第2章線性代數(shù)基礎(chǔ)1

1、2.1 2.1 線性空間線性空間2.2 2.2 內(nèi)積空間內(nèi)積空間2.3 2.3 線性變換線性變換2.4 2.4 線性變換的矩陣表示和空間的同構(gòu)線性變換的矩陣表示和空間的同構(gòu)2.5 2.5 線性變換的最簡(jiǎn)矩陣表示線性變換的最簡(jiǎn)矩陣表示第第2 2章章 線性代數(shù)基礎(chǔ)線性代數(shù)基礎(chǔ)11. 1. 線性空間線性空間 向量空間是幾何空間的推廣，線性空間是向量空間的推廣。向量空間是幾何空間的推廣，線性空間是向量空間的推廣。 線性空間是某類(lèi)客觀事物從量的方面的一個(gè)抽象，其概念是線性空間是某類(lèi)客觀事物從量的方面的一個(gè)抽象，其概念是以以n 維向量的概念及運(yùn)算法則加以抽象維向量的概念及運(yùn)算法則加以抽象, ,以公理化的形

2、式給出的。以公理化的形式給出的。本章內(nèi)容要點(diǎn)本章內(nèi)容要點(diǎn)2. 2. 線性變換線性變換 線性變換是一種特殊的映射，主要討論線性空間中元素之線性變換是一種特殊的映射，主要討論線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系。間的最基本聯(lián)系。3. 3. 矩陣的作用矩陣的作用 在線性空間和線性變換的討論中，矩陣是一個(gè)重要的工具。在線性空間和線性變換的討論中，矩陣是一個(gè)重要的工具。特別地，矩陣還是線性變換便利的表達(dá)方法。特別地，矩陣還是線性變換便利的表達(dá)方法。2： 在線性代數(shù)課程中，我們把有序數(shù)組稱(chēng)為向量，把在線性代數(shù)課程中，我們把有序數(shù)組稱(chēng)為向量，把 n 維維向量的全體所構(gòu)成的集合向量的全體所構(gòu)成的集合 Rn 稱(chēng)為稱(chēng)為

3、 n 維向量空間。一般地，如維向量空間。一般地，如果果 V 為非空的為非空的 n 維向量的集合，且集合維向量的集合，且集合 V 對(duì)于向量加法及數(shù)對(duì)于向量加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合 V 為向量空間。為向量空間。 不難驗(yàn)證，不難驗(yàn)證，2 2 維幾何空間維幾何空間 R2 和和 3 3 維幾何空間維幾何空間 R3 分別是分別是 2 2 維和維和 3 3 維向量空間；集合維向量空間；集合V = x = (0, x2, x3)T | x2, x3 R 是是 2 2 維向量空間，如圖維向量空間，如圖 1 1 所示；齊次線性方程組所示；齊次線性方程組 Ax = 0 的解的

4、解集也構(gòu)成向量空間。集也構(gòu)成向量空間。 3圖圖 1 1 二維向量二維向量空間空間 V = x = (0, x2, x3)T | x2, x3 R4 本質(zhì)上，向量空間就是滿足某些特性本質(zhì)上，向量空間就是滿足某些特性( (比如對(duì)于向量加法比如對(duì)于向量加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉) )的向量集合，它的一個(gè)直觀模型是向量的向量集合，它的一個(gè)直觀模型是向量幾何，幾何，2 2 維和維和 3 3 維幾何空間中大多數(shù)有用的結(jié)論都可以擴(kuò)展維幾何空間中大多數(shù)有用的結(jié)論都可以擴(kuò)展到向量空間。到向量空間。 定義向量空間的目的就是討論向量集合的一般性質(zhì)。定義向量空間的目的就是討論向量集合的一般性質(zhì)。 向量空

5、間定義的要素是：集合、運(yùn)算和運(yùn)算法則。向量空間定義的要素是：集合、運(yùn)算和運(yùn)算法則。 然而，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，然而，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，“向量向量”的概念不僅限于的概念不僅限于“有序數(shù)有序數(shù)組組”，符合一定條件的任何數(shù)學(xué)對(duì)象都可被當(dāng)作向量處理。線，符合一定條件的任何數(shù)學(xué)對(duì)象都可被當(dāng)作向量處理。線性空間就是向量空間的一般化，它將某類(lèi)客觀事物從量的方面性空間就是向量空間的一般化，它將某類(lèi)客觀事物從量的方面進(jìn)行抽象，并以向量及其運(yùn)算法則的形式加以描述。進(jìn)行抽象，并以向量及其運(yùn)算法則的形式加以描述。 線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的, , 它是某一類(lèi)事物它是某一類(lèi)事物從量的方面

6、的一個(gè)抽象從量的方面的一個(gè)抽象, , 即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間, , 進(jìn)而通進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. .5 由前面的討論我們知道由前面的討論我們知道: 是是n維向量空間，且維向量空間，且中間的元素對(duì)在空間上定義的向量加法和數(shù)與向量中間的元素對(duì)在空間上定義的向量加法和數(shù)與向量的乘法是封閉，并滿足八條運(yùn)算規(guī)律：的乘法是封閉，并滿足八條運(yùn)算規(guī)律：nR0,0; nnRR(3);)1( ;)2( ,; ,nRk lR 設(shè)設(shè)(4),0;nnRR 6;1)5( ;)6( kllk .)8( kkk ;)7( lklk 另外，在微積分中，區(qū)間另外

