特殊四邊形的輔助線

1、精選 特殊四邊形的幫助線一、分割面積1. （2005郴州）附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，ADE、BCE和CDE的面積之間有著怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結(jié)論是否仍舊成立？為什么？ABCD是平行四邊形呢？（3）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由二、補全線段補全線段，如三角形中的五線（角平分線，中線，中垂線，垂線，中位線），四邊形的對角線。2. （2008山西）如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，

2、連接AF、BE和CF（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“”表示，并加以證明；（2）推斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積3. （2007常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF（1）當(dāng)DG=2時，求FCG的面積；（2）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示FCG的面積；（3）推斷FCG的面積能否等于1，并說明理由4. （2007莆田）在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MNAB分別交AB，CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OPB

3、E分別交AB，CD于P，Q探究：（1）如圖，當(dāng)點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜想AE與MP+NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你所猜想的結(jié)論；探究：（2）如圖，若點E在DA的延長線上時，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣請直接寫出結(jié)論；再探究：（3）如圖，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和射線HG上時，請在圖中完成符合題意的圖形，并推斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請直接寫出結(jié)論中線5. 在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F(xiàn)為AD的中點，AEF=54°，則B= 6. （2011鞍山）已知如圖，D是ABC中AB邊

4、上的中點，ACE和BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF求證：DE=DF中位線7. （2013沙坪壩區(qū)模擬）如圖，ABCD中，AC與BD相交于點O，ABD=2DBC，AEBD于點E（1）若ADB=25°，求BAE的度數(shù)；（2）求證：AB=2OE垂線8. （2013寧夏）在ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PEAB，交AD于E，連結(jié)CE，CP已知A=60°；（1）若BC=8，AB=6，當(dāng)AP的長為多少時，CPE的面積最大，并求出面積的最大值（2）摸索究當(dāng)CPECPB時，ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？角平分線9. （2007哈爾濱）如

5、圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AF平分BAC，交BD于點F（1）求證：EF+AC=AB；（2）點C1從點C動身，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A1從點A動身，沿著BA的延長線運動，點C1與A1的運動速度相同，當(dāng)動點C1停止運動時，另一動點A1也隨之停止運動如圖2，A1F1平分BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1E1A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A1E1=3，C1E1=2時，求BD的長正方形對角線10. （2005湖州）如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則=（

6、結(jié)果不取近似值）11. （2009廣州）如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P（1）若AG=AE，證明：AF=AH；（2）若FAH=45°，證明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積12. （2011防城港）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H（1）求證：EB=GD；（2）推斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長13. （2014安徽）如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC

7、邊上一動點，過P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN= ；求證：PM+PN=3a；（2）如圖2，點O是AD的中點，連接OM、ON，求證：OM=ON；（3）如圖3，點O是AD的中點，OG平分MON，推斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說明理由三、制造全等三角形14. （2012重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作MECD于點E，1=2（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME15. （2014南平）在圖1、圖2、圖3、圖4中，點P在線段BC上移動（不與B、C重合），M在BC的延長線上（1）如圖1，ABC和APE

8、均為正三角形，連接CE求證：ABPACEECM的度數(shù)為 °（2）如圖2，若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE則ECM的度數(shù)為 °如圖3，若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE則ECM的度數(shù)為 °（3）如圖4，n邊形ABC和n邊形APE均為正n邊形，連接CE，請你探究并猜想ECM的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系（用含n的式子表示ECM的度數(shù)），并利用圖4（放大后的局部圖形）證明你的結(jié)論16. 已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AF=DE（1）如圖1，推斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以

