英語學習格林公式PPT學習教案

1、會計學1,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第1頁/共39頁zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 第2頁/共39頁原點 O 的距離成正比,例例

2、1. 設一個質點在),(yxM處受恒指向原點,)0,(aA沿橢圓此質點由點12222byax沿逆時針移動到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB解解:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF第3頁/共39頁)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd解解:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddO

3、Axd第4頁/共39頁yAxoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域為D , 則6483第5頁/共39頁一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關的二、平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件格林公式及其應用 第6頁/共39頁LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內部靠左域

4、的內部靠左定理定理1. 設閉區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或第7頁/共39頁1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD第8頁/共39頁即yxxQDdd

5、LyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd第9頁/共39頁yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢格格林林公公式式的的實實質質: : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.第10頁/共39頁LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積Lxyy

6、xAdd212022d)sincos(21ababab第11頁/共39頁設 L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00第12頁/共39頁,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye第13頁/共39頁,dd22Lyxxyyx其中L

7、為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx22222)(yxxyxQ設 L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL第14頁/共39頁dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當D在D 內作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得第15頁/共39頁xyoL解解 引引入入輔輔助助曲曲線線

8、L,1 1） 簡化曲線積分簡化曲線積分ABDBOABOAL 應應用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有第16頁/共39頁 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 第17頁/共39頁yAxoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域為D , 則6483第18頁/共39頁例例 2 2

9、 計計算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2 2）簡化二重積分）簡化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,第19頁/共39頁應應用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第20頁/共39頁格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 Lxdy

10、A取取, 0, QyP 得得 LydxA3 3）計算平面面積）計算平面面積第21頁/共39頁曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計計算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第22頁/共39頁 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM第23頁/共39頁定理定理2. 設D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù),(

11、1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內是某一函數(shù)的全微分,即 第24頁/共39頁說明說明: 當積分與路徑無關時, 曲線積分可記為 設21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPd

12、d2ddLyQxP第25頁/共39頁在D內取定點),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 第26頁/共39頁設存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內具有連續(xù)的偏導數(shù),xyuyxu22所以從而在D內

13、每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,第27頁/共39頁設L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在 DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為證畢第28頁/共39頁yx根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內,xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0

14、d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;第29頁/共39頁yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設,22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx第30頁/共39頁22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)

15、0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx第31頁/共39頁oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy第32頁/共39頁作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動到, )0,2(B求力場所作的功W解解:)dd(2Lyxx

16、yrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd第33頁/共39頁:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關 !第34頁/共39頁例例6. 設,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412注注:時022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(第35頁/共39頁1. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內與路徑無關.yPxQ在 D 內有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內有設 P, Q 在 D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則有第36頁/共39頁, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求解解:)