7、，在微積分中，區(qū)間a, b上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為集合記為Ca, b, 對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法是封閉對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法是封閉的，即的，即( ), ( ) , ( )( ) , ;,( ) , f xg xC a bf xg xC a bkR kf xC a b 且易驗(yàn)證運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律。且易驗(yàn)證運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律。 Ca, b中的元素并不是有序數(shù)組，卻有與中的元素并不是有序數(shù)組，卻有與 中元素間類(lèi)中元素間類(lèi)似的線性運(yùn)算。而似的線性運(yùn)算。而 與與Ca, b之間有無(wú)聯(lián)系？它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上之間有無(wú)聯(lián)系？它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有無(wú)相同之處？有無(wú)相同之處？nR

8、nR 為了普遍研究，有必要將這些研究對(duì)象不同的集合從本為了普遍研究，有必要將這些研究對(duì)象不同的集合從本質(zhì)上統(tǒng)一起來(lái)，這樣就可以舍棄具體對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，質(zhì)上統(tǒng)一起來(lái)，這樣就可以舍棄具體對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，抽象出本質(zhì)的共性。為此我們引入線性空間的概念：抽象出本質(zhì)的共性。為此我們引入線性空間的概念：7定義：設(shè)定義：設(shè) V 是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，F(xiàn) 為數(shù)域，為數(shù)域， , , , , V, 對(duì)于任意的對(duì)于任意的 , , V, 總有唯一的元素總有唯一的元素 V與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)稱(chēng) 為為 與與 的和的和(簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)加法運(yùn)算加法運(yùn)算)，記記2.1.1 2.1.1 線性空間的定義及例題線性空間的

9、定義及例題1.1.1線性空間的定義線性空間的定義總有唯一的元素總有唯一的元素d d V 與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)稱(chēng)d d 為為l l與與 的積的積(簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算),記作記作 d d ll，作作 ，且對(duì)于任意的，且對(duì)于任意的 l l F 及任意的及任意的 V ， 如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律, 那么那么, 就稱(chēng)就稱(chēng)V為為數(shù)域數(shù)域F上的線性空間上的線性空間(或向量空間或向量空間),V中元素?zé)o論其本來(lái)性質(zhì)中元素?zé)o論其本來(lái)性質(zhì)如何，統(tǒng)稱(chēng)為向量，特別，若如何，統(tǒng)稱(chēng)為向量，特別，若F=R(C)則稱(chēng)則稱(chēng)V為實(shí)為實(shí)(復(fù)復(fù))向量空間，向量空間，簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)

10、實(shí)(復(fù)復(fù))空間空間.V中的運(yùn)算稱(chēng)為線性運(yùn)算中的運(yùn)算稱(chēng)為線性運(yùn)算.2.1 2.1 線性空間線性空間8 (8) 數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律: (k+l)a = ka +la .設(shè)設(shè) , , , V, 1, l, k F, (1) 加法交換律加法交換律: a +b =b +a ; (2) 加法結(jié)合律加法結(jié)合律: (a +b ) +g =a +(b +g ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在 V, 對(duì)任一向量對(duì)任一向量a , 有有a + = a ; (4) 負(fù)元素負(fù)元素: 對(duì)任一元素對(duì)任一元素a V, 存在存在 V, 有有a + =O, 記記 = a ; (5) 數(shù)數(shù)1：1 a

11、= a ; (6) 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 數(shù)乘對(duì)加法的分配律數(shù)乘對(duì)加法的分配律: k(a +b )= ka +kb ;9 說(shuō)明說(shuō)明1. 凡滿足以上八條運(yùn)算規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為凡滿足以上八條運(yùn)算規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為線性運(yùn)算線性運(yùn)算. 說(shuō)明說(shuō)明2. 向量向量(線性線性)空間中的元素稱(chēng)為空間中的元素稱(chēng)為向量向量, 但不一定是有序但不一定是有序數(shù)組數(shù)組,也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等. . 說(shuō)明說(shuō)明3. 一個(gè)集合一個(gè)集合, 對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉, 或者或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一

12、條運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條, 則此集合就不能構(gòu)成線性空間則此集合就不能構(gòu)成線性空間.線性空間是二維、三維幾何空間及線性空間是二維、三維幾何空間及 維向量維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性. .n線性空間線性空間 是一個(gè)集合是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算101.1.2 1.1.2 線性空間的判定方法線性空間的判定方法: : 例例1 mC1112T12(,),nnyyyR T12(,),nnyyyC 定義加法：定義加法：T2211),(nnyxyxyx

13、T12(,) ,nx xx T1212(,) |,nnnRx xxxxxR 例例2 實(shí)數(shù)域上全體實(shí)數(shù)域上全體 n 維向量的集合維向量的集合kR 定義數(shù)乘：定義數(shù)乘：,),(T21nkxkxkxk 上的線性空間。上的線性空間。是數(shù)域是數(shù)域RRn (1) 如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)（復(fù)）數(shù)間的加（復(fù)）數(shù)間的加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性.T12(,) ,nx xx T1212(,) |,nnnCx xxxxxC kC kR T1212(,) |,nnnVx xxxxxC 上的線性空間。上的線性空間。是

14、數(shù)域是數(shù)域CCn上的線性空間。上的線性空間。是數(shù)域是數(shù)域CCnRnV值得注意是值得注意是 既不同于既不同于 也不同于也不同于nVnRnC13例例3 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的全體上的全體 mn 矩陣，對(duì)矩陣的加法矩陣，對(duì)矩陣的加法 和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成 R上的線性空間，記作上的線性空間，記作 Rmn,nmnmnmnmRCBA ,nmnmnmRDA l l Rmn是一個(gè)線性空間。是一個(gè)線性空間。,)(|RaaAARijnmijnm 14 例例4 次數(shù)次數(shù)不超過(guò)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的全體記作的多項(xiàng)式的全體記作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an