9、證明；（2）如圖2，對角線AC與BD交于點OBD，AC分別與AE，BF交于點G，點H求證：OG=OH；連接OP，若AP=4，OP=，求AB的長17. 已知RtABC和RtADE，ACB=AED=90°，BAC=DAE=30°，P為線段BD的中點，連接PC，PE（1）如圖1，若AC=AE，C、A、E依次在同一條直線上，則CPE= ；PC與PE存在的等量關(guān)系是 ；（2）如圖2，若ACAE，C、A、E依次在同一條直線上，猜想CPE的度數(shù)及PC與PE存在的等量關(guān)系，并寫出你的結(jié)論；（不需要證明） ；（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，若將RtADE繞點A逆時針任意旋轉(zhuǎn)一個角度，使C、A、

10、E不在一條直線上，摸索究CPE的度數(shù)及PC與PE存在的等量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由18. （2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明呈現(xiàn)了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證AMEECF，所以AE=EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的爭辯：（1）小穎提出：如圖2，假如把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍舊成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？假如正確

11、，寫出證明過程；假如不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍舊成立你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？假如正確，寫出證明過程；假如不正確，請說明理由19. （2012深圳）如圖，RtABC中，C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另始終角邊BC的長為7四、構(gòu)造四邊形，等腰三角形構(gòu)造平行四邊形20. （2008旅順口區(qū)）兩個全等的三角形如下圖所示放置，點B、A、D在同始終線上操作：在圖中，在CB邊上截取CM=AB，連接DM，交AC于N請?zhí)骄緼ND的

12、大小，并證明你的結(jié)論21. 則在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F若ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG、BG，BDG的大小是（）A30°B45°C60°D75°22. 如圖，已知ABCD中，DEBC于點E，DHAB于點H，AF平分BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD（1）求證：ADGFDM（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想23. （2010本溪）我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形請解答下列問題：（1）寫出你

13、所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案一、分割面積7（2005郴州）附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，ADE、BCE和CDE的面積之間有著怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結(jié)論是否仍舊成立？為什么？ABCD是平行四邊形呢？（3）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由考點：正方形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；梯形菁優(yōu)網(wǎng)版

14、權(quán)全部專題：壓軸題；探究型分析：正方形，矩形，平行四邊形圖形中的三個三角形都是等高的三角形，它們的面積關(guān)系，就要看底邊的關(guān)系了，由于AE+EB=CD，所以SADE+SBCE=SCDE在這三個圖形中都成立；梯形不具備這一特征，就不肯定成立解答：解：SADE+SBCE=SCDE方法1：同底同高SADE+SBCE=方法2：由于過E作EFBC交DC于F，則四邊形AEFD和EBCF是矩形所以SAED=SEFD，SEBC=SEFC，所以SADE+SBCE=SEFD+SEFC=SDEC四邊形ABCD是矩形時（1）中結(jié)論成立，方法同上當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，結(jié)論還是成立當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，中結(jié)論

15、當(dāng)E點為AB中點時成立，其它狀況不成立不成立理由如下：設(shè)SADE=S1，SBCE=S2，SDEC=S3，梯形ABCD上底為a，下底為b面積為S，如圖則=假如SADE+SBCE=SDEC，則有，a（h1h2）=b（h1h2）假如h1=h2，則E為AB中點，假如h1h2，則a=b，四邊形ABCD是平行四邊形點評：解答本題要充分利用正方形、矩形，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)；觀看圖形的底與高的關(guān)系，利用等底，等高的兩個三角形面積相等，確定三角形的面積關(guān)系二、補全線段補全線段，如三角形中的五線（角平分線，中線，中垂線，垂線，中位線），四邊形的對角線。5（2008山西）如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E

16、分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF、BE和CF（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“”表示，并加以證明；（2）推斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：證明題；壓軸題分析：（1）從圖上及已知條件簡潔看出BDEFEC，BCEFDC，ABEACF判定兩個三角形全等時，必需有邊的參與，所以此題的關(guān)鍵是找出相等的邊（2）由（1）的結(jié)論簡潔證明ABDF，BDAF，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（3）EFAB，EFAB，四邊形ABEF

