淺述二重積分的計(jì)算方法

1、成績(jī)：學(xué) 年 論 文題 目：淺述二重積分的計(jì)算方法學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)班 級(jí)：10信計(jì)1班學(xué) 號(hào)：20102230姓 名：徐小萌指導(dǎo)教師：過靜2013年1月7日目 錄摘 要.31 引言42 二重積分的計(jì)算4 2.1化累次積分計(jì)算法.5 2.2幾何意義計(jì)算法.6 2.3換元計(jì)算法.7 2.4極坐標(biāo)計(jì)算法.73 二重積分的應(yīng)用8 3.1求平面圖形的面積.9 3.2求空間立體的體積.9 3.3求平面薄片的質(zhì)量.9結(jié)束語9致謝10參考文獻(xiàn)10.淺述二重積分的計(jì)算方法江西科技師范大學(xué) 徐小萌摘要：本文介紹了幾種二重積分的計(jì)算方法，著重從累次積分的計(jì)算，變量代換等方法闡述二重

2、積分的計(jì)算，同時(shí)研究了二重積分的應(yīng)用，并通過實(shí)例加以說明。關(guān)鍵詞：二重積分 積分區(qū)域 換元法 極坐標(biāo)1. 引言二重積分是定積分的推廣：被積函數(shù)由一元函數(shù)f（x）推廣為二元函數(shù)f（x，y）：積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面區(qū)域（二重積分）。我個(gè)人在學(xué)習(xí)中就二重積分計(jì)算感到比較繁瑣，而日常生活中二重積分又有很多應(yīng)用。通過查閱資料和老師的指點(diǎn)，我認(rèn)為重積分的計(jì)算方法還是有規(guī)可循的，我總結(jié)了幾種方法供大家參考。2. 二重積分的計(jì)算 一般二重積分計(jì)算需要決定積分區(qū)域，再?zèng)Q定積分次序。這就是我們要研究的累次積分計(jì)算法。2.1化累次積分計(jì)算法 二次積分在直角坐標(biāo)系下可分為兩種不同次序積分：一是先積y后積x的

3、累次積分，即：若f（x，y）在矩形區(qū)域D=a ，b*c，d上可積，且對(duì)每個(gè)a，b積分dy存在，則累次積分dy也存在，且：=dy二是先積x后積y的累次積分，即：若f（x，y）在矩形區(qū)域D=a ，bc，d上可積，且對(duì)每個(gè)yc，d，積分存在，則累次積分也存在，且：=特別當(dāng)f（x，y）在矩形區(qū)域D=a ，b c，d上連續(xù)時(shí)，則有：=例 1 計(jì)算d，其中D是由x=0，y=1及y=x圍成的區(qū)域。解：（1）由題意知交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0）B（0,1）C（1,1）（2）畫出積分區(qū)域D的圖形，D：（3）此題可化為先積x后積y的累次積分，即：d=需要注意的是累次積分要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，積分次序的選擇不同直接影

4、響計(jì)算的繁瑣，甚至計(jì)算不出結(jié)果來。要盡量將積分區(qū)域少分塊，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程；第一次積分的上、下限表達(dá)要簡(jiǎn)單。例 2計(jì)算，D是由直線y=2x，x=2y，x+y=3所圍成的三角區(qū)域解：（1）由題意知交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2,1）B（0,0）C（3,0）D（1,2）（2）畫出積分區(qū)域D的圖形，D：（3）把區(qū)域D劃分成D和D且先積y后積x的累次積分，即：=+=+=+=2,、2幾何意義計(jì)算法積分區(qū)域有時(shí)是特殊面，如圓柱面、球面、橢球面等我們可以利用他們所表示的幾何意義來計(jì)算。例 3求兩個(gè)底面半徑相同的直角圓柱所圍立體的體積V解：設(shè)圓柱底面半徑為a則兩援助方程為：z=V=D：圓 xV=dy=例 4計(jì)算I=，D：

5、y=2px，x=（p>0）(1)由題意可知交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(),B(),C(0,0)（2）畫出區(qū)域D的圖形，D：（3）可化為x-型區(qū)域，則化為先x后y的累次積分，即：I=dy=2.3換元計(jì)算法 計(jì)算定積分困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。適當(dāng)?shù)乩脫Q元法可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。下面以定理給出。定理：設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，變換T：x=x（u，v），y=y（u，v）將uv平面按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域D一一地應(yīng)成xy平面上的閉區(qū)域D，且滿足：（1） 函數(shù)x=x（u，v），y=y（u，v）在D內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（2） 在D上有雅可比行列式J=

