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文檔簡介
1、朱寶訓朱寶訓測繪與城市空間信息系測繪與城市空間信息系5.1 基于經(jīng)典平差的變形網(wǎng)數(shù)據(jù)處理5.2 秩虧自由網(wǎng)概述5.3 基于秩虧自由網(wǎng)平差的變形網(wǎng)數(shù)據(jù)處理5.4 自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差minPVVT022)(PAVdXdVPVdXPVVdTTT0PVATAXVL誤差方程式:設觀測值權(quán)為P,根據(jù)最小二乘原理:求極值,有:PlANXT1lEPAANlAXVT)(1PlAANAXVllT1PlANXT平差值: PlAPAXAlAXPATTT0)(XXd(1)變形網(wǎng)為測角網(wǎng)、邊角網(wǎng)或GPS網(wǎng)選擇穩(wěn)定可靠的點作為已知點。建立誤差方程式。 列出各觀測的誤差方程后,便可組成法方程,最后求出各點坐標及有關平差量。 計算
2、變形值。根據(jù)不同時期兩次觀測的平差,可以求出兩次觀測時網(wǎng)點的位置網(wǎng)點移動的變形值為:(2)高程變形監(jiān)測網(wǎng) 當網(wǎng)中只有一個穩(wěn)定點時,可以該穩(wěn)定點為起算點,對網(wǎng)進行平差,確定各點高程,然后根據(jù)各期觀測中網(wǎng)點的高程,確定網(wǎng)點的變形:HHd任選一點為起算點,進行平差,確定各點的高程(坐標)。分析確定各穩(wěn)定點,將上述平差后的高程(坐標)作為這些穩(wěn)定點的已知高程,然后以這些穩(wěn)定點為固定點對各期進行平差計算。根據(jù)各期觀測網(wǎng)點的高程(坐標)確定網(wǎng)點的變形值。(3)當網(wǎng)中有多個穩(wěn)定點時,可按下列步驟計算: 某水電站蓄水前建立的變形測角網(wǎng),并以實測基線為起算邊進行平差。 大壩蓄水后80年代重新觀測,除測角外,觀測
3、4條邊。 這之前通過水準測量發(fā)現(xiàn)原基線兩端都產(chǎn)生了移動。 第二次平差發(fā)現(xiàn),所有邊平均增加12cm,通過實際分析,認為兩次觀測邊長中包含系統(tǒng)誤差。必須舍棄邊觀測值,采用純測角網(wǎng)進行平差。1.選擇初次觀測時基線的兩個端點為已知點或選擇其中一個端點為已知點,任選一個方向為已知方向,按間接平差求出各點坐標。2.選擇兩個穩(wěn)定點,以這兩個點為已知的起始點,這兩個點的已知坐標取上述平差取得的坐標,把整個網(wǎng)看作一個測角網(wǎng)重新平差。3.以后各期觀測都以上述兩個穩(wěn)定點為起始點進行平差。4.根據(jù)各期觀測結(jié)果計算網(wǎng)點移動變形值。0000,yyyxxxssss已知點坐標已知點誤差坐標理論值 假定邊長觀測值表示的是一已知
4、點與待定點 之間的距離,i200200)()(siisiiiyyyxxxVsiisiisiilysyyxsxxV0000線性化后有:則誤差方程式為:理論值Ai0200200)()(iisisiiissyyxxsl000000200200)()(ysyyxsxxyyxxslsisisisiii其中:化簡:)2()1()2(0iiiiilllssl有實際計算時取: 2020)()(sisiiiyyxxsl有: 20002000)()(yyyxxxslsisiii)()2()1(11llPANPlANXlAXVTT)2(1)1(1PlANPlANTT)2(1)1(1PlANPlANXTT)2(1)1
5、(1PlANPlANXTTXXd 結(jié)論:起算數(shù)據(jù)誤差對移動沒有影響。 在兩期觀測過程中,起算點(已知點)能保持穩(wěn)定不變。0000,yyyxxxssss)2()2( ll,05. 0,05. 033ssyx,05. 0,05. 044ssyx.05. 0,05. 055ssyx表1 固定點不含誤差時待定點的坐標及位移量點名第期第期移動量d/mm1x10007.885910007.8888-2.9y9981.49629981.5003-4.12x9999.98389999.98380y12756.950912756.9522-1.3 假定固定點3、4、5的坐標均有50mm的誤差,即: 用同一套觀測
6、數(shù)據(jù)算得待定點1、2的坐標及其位移列于表2。點名第期第期移動量d/mm1x10007.927410007.9303-2.9y9981.53019981.5072-4.12x9999.92549999.92540y12756.010312756.0116-1.3 對比表可以看出:待定點坐標發(fā)生了較大變化,但移動量仍然保持不變。 表2 固定點含有誤差時待定點的坐標及位移量實例:實例:5.1.4 5.1.4 經(jīng)典網(wǎng)平差算例經(jīng)典網(wǎng)平差算例(-21) -13.7mm mmmmHP4623.1037 .13476.103mmHHd7 .13476.1034623.1034、求變形量同時要注意:由誤差方程式
7、:AXVLlybxaybxaZvkjkkjkjjkjjkjjk200)(jkjkjksya 200)(jkjkjksxb 式中: 141.102200.100265.101455.1032431hHHhHHhHHhHHPDPCPBAP225. 3190. 2314. 1455. 34321hhhh12)(13)(7)(0)(044033022011CPBPDPAPHHhlHHhlHHhlHHhl4623.1033 . 7455.1030mmmHHHPPP如果:mmHHd10476.1034623.103mmHHd7 .13476.1034623.1037.3mm -13.7mm 近似值103.