15、 R 對(duì)通常對(duì)通常多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成構(gòu)成向量空間向量空間.通常的多項(xiàng)式加法通常的多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律. 實(shí)際上實(shí)際上 對(duì)對(duì)p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, l l R, = (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)= l l(a0+a1x+anxn) l l p(x)=l la0+l la1x+l lanxn Pxn,所以所以Pxn對(duì)對(duì)線性運(yùn)算封

16、閉線性運(yùn)算封閉. Pxn,15 例例5 次數(shù)次數(shù)等于等于n 的多項(xiàng)式的全體記作的多項(xiàng)式的全體記作Qxn, 即即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R, an 0 對(duì)于通常的對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法不構(gòu)成不構(gòu)成向量空間向量空間. 多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算對(duì)數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算對(duì)Qxn不滿足線不滿足線性運(yùn)算的封閉性性運(yùn)算的封閉性. 實(shí)際上實(shí)際上對(duì)對(duì)p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0 R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0 Qxn. 所以所

17、以Qxn對(duì)對(duì)線性運(yùn)算不封閉線性運(yùn)算不封閉.例例6 6 在區(qū)間在區(qū)間a, b上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的上的線性空間，記作線性空間，記作Ca, b。,)()(baCxgxf Ca, b是一個(gè)線性空間。是一個(gè)線性空間。,)(| )(,上上連連續(xù)續(xù)在在baxfxfbaC ( ) , kf xC a b,)(),(baCxgxf 16 例例7 正弦函數(shù)的集合正弦函數(shù)的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, B R對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘

18、法構(gòu)成線性空間.對(duì)對(duì)s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2) Sx, l l R,由于由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)= Asin(x+B)= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx Sx,l ls1(x) = l lA1sin(x+B1)= (l lA1)sin(x+B1) Sx,所以所以, Sx是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間.AcosB=b1+b2AsinB=a1+a217 例例8 例例9 0 0m nA x 0m nA x , ,m n

19、m nACl kC 0 0 0 12lxkxS封閉，故構(gòu)成線性空間。封閉，故構(gòu)成線性空間。1212()m nm nm nA lxkxl A xk A x 例例10 mC18 (2) 一個(gè)集合一個(gè)集合, 如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的間的加加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則除了檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性外，還則除了檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性外，還必需必需檢驗(yàn)是否檢驗(yàn)是否滿足滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律八條線性運(yùn)算規(guī)律. 例例11 正實(shí)數(shù)的全體記作正實(shí)數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為:a b = ab, l l a = al l, (l l R,

20、 a, b R+)驗(yàn)證驗(yàn)證R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成(實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的)線性空間線性空間.證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意a, b R+, l l R, a b = ab R+, l l a = al l R+,所以對(duì)所以對(duì)R+上定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉上定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉. 下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律: 對(duì)任意對(duì)任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;19 下面驗(yàn)證八

21、條線性運(yùn)算規(guī)律下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律: 對(duì)任意對(duì)任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 對(duì)任意對(duì)任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 對(duì)任一元素對(duì)任一元素a R+, 存在負(fù)元素存在負(fù)元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a) = k al = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a

22、b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.= ak al = k a l a .20對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘: l l (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不構(gòu)成線性空間不構(gòu)成線性空間.例例13 n元實(shí)有序數(shù)組組成的全體元實(shí)有序數(shù)組組成的全體 Sn= x=(x1, x2, , xn)T| x1, x2, , xn R 但但1 x = 0 x,

23、故不滿足第故不滿足第(5)條運(yùn)算規(guī)律條運(yùn)算規(guī)律.即所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算即所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算, 所以所以Sn不是線性空間不是線性空間.顯然顯然, Sn對(duì)運(yùn)算封閉對(duì)運(yùn)算封閉. 例例12 21例例14 平面上不平行于某一向量平面上不平行于某一向量 a 的全體向量，對(duì)的全體向量，對(duì)通常的向量的加法和數(shù)乘不構(gòu)成線性空間，通常的向量的加法和數(shù)乘不構(gòu)成線性空間，因?yàn)榇思现胁话阆蛄恳驗(yàn)榇思现胁话阆蛄?例例15 注意：注意：22即即n階方陣階方陣A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則V關(guān)于矩陣關(guān)于矩陣?yán)?6令令 ( )( ) ,n nVf A f xR xAR 的加法和數(shù)量乘

24、法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間上的線性空間證：根據(jù)矩陣的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算可知證：根據(jù)矩陣的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算可知( )( )( ),( )( )f Ag Ah Akf Ad A其中，其中，,( ), ( ) kRh x d AR x又又V中含有中含有A的零多項(xiàng)式，即零矩陣的零多項(xiàng)式，即零矩陣0，為，為V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項(xiàng)式記為的各項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項(xiàng)式記為f(x) ，則，則 f(A)有負(fù)元素有負(fù)元素f(A). 由于矩陣的加法與數(shù)由于矩陣的加法與數(shù)乘滿足其他各條，故乘滿足其他各條，故V為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域R上的線性空

