函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)

1、整理課件4.7 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù) 函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合 函數(shù)復(fù)合的定理函數(shù)復(fù)合的定理 函數(shù)復(fù)合的性質(zhì)函數(shù)復(fù)合的性質(zhì) 反函數(shù)反函數(shù) 反函數(shù)存在的條件反函數(shù)存在的條件 反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)整理課件 由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成，因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成就是兩個關(guān)系的合成，因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成方法是一致的。方法是一致的。由圖可知由圖可知 f 和和g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為記為g f。且且g f =, , 。 例如例如: : 已知已知 f 是

2、是A A到到B B的函數(shù)，的函數(shù)，g g 是是B B到到C C的函數(shù)，它們所確的函數(shù)，它們所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示。定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示。f=, , ， g=, , , ， 整理課件 由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同，兩個函數(shù)的復(fù)合由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成。本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成。例如設(shè)例如設(shè)f 是是A到到B的函數(shù)，的函數(shù)，g是是B到到C的函數(shù)，它對所確定的函數(shù)，它對所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：如果將函數(shù)如果將函數(shù)f 看作是看作是A到到B的二元關(guān)系，的二元關(guān)系，g看作是看作是B到到C的二元的二元關(guān)系，合成后的關(guān)系記為關(guān)系，合成后的

3、關(guān)系記為R，它是，它是A到到C的二元關(guān)系，的二元關(guān)系，記為記為R=f g，且，且R=(x,b),(y,b),(z,a).f=, , ， g=, , , ， 整理課件一、復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)設(shè)f 是是A到到B的函數(shù)，的函數(shù)，g是是B到到C的函數(shù)，的函數(shù)，f 和和 g合成后的函數(shù)合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為稱為復(fù)合函數(shù)，記為g f 。它是。它是A到到C的函數(shù)。的函數(shù)。當(dāng)當(dāng)a A, b B, c C，且，且f(a)=b,f(b)=c 時時，g f(a)=c.注意：當(dāng)注意：當(dāng) f 和和g 看作是二元關(guān)系時，合成后的關(guān)系記為看作是二元關(guān)系時，合成后的關(guān)系記為f g，但當(dāng)?shù)?dāng)f 和和g 看作是函數(shù)時看作是函

4、數(shù)時f 和和 g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為記為g f 。整理課件定理定理 設(shè)設(shè)F, G是函數(shù)是函數(shù), 則則F G也是函數(shù)也是函數(shù), 且滿足且滿足 (1) dom(F G)= x | xdomF F(x)domG (2) xdom(F G) 有有 F G(x) = F(G(x) 整理課件例：設(shè)集合例：設(shè)集合A=x,y,z ,B=a,b,c,d, C=1,2,3 f 是是A到到B的函數(shù)，的函數(shù)，g 是是B到到C的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=cg(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)g f。解

5、：由定義可知復(fù)合函數(shù)解：由定義可知復(fù)合函數(shù)g f是是A到到C的函數(shù)。且的函數(shù)。且 g f(x)= g (f(x)= g (b)=2.g f(y)= g (f(y)= g (c)=1.g f(z)= g (f(z)= g (c)=1. 推論推論1 設(shè)設(shè) f：AB, g：BC, 則則 f g：AC, 且且 xA 都有都有 f g(x) = f(g(x). 整理課件推論推論2 設(shè)設(shè)F, G, H為函數(shù)為函數(shù), 則則 (F G) H 和和 F (G H) 都是函數(shù)都是函數(shù), 且且 (F G) H = F (G H)由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，而二元關(guān)系的由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，而二元關(guān)系的合成

6、可以看作是一種運(yùn)算，且這種運(yùn)算滿足結(jié)合合成可以看作是一種運(yùn)算，且這種運(yùn)算滿足結(jié)合律但不滿足交換律。于是有：律但不滿足交換律。于是有：推論推論3 設(shè)設(shè)F, G為函數(shù)為函數(shù), 則則 F G和和 G F 都是函數(shù)都是函數(shù), 且且 F GG F 整理課件函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)定理定理 設(shè)設(shè) f：AB, g：BC. (1) 如果如果 f 和和 g都是單射函數(shù)都是單射函數(shù), 則則 g f ：AC也是單射的函數(shù)也是單射的函數(shù). (2) 如果如果 f 和和 g都是滿射函數(shù)都是滿射函數(shù), 則則 g f ：AC也是滿射的函數(shù)也是滿射的函數(shù). (3) 如果如果 f 和和 g都是雙射函數(shù)都是雙射函數(shù), 則則 g f ：A