17、是梯形，只要求出此梯形的面積即可解答：解：（1）（選證一）BDEFEC證明：ABC是等邊三角形，BC=AC，ACB=60度CD=CE，EDC是等邊三角形DE=EC，CDE=DEC=60°BDE=FEC=120度又EF=AE，BD=FEBDEFEC（選證二）BCEFDC證明：ABC是等邊三角形，BC=AC，ACB=60度又CD=CE，EDC是等邊三角形BCE=FDC=60°，DE=CEEF=AE，EF+DE=AE+CEFD=AC=BCBCEFDC（選證三）ABEACF證明：ABC是等邊三角形，AB=AC，ACB=BAC=60度CD=CE，EDC是等邊三角形AEF=CED=60

18、度EF=AE，AEF是等邊三角形AE=AF，EAF=60度ABEACF（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等邊三角形CDE=ABC=EFA=60度ABDF，BDAF四邊形ABDF是平行四邊形（3）由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形EFAB，EFAB四邊形ABEF是梯形過E作EGAB于G，則EG=S四邊形ABEF=EG（AB+EF）=（6+4）=10點評：此題考查了全等三角形的判定，平行四邊形的判定，及梯形面積的求解，用到的學(xué)問點比較多，較簡單22（2007常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD

19、邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF（1）當(dāng)DG=2時，求FCG的面積；（2）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示FCG的面積；（3）推斷FCG的面積能否等于1，并說明理由考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：計算題；壓軸題；探究型分析：（1）要求FCG的面積，可以轉(zhuǎn)化到面積易求的三角形中，通過證明DGHCFG得出（2）欲求FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明AHEMFG可得；（3）若SFCG=1，由SFCG=6x，得x=5，此時，在DGH中，HG=相應(yīng)地，在AHE中，AE=，即點E已經(jīng)不在邊AB上故不行能有SFCG=1解答：解：（

20、1）正方形ABCD中，AH=2，DH=4，DG=2，HG=2，即菱形EFGH的邊長為2在AHE和DGH中，A=D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，AHEDGH（HL），AHE=DGH，DGH+DHG=90°，DHG+AHE=90°，GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，同理可以證明DGHCFG，F(xiàn)CG=90°，即點F在BC邊上，同時可得CF=2，從而SFCG=×4×2=4（2分）（2）作FMDC，M為垂足，連接GE，ABCD，AEG=MGE，HEGF，HEG=FGE，AEH=MGF在AHE和MFG中，AHEMFG（

21、AAS），F(xiàn)M=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2因此SFCG=×2×（6x）=6x（6分）（3）若SFCG=1，由（2）知SFCG=6x，得x=5，在DGH中，HG=，在AHE中，AE=，即點E已經(jīng)不在邊AB上不行能有SFCG=1（9分）另法：點G在邊DC上，菱形的邊長至少為DH=4，當(dāng)菱形的邊長為4時：點E在AB邊上且滿足AE=2，此時，當(dāng)點E漸漸向右運動至點B時，HE的長（即菱形的邊長）將漸漸變大，最大值為HE=2此時，DG=2，故0x2函數(shù)SFCG=6x的值隨著x的增大而減小，當(dāng)x=2時，SFCG取得最小值為62又62=1，F(xiàn)CG

22、的面積不行能等于1（9分）點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)搞清楚菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，同時考查了全等三角形的判定和性質(zhì)24（2007莆田）在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MNAB分別交AB，CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OPBE分別交AB，CD于P，Q探究：（1）如圖，當(dāng)點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜想AE與MP+NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你所猜想的結(jié)論；探究：（2）如圖，若點E在DA的延長線上時，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣請直接寫出結(jié)論；再探究：（3）如圖，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在