25、間上的線性空間.231.1.3 1.1.3 線性空間的性質(zhì)線性空間的性質(zhì)證明證明: 假設(shè)假設(shè)1, 2是線性空間是線性空間V中的兩個(gè)中的兩個(gè)零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.則對(duì)任何則對(duì)任何 V有有, + 1 = , + 2 = ,由于由于 1, 2 V, 則有則有 2+ 1= 2, 1+ 2= 1.所以所以 1= 1+ 2 = 2+ 1 = 2.則有則有 + =0, + =0,2. 負(fù)元素是唯一的負(fù)元素是唯一的.證明證明: 設(shè)設(shè) 的負(fù)元素為的負(fù)元素為 與與 ,所以所以= . = +0 = +( + )=( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 將向量將向量 的負(fù)元素記為

26、的負(fù)元素記為 .利用負(fù)元我們有利用負(fù)元我們有: - = +(- ) 24兩邊加上兩邊加上 即得即得 0 0； (0)0kkkk兩邊加上兩邊加上 k；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 兩邊加上兩邊加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 兩邊加上兩邊加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(01),證明：證明：254. 如果如果ll = 0, 則則 l l = 0 或或 = 0.證明證明: 如果如果l l 0, , 0011 l llll l又又那么那么, .1)1(1 l ll llll l 所以所以, = 0. 故結(jié)論成立故

27、結(jié)論成立.例例17 證明：數(shù)域證明：數(shù)域P上的線性空間上的線性空間V若含有一個(gè)非零若含有一個(gè)非零向量，則向量，則V一定含有無(wú)窮多個(gè)向量一定含有無(wú)窮多個(gè)向量.證：設(shè)證：設(shè),0V 且且121212,有k kPkkkkV1212()0kkkk又又12.kk而數(shù)域而數(shù)域P中有無(wú)限多個(gè)不同的數(shù)，所以中有無(wú)限多個(gè)不同的數(shù)，所以V中有無(wú)限中有無(wú)限多個(gè)不同的向量多個(gè)不同的向量.262.1.2 線性空間的子空間的概念線性空間的子空間的概念 對(duì)于數(shù)域?qū)τ跀?shù)域F上的線性空間上的線性空間V（簡(jiǎn)記為（簡(jiǎn)記為V(F)它的子集它的子集S關(guān)于關(guān)于V中的兩種運(yùn)算可能仍構(gòu)成線性空間中的兩種運(yùn)算可能仍構(gòu)成線性空間S，也可能不構(gòu)成線

28、性空，也可能不構(gòu)成線性空間。如：間。如：( , , )|;( , , )|sx y zxyzsx y zxyz125051都是都是 線性空間的兩個(gè)子集，線性空間的兩個(gè)子集， 對(duì)于三維向量的加法與數(shù)乘，對(duì)于三維向量的加法與數(shù)乘， 構(gòu)成線性空間；構(gòu)成線性空間； 對(duì)三維空間的加法與數(shù)乘不構(gòu)成線性空間。對(duì)三維空間的加法與數(shù)乘不構(gòu)成線性空間。 為此，我們有：為此，我們有：R3s1s2 定義定義1: 設(shè)設(shè) V 是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間, S 是是 V的一個(gè)非空子集的一個(gè)非空子集, 如如果果 S 對(duì)于對(duì)于 V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間間,

29、則稱(chēng)則稱(chēng) S 為為 V的的子空間子空間.27 定理定理1: 線性空間線性空間 V的非空子集的非空子集 S 構(gòu)成子空間的充分必要構(gòu)成子空間的充分必要條件是條件是: S對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉. 證明證明: 由于由于S是線性空間是線性空間V的子空間的子空間, 則由定義知?jiǎng)t由定義知, S對(duì)于對(duì)于V中中的線性運(yùn)算封閉的線性運(yùn)算封閉. 反之反之, 由于由于S是線性空間是線性空間V的非空子集的非空子集, 則則S中的元素必為中的元素必為V中的元素中的元素,又由于又由于S對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉,則則S中的元素的線中的元素的線性運(yùn)算就是性運(yùn)算就是V中元素在中元素在V中的運(yùn)算

30、中的運(yùn)算,因此因此, 八條運(yùn)算律中八條運(yùn)算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)顯然成立顯然成立,(1);(2)()()(5)1;(6) ()()(7)();(8) ()k lklklklkkk 故只需驗(yàn)證故只需驗(yàn)證(3), (4)兩條成立兩條成立, 即零元素即零元素在在S中中, 且且S中元素的負(fù)中元素的負(fù)元素也在元素也在S中中. 對(duì)任意的對(duì)任意的 S, 則則 R, 由運(yùn)算的封閉性知由運(yùn)算的封閉性知: 0 S, 而而0 = , 故故 S, 從而從而(3)成立成立. 再由再由(1) R, 則則(1) S, 且且 +(1) = , 所以所以 的負(fù)元素就的負(fù)元素就是是(1) ,

31、 從而從而(4)成立成立.所以所以S是線性空間是線性空間V的子空間的子空間.28110(1), ,;0bWb c dRcd., 0000)2(2 RcbacbacbaW 例例1 線性空間線性空間R2 3的下列子集是否構(gòu)成的下列子集是否構(gòu)成R2 3的子空間的子空間? 為為什么什么?解解(1) W1不構(gòu)成子空間不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì),0000011WBA 有有000002AB即即W1對(duì)矩陣加法不封閉對(duì)矩陣加法不封閉, 故不構(gòu)成故不構(gòu)成R2 3的子空間的子空間. W1.,0000002W 對(duì)任意對(duì)任意2222111000,000WcbaBcbaA (2) 因因故故W2非空非空.29,000000

