電路與電子技術簡明教程-邏輯代數(shù)基礎

1、電路與電子技術簡明教程-邏輯代數(shù)基礎7. 數(shù)制和數(shù)碼7.數(shù)制和數(shù)碼十進制7.1.1一般用數(shù)字表示物理量時，一般用數(shù)字表示物理量時， 僅有一位數(shù)碼往往不夠，僅有一位數(shù)碼往往不夠， 人們經常人們經常會使用進位計數(shù)構成的多位數(shù)碼來使用。人們把多位數(shù)碼中每會使用進位計數(shù)構成的多位數(shù)碼來使用。人們把多位數(shù)碼中每一位的構成方法及從低位到高位的進位規(guī)則稱為數(shù)制。一位的構成方法及從低位到高位的進位規(guī)則稱為數(shù)制。第七章 邏輯代數(shù)基礎日常生活中使用最多的就是十進制，日常生活中使用最多的就是十進制， 有有 十個數(shù)碼，十個數(shù)碼， 基數(shù)為基數(shù)為 。各個數(shù)碼處于十進制的不同數(shù)位時，各個數(shù)碼處于十進制的不同數(shù)位時， 所代表

2、的數(shù)值不同，所代表的數(shù)值不同， 即所對應的權值即所對應的權值不同。其中低位和相鄰高位之間的關系是不同。其中低位和相鄰高位之間的關系是“逢十進一逢十進一” ， 故稱為十進制。故稱為十進制。任何一個十進制數(shù)任何一個十進制數(shù)D 可展開為可展開為7.數(shù)制和數(shù)碼八進制和十六進制7.1.3第七章 邏輯代數(shù)基礎二進制數(shù)只有二進制數(shù)只有 和和 兩個數(shù)值，兩個數(shù)值， 運算簡單，運算簡單， 有布爾代數(shù)作理有布爾代數(shù)作理論基礎，論基礎， 所以在數(shù)字電路中常用二進制數(shù)完成運算，所以在數(shù)字電路中常用二進制數(shù)完成運算， 每位二進每位二進制數(shù)的權是制數(shù)的權是 的冪。的冪。 ，其運算規(guī)則為，其運算規(guī)則為“逢逢二進一，二進一，

3、 借一作二借一作二” 。7.數(shù)制和數(shù)碼十進制與二進制之間的轉換7.1.2第七章 邏輯代數(shù)基礎.二進制轉換為十進制.二進制轉換為十進制二進制轉換為十進制 于是將一非十進制于是將一非十進制數(shù)按權展開成一個多項式，數(shù)按權展開成一個多項式， 每項是該項數(shù)碼與相應權值的乘每項是該項數(shù)碼與相應權值的乘積，積， 把等值的數(shù)碼和權用等值十進制表示即可。把等值的數(shù)碼和權用等值十進制表示即可。7.數(shù)制和數(shù)碼十進制與二進制之間的轉換7.1.4第七章 邏輯代數(shù)基礎.十進制轉換為二進制） 整數(shù)部分的轉換整數(shù)部分的轉換整數(shù)部分的轉換采用基數(shù)連除法。所謂基數(shù)連除法就是用目的整數(shù)部分的轉換采用基數(shù)連除法。所謂基數(shù)連除法就是用

4、目的數(shù)制的基數(shù)去除十進制整數(shù)，數(shù)制的基數(shù)去除十進制整數(shù)， 第一次所得余數(shù)為目的數(shù)的最第一次所得余數(shù)為目的數(shù)的最低位，低位， 得到的商再除基數(shù)，得到的商再除基數(shù)， 直到所得商為直到所得商為 ， 所得余數(shù)為目所得余數(shù)為目的數(shù)最高位。的數(shù)最高位。） 小數(shù)部分的轉換小數(shù)部分的轉換小數(shù)部分的轉換采用基數(shù)連乘法。所謂基數(shù)連乘法，小數(shù)部分的轉換采用基數(shù)連乘法。所謂基數(shù)連乘法， 就是用就是用該小數(shù)乘目的數(shù)制的基數(shù)，該小數(shù)乘目的數(shù)制的基數(shù)， 第一次乘的結果的整數(shù)部分為目第一次乘的結果的整數(shù)部分為目的數(shù)的小數(shù)的最高位，的數(shù)的小數(shù)的最高位， 其小數(shù)部分再乘基數(shù)，其小數(shù)部分再乘基數(shù)， 所得結果的整所得結果的整數(shù)部分為