23、線段DH和射線HG上時，請在圖中完成符合題意的圖形，并推斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請直接寫出結(jié)論考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：壓軸題；動點型；探究型分析：（1）過Q作QQ'AB于Q'，則MQQ=90°，證明四邊形AMND為矩形，然后又證明四邊形MNOQ為矩形，最終可證明BAEQQP后可證得AE=MP+NQ（2）畫出圖形可得若點E在DA的延長線上時，結(jié)論為AE=QNMP（3）畫出幫助線，可得若點E1在線段DH上時，結(jié)論為AE1=MP1+NQ1；當(dāng)點E2在射線HG上時，推出AE2=MP2NQ2解答：解：（1）如圖結(jié)論：AE

24、=MP+NQ（2分）證明：過Q作QQ'AB于Q'，則MQQ=90°，MNAB，AMN=90°，四邊形ABCD為正方形，BAD=ADC=90°，四邊形AMND為矩形，MN=AD=AB，QMN=QNM=90°，四邊形MNQQ為矩形，QQ=MN=AB，NQ=QM，（3分）在BAE和QQP中，PQBE，QQP+QPQ=90°，ABE+QPQ=90°，QQP=ABE，（4分）PQQ=BAE=90°，QQ=AB，BAEQQP（5分）QP=AE，QP=MP+QM=MP+NQ，AE=MP+NQ（6分）（2）如圖，若點E在DA

25、的延長線上時，結(jié)論AE=QNMP（8分）（3）如圖，若點E1在線段DH上時，結(jié)論：AE1=MP1+NQ1（10分）若點E2在射線HG上時，結(jié)論：AE2=MP2NQ2（12分）點評：本題考查全等三角形的判定定理以及正方形的性質(zhì)的綜合運用中線9（重點題）在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F(xiàn)為AD的中點，AEF=54°，則B=72°考點：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：壓軸題分析：過F作AB、CD的平行線FG，由于F是AD的中點，那么G是BC的中點，即RtBCE斜邊上的中點，由此可得BC=2EG=2FG，即GEF、BEG都是等

26、腰三角形，因此求B的度數(shù)，只需求得BEG的度數(shù)即可；易知四邊形ABGF是平行四邊形，得EFG=AEF，由此可求得FEG的度數(shù)，即可得到AEG的度數(shù)，依據(jù)鄰補角的定義可得BEG的值，由此得解解答：解：過F作FGABCD，交BC于G；則四邊形ABGF是平行四邊形，所以AF=BG，即G是BC的中點；BC=2AB，為AD的中點，BG=AB=FG=AF，連接EG，在RtBEC中，EG是斜邊上的中線，則BG=GE=FG=BC；AEFG，EFG=AEF=FEG=54°，AEG=AEF+FEG=108°，B=BEG=180°108°=72°故答案為：72

27、76;點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地構(gòu)造出與所求相關(guān)的等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵20（2011鞍山）已知如圖，D是ABC中AB邊上的中點，ACE和BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF求證：DE=DF考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：證明題；壓軸題分析：分別取AC、BC中點M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MDNC為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明EMD

28、DNF即可解答：證明：分別取AC、BC中點M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，D為AB中點，AEC=90°，BFC=90°，EM=AC，F(xiàn)N=BC，D是ABC中AB邊上的中點，DN是ABC的中位線DN=AC，EM=DN=AC，F(xiàn)N=MD=BC，DNCM且DN=CM，四邊形MDNC為平行四邊形，CMD=CNDEMC=FNC=90°，EMC+CMD=FNC+CND，即EMD=FND，EMDDNF（SAS）DE=DF點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目難度中等綜合性不小中位線

29、12（2013沙坪壩區(qū)模擬）如圖，ABCD中，AC與BD相交于點O，ABD=2DBC，AEBD于點E（1）若ADB=25°，求BAE的度數(shù)；（2）求證：AB=2OE考點：平行四邊形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：壓軸題分析：（1）依據(jù)平行四邊形的對邊平行可得ADBC，再依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得DBC=ADB，然后求出ABD，再依據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可求出BAE；（2）取AB的中點F，連接EF、OF，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=BF=AB，依據(jù)等邊對等角可得ABD=BEF，依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于

