二項(xiàng)式定理十大典型例題配套測(cè)驗(yàn)

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：高二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容1 .二項(xiàng)式定理:n0n1nrn_rrnn.(a+b)=Cna+Cna_b+|+Cna-b+|+Cnb(n=N),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C：(r=0,1,2,n).項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r+1項(xiàng)C；an-br叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用書=C：anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n+1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(a+b)n與(b+a)n是不同

2、的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是C0,Cn,C2,Cnr,iC：.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：令a=1,b=x,(1x)n=C；C：xC2x2HIC：x川C：xn(nN)令a=1,b=x,(1-x)n=C0-C1x+C2x2-III+C；x+川+(-1)nC；xn(nN*)5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C；,C：=C：/二項(xiàng)式系數(shù)和：令a=b=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C；+C：+C：+11

3、1+C；+HI+C：=2n,變形式C1+C2+川+C；+HI+C；=2n1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a=1,b=1,則C0C：+C"-C3十川+(1)nC：=(11)n=0,從而得到：C：+C；+C：，+Cn2r+=C：+C；+|十C；r*十2n=2n，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：n0n01n12n_22n0n12n(ax)二CaxCnaxCaxJ|Cax=a0axa?xa“xn00nc1nc22n_2nn0n21(xa)CnaxCnaxCnax"|Cnax=anx1a2xa1xa0令x=1,貝1Ja0+a1+a2+a3川+an=(

4、a+1)n令x=_1，則a。-a1+a2-a3+|+an=(a1)n+得，a0+a2+a/|+an=(a；(a-"(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)得，a1+a3+a5|+an=(a+1)nJa-1)"偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)g7,g7同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a+bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別、，.Ar1-Ar為A,A2,An書，設(shè)第r十1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有i，從而解出r來。12n1Ar1-Ar2專題一題型一：

5、二項(xiàng)式定理的逆用；例：C：+C：6+C362+HI+C：6nJL=.解：(1+6)n=C；+Cn6+C：62+C；63+H|+C；6n與已知的有一些差距，c1.c2a.c32,nn4_1,122nn,CnCn6Cn6Cn6-(Cn6Cn6Cn6)6=；(C：C；6C262HIC：6n_1)=；(16)n-1=；(7n-1)666練：Cn-3C2-9C3Ib3nC；=.解：設(shè)Sn=Cn+3C；+9C3+HI+3nCn1,貝Uoc_c1o+c2o2+c3o3-+-J11+cnon_c0+c1o+c2o2A-c3o3+1h+cnona-/d+ona3Sn-Cn3Cn3Cn3111Cn3-CnCn3C

6、n3Cn3Cn3-1-(13)-1Sn(13)n-1/-133題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù);例：在二項(xiàng)式(,1+濘)n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知C：'=45,即C2=45,二n2n-90=0,解得n=-9(舍去)或n=10,由1210J2Tr邛=Cir0(xH)10,(x3)r=C；oX，由題意_10_r+2r=3,解得r=6,43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T64=C16)x3=210x3,系數(shù)為210。練：求(x2I)9展開式中x9的系數(shù)？2x解：Tr+=C；(x2)"()=C；x18'(1)x=Cg(-1)rx18r,令1

7、83r=9,則r=32x/d22,9-31321故x9的系數(shù)為C；()3=。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(x2的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解:5Tf=C1r0儀2)10上(上)=C1r0(：)rx空展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為5_81845令20_r=0,得r=8,所以T9=C；0()8=22256練：求二項(xiàng)式(2x-2)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解：4=C；(2x)6_r(1)(工)r=(1)rC626(1)rx6q,令62r=0,得r=3,所以T4=(1)3C3=202x2練：若(x2+1)n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=.x解：T5=C：(x2)n"(1)4=C：x2

8、n2，令2n12=0,得n=6.x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(4-沃)9展開式中的有理項(xiàng)？1127工解：4=C；(x2)9(x3)r=(1)rC；xk令1Lwz,(049)得=3或=9,627-r3c344所以當(dāng)r=3時(shí)，=4,T4=(一1)Cgx=84x,6當(dāng)r=9時(shí)，27-=3,%=(1)3C；x3=x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;256,求n.展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0>al>'an>令x=-1,則有a0+a1+an=0,，令x=1,則有a0-a1+a2-a3+(-1)nan=2n,將-得：2(a1+a

9、3+a5+)=2n,二a1+a3+a5+=-2nJ,有題意得，-2n-L=-256=28,n=9。練：若（，工+產(chǎn)；/的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。初.0242r13.tn,2r1._nn-qn_用牛.CnCnCn'''Cn'''CnCnCn'''2,P21024,用牛彳寸n11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n=6,n=7,丁5斗=C5"：）=。）5=462，x,，丁6書=462口重題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知（L+2x）n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式

10、中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)2的系數(shù)是多少？解：C：十"=2清,二n221n+98=0，解出n=7或n=14,當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和丁5二丁4的系數(shù)=C；（1）423=35,T5的系數(shù)=C；（）324=70，當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大2221 77的項(xiàng)是丁8,.T8的系數(shù)=C14（）2=3432。練：在（a+b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n=Tn+,也就是第n+1項(xiàng)。2 1，,x1n練：在（-一蒲=）的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？2、.x解：只有第5

11、項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則口+1=5,即n=8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C；（1）2=722練：寫出在（a-b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有_343.一_434一T4=-C7ab的系數(shù)最小，T5=C7ab系數(shù)最大。1 n練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求（一+2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？201211解：由Cn+Cn+Cn=79，解出n=12，假設(shè)Tr由項(xiàng)最大，.（金+2x）=（1）（1+4x）A.1_A.Ar.1_A,2C；24r_或4C；24r_C1214r.；9.4