8、455: 近似值103.476: 一是網(wǎng)中可能有多個穩(wěn)定點,選擇不同的穩(wěn)定點作為起算點時,其平差結(jié)果肯定不同,因而可能有多組平差解;一是可能很難預先確定變形網(wǎng)哪些點是絕對不動的。當變形網(wǎng)作為經(jīng)典網(wǎng)平差時的兩個問題:當變形網(wǎng)作為經(jīng)典網(wǎng)平差時的兩個問題:1971年,E.Mittermayer提出秩虧自由網(wǎng)平差,這種方法的主要特點是:不預先假定固定點,所有網(wǎng)點等同看待,即所有網(wǎng)點坐標都視為待定量。但由于缺少起算數(shù)據(jù),按這種方法組成法方程后,求出的法方程系數(shù)矩陣是秩虧的。下面舉例說明。在A中,任意二階行列式不為0,由矩陣理論可知 。3232212111lxVlxxVlxV2)(ARlAAXATT12N
9、0212)(AR 設有一水準網(wǎng),按經(jīng)典網(wǎng)平差選3點為已知點,則:即: 011V11021xx321lll法方程:即: 2121ll1221xx32ll故,滿秩,法方程由惟一解:3x21,xx2)(AR2)(AR如果網(wǎng)中不設起算點,即把與則上述水準網(wǎng)的誤差方程為:011V110101321xxx321lll此時系數(shù)矩陣A的行列式為:011A1100101110110,故,A為降秩,由此所得的法方程系數(shù)陣有:112N1210211120321,故,N為秩虧的矩陣(奇異矩陣),其凱來逆N-1不存在。等同地看作未知數(shù),此時的法方程為相容方程,按經(jīng)典平差方法不能得到惟一解。A及N產(chǎn)生秩虧可能有兩種原因:
10、 1. 是缺少必要觀測值,這種秩虧一般稱為形虧 2. 是缺少必要的已知數(shù)據(jù),這種情況一般稱數(shù)虧。對秩虧網(wǎng)的討論主要是針對數(shù)虧網(wǎng)的研究。 1. 如果無固定點(沒有限制x,y方向的平移),產(chǎn)生的秩虧數(shù)為2。2. 如果無固定方向(沒有限制網(wǎng)的旋轉(zhuǎn)),產(chǎn)生的秩虧數(shù)為1。3. 如果無固定邊也沒有邊觀測值(沒有限制比例尺伸縮),產(chǎn)生秩虧數(shù)為1。4. 如果無起算高程(沒有限制高程方向的平移),產(chǎn)生的秩虧數(shù)為1。 對于測角網(wǎng)的秩虧數(shù)為2114; 測邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)的秩虧數(shù)為213; 高程網(wǎng)的秩虧數(shù)為1。 用公式表示為: 測角網(wǎng):4)()(tNRAR 測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng):3)()(tNRAR高程網(wǎng):1)()(tNRAR
11、GPSGPS網(wǎng)秩虧網(wǎng)呢?網(wǎng)秩虧網(wǎng)呢?圓內(nèi)接四邊形性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對角互補。 VlAXPlANXT對于誤差方程:求得法方程為:minPVVTminXXT條件極值原理: 取一階導數(shù)為0,得 022NKXXTTNKX 5.3.1 直接求解)(2PlANXKXXTTT附加條件:借鑒:代入法方程,有:PlANNKT1)(PlANNNXT1)(NN仍是秩虧的, 但PlANNNXT1)(卻是惟一的 lEPANNANlAXVT)(1PlANNKTNKX PlANXT觀測改正數(shù): 可以在方陣中任意去掉d行、d列,把余下的式子(已是滿秩的)求出凱來逆,再在原來去掉的行、列補上0,即為NN的一個廣義逆。 單位權(quán)
12、方差:dtnPVVsT求 :1)(NN5.3.2 5.3.2 偽觀測法偽觀測法VlAX11ttddXBl 為了消除秩虧的目的,需要引入d個的觀測方程?,F(xiàn)設附加觀測為 自由網(wǎng)平差的觀測方程寫成如下形式:ddTIBBdnTOAB附加觀測方程式中各個觀測方程間應線性無關。即要求滿足有此外附加觀測值與原觀測值之間也應彼此線性無關,即XBAll于是觀測方程為:OPBATTBAXBAIOOPllIOlBPlAXBBPAATTTT)(BBPAANTT11 NQ或 令 法方程: 則有: )()(11lBPlAQlBPlANXTTTT 現(xiàn)在的問題是如何確定B和 。l 因N具有秩虧d,故N的特征值中必有d個為零,