32、2W 對(duì)任意對(duì)任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有于是于是 212121000ccbbaaBA(2) 因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,滿足滿足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此, 有有A+B W2, 即即W2對(duì)加法封閉對(duì)加法封閉.對(duì)任意的對(duì)任意的k R, 有有,000111 kckbkakA有有ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此因此, 有有kA W2, 即即W2對(duì)數(shù)乘封閉對(duì)數(shù)乘封閉.從而從而, W2構(gòu)成構(gòu)成R2 3的子空間的子空間.30定義定義2設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，上

33、的一個(gè)線性空間，, .iiV kF is 1 .,;,1111為該線性組合的系數(shù)為該線性組合的系數(shù)稱(chēng)稱(chēng)組合組合的一個(gè)線性的一個(gè)線性為為則稱(chēng)向量則稱(chēng)向量sssskkkk 若若V中向量中向量 可以表成可以表成 的線性組合，即存的線性組合，即存在在 使得使得則稱(chēng)則稱(chēng) 可由可由 線性表示。線性表示。 1,s1,skkF 11sskk 1,s31設(shè)設(shè) V是線性空間是線性空間, S 是是 V的非空子集的非空子集, 則則 1122,1,2, mmiiWkkkS kF im是是 V中包含中包含 S 的最小子空間的最小子空間.當(dāng)當(dāng) S = 為有限集時(shí)為有限集時(shí), 記記12,m 12,mWL 稱(chēng)稱(chēng)W為由為由12,

34、m 生成（張成）的子空間生成（張成）的子空間.簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)W為由為由12,m 的張空間的張空間.記記W為為 或或12, , ,mW 12, , ,mWspan特別地特別地 為為V的子空間。的子空間。 Wspan32證明：證明：由由1122,1,2, mmiiWkkkS kF im顯然顯然 ，設(shè)，設(shè) ，則存在，則存在 及及WS W，12111, , , mS 1212, , mnk kkl llF使得：使得：1122mmkkk1122mmlll于是：于是：11221122()()mmmmkkklllW又又 ，也有：，也有：kF 1122mmkkkkkkkW所以：所以： 是是V 的一個(gè)子空間，再設(shè)的一

35、個(gè)子空間，再設(shè)W*是是V中包含中包含S的子空間，對(duì)的子空間，對(duì) 則有則有W W12, , ,mS1122mmkkk又又 且是線性空間，且是線性空間，*WS故故1122*mmkkkW331212,mmLL 12,m 與與12,m 等價(jià)等價(jià).從而從而 ，因此，因此W中包含中包含S的最小子空間。的最小子空間。*WW證明：證明：必要性是顯然的。必要性是顯然的。 充分性：若充分性：若12,m 與與12,m 等價(jià)等價(jià).則則 中任一向量都可由中任一向量都可由線性表示，即線性表示，即 故故12,m 12,m 1122immlll12, mL(1,2,)im1212, mmLL同理有同理有 1212, mmLL

36、所以有：所以有：1212,mmLL 34例例2 設(shè)設(shè) V為線性空間為線性空間, 則則0和和V是是V的兩個(gè)子空間，稱(chēng)為的兩個(gè)子空間，稱(chēng)為 V的的平凡子空間平凡子空間,其它子空間稱(chēng)為其它子空間稱(chēng)為非平凡子空間非平凡子空間.例例3 證明：證明：35 例例4 次數(shù)次數(shù)不超過(guò)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的全體記作的多項(xiàng)式的全體記作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R 對(duì)通常對(duì)通常多項(xiàng)式加法多項(xiàng)式加法, 數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成構(gòu)成向量空間向量空間.36設(shè)設(shè), x | Ax = 0m nAFS是是nF的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間,記作記作N(A), 稱(chēng)為

37、齊次線性方程組的解空間稱(chēng)為齊次線性方程組的解空間, 或矩陣或矩陣, x | Ax = bm nAFS不是不是nF的子空間的子空間.A的零空間，由矩陣行向量生成的空間稱(chēng)為矩陣的行空的零空間，由矩陣行向量生成的空間稱(chēng)為矩陣的行空間，由矩陣列向量生成的空間稱(chēng)為矩陣的列空間，分別間，由矩陣列向量生成的空間稱(chēng)為矩陣的列空間，分別記為：記為： 它們都是它們都是 的子空間。的子空間。( ), ()TR A R AnF(1) N(A)是由齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系生成的是由齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系生成的nF的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間,（2）如果向量組）如果向量組12p , , , ,和和*12p , , , ,為

38、方程組為方程組 Ax0 的兩個(gè)基礎(chǔ)解系，則的兩個(gè)基礎(chǔ)解系，則1 12212|,pppSkkkk kk為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)*1 12212| , ,pppSllll ll為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)37定義定義3：設(shè)設(shè) 是線性空間是線性空間V的兩個(gè)子空間，則的兩個(gè)子空間，則V的子的子 集合集合: 12,W W1212 , ,WWWW12212,WWWW分別稱(chēng)為兩個(gè)子空間的交與和分別稱(chēng)為兩個(gè)子空間的交與和.要注意的是：要注意的是： 是是 中的任一元素與中的任一元素與 中任一元素的和中任一元素的和組成的集合，這與組成的集合，這與 的概念不同。的概念不同。12WW1W2W12WW定理定理 3 如果如果V1 ,