30、第三邊的一半可得OFBC，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得DBC=EOF，然后依據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出EFO=EOF，再依據(jù)等角對等邊可得EF=OE，從而得證解答：（1）解：在ABCD中，ADBC，DBC=ADB，ABD=2DBC，ADB=25°，ABD=2×25°=50°，AEBD，BAE=90°ABD=90°50°=40°；（2）證明：如圖，取AB的中點F，連接EF、OF，AEBD，EF=BF=AB，ABD=BEF，AO=CO，OF是ABC的中位線，OFBC，DBC=EOF，依據(jù)三角形

31、的外角性質(zhì)，BEF=EFO+EOF，又ABD=2DBC，EFO=EOF，EF=OE，OE=AB，AB=2OE點評：本題考查了平行四邊形的對邊平行，對角線相互平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作幫助線是解題的關(guān)鍵垂線20（2013寧夏）在ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PEAB，交AD于E，連結(jié)CE，CP已知A=60°；（1）若BC=8，AB=6，當(dāng)AP的長為多少時，CPE的面積最大，并求出面積的最大值（2）摸索究當(dāng)CPECPB時，ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿

32、足什么關(guān)系？考點：四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：計算題；壓軸題分析：（1）延長PE交CD的延長線于F，設(shè)AP=x，CPE的面積為y，由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，依據(jù)A的度數(shù)求出PEA的度數(shù)為30度，利用直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AE與PE，由ADAE表示出DE，再利用對頂角相等得到DEF為30度，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF，由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到F為直角，表示出三角形CPE的面積，得出y與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到三角形CPE面積的最大值，以及此時AP的

33、長；（2）由CPECPB，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到BC=CE，B=PEC=120°，進(jìn)而得出ECD=CED，利用等角對等邊得到ED=CD，即三角形ECD為等腰三角形，過D作DM垂直于CE，ECD=30°，利用銳角三角形函數(shù)定義表示出cos30°，得出CM與CD的關(guān)系，進(jìn)而得出CE與CD的關(guān)系，即可確定出AB與BC滿足的關(guān)系解答：解：（1）延長PE交CD的延長線于F，設(shè)AP=x，CPE的面積為y，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=DC=6，AD=BC=8，RtAPE，A=60°，PEA=30°，AE=2x，PE=x，在RtDEF

34、中，DEF=PEA=30°，DE=ADAE=82x，DF=DE=4x，ABCD，PFAB，PFCD，SCPE=PECF，即y=×x×（10x）=x2+5x，配方得：y=（x5）2+（0x4），當(dāng)x=4時，y有最大值為12，即AP的長為5時，CPE的面積最大，最大面積是12；（2）當(dāng)CPECPB時，有BC=CE，B=PEC=120°，CED=180°AEPPEC=30°，ADC=120°，ECD=CED=180°120°30°=30°，DE=CD，即EDC是等腰三角形，過D作DMCE于M

35、，則CM=CE，在RtCMD中，ECD=30°，cos30°=，CM=CD，CE=CD，BC=CE，AB=CD，BC=AB，則當(dāng)CPECPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC=AB點評：此題考查了四邊形的綜合題，涉及的學(xué)問有：平行四邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道多學(xué)問點綜合的探究題角平分線25（2007哈爾濱）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AF平分BAC，交BD于點F（1）求證：EF+AC=AB；（2）點C1從點C動身，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A1從點A動身，沿著BA的延長線運

36、動，點C1與A1的運動速度相同，當(dāng)動點C1停止運動時，另一動點A1也隨之停止運動如圖2，A1F1平分BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1E1A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A1E1=3，C1E1=2時，求BD的長考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：證明題；壓軸題；動點型；探究型分析：（1）過F作FMAB于點M，首先證明AMFAEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB（2）連接F1C1，過點F1作F1PA1B于點P，F(xiàn)1QBC于點Q，證明RtA1E1F1RtA1PF1