13、對應這個零特征值,必存在個線性無關的特征向量, ,由此構(gòu)成矩陣:用 左乘 式得ONBT1 1、確定、確定B B當OSINiti)(1)(i)(iS令 N的特征值為,相應特征向量為,則特征dtdtttOSNSBTOAS ,就轉(zhuǎn)化為。因此有取dnTOABPATTABOPABATT由,即向量方程為:) 1 (SSdt) 2(S)(dS . ) 0iOSINi)( 在自由網(wǎng)中,偽觀測值在自由網(wǎng)中,偽觀測值 既然未觀測,給定任意就有無既然未觀測,給定任意就有無窮組解。按自由網(wǎng)平差最小范數(shù)原則:窮組解。按自由網(wǎng)平差最小范數(shù)原則:2 2、再確定、再確定llminXXT)()(11lBPlAQQlBPlAXX
14、TTTTTT求導并令其為零:OBQBQlBQBPAQllDXdXTTTTT111122OBBBBABBBBAQBQAQTTTTTT111111)()()(11)(TTTBBBBQIBBPAAQTT)(1BBQIPAAQTT11定義定義OABT右乘TB 所以(1)式中必須Ol (1)至此,和已確定至此,和已確定 , ,需將需將S S標準化,令標準化,令S S的標準化向量為的標準化向量為G,G,即取即取 ,使使TSB Ol IBBT還要求還要求TGB IGGTOAG , 因此,原方程加上偽觀測方程為 XGAOlT此方程由惟一的最小二乘解。其解為: PlAGGPAAXTTT1)(XSAOlTPlAX
15、SSPAATTT)(偽測方程另外一種形式: 法方程PlASSNPlASSPAAXTTTTT11)()(解為: 秩虧網(wǎng)秩虧網(wǎng)測邊網(wǎng)或邊角網(wǎng):水準網(wǎng):5.3.3 5.3.3 各類自由網(wǎng)各類自由網(wǎng)S S和和G G的確定的確定參考系方程參考系方程01012401xySTm010110yx020201xy020210yx.0001mmxy0010mmyx0101yST0110 x0200y0200 x.000my000mx測角網(wǎng):GPS網(wǎng):1 (TS00) 000133TmS010100001010100001010100例題:例題:按全組合測角法對測站J上測角值為L1,L2,L3,L4,L5,L6,現(xiàn)
16、以方向為未知數(shù),設為x1,x2,x3,x4。求各方向值及精度。 J 643654254324341323121211LxxvLxxvLxxvLxxvLxxvLxxv000111A110100011001101010lAXV因為因為 , 1113AANT3111113113113)(ARON TS)1111(,d=1d=1,由,由 NS=O NS=O 得:得:TG)21212121(lAGGAAXTTT1)(TTTXXGGGGAAQ1)(兩種算法所求得的坐標一般是不同的。 通常兩種平差方法所求得的改正數(shù)V及平差值高程網(wǎng):平差后高差相同;測角網(wǎng):圖形平差后的圖形相同,而圖形的位置、方位和比例則不同
17、;邊角網(wǎng)或測邊網(wǎng):角度和邊長相同,而圖形的位置和方位則不同。經(jīng)經(jīng)秩秩XXXXTT,這是因為秩虧網(wǎng)平差增加了兩種方法所求的不同。經(jīng)秩)()(xxxxQtrQtr虧網(wǎng)平差發(fā)現(xiàn)變形的能力往往比采用經(jīng)典網(wǎng)平差強的多。 5.3.4秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典網(wǎng)平差之間的關系l相同。這個條件。)(xxQtr由于,因而在變形檢驗時,采用秩minXXT但是兩種方法求得的單位權(quán)方差相同。 與經(jīng)典網(wǎng)中附有條件的模型不同的是,上式有一條重要特性:minminXXPVVAXVlTTminXXT與0XGT0minXGPVVAXVlTT0AG0 NGPAGAT 由于最小范數(shù)條件等價(在此不作證明),因此上述平差模型轉(zhuǎn)換為:上式即為附