5、目的數(shù)小數(shù)的次高位，數(shù)部分為目的數(shù)小數(shù)的次高位， 以此類推，以此類推， 直到小數(shù)部分為直到小數(shù)部分為 ， 或達到要求精度為止?；蜻_到要求精度為止。7.數(shù)制和數(shù)碼BCD 編碼7.1.5第七章 邏輯代數(shù)基礎1. 編碼在數(shù)字系統(tǒng)中，在數(shù)字系統(tǒng)中， 各種數(shù)值需要轉換為二進制代碼才能進行處各種數(shù)值需要轉換為二進制代碼才能進行處理，理， 而人們習慣使用的是十進制數(shù)。這樣就產生了用而人們習慣使用的是十進制數(shù)。這樣就產生了用 位二位二進制來表示進制來表示 位十進制的編碼方法。這種用于表示十進制的位十進制的編碼方法。這種用于表示十進制的二進制代碼稱為二十進制代碼（二進制代碼稱為二十進制代碼（Binary Cod

6、ed Decimal） ， 簡稱為簡稱為BCD 碼碼8421 編碼是編碼是BCD 編碼中使用最多的一種編碼形式，編碼中使用最多的一種編碼形式， 是有權是有權碼（從高位到低位）碼（從高位到低位） 其四位的權分別是其四位的權分別是 、 、 、 。如果把每一個碼看成如果把每一個碼看成 個個 位二進制，位二進制， 則代碼的數(shù)值正好則代碼的數(shù)值正好等于其所代表的十進制大小。等于其所代表的十進制大小。7.數(shù)制和數(shù)碼BCD 編碼7.1.5第七章 邏輯代數(shù)基礎2. 編碼 碼也是一種有權碼，碼也是一種有權碼， 該碼也是用該碼也是用 位二進制代碼位二進制代碼來表示來表示 位十進制數(shù)，位十進制數(shù)， 從高位到低位的權

7、分別是從高位到低位的權分別是 、 、 、 。 的權展開式可寫成：的權展開式可寫成：7.數(shù)制和數(shù)碼BCD 編碼7.1.5第七章 邏輯代數(shù)基礎.余 碼余余 碼也是用碼也是用 位二進制代碼表示位二進制代碼表示 位十進制數(shù)，位十進制數(shù)， 由于它由于它是在是在BCD 碼上加碼上加 得到的，得到的， 所以這種編碼所以這種編碼方式稱為余方式稱為余 碼。碼。第七章 邏輯代數(shù)基礎7.2 基本邏輯關系7.2 基本邏輯關系與邏輯7.2.1第七章 邏輯代數(shù)基礎圖（圖（a） 表示一個簡單的與邏輯電路，表示一個簡單的與邏輯電路， 只有當只有當A 和和B 同時接同時接通時，通時， 燈才會亮。燈才會亮。7.2 基本邏輯關系與

8、邏輯7.2.1第七章 邏輯代數(shù)基礎A 和和B 只要有只要有 個不接通或者二者均不通，個不接通或者二者均不通， 燈不亮，燈不亮， 其真其真值表如圖（值表如圖（b） 表示。表示。7.2 基本邏輯關系與邏輯7.2.1第七章 邏輯代數(shù)基礎如果用二值邏輯如果用二值邏輯 和和 來表示，來表示， 并設開關不通和燈不亮均并設開關不通和燈不亮均用用 表示，表示， 開關接通和燈亮用開關接通和燈亮用 表示，表示， 則得圖（則得圖（c） ， 其其中中F 表示燈的狀態(tài)。用邏輯表達式來描述，表示燈的狀態(tài)。用邏輯表達式來描述， 可寫為可寫為7.2 基本邏輯關系與邏輯7.2.1第七章 邏輯代數(shù)基礎也有用符號也有用符號 、 表

9、示與運算的。用與邏輯門實現(xiàn)與運算，表示與運算的。用與邏輯門實現(xiàn)與運算， 其邏輯符號如圖（其邏輯符號如圖（d） 所示。所示。7.2 基本邏輯關系或邏輯7.2.2第七章 邏輯代數(shù)基礎圖（圖（a） 表示一個簡單的或邏輯電路，表示一個簡單的或邏輯電路， 電壓通過開關電壓通過開關A 或者或者B 向燈泡供電。只要開關向燈泡供電。只要開關A 或或B 接通或二者都接通，接通或二者都接通， 則燈亮則燈亮，7.2 基本邏輯關系或邏輯7.2.2第七章 邏輯代數(shù)基礎當當A 和和B 都不通，都不通， 則燈不亮。其真值表如圖（則燈不亮。其真值表如圖（b） 所示。所示。7.2 基本邏輯關系或邏輯7.2.2第七章 邏輯代數(shù)基

