1 , 1(321設(shè)xyoz 1 2 30101110011因?yàn)樗运鼈児裁?如圖 2 1 所示.設(shè)),5 , 3 , 1 (),1, 3 , 2(),1 , 1 , 1 (321 2 3 1 2 3 證明證明證明證明V =高高 底面積底面積= h | ( 2 3 ) |= | 1 ( 2 3 ) |.10531132111以以 1、 2、 3為鄰邊的平行六面體如圖為鄰邊的平行六面體如圖所示所示.其中其中 (0， )，h = | 1 | | cos | .= | 1 | | cos | | ( 2 3 ) |其體積 V 為 .10531132111V以 1、2、 3為鄰邊的

11、平行六面體如圖2 2所示. 任意輸入一個(gè)行列式，利用下列展開(kāi)式模型計(jì)算之. 行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad稱為 n 級(jí)的 (Vandermonde) 行列式.證明. )(1nijjiaad對(duì) n 作歸納法.當(dāng) n = 2 時(shí)，,111221aaaa結(jié)論成立.設(shè)對(duì)于 n - 1 級(jí)的范德蒙德行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來(lái)看 n 級(jí)的情形.在 n 級(jí)范德蒙德行列式中，第 n 行減去第 n - 1 行的 a1 倍，第 n - 1 行減去第 n -2 行的 a1 倍.也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的 a1 倍，有211231132211212

12、31232122113120001111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad22322223223211312111)()(nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaad按第 1 列展開(kāi)，并把列的公因子(ai - a1) 提出，得上式右端行列式是 n - 1 級(jí)范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有 (ai - aj) 因子的乘積，其中2 j i n .故nijjinaaaaaaaad211312)()()(. )(1nijjiaa 證明.000011111111111111111111rrrrkkkkrrrrkrrkkkkkbbbbaaaabbccbbc

13、caaaa對(duì) k 用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) k = 1 時(shí)，上式左邊為rrrrrbbcbbca11111111100按第一行展開(kāi)，就得到所要的結(jié)論.假設(shè)當(dāng) k = m - 1 時(shí)結(jié)論成立，即左邊行列式的左上角是 m - 1 級(jí)時(shí)已經(jīng)成立，時(shí)，結(jié)論也成立.當(dāng) k=m 時(shí)，按第一行展開(kāi)，有現(xiàn)在再來(lái)證明 k=mrrrrmrrmmmmmbbccbbccaaaa1111111111110000rrrrmrrmmmmmbbccbbccaaaaa121111122222110000rrrrmirirrrmiimmimimmmiiiibbccccbbccccaaaaaaaaa11,1,111111, 11, 1111,1,121, 21, 221110000) 1(rrrmrrrmmmmmmmbbccbbccaaaaa11,11111, 1111