18、有條件的間接平差模型, G為參考系方程系數(shù)矩陣。從而也有:秩虧網(wǎng)的平差模型實際為:對平差模型,按條件極值有:XGKlAXPlAXXGKPVVTTTTTT2)()(202)(2TTTGKPAlAXX0XGPlAGKPAXATTT0AG上式可簡化。 轉(zhuǎn)置并整理后,有:這就是附有條件的間接平差方程,可以直接解算。由于第一式左乘TG有:PlAGGKGPAXAGTTTTT因為0)(TTTAGAG所以K0XGPlAPAXATTT GPlAXGGPAATTT)(盡管PAAT秩虧,但(TTGGPAA)不秩虧,其凱來逆PlAGGPAAXTTT1)( ,=0,則法方程可變?yōu)椋旱诙阶蟪撕蠹尤氲谝皇?,?存在,故:
19、這就是按附加條件法進行秩虧網(wǎng)平差式未知量X的解。令:1)(GGPAAQTT則PlQAXTTTTXGGGGPAAQ1)(0XGT展開,對于平面網(wǎng)有:0iX0iY 對于高程網(wǎng)有:0iX 說明平差后網(wǎng)點坐標重心與近似坐標重心一致,因而稱秩虧網(wǎng)平差為重心參考系不變的平差,秩虧網(wǎng)平差的基準是重心基準。將秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差后得到的平差值改正數(shù)及觀測平差值相同,說明兩者之間網(wǎng)形相同。不同的是控制網(wǎng)圖形的位置、方位。xy1p2p3pLiLiLiLiLiLiyxyyyxxxcossinsincos坐標變換的公式為:LLyx ,LLyx ,式中表示秩虧網(wǎng)平差的最后坐標;表示經(jīng)典平差的最后坐標。 實際平差時秩虧平
20、差與經(jīng)典平差有相同的近似坐標,即:yyyxxxLL00,式中xx,分別表示秩虧平差與經(jīng)典平差時近似坐標的改正數(shù)。代入上式有:yxyxyyyyxyxxxxiiiiiiiiiiicossincossinsincossincos000000 xx,和旋轉(zhuǎn)量都是一個很小的量,iiiiiyyxxycos,cos, 0siniiiiiiiixyyyyyxxxx0000sin) 1cos(sin) 1cos(Tyxt)sin, 1cos,(令 考慮所有網(wǎng)點的變換公式,則有:GtXX0101G101002020101yxyx02020101xyxy minXXT02tXXtXXTT0XGT 根據(jù)秩虧自由網(wǎng)平差
21、的最小范數(shù)條件,有:即:GtXX0)(GtXGTXGGtGTTXGGGtTT1)(XGGGGXGtXXTT1)(XGGGGETT)(1XGGEXT)()()(TXTXGGEQGGEQ如果去標準化的G,則有:(1)先進行了經(jīng)典平差,(2)利用經(jīng)典平差求得的待定未知量的估計與固定點坐標改正數(shù)一起構(gòu)成 ,即經(jīng)典平差結(jié)果為:(3)將經(jīng)典平差結(jié)果轉(zhuǎn)化為秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果。PlANXT1111111 NQX01XX01xXQQ00XGGGGEGtXXTT)(1XmLmLmLmLmLmL217. 1099. 0079. 0142. 1114. 1023. 0654321111222654321PPPPPPmx078.10001mx099.10002mx000.10003mx216.10104 5.3.6 5.3.6 秩虧網(wǎng)平差算例秩虧網(wǎng)平差算例有一水準路線,如圖5-7所示,各路線的高差觀測值及權(quán)為 各點的高程近似值: 利用秩虧自由網(wǎng)平差原理求各點高程。1 1、直接求解法、直接求解法2 2、偽觀測法、偽觀測法第一種情況把G標準化
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