10、礎用用 和和 真值表表示，真值表表示， 則得則得圖（圖（c） 。若用邏輯表達式來。若用邏輯表達式來描述，描述， 則可寫為則可寫為式中式中“ ” 表示表示A 與與B 的或運的或運算，算， 也表示邏輯加。在某些文也表示邏輯加。在某些文獻里，獻里， 也有用符號也有用符號 、表示表示或運算的。用與邏輯門實現(xiàn)或或運算的。用與邏輯門實現(xiàn)或運算，運算， 其邏輯符號如圖（其邏輯符號如圖（d） 所示。所示。7.2 基本邏輯關系或邏輯7.2.2第七章 邏輯代數(shù)基礎用用 和和 真值表表示，真值表表示， 則得則得圖（圖（c） 。若用邏輯表達式來。若用邏輯表達式來描述，描述， 則可寫為則可寫為式中式中“ ” 表示表示A

11、 與與B 的或運的或運算，算， 也表示邏輯加。在某些文也表示邏輯加。在某些文獻里，獻里， 也有用符號也有用符號 、表示表示或運算的。用與邏輯門實現(xiàn)或或運算的。用與邏輯門實現(xiàn)或運算，運算， 其邏輯符號如圖（其邏輯符號如圖（d） 所示。所示。7.2 基本邏輯關系非邏輯7.2.3第七章 邏輯代數(shù)基礎如圖（如圖（a） 所示，所示， 電壓通過開關電壓通過開關A 向燈供電。當開關向燈供電。當開關A 接通，接通， 燈不亮，燈不亮， 當當A 不通，不通， 則燈亮。則燈亮。7.2 基本邏輯關系非邏輯7.2.3第七章 邏輯代數(shù)基礎其真值表如圖（其真值表如圖（b） 所示。因此可總結出第三種邏輯關系：所示。因此可總結

12、出第三種邏輯關系： 一個事件（燈亮）一個事件（燈亮） 的發(fā)生是以其相反的條件作為依據。的發(fā)生是以其相反的條件作為依據。7.2 基本邏輯關系非邏輯7.2.3第七章 邏輯代數(shù)基礎用用 和和 真值表表示，真值表表示， 則得則得圖（圖（c） 。若用邏輯表達式來。若用邏輯表達式來描述，描述， 則可寫為則可寫為式中，式中， 字母字母A 上方的短劃線上方的短劃線“ ” 表示非運算表示非運算7.2 基本邏輯關系非邏輯7.2.3第七章 邏輯代數(shù)基礎用與邏輯門實現(xiàn)或運算，用與邏輯門實現(xiàn)或運算， 其邏輯符號如圖（其邏輯符號如圖（d） 所示。所示。7.2 基本邏輯關系其他邏輯關系7.2.4第七章 邏輯代數(shù)基礎在數(shù)字系

13、統(tǒng)中，在數(shù)字系統(tǒng)中， 除了與門、或門、非門外，除了與門、或門、非門外， 還有廣泛使用的與還有廣泛使用的與非門、或非門、與或非門、異或門、同或門等復合門電路。這非門、或非門、與或非門、異或門、同或門等復合門電路。這些門的邏輯關系都是由些門的邏輯關系都是由“與與” 、“或或” 、“非非” 三種基本邏三種基本邏輯關系組合得到的，輯關系組合得到的， 故稱為復合邏輯。故稱為復合邏輯?！芭c非與非” 邏輯（邏輯（NAND Logic） 運算實現(xiàn)先運算實現(xiàn)先“與與” 后后“非非” 的的邏輯運算。其表達式為邏輯運算。其表達式為.“與非” 邏輯7.2 基本邏輯關系其他邏輯關系7.2.4第七章 邏輯代數(shù)基礎“或非或