37、，RtQF1C1RtE1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化簡為E1F1+A1C1=AB（3）設(shè)PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=解答：（1）證明：如圖1，過點F作FMAB于點M，在正方形ABCD中，ACBD于點EAE=AC，ABD=CBD=45°，AF平分BAC，EF=MF，又AF=AF，RtAMFRtAEF，AE=AM，MFB=ABF=45°，MF=MB，MB=EF，EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB（2）E1F1，A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系：E1F1+A1

38、C1=AB證明：如圖2，連接F1C1，過點F1作F1PA1B于點P，F(xiàn)1QBC于點Q，A1F1平分BA1C1，E1F1=PF1；同理QF1=PF1，E1F1=PF1=QF1，又A1F1=A1F1，RtA1E1F1RtA1PF1，A1E1=A1P，同理RtQF1C1RtE1F1C1，C1Q=C1E1，由題意：A1A=C1C，A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB，PB=PF1=QF1=QB，A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，E1F1+A1C1=AB（3）解：設(shè)PB=x，則Q

39、B=x，A1E1=3，QC1=C1E1=2，RtA1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，即（3+x）2+（2+x）2=52，x1=1，x2=6（舍去），PB=1，E1F1=1，又A1C1=5，由（2）的結(jié)論：E1F1+A1C1=AB，AB=，BD=點評：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等有關(guān)學(xué)問正方形對角線5（2005湖州）如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則=（結(jié)果不取近似值）考點：正方形的性質(zhì)；相像三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：計算題；壓軸題分析：易證ABGDBF，可得BD：AB=BF：BG=，從而得出結(jié)果解答：解：連接BD，交GF于H；連

40、接BF四邊形ABCD與BEFG是正方形，BD：AB=BF：BG=，ABD=GBF=45°，ABG=DBF，ABGDBF，=點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)考查了相像三角形的判定和性質(zhì)15（2009廣州）如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P（1）若AG=AE，證明：AF=AH；（2）若FAH=45°，證明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）由于AG=AEBF=DHAB=AD，

41、ABC=ADHABFADH（SAS）（2）將ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，可得AFHAFM然后可求得結(jié)論（3）設(shè)BF=x，GB=y，依據(jù)線段之間的關(guān)系利用勾股定理求出xy的值解答：（1）證明：連接AH、AFABCD是正方形，AD=AB，D=B=90°ADHG與ABFE都是矩形，DH=AG，AE=BF，又AG=AE，DH=BF在RtADH與RtABF中，AD=AB，D=B=90°，DH=BF，RtADHRtABF，AF=AH（2）證明：將ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到ABM的位置在AMF與AHF中，AM=AH，AF=AF，MAF=MAHFAH=90

42、76;45°=45°=FAH，AMFAHFMF=HFMF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，AG+AE=FH（3）解：設(shè)BF=x，GB=y，則FC=1x，AG=1y，（0x1，0y1）在RtGBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2RtGBF的周長為1，BF+BG+GF=x+y+=1即=1（x+y）即x2+y2=12（x+y）+（x+y）2整理得2xy2x2y+1=0xyxy=，矩形EPHD的面積S=PHEP=FCAG=（1x）（1y）=xyxy+1=，矩形EPHD的面積是點評：本題考查正方形的特殊性質(zhì)，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的應(yīng)用29（2011防城港）如圖，

43、點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H（1）求證：EB=GD；（2）推斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EAD，得到GAD=EAB從而GADEAB，即EB=GD；（2）EBGD，由（1）得ADG=ABE則在BDH中，DHB=90°所以EBGD；（3）設(shè)BD與AC交于點O，由AB=AD=2在RtAB

