軍隊(duì)文職考試數(shù)學(xué)考試大綱總結(jié)

1、1、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù)；b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù)a):其圖形總位于y軸右側(cè)，并過(1,0)點(diǎn)b):當(dāng)a>1時(shí)，在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+x)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.募函'=-a為任意實(shí)數(shù)令a=m/na):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的TS分。時(shí),y是偶函數(shù)；b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)；c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-°&#

2、176;,0)無意義.三角函數(shù)1y二加工(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a):正弦函數(shù)是以2冗為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且|sina<1反三角函數(shù)y=W(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)a):由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我們此函數(shù)值限制在-九/2,冗上，并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：刀=2例*干十的網(wǎng)是初等函數(shù)。2.極限的性質(zhì)唯一性有界性局部保號(hào)性3.函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與

3、數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知X7X0（或X7°°）時(shí)，八工）rT'.hni丁士式初二八土B=AB則：L-Llimk=Kjk為常數(shù)）lim（制為正整數(shù)）推論：u''在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。3m，+K1例題：求24/+產(chǎn)-工十3覆.2,1lim3j3+limrlim1oii2麗介+.l】=ah="I=£wfi4k*十五'一五十3lim4/3+lim/"履i為十lim34+11十37解答：,，,二,婷4/+2例題：求十5/一3此題如果像上題那

4、樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢下面我們把它解出來。,才4/+2r37,73hn=hm-1_展=-7/+齊_3,jf537解答：一八4函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)的一切x,X0點(diǎn)本身可以除外（或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切X）有g(shù)w/，且蹙g（x）=H,現(xiàn)J3=Wrlim-工）一，一那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.無窮小量的比較定義：設(shè)a,B都是兀77時(shí)的無窮小量，且B在X。的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，lim-=0a）:如果1犯尸，則稱a是B的高階無窮小或B是a的低階無窮

5、??；lim=c0b）:如果i產(chǎn)，則稱a和B是同階無窮??；lim=1C）:如果e-尸,則稱a和B是等價(jià)無窮小，記作：asB（口與B等價(jià)）5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明）介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：（厘）=儀醫(yī)在口、b之間，則在a,b間一定有一個(gè)丁使,©二"推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。6等價(jià)無窮小量和兩個(gè)重要的極

6、限求極限，一cc,a,ctrumlim=1ihl設(shè)立s或“sj且6存在，則£夕.注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡(jiǎn)化求極限問題。sinaxhm例題：1.求儂必解答:當(dāng)x0時(shí)，sinaxsax,tanbxsbx,故:rsitiax.axhm=hm=iotanH%i。1工.tanx-sirx一皿z例題:2.求I。tan匕工tanxsinxtanz(lcosx)lim；=hm-解答:tan33xtan33x1-cosx=2finco2-C=注：一：一兩個(gè)重要的極限lim(1+)*二日一人注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e

7、=1注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明第二章一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差）.用公式可寫為：例士F）f=/±W。其中u、V為可導(dǎo)函數(shù)。例題：已知工，求了解答：'''函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成：.一例題：已知x三九加工+公求產(chǎn)解答：一.，i，：.函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的

8、導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：,例題：已知/（工）=«知天，求（工）j(x)r=(J7)'sinx+走)=sin工十五cosx解答：一,注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)Uf_u'v-wvf與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：1:例題：已知/5)=由求”a解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘dy_dydu.上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：心九五，其中u為中間變量例題：已知，二必加工，求去/61rpe

9、OS嘉=Qllsinjc)=smjQ=cotx解答：一>-二L基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的微分公式由于函數(shù)微分的表達(dá)式為:用洛必達(dá)法則求未定式極限當(dāng)x-a（或x-x）時(shí)，函數(shù)/W,式工）都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)|x|>N）時(shí)，/與g'5）都存在，口岫萼手0,且:二】且存在則：；二；這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的洛必達(dá)法則a”-hblim例題：求入土/十d解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解2ax+山加Kalim=lim二C7T+dx加工c?；?0另外，若遇到O-m、88、r、0。、等型，通常是轉(zhuǎn)化