14、非” 邏輯（邏輯（NOR Logic） 運算實現(xiàn)先運算實現(xiàn)先“或或” 后后“非非” 的的邏輯運算。其表達式為邏輯運算。其表達式為其邏輯符號如圖（其邏輯符號如圖（a） ， 真值表如圖（真值表如圖（b） 所示，所示， 其邏輯關系其邏輯關系為：為： “有有 出出 ，全，全 為為”2. “或非” 邏輯7.2 基本邏輯關系其他邏輯關系7.2.4第七章 邏輯代數(shù)基礎“與或非與或非” 邏輯運算實現(xiàn)先邏輯運算實現(xiàn)先“與與” 后后“或或” 再再“非非” 的邏輯的邏輯運算。其表達式為運算。其表達式為其邏輯符號如圖所示。其邏輯符號如圖所示。3. “與或非” 邏輯7.2 基本邏輯關系其他邏輯關系7.2.4第七章 邏輯

15、代數(shù)基礎“異或異或” 邏輯（邏輯（XOR Logic） 運算時將兩路輸入進行比較，運算時將兩路輸入進行比較， 不相同輸出為不相同輸出為 ， 相同輸相同輸出為出為 。異或對應的邏輯。異或對應的邏輯表達式為表達式為實現(xiàn)異或運算的電路稱為異實現(xiàn)異或運算的電路稱為異或門，或門， 邏輯符號如圖所示。邏輯符號如圖所示。4. “異或” 邏輯7.2 基本邏輯關系集成邏輯元件7.2.5第七章 邏輯代數(shù)基礎TTL 集成電路產品主要有集成電路產品主要有 、H 、S 、LS 等等系列，系列， S 系列傳輸速度最快（系列傳輸速度最快（ms） ， LS 功耗最功耗最低（低（mW） 。這里僅介紹。這里僅介紹LS 。它是。它

16、是 輸入四輸入四與非門。此元件的封裝是雙排列直插式，與非門。此元件的封裝是雙排列直插式， 共有共有 個管腳，個管腳， 集成有四組集成有四組 輸入端的與非門，輸入端的與非門， 腳為電源。腳為電源。Vcc V ， 腳為地。其余為各組輸入、輸出端，腳為地。其余為各組輸入、輸出端， 如圖如圖 所示。所示。1.常用TTL 集成門電路簡介7.2 基本邏輯關系集成邏輯元件7.2.5第七章 邏輯代數(shù)基礎由于使用了場效應管的結果，由于使用了場效應管的結果， CMOS 門的輸入電阻大、功耗門的輸入電阻大、功耗低、電壓范圍廣（低、電壓范圍廣（V DD 318V） 、抗干擾性能強。其輸出、抗干擾性能強。其輸出低電壓低

17、于低電壓低于0.05V ， 輸出高電壓大于（輸出高電壓大于（VDD 0.05） V ， 輸輸入高電平時允許的最低電壓為暢入高電平時允許的最低電壓為暢V DD ， 輸入低電平時輸入低電平時允許的最高電壓為允許的最高電壓為0.3V DD 。噪聲容限近。噪聲容限近0.3V DD ， 表示干擾信表示干擾信號小于號小于0.3VDD 時，時， 不會使門邏輯出錯。不會使門邏輯出錯。圖圖7-10所示為二輸入四或非所示為二輸入四或非CMOS 門，門， 型號為型號為4001 。2.常用集成CMOS 門電路簡介第七章 邏輯代數(shù)基礎7.3 邏輯函數(shù)的運算7.3邏輯函數(shù)的運算基本定律和規(guī)則7.3.1第七章 邏輯代數(shù)基礎

18、1.基本定律7.3邏輯函數(shù)的運算基本定律和規(guī)則7.3.1第七章 邏輯代數(shù)基礎.若干常用公式下面給出幾個常用公式，下面給出幾個常用公式， 這些公式都是通過基本定律推出的。在公式法化這些公式都是通過基本定律推出的。在公式法化簡時，簡時， 直接運用這些公式可以給化簡邏輯函數(shù)帶來方便。直接運用這些公式可以給化簡邏輯函數(shù)帶來方便。上式表明，上式表明， 當兩個與項相加，當兩個與項相加， 若一項以另一項為因子，若一項以另一項為因子， 則該項多余則該項多余。該表達式說明，該表達式說明， 當一項取反以后是另一項的因子，當一項取反以后是另一項的因子， 則該因子是多則該因子是多余的，余的， 可以去掉?？梢匀サ?。該證