44、D中求得DB，所以得到結(jié)果解答：（1）證明：在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EADGAD=EAB，四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，AG=AE，AB=AD，在GAD和EAB中，GADEAB（SAS），EB=GD；（2）解：EBGD理由如下：四邊形ABCD是正方形，DAB=90°，AMB+ABM=90°，又AEBAGD，GDA=EBA，HMD=AMB（對頂角相等），HDM+DMH=AMB+ABM=90°，DHM=180°（HDM+DMH）=180°90°=90°，EBGD（

45、3）解：連接AC、BD，BD與AC交于點O，AB=AD=2，在RtABD中，DB=，在RtAOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，OA=，即OG=OA+AG=+=2，EB=GD=點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長8（2014安徽）如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點，過P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN=60°；求證：PM+PN=3a；（2）如圖2，點O是AD的中點，連接OM、ON，求證：OM=ON；（3）如圖3，點O是AD的中點，OG平分MON，推斷四邊形OMGN是

46、否為特殊四邊形？并說明理由考點：四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）運用MPN=180°BPMNPC求解，作AGMP交MP于點G，BHMP于點H，CLPN于點L，DKPN于點K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）連接OE，由OMAONE證明，（3）連接OE，由OMAONE，再證出GOENOD，由ONG是等邊三角形和MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形，解答：解：（1）六邊形ABCDEF是正六邊形，A=B=C=D=E=F=120°又PMAB，PNCD，BPM=60°，NPC=60°，MPN=180

47、°BPMNPC=180°60°60°=60°，故答案為；60°如圖1，作AGMP交MP于點G，BHMP于點H，CLPN于點L，DKPN于點K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN正六邊形ABCDEF中，PMAB，作PNCD，AMG=BPH=CPL=DNK=60°，GM=AM，HP=BP，PL=PC，NK=ND，AM=BP，PC=DN，MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a（2）如圖2，連接OE，六邊形ABCDEF是正六邊形，ABMP，PNDC，AM=BP=E

48、N，MAO=OEN=60°，OA=OE，在ONE和OMA中，OMAONE（SAS）OM=ON（3）如圖3，連接OE，由（2）得，OMAONEMOA=EON，EFAO，AFOE，四邊形AOEF是平行四邊形，AFE=AOE=120°，MON=120°，GON=60°，GOE=60°EON，DON=60°EON，GOE=DON，OD=OE，ODN=OEG，在GOE和DON中，GOENOD（ASA），ON=OG，又GON=60°，ONG是等邊三角形，ON=NG，又OM=ON，MOG=60°，MOG是等邊三角形，MG=GO=

49、MO，MO=ON=NG=MG，四邊形MONG是菱形點評：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鰩椭€，依據(jù)三角形全等找出相等的線段三、制造全等三角形5（2012重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作MECD于點E，1=2（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)全部專題：綜合題；壓軸題分析：（1）依據(jù)菱形的對邊平行可得ABCD，再依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得1=ACD，所以ACD=2，依據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE，

50、然后求出CD的長度，即為菱形的邊長BC的長度；（2）先利用“邊角邊”證明CEM和CFM全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=MF，延長AB交DF于點G，然后證明1=G，依據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用“角角邊”證明CDF和BGF全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=DF，最終結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證解答：（1）解：四邊形ABCD是菱形，ABCD，1=ACD，1=2，ACD=2，MC=MD，MECD，CD=2CE，CE=1，CD=2，BC=CD=2；（2）證明：如圖，F(xiàn)為邊BC的中點，BF=CF=BC，CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD，在CEM和

51、CFM中，CEMCFM（SAS），ME=MF，延長AB交DF的延長線于點G，ABCD，G=2，1=2，1=G，AM=MG，在CDF和BGF中，CDFBGF（AAS），GF=DF，由圖形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作出幫助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵12（2014南平）在圖1、圖2、圖3、圖4中，點P在線段BC上移動（不與B、C重合），M在BC的延長線上（1）如圖1，ABC和APE均為正三角形，連接CE求證：ABPACEECM的度數(shù)為60°（2）如圖2，若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE則ECM的度數(shù)為45°如圖3，若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE則EC