10、為6B型后，在利用法則求解。用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性判定方法：設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo).a）：如果在（a,b）內(nèi)尸也）0,那末函數(shù)"/在a,b上單調(diào)增加；b）:如果在（a,b）內(nèi)丁'（k）v0,那末函數(shù)”/在a,b上單調(diào)減少.例題：確定函數(shù)=/tT的增減區(qū)間.解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)椋▁,+x）其導(dǎo)數(shù)為：，二屋-1,因此可以判出：當(dāng)x0時(shí)，/（冷0,故它的單調(diào)增區(qū)間為（0,+°°）;當(dāng)XV0時(shí)，f"）V0,故它的單調(diào)減區(qū)間為（-oo,0）；求函數(shù)極值函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)/在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，X。是（a,b）內(nèi)一點(diǎn).若存在著

11、X0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)X（X0點(diǎn)除外），/V/品)均成立，則說了(麗)是函數(shù)/(外的一個(gè)極大值；若存在著X0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)X(X0點(diǎn)除外)，均成立,則說,(孫)是函數(shù)/的一個(gè)極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。用方法一求極值的一般步驟是：a)：求，,.b)：求/'(工口)二°的全部的解一一駐點(diǎn)；c):判斷/'G)在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。例題：求/=("2)"”以極值點(diǎn)解答：先求導(dǎo)數(shù)/f(x)=2(j+2Xx-1)3+(x+2)a3(J-1)a=2)0-1

12、)3+4)再求出駐點(diǎn)：當(dāng)/二0時(shí),x=-2、1、-4/5判定函數(shù)的極值，如下圖所示搬大-2C-2-4/5）-4/51（l+«）函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用函數(shù)的極值是局部的。要求/G）在a,b上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間（a,b）內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。例題：求函數(shù)，=工+3在區(qū)間-3,3/2的最大值、最小值。解答：八幻在此區(qū)間處處可導(dǎo)，先來求函數(shù)的極值,（幻二3工一3=Q,故x=±1,再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。因?yàn)閙）="-3）=75,/（-1）=5；故函數(shù)的最大值為函數(shù)的最小值為，

13、（-3）=-15。求平面曲線的切線方程和法線方程分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性定義：對(duì)區(qū)間i的曲線戶二義工）作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間i下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間i上凹。曲線凹向的判定定理定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)，它對(duì)應(yīng)曲線是向上凹（或向下凹）的充分必要條件是：導(dǎo)數(shù)f在區(qū)間（a,b）上是單調(diào)增（或單調(diào)減）。定理二：設(shè)函數(shù)，=/（工）在區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：若在（a,b）內(nèi)，/”（方0,則，=/匕）在自對(duì)應(yīng)的曲線是下凹的；若在（a,b）內(nèi)，方V0,則V在a,b

14、對(duì)應(yīng)的曲線是上凹的；例題：判斷函數(shù)v=的凹向解答：我們根據(jù)定理二來判定。因?yàn)楣?,所以在函數(shù)y=lnX的定義域（0,+X）內(nèi)，VV0,故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)拐點(diǎn)的定義連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)拐定的判定方法如果"二了在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定，"的拐點(diǎn)。(1):求二；(2):令/=0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根；(3):對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x。，檢查一在X。左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。例題：求曲線外才一分41的拐點(diǎn)。解答：由9=36-24=36x

15、(#-)3，令h=0,彳#x=。，2/3判斷“在。，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。以及水平和鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)不定積分的基本公式1. kdxkxC(k是常數(shù))n12. xndxC(n1)n1dx-3. In|x|C4.dx1x2arctanxC5.dx,：2,1xarcsinxC6.cosxdxsinxC7.sinxdxcosxC8.dx2-cosxsec2xdxtanxC9.dx一一2sinxcsc2xdxcotx10.secxtanxdxsecxC11.cscxcotxdxcscxC12.exdxexC13.xaxdxClna14.tanxdxln|cosx|C15.cotxdxln|sinx|16.secxdxln|secxtanx|17.cscxdxln|cscxcotx|18.dx22ax1arctan-C19.dx1xa函1n廣1c20.1jr22,ax21.dx,x2a2In|x,x2a2|Cxdxarcsin一Ca22.1dxaxb1-In|axb|Ca23.-dx,x24.-ydxX不定積分和定積分的性質(zhì)定積分中值定理不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法牛頓-萊布尼茲公式求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分第四章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算方法多元復(fù)合函數(shù)一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的求法多元函數(shù)極值存在的