19、明表示，該證明表示， 當兩個乘積項分別含有當兩個乘積項分別含有 兩個因子，兩個因子， 則則這兩個與項的其他因子組成的第三項多余。這兩個與項的其他因子組成的第三項多余。7.3邏輯函數(shù)的運算基本定律和規(guī)則7.3.1第七章 邏輯代數(shù)基礎3.邏輯函數(shù)運算規(guī)則） 代入規(guī)則對于任何一個含有變量A 的等式， 如果所有出現(xiàn)A 的地方都以另一個邏輯式代替，則等式仍然成立。） 反演規(guī)則對于邏輯函數(shù)F ， 將表達式中的所有“ ” 換成“ ” ， “ ” 換成“ . ” ， 常量換成 ， 常量 換成 ， 所有原變量換成反變量， 所有反變量換成原變量， 即得反函數(shù) 。在求反演式過程中還需遵循以下兩個原則：（） 仍遵循“

20、先括號， 然后乘， 最后加” 的運算次序， 且運算順序與原式相同。（） 兩個變量以上的反號保留。7.3邏輯函數(shù)的運算基本定律和規(guī)則7.3.1第七章 邏輯代數(shù)基礎3.邏輯函數(shù)運算規(guī)則） 代入規(guī)則對于任何一個含有變量A 的等式， 如果所有出現(xiàn)A 的地方都以另一個邏輯式代替，則等式仍然成立。） 反演規(guī)則對于邏輯函數(shù)F ， 將表達式中的所有“ ” 換成“ ” ， “ ” 換成“ . ” ， 常量換成 ， 常量 換成 ， 所有原變量換成反變量， 所有反變量換成原變量， 即得反函數(shù) 。） 對偶規(guī)則在介紹對偶規(guī)則前先定義對偶式。設F 為邏輯表達式， 如果將F 中所有的“ ” 換成“ ” ， “ ” 換成“

21、” ， 換成 ， 換成 ， 而變量保持不變， 則所得新的邏輯式就稱為F 的對偶式， 記為F 。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎1.真值表將輸入變量所有取值情況及其相將輸入變量所有取值情況及其相應的輸出結果，應的輸出結果， 全部列表表示，全部列表表示， 即為真值表。即為真值表。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎2.邏輯表達式將輸入輸出關系寫成與或非等邏輯運算的組合式，將輸入輸出關系寫成與或非等邏輯運算的組合式， 稱為邏輯稱為邏輯表達式，表達式， 簡稱邏輯式。簡稱邏輯式。如圖所示判決電路，如圖所示判決電路， 當當A 閉合，閉合，

22、 B 和和C 中至少一個閉合，中至少一個閉合， 則則可表示為可表示為A BC A B C A BC ， 故其邏輯表達式為故其邏輯表達式為F A B A C7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎3.邏輯圖將邏輯表達式中的與或非將邏輯表達式中的與或非等運算關系用相應的邏輯等運算關系用相應的邏輯符號表示出來，符號表示出來， 即為邏輯即為邏輯圖表示。如圖所示的判決圖表示。如圖所示的判決電路，電路， 其邏輯圖如圖所示。其邏輯圖如圖所示。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎4.不同表示方法的相互轉換（1） 真值表與邏輯式之間的相互轉換真值表轉換

23、為邏輯表達式， 找出真值表中輸出為1的乘積項相或， 對應的輸入變量， 1 寫成原變量，0寫成反變量。） 邏輯式與邏輯圖之間的相互轉換邏輯表達式轉換成邏輯圖的方法，將邏輯符號用邏輯圖畫出來。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎5.邏輯表達式的標準表達式在介紹標準表達式之前， 先介紹最大項和最小項的定義。） 最小項對于n 個變量的邏輯函數(shù)， 存在m 個包含這n 個變量的乘積項， 這n 個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次， 則稱乘積項m 為該組變量的最小項。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)的表示方法7.3.2第七章 邏輯代數(shù)基礎5.邏輯表達式的標準表達式） 最大項對于n 個變量的邏輯函數(shù)， 存在m 個包含這n 個變量的或項， 這n 個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次， 則稱或項m 為該組變量的最大項。7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡7.3.3第七章 邏輯代數(shù)基礎1.合并項法利用公式 將兩項合并， 由代數(shù)規(guī)則A 和B 可以用任何復雜邏輯代替。利用公式 或者常用公式 利用公式 消去多余因子。 利用A A A 和公式.吸收法3.消因子法4.配項法7.3邏輯函數(shù)的運算邏輯函數(shù)卡諾圖化簡7.3.4第七章 邏輯代數(shù)基礎1.卡諾圖構成將n 個變量的全部最小項用小方格表示， 并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置。（） n 個變量的卡諾圖有 個方格， 每個方格