39、 V2 是線性空間是線性空間 V 的兩個(gè)子空的兩個(gè)子空間間, 那么它們的交那么它們的交V1 V2 也是也是 V 的子空間的子空間.證明證明首先，由首先，由 0 V1 ， 0 V2 ， 可知可知 0 V1 V2 ，因而，因而 V1 V2 是非空的是非空的.其次其次, 如果如果 , V1 V2 , 即即 , V1 ，而且，而且 , V2 ， 那么那么38 + V1 ， + V2 ，對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明.所以所以V1 V2 是是 V 的的子空間子空間.因此因此 + V1 V2 .推廣推廣 多個(gè)子空間的交多個(gè)子空間的交 121|,1,2,3,ssiiiVVVVV is 為線

40、性空間為線性空間V的子空間，則集合的子空間，則集合12,sV VV也為也為V的子空間，稱(chēng)為的子空間，稱(chēng)為 的交空間的交空間. 12,sV VV子空間的交的運(yùn)算規(guī)律子空間的交的運(yùn)算規(guī)律1) 交換律交換律 V1 V2 = V2 V1 ；2) 結(jié)合律結(jié)合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .39定理定理 4 如果如果V1 , V2 是線性空間是線性空間 V 的兩個(gè)子空的兩個(gè)子空間，那么它們的和間，那么它們的和 V1 + V2 也是也是 V 的子空間的子空間. = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 + = ( 1 + 1

41、 ) + ( 2 + 2 ) .證明證明其次其次 , 如果如果 , 首先，由首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知，可知 0 V1 + V2 ，因而，因而 V1 + V2 是非空的是非空的.V1 + V2 , 即即又因?yàn)橛忠驗(yàn)?V1 , V2 是子空間，故有是子空間，故有 1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此因此 + V1 + V2 .同理同理k = k 1 + k 2 V1 + V2 .所以，所以， V1 + V2 是是 V 的子空間的子空間.40 推廣推廣 多個(gè)子空間的和多個(gè)子空間的和 12|,1,2,3,siiV is為線性空間為線性空間V的子空間，則集合的子空間，則集合12,

42、sV VV也為也為V的子空間，稱(chēng)為的子空間，稱(chēng)為 的和空間的和空間. 12,sV VV121sisiVVVV 子空間的和的運(yùn)算規(guī)律子空間的和的運(yùn)算規(guī)律1) 交換律交換律 V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 結(jié)合律結(jié)合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .41性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè)設(shè) V1 , V2 , W 都都是子空間，那么由是子空間，那么由W V1 與與 W V2 可推出可推出 W V1 V2 ；而由而由W V1 與與 W V2可推出可推出 W V1 + V2 .性質(zhì)性質(zhì) 2 對(duì)于子空間對(duì)于子空間 V1 , V2 , 以下三個(gè)論斷是以下三個(gè)論斷是等價(jià)的：等

43、價(jià)的：1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .子空間的交與和的性質(zhì)子空間的交與和的性質(zhì)42V的兩子空間的并集未必為的兩子空間的并集未必為V的子空間的子空間. 例如例如 注意：注意：12( ,0,0),(0, ,0)VaaRVbbR皆為皆為R3的子空間，但是它們的并集的子空間，但是它們的并集 12( ,0,0),(0, ,0) ,VVaba bR 并不是并不是R3的子空間的子空間. 因?yàn)樗鼘?duì)因?yàn)樗鼘?duì)R3的運(yùn)算不封閉，如的運(yùn)算不封閉，如12(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)VV 12(1,0,0), (0,1,0)VV 但是但是( , ,0) ,

44、且中至少有一是0a ba bRa b43例例 6 設(shè)設(shè) V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 ) 是是 R3兩個(gè)不同的兩個(gè)不同的 2 維子空間，求維子空間，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指出它們的幾何意義并指出它們的幾何意義.解解 因?yàn)橐驗(yàn)?V1 和和 V2 是兩個(gè)不同的子空間，所以是兩個(gè)不同的子空間，所以 1 , 2 , 3 線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，從而從而 V1 = V2 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾. 于是由子空間的交與和于是由子空間的交與和的定義可得的定義可得V1 V2 = L( 1 )，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .否則否則

45、3 可由可由 1 , 2 線性表示線性表示44其幾何意義是：其幾何意義是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所確定的平面，確定的平面，的平面，的平面，是整個(gè)是整個(gè) 3 維空間維空間. V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所確定所確定V1 V2 是這兩個(gè)平面的交線，是這兩個(gè)平面的交線， V1 + V2oxyz 1 2 3V1V2V1 V245例例 7 設(shè)設(shè) V1 , V2 分別是分別是 R3 過(guò)原點(diǎn)的直線和平過(guò)原點(diǎn)的直線和平面面(直線不在平面上直線不在平面上)上的全體向量構(gòu)成的子空間，上的全體向量構(gòu)成的子空間，求求 V1 V2 和和 V1 + V2

46、 ，并指出它們的幾何意義，并指出它們的幾何意義.解解 由定義容易求得由定義容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = R3 .V1V2 1xoyz46直和的定義直和的定義設(shè)設(shè) 為線性空間為線性空間V的兩個(gè)子空間，若和的兩個(gè)子空間，若和12,V V12VV 12112,VV注注:若有若有 ,1212111222,VV 則則 1122,. 分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12中每個(gè)向量的分解式中每個(gè)向量的分解式 是唯一的，和是唯一的，和 就稱(chēng)為就稱(chēng)為直和直和，記作，記作 或或 12.VV 12VV 12VV 12VVV V12,V V12,V VV12VV 47 分解式唯一的不是在任