7、C也是雙射的函數(shù)也是雙射的函數(shù). 證證 (1) c C, 由由 g：BC 的滿射性的滿射性, b B 使得使得 g(b)=c. 對這個對這個b, 由由 f：AB 的滿射性，的滿射性， a A 使得使得 f(a)=b. 由合成定理有由合成定理有 g f (a)=g(f(a)=g(b)=c 從而證明了從而證明了 f g：AC是滿射的是滿射的. 整理課件二、函數(shù)的逆（反函數(shù)）二、函數(shù)的逆（反函數(shù)）對于二元關(guān)系對于二元關(guān)系R，只要交換所有的有序?qū)Γ湍?，只要交換所有的有序?qū)Γ湍艿玫侥骊P(guān)系得到逆關(guān)系 ；Rf但對于函數(shù)但對于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一

8、定是函數(shù)，只有當(dāng)卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng) f 為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。才是函數(shù)。f整理課件二、反函數(shù)(函數(shù)的逆)但對于函數(shù)但對于函數(shù) f , 交換交換f 的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系f 1是二元關(guān)是二元關(guān)系卻不一定是函數(shù)。系卻不一定是函數(shù)。如：如：F=,， F 1=, 對于二元關(guān)系對于二元關(guān)系R，只要交換所有有序?qū)Φ捻樞?，就能得，只要交換所有有序?qū)Φ捻樞颍湍艿闷淠骊P(guān)系其逆關(guān)系 ；R整理課件反函數(shù)存在的條件f但對于函數(shù)但對于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng)卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng) f 為雙

9、射函數(shù)時其逆關(guān)系為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。才是函數(shù)。f整理課件反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義：反函數(shù)的定義：對于雙射函數(shù)對于雙射函數(shù)f：AB, 稱稱 f 1：BA是是它的它的反函數(shù)反函數(shù). 定理定理 設(shè)設(shè) f：AB是雙射的是雙射的, 則則f 1：BA也是雙射的也是雙射的.反函數(shù)的性質(zhì)：反函數(shù)的性質(zhì)：定理定理: 設(shè)設(shè) f：AB是雙射的是雙射的, 則則f 1 f = IA, f f 1 = IB對于雙射函數(shù)對于雙射函數(shù) f：AA, 有有f 1 f = f f 1 = IA 整理課件函數(shù)復(fù)合與反函數(shù)的計算例：設(shè)例：設(shè)R是實數(shù)集，且是實數(shù)集，且f,g,h是是R到到R的函數(shù)其中的函數(shù)其中 f(x)=

10、1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求求 f g, g f， (f g) h 和和 f (g h).解：解： f g(x)=f(1+x2)=2+x2 g f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f g) h(x)=(f g) (1+x3)=2+ (1+x3)2f (g h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2整理課件思考：思考： 設(shè)設(shè) f ：RR, g ：RR 求求 f g, g f. 如果如果 f 和和 g 存在反函數(shù)存在反函數(shù), 求出它們的反函數(shù)求出它們的反函數(shù). 2)(323)(2xxgxxxxff：RR不是雙射的不是雙射的, 不存在反函數(shù)不存在反函數(shù). g

11、：RR是雙射的是雙射的, 它的反函數(shù)是它的反函數(shù)是 g 1：RR, g 1(x) = x 2 121)2()(3032)(:22xxxxgfxxxxfgRRfgRRgf解：解：整理課件思考：思考： 設(shè)設(shè)a1,a2,an是任意的是任意的n個正整數(shù)，個正整數(shù)，證明存在證明存在i和和k (i 0,k 1)，使得，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。整理課件三、鴿洞原理三、鴿洞原理 如果某人營造了如果某人營造了n個鴿洞，養(yǎng)了多于個鴿洞，養(yǎng)了多于n只鴿子，只鴿子，則必有一個鴿洞有則必有一個鴿洞有2只或只或 2 2只以上的鴿子，只以上的鴿子，這就是鴿洞原理。這就是鴿洞原理。 用數(shù)

12、學(xué)語言來描述這個原理，即：用數(shù)學(xué)語言來描述這個原理，即：A，B是有限集合，是有限集合，f 是是A到到B的函數(shù)，的函數(shù)，如果如果AB，則，則A中至少有兩個元素，中至少有兩個元素，其函數(shù)值相等。其函數(shù)值相等。整理課件一般的情況是：當(dāng)鴿洞為一般的情況是：當(dāng)鴿洞為n個，鴿子數(shù)大于個，鴿子數(shù)大于nm只時，必有一個鴿洞住有只時，必有一個鴿洞住有m+1只或多于只或多于m+1只鴿子。只鴿子。 例如，有例如，有3個鴿洞，個鴿洞，13只鴿子，則必有一個鴿洞，只鴿子，則必有一個鴿洞，住有住有5只或只或 5 5只以上的鴿子。只以上的鴿子。 更一般的情況是：更一般的情況是： A，B是有限集合，是有限集合，f 是是A到到