6、則=例 5求，其中D是由x=0，y=0，x+y=1所圍成的區(qū)域解：令u=x-y，v=x+y=例 6 求由y=mx，y=nx，y=，y=，（0<）,（0<m<n）所圍成的面積解：令u= v= S=選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q方法才有效，選擇變換的基本要求是：變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易。2.4 極坐標(biāo)計(jì)算法計(jì)算二重積分時(shí)，要從被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面選取適當(dāng)坐標(biāo)系，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系可以簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。 J（r，）=r =1. 不包含圓點(diǎn)的區(qū)域=2.封閉且包含圓點(diǎn)區(qū)域=3.不封閉但包含圓點(diǎn)=例 7 I= D:x 解：I=2. 二重積分的應(yīng)用3. 1求平面圖形的面積由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面

7、Z=（x，y）為頂點(diǎn)，以D為底的直曲頂柱體的體積為：V=，特別當(dāng)f（x，y）=1時(shí)，平面D的面積為：S=例 8求錐面Z=2a-在xoy平面上方的物體的體積解：V=43.2求空間立體的體積 例 9球體：x被圓柱面：所割下部分體積（維維安尼體）解：Z=f（x，y）D：V=4=43、3求平面薄片的質(zhì)量 由二重積分的物理解釋可以知道，密度為f（x，y）的平面薄片D的質(zhì)量為：m= 例 10設(shè)平面薄片D是由x+y=2，y=x，和x軸所圍成的區(qū)域，它的密度是，求該薄片的質(zhì)量 解：平面薄片D m= 解方程組得兩曲線的交點(diǎn)為（1,1） 因此區(qū)域D為：y，0 m=二重積分在其它學(xué)科領(lǐng)域中應(yīng)用較為廣泛，尤其是賦予二

8、重積分實(shí)際意義，非常有使用價(jià)值，在解決實(shí)際問題時(shí)需要建立模型、列出二重積分式、計(jì)算二重積分。結(jié)束語： 二重積分是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它在許多方面有著廣泛的應(yīng)用。本文主要通過論述與舉例，闡述了如何靈活地計(jì)算二重積分及二重積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用。但在計(jì)算二重積分時(shí)需要注意一個(gè)問題是：將二重積分化成累次積分是關(guān)鍵。從上面所給的例題中不難看出，只要方法得當(dāng)，二重積分的計(jì)算還是比較容易解決的。由于本人只是掌握的還不夠全面系統(tǒng)，僅能總結(jié)歸納出以上幾個(gè)方面，在今后得學(xué)習(xí)與探討研究過程中，還可能會(huì)發(fā)現(xiàn)二重積分的其它解法。參考文獻(xiàn)：【1】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，200

9、1.【2】 陳傳璋等，數(shù)學(xué)分析（第二版）M.北京：高等教育出版社，1983【3】 林子植老師，過靜老師數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)習(xí)題課講義M.2010【4】 高等數(shù)學(xué)以及其教學(xué)軟件上冊(cè) 上海交通大學(xué) 集美大學(xué)編M 2006【5】 數(shù)學(xué)分析的概念與方法上冊(cè) 王向東。M上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1989致 謝：本課題的研究是通過林子植老師的上課講義等完成的，他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，一絲不茍的治學(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。他上課講課仔細(xì)通俗易懂，解題過程中的每個(gè)步驟都講得很詳細(xì)。正是由于他不厭其煩的教導(dǎo)和幫助，我的研究工作才能有條不紊的進(jìn)行。在此，我衷心地向林老師以及學(xué)校了所有關(guān)心我的老師和同學(xué)們表示感謝！徐小萌2012年12月江西科技師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院學(xué)年論文成績(jī)?cè)u(píng)定表學(xué)生姓名 徐小萌學(xué)號(hào)20102230 專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)班級(jí)10信計(jì)1 學(xué)年論文選題淺述二重積分的計(jì)算方法 成績(jī) 一級(jí)指標(biāo)二級(jí)指標(biāo) (A級(jí)) (B級(jí)) (C級(jí)) (D級(jí)) 項(xiàng)目小計(jì)選題質(zhì)量(16分) 選題指導(dǎo)思想4 3 2 1 題目難度43 2 1 選題工作量43 2 1 結(jié)合實(shí)際程度43 2 1 能力水平(32分) 綜合運(yùn)用知識(shí)能力8 642調(diào)研及應(yīng)用資料能力8 642文獻(xiàn)檢索能力8 642計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力8 642論