47、意兩個(gè)子空間的和中分解式唯一的不是在任意兩個(gè)子空間的和中都成立都成立. 例如，例如，R3的子空間的子空間11222333(,),(,),()VLVLVL 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)這里，這里，在和中，向量的分解式不唯一，如在和中，向量的分解式不唯一，如12VV (2,2,2)(2,3,0)(0, 1,2)(2,1,0)(0,1,2)所以和不是直和所以和不是直和.12VV 48而在和中，向量而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的，13VV (2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)事實(shí)上，對(duì)事實(shí)上，對(duì)12313(,),a a aVV 故是直和

48、故是直和.12VV 123(,0)(0,0,).a aa 都只有唯一分解式：都只有唯一分解式：49直和的判定直和的判定分解式唯一，即若分解式唯一，即若1211220,VV 1、 和是直和的充要條件是零向量和是直和的充要條件是零向量12VV 則必有則必有120.1211220,若VV證：證：. 12VV 是直和是直和, 12,VV 的分解式唯一的分解式唯一.120,0.而而0有分解式有分解式 0=00,0=00,50. 故是直和故是直和. 12VV ,1212111222,VV 設(shè)，它有兩個(gè)分解式設(shè)，它有兩個(gè)分解式12VV 有有11220,0.其中其中 111222,VV于是于是 1122()(

49、)0由零向量分解成唯一，且由零向量分解成唯一，且 0=00,0=00,即即 1122,的分解式唯一的分解式唯一. 512、和是直和、和是直和 12VV 120VV . .則有則有 12120VV 120,即即 12VV 是直和是直和. “” 任取任取 12,VV 證：證：“” 若若 1211220,.VV于是零向量可表成于是零向量可表成 120(),.VV 由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一， 12VV 0. 故故 120 .VV 52總之，設(shè)為線性空間總之，設(shè)為線性空間V的子空間，則下面的子空間，則下面12,V V四個(gè)條件等價(jià)四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一）零向量

50、分解式唯一1）是直和）是直和 12VV 3） 120VV 定義定義中每個(gè)向量的分解式中每個(gè)向量的分解式121sisiVVVV 推廣推廣多個(gè)子空間的直和多個(gè)子空間的直和都是線性空間都是線性空間V的子空間，若和的子空間，若和12,sV VV是唯一的，則和就稱(chēng)為直和，記作是唯一的，則和就稱(chēng)為直和，記作1siiV 12sVVV,121,2,siiV is53四個(gè)條件等價(jià)四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一，即）零向量分解式唯一，即3） 0 ,1,2,ijj iVVis 判定判定設(shè)都是線性空間設(shè)都是線性空間V的子空間，則下面的子空間，則下面12,sV VV1） 是直和是直和 1siiWV 0,1,2,必有

51、iis ,120,siiV54例例8 已知，設(shè)已知，設(shè)n nAP ,12,0nnVAX XPVX XPAX2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12.nPVV2AA 證：證：1） 100,0AV 任取任取有有1,AAVkP 11(),()().AAAVk AA kV是是 的子空間的子空間.nP1V證明：證明：1） 是是 的子空間的子空間.12VV、nP55200,0AV 0,0,AA又對(duì)又對(duì)2,VkP 有有從而有從而有 ()000AAA()00A kkAk22,VkV故故 是是 的子空間的子空間.nP2V下證下證 是是 的子空間的子空間.nP2V56又又12.nPVV2）先證）先證 任取任取,(),有nPAA2

52、()0AAAAAA2.AV12.nPVV12.于是有 VV 11.nPVV其中其中1,AV 再證再證 12.nPVV又是又是 的子空間，的子空間，12VV nP57 120VV 2,0.由有VA1,.由必有, 使nVPA任取任取1212., 即且VVVV 2()0.AAA AA從而從而12.nPVV所以所以585960Pxn證明：證明：PxnPxn6111knx 62 2.1.3基和維數(shù)、坐標(biāo)基和維數(shù)、坐標(biāo) 已知已知: 在在Fn中中, 線性無(wú)關(guān)的向量組最多由線性無(wú)關(guān)的向量組最多由n個(gè)向量個(gè)向量組成組成, 而任意而任意n+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的個(gè)向量都是線性相關(guān)的, Fn 中任意中任意n個(gè)線性無(wú)

53、關(guān)向量都構(gòu)成個(gè)線性無(wú)關(guān)向量都構(gòu)成Fn 的一組基，任何一個(gè)的一組基，任何一個(gè)n維向維向量都可由這組基線性表示，其表示系數(shù)按序排列的量都可由這組基線性表示，其表示系數(shù)按序排列的n維有序數(shù)組稱(chēng)為向量在這組基下的坐標(biāo)?，F(xiàn)在我們?cè)诰S有序數(shù)組稱(chēng)為向量在這組基下的坐標(biāo)。現(xiàn)在我們?cè)谝话憔€性空間中討論類(lèi)似的問(wèn)題。一般線性空間中討論類(lèi)似的問(wèn)題。 問(wèn)題問(wèn)題1: 在線性空間中是否也可以定義線性無(wú)關(guān)的在線性空間中是否也可以定義線性無(wú)關(guān)的概念概念? 問(wèn)題問(wèn)題2: 線性空間的一個(gè)重要特征線性空間的一個(gè)重要特征在線性空間在線性空間V中中, 最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量?63 定義定義1 設(shè)設(shè)V為線性空