13、B的函數(shù)，如果的函數(shù)，如果A nm ，B B= n= n，則在，則在A A中至少有中至少有m+1m+1個元素，其函數(shù)值相等。個元素，其函數(shù)值相等。 整理課件例：證明任意例：證明任意n+1個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)之差被之差被n整除。整除。證明證明 由于任意正整數(shù)被由于任意正整數(shù)被n除后，其余數(shù)只能除后，其余數(shù)只能是是0，1，2 n-1，所以，所以n+1個正整數(shù)中，個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)被必有兩個數(shù)被n除后余數(shù)相同，除后余數(shù)相同， 因此這兩個數(shù)之差必能被因此這兩個數(shù)之差必能被n整除。整除。 整理課件例例: 某人步行駛某人步行駛10小時，共走小時，共走45公里，已知他第公里，

14、已知他第一小時走了一小時走了6公里，最后一小時只走了公里，最后一小時只走了2公里，公里，證明必有連續(xù)的兩小時，在這兩小時內(nèi)至少證明必有連續(xù)的兩小時，在這兩小時內(nèi)至少走了走了10公里。公里。證明證明: 設(shè)第設(shè)第i小時走了小時走了ai公里，連續(xù)的兩小時所走里公里，連續(xù)的兩小時所走里程為程為a1+a2, a2+a3, a9+a10,共有共有9種；種；因為（因為（ a1+a2 ）+（ a2+a3 ）+ + (a9+a10)=2 45-6-2=82,所以必有連續(xù)的兩小時里所走里程大于等于所以必有連續(xù)的兩小時里所走里程大于等于10公里。公里。整理課件例例: 證明在證明在1100的正整數(shù)中，任取的正整數(shù)中，

15、任取51個正整數(shù)，個正整數(shù)，其中必存在兩個數(shù)，一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。其中必存在兩個數(shù)，一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。證明證明 對于任意的偶數(shù)，使得：偶數(shù)對于任意的偶數(shù)，使得：偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù) 2k. 構(gòu)造以下構(gòu)造以下50個集合：個集合： A1=1，1 2，1 22，1 23，1 24，1 25，1 26 A3=3，3 2，3 22 ，3 23 ，3 24 ，3 25 A5=5，5 2，5 22 ，5 23 ，5 24 A7=7，7 2，7 22 ，7 23 A9=9，9 2，9 22 ，9 23 A11=11，11 2，11 22 ，11 23 A13=13，13 2，13 22 . A49=49，

16、49 2 A51=51 A53=53 . A99=99整理課件這這50個集合中元素的總和共個集合中元素的總和共100個，恰好是個，恰好是1100的的所有正整數(shù)，且在含有所有正整數(shù)，且在含有2個或個或2 個以上元素的集合個以上元素的集合A1，A3，A5，, A49中，同一個集合中的任意中，同一個集合中的任意兩個正整數(shù)必是：一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。兩個正整數(shù)必是：一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。因此在因此在1100的正整數(shù)中任取的正整數(shù)中任取51個數(shù)，其中至少個數(shù)，其中至少有兩個數(shù)屬于同一個集合，有兩個數(shù)屬于同一個集合，所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)是另一個的倍數(shù)。所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)是另一個的倍數(shù)。整理課件

17、證明證明 A1(小王小王) A2 (小張小張) A3(小何小何) A4(小周小周) A5(小楊小楊) A6(小劉小劉)思考思考: 試證在任意六個人中必有三人他們相互認(rèn)識試證在任意六個人中必有三人他們相互認(rèn)識 或相互不認(rèn)識或相互不認(rèn)識.整理課件例例: 在一個有在一個有6個點的完全圖中，給每一條邊涂色，個點的完全圖中，給每一條邊涂色，可隨意涂紅色或白色。證明在這個完全圖中，必存在可隨意涂紅色或白色。證明在這個完全圖中，必存在一個三角形，其三條邊的顏色相同。一個三角形，其三條邊的顏色相同。證明證明 A1 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A4 A5 A6 A6整理課件思考：思考： 設(shè)設(shè)a1,a2,an是任意的是任意的n個正整數(shù)，證明存在個正整數(shù)，證明存在i和和k (i 0,k 1)，使得，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。證明證明 令令 A1= a1 A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3 An= a1+a2+an在這在這n個數(shù)個數(shù)A1，A2， ，An中，如果有一個數(shù)中，如果有一個數(shù)能被能被n整除，問題得證。整除，問題得證。如果如