12、<r<10.4,又；0wrw12,二r=10,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,有T11=(1)12cl”410x10=16896x1°210練：在(1+2x)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：假設(shè)Ty項(xiàng)最大，7Tr+=C1r02rxrAr1-ArC；02r_C10J2Ar1-Ar2-C；02r_或12r-1r-1解得!2(11一r)*，化簡(jiǎn)得到6.3<k<7.3,又'：0Mr<10,r1_2(10-r).r=7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8=C；027x7=15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；25例：求當(dāng)(x+3x+2)的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)

13、？2525r25rr解法：(x+3x+2)=(x+2)+3x,Tr¥=C5(x+2)l(3x),當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)，Tr書的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tt=T2=c5(x2+2)43x,所以x得一次項(xiàng)為c5c：243x它的系數(shù)為C5C：243=240。解法：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(C；x5+C1x4+C；)(C；0x5+c1x42+C；25)4_5_5_44_故展開式中含x的項(xiàng)為C5xC52+Csx2=240x,故展開式中x的系數(shù)為240.1練：求式子(|x|+i-|-2)的常數(shù)項(xiàng)?x解:,設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則1書=或(一1)r|x|6(R)r=(1)6

14、C；|x6'r,得3_36-2r=0,r=3,T31=(-1)C6=-20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2x)3(1x)4展開式中x2的系數(shù).解：(1-2x)3的展開式的通項(xiàng)是CT(2x)m=CT2mxm,(1x)4的展開式的通項(xiàng)是C4(x)n=c4Tn,xn,其中m=0,1,2,3,n=0,123,4,令m+n=2,則m=0且n=2,m=1且門=1,m=2且門=0,因此(1+2x)3(1-x)4的扉并小山y(tǒng)2的率甑箋于p0.90221.9111p2.9200-l=U辰7T隊(duì)T1xl=U方蟻守丁C32C4(I)C32C4(I)C32C4(I)6.練:求（1+次）6（1+刀產(chǎn)）展

15、開式中的常數(shù)項(xiàng).,.X解:(13x)6(1mn4m_3n10展開式的通項(xiàng)為C6nX?gOxM=C6nC10，xPm=0,3m=3,3m=6其中m=0,1,2，,6,n=0,1,2,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m=3"即<或/或<n=0,n=4,n=8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；C1c0-C；C；0C（6C；0=4246.1c練：已知（1+x+x）（x+一）的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng)，nwN且2EnE8,則門=.x解：十乙日展開式的通項(xiàng)為C；，xn，xr=C；，xn4I通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xCn，xir,Cnxir'C：M丑展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2<n<8二n#4r

16、且n44r+1且n¥4r+2,即n=4,8且n03,7且n22,6,an=5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在（x-衣2006的二項(xiàng)展開式中，含對(duì)勺奇次曷的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x=J2時(shí),S=解：設(shè)(x-.2006=a0+a1x1+a2x2+a3x3+|+a2006x2006,20061232006(x-、2)=%-xa2x-3乂a2006x-得2(呢+為乂3+a5x5+|+a2005x2005)=(x-揚(yáng)2006-(x+收)2006二（x-歷2006展開式的奇次曷項(xiàng)之和為S（x）（x-揚(yáng)2006-（x+正）2006232006當(dāng)x"J2bt,s（-、5）ul（；2

17、-二）2006-（、2、3）2006=-=-2300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式（33/x+1）n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp+s=272，則n等于多少?解：若(3眩+1)n=a0+a1x+a2x2+i+anxn,有P=a0+a1+an,S=C：+八+C：=2n,x令x=1得P=4n,又p+s=272，即4n+2n=272=(2n+17)(2n16)=0解得2n=16或2n=-17（舍去）,n=4.練：若3dx的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解：令x=1,則%JX-的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n=64,所以n=6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為xC；

18、(3收)3(-1)3=-540.練：若(1-2x)2009=a0+ax1+a2x2+a3x3+|+82009x2009(xR),則巴+-a|+,+粵09的值為2222解：令x=1,可得a。+3+答+十需=0,3+8_十+翳=-302222222在令x=0可得a0=1,因而亙.-3!黑=-1.222練：若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x1+a0,貝1Ja1+a2+a3+a4+a5=.解：令x=0得80=-32，令x=1得80+a+a2+83+34+85=-1,.81828384a5=31.題型十一：整除性；例：證明：32n羋-8n9(nwN*)能被64整除證：32n2

19、-8n-9.9n1-8n9=(81)n1-8n-9=C；+8n+C：48n+C：；82+*81+C：-8n-9二C048n1-C8n:!，-：:"'Cnt828(n1)1-8n-9=C018n1C118n-"Cn82n1n1n1(n)njn1n1n1由于各項(xiàng)均能被64整除,32nd2-8n-9(n亡N*)能被64整除1、(x1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是1、設(shè)f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是f")=)11/2=-102422、C：+3C；+32C：1+3C=2、2、4n3、(；5+=)2°的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng)53、3,

20、9,15,2154、(2x-1)展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1,則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)，5、(1+x+x2)(1x)10=(1x3)(1x)9,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開式中的項(xiàng)C4(-x)4作積，第一個(gè)因式中的一x3與(1-x)9展開式中的項(xiàng)C；(x)作積，故x4的系數(shù)是C；+C；=1356、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù).1011210(1x)1f(1x)(x1)-(x1)34、八.46、(1+x)+(1+x)2+(1+x)-=-,原式中x實(shí)為這分子中的x,則所1-(1x)x