54、間為線性空間, 對(duì)對(duì) 1, 2, , m V, 如果如果存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù) k1, k2, ,km F, 使使k1 1 + k2 2 + + km m = 0則稱(chēng)則稱(chēng) 1, 2, , m是是線性相關(guān)線性相關(guān)的的, 否則稱(chēng)它是否則稱(chēng)它是線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).向量空間中關(guān)于向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量空間中關(guān)于向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的有關(guān)結(jié)論的有關(guān)結(jié)論,在線性空間也成立在線性空間也成立.例如例如.,V 11121且表示法唯一且表示法唯一線性表示線性表示向量組向量組必能由必能由向量向量則則線性相關(guān)線性相關(guān)而向量組而向量組關(guān)關(guān)線性無(wú)線性無(wú)向量組向量組中中在線性空間在線性空間定理定理mm

55、m 定理定理164線線性性相相關(guān)關(guān)，證證：由由向向量量組組 m,210,221121 lkkklkkkmmm使使數(shù)數(shù)則則存存在在一一組組不不全全為為零零實(shí)實(shí)0, 02211 mmkkkl 則則上上式式變變?yōu)闉槿缛绻? 0,2121 lkkkmm故故線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)矛矛盾盾，這這與與不不全全為為零零，而而且且系系數(shù)數(shù) .,V 11121且表示法唯一且表示法唯一線性表示線性表示向量組向量組必能由必能由向量向量則則線性相關(guān)線性相關(guān)而向量組而向量組關(guān)關(guān)線性無(wú)線性無(wú)向量組向量組中中在線性空間在線性空間定理定理mmm 定理定理165, 0, 0, 0,221121 mmmlklklk所所以以系系數(shù)數(shù)線線

56、性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，因因?yàn)闉?且且mmkkklll1212所以所以 可由可由 線性表示。線性表示。,m 12， 的的。線線性性表表示示的的方方法法是是惟惟一一，由由故故于于是是有有miimilk ,., 2 , 1,21 )()()mmmklklkl 1112220（兩式相減兩式相減 mmkkk1122下面證明惟一性，設(shè)下面證明惟一性，設(shè)mmlll112266證明：證明：1）不妨設(shè)）不妨設(shè) 線性相關(guān)，于是線性相關(guān)，于是,()jjm 12 2）如果向量組）如果向量組 線性無(wú)關(guān)，則其任一部分線性無(wú)關(guān)，則其任一部分 向量組線性相也必線性無(wú)關(guān)。向量組線性相也必線性無(wú)關(guān)。,m 12存在一組不全為零的數(shù)存在一組

57、不全為零的數(shù) 使使 ,jkkk12jjkkk 11220從而有一組不全為零的數(shù)從而有一組不全為零的數(shù) 使使 ,jjmk kk kk 12100jjjmkkk 11221000由定義知由定義知 線性相關(guān)。線性相關(guān)。,m 12所以如果向量組所以如果向量組 中有一部分向量組線性中有一部分向量組線性 相關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。相關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。,m 122）用反證法，若任一部分組線性相關(guān)，則由）用反證法，若任一部分組線性相關(guān)，則由1）知整體組線性相關(guān)，矛盾，故整體組無(wú)關(guān)，部分知整體組線性相關(guān)，矛盾，故整體組無(wú)關(guān)，部分組必線性無(wú)關(guān)。組必線性無(wú)關(guān)。 1）如果向量組）如果向量組 中有一部分向

58、量組線性相中有一部分向量組線性相 關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。,m 12定理定理267例例1 證明：所有數(shù)域證明：所有數(shù)域F上次數(shù)小于上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式所生成的的多項(xiàng)式所生成的線性空間線性空間 ( )|, ,nnniP xf xaxa xaaF in 11101 21中的元素中的元素 是是 的一組基。的一組基。, ,nx xx 211 nP x證明：證明：從從 中基的定義出發(fā)只需證明中基的定義出發(fā)只需證明 線線性無(wú)關(guān)，且每個(gè)性無(wú)關(guān)，且每個(gè) 都可用都可用 線性表線性表示即可。示即可。nF, ,nx xx 211( ) nf xP x , ,nx xx 211 首先任

59、一首先任一 都是都是 的線性的線性組合。其次，對(duì)一組數(shù)組合。其次，對(duì)一組數(shù) ，令，令( ) nf xP x , ,nx xx 211,nkk kkF 0121nnkk xk xkx 2101210 等式右邊是一零次多項(xiàng)式，因此左邊必是零次等式右邊是一零次多項(xiàng)式，因此左邊必是零次多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式，故 ，故，故 線線性無(wú)關(guān)，故性無(wú)關(guān)，故 為為 的一組基。的一組基。nkkkk 01210, ,nx xx 211, ,nx xx 211 nP x由例由例1， 中基的定義，線性相關(guān)定義對(duì)線性空間中基的定義，線性相關(guān)定義對(duì)線性空間V來(lái)說(shuō)仍然來(lái)說(shuō)仍然成立。為此我們引入：成立。為此我們引入：nF68 定義定義

60、 2 在線性空間在線性空間V中中, 如果存在向量組如果存在向量組 1, 2, , n , 滿足滿足: (1) 1, 2, , n 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān); (2) V中任意元素中任意元素 總可以由總可以由 1, 2, , n線性表示線性表示,則稱(chēng)則稱(chēng) 1, 2, , n為線性空間為線性空間V的一個(gè)的一個(gè)基基, 記為記為 v稱(chēng)稱(chēng)n為線性空間為線性空間V的的維數(shù)維數(shù).記為：記為：dim(V)=n,也稱(chēng)也稱(chēng)V為為n維線性空間。維線性空間。 nnkkk1122維數(shù)為維數(shù)為n的線性空間的線性空間V稱(chēng)為稱(chēng)為n維線性空間維線性空間, 記作記作Vn.當(dāng)一個(gè)線性空間當(dāng)一個(gè)線性空間V中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)中存在