數(shù)學(xué)問題中的文化PPT課件

1、數(shù)學(xué)問題中的文化斐波那契數(shù)列一 斐波那契與兔子問題斐波那契（L. Fibonacci,1170-1250）,歐洲黑暗時期過后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家。其著作算盤書（1202），第一次系統(tǒng)介紹了印度阿拉伯數(shù)碼，對改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響。1228年修訂后的算盤書中載有“兔子問題” 某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？112358132111nnnnnFFFnnFnF個月兔子數(shù)量之和與第個月的兔子數(shù)量應(yīng)該為第個月的兔子數(shù)量，則表示第用1448955342113853211，量依次為一年內(nèi)各個月

2、份兔子數(shù)二 斐波那契數(shù)列1. 通項公式 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，nnnFFF11遞推公式2.神奇的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 上面數(shù)列平方得到1，1，4，9，25，64，169，441， 連續(xù)兩項相加得2，5，13，34，89，233， 1，1，2，3，5，8，13，21，34，1，1，4，9，25，64，169，441， 1=11+1= 1 21+1+4= 231+1+4+9= 3 51+1+4+9+25= 5 8奇數(shù)項求和得1，3，8，21， nnffff21231即偶數(shù)項求和1-12242nnff

3、ff即每連續(xù)10個斐波那契數(shù)的和有什么特點呢？1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=1431+2+3+5+8+13+21+34+55+89=2312+3+5+8+13+21+34+55+89+144=3+5+8+13+21+34+55+89+144+233=11 3 3 斐波那契數(shù)列與連分數(shù)斐波那契數(shù)列與連分數(shù) 這不是一個普通的分數(shù)，而是一個分這不是一個普通的分數(shù)，而是一個分母 上 有 無 窮 多 個母 上 有 無 窮 多 個 “ 1 ”1 ” 的 繁 分 數(shù) ， 我 們 通 常的 繁 分 數(shù) ， 我 們 通 常稱這樣的分數(shù)為稱這樣的分數(shù)為“連分數(shù)連分數(shù)”。11111111x 12

4、上述這一全部由1 1構(gòu)成的連分數(shù)，是最簡單的一個連分數(shù)。11111111x 13 通常，求連分數(shù)的值，如同求無理通常，求連分數(shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。 如果把該連分數(shù)如果把該連分數(shù)從第從第 條分數(shù)線截住條分數(shù)線截住，即，即把第把第 條分數(shù)線上、下的部分都刪去，就條分數(shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分數(shù)的第得到該連分數(shù)的第 次近似值，次近似值，記作記作 nnuvn1nn14 對照對照 可算得可算得 312412341111213,1111235111111111111uuuuvvvv11111111x 15 順序排起來，這個連

5、分數(shù)的近似值逐次為順序排起來，這個連分數(shù)的近似值逐次為 其分子、分母恰是菲波那契數(shù)；有無其分子、分母恰是菲波那契數(shù)；有無極限，若有，極限值即為連分數(shù)的值。極限，若有，極限值即為連分數(shù)的值。 ,FFnn121131388553322111，4 斐波那契數(shù)列與黃金分割17 上述連分數(shù)可以看作是上述連分數(shù)可以看作是 中，把中，把 的表達式反復(fù)代入等號右端得的表達式反復(fù)代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是到的；例如，第一次代入得到的是 反復(fù)迭代，就得到上述連分數(shù)。反復(fù)迭代，就得到上述連分數(shù)。11xx1111xxx18 51112111111美妙的結(jié)論 斐波那契數(shù)列相鄰兩項比的數(shù)列的極限是最簡連

6、分數(shù)的值，此值為黃金分割數(shù)。21 黃金分割黃金分割 定義：定義：把任一線段分割成兩段，把任一線段分割成兩段，使使 ，這樣的分割叫黃金分，這樣的分割叫黃金分割，割，這樣的比值叫黃金比。這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個分割點）（可以有兩個分割點） 1 1x大段小段全段大段小段小段大段大段1x22故有故有 11xxx210 xx 152x 510.61803390.6182x小段小段大段大段23 黃金分割的尺規(guī)作圖黃金分割的尺規(guī)作圖 設(shè)線段為設(shè)線段為 。作作 ，且，且 ，連，連 。作。作 交交 于于 ，再作再作 交交 于于 ，則則 ， 即即為為 的黃金分割點。的黃金分割點。AB12BDABBDABA

7、D()D DBAD()A AEABC512ACABCABE152EDCBA24 證：不妨令證：不妨令 ，則則 ， ， ， 證完。證完。1BD 2AB 2215AD 51AEADED5151,2ACACAEAB 152EDCBA25 黃金分割的美黃金分割的美 黃金分割之所以稱為黃金分割之所以稱為“黃金黃金”分割，分割，是是比喻這一比喻這一“分割分割”如黃金一樣珍貴。黃金如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認為它表現(xiàn)了門類中審美的因素之一。認為它表現(xiàn)了恰恰到好處的到好處的“和諧和諧”。 例如例如: :26 1 1） 人體

8、各部分的比人體各部分的比 肚肚 臍臍 ： （頭（頭腳）腳） 印堂穴：印堂穴： （口（口頭頂）頭頂） 肘關(guān)節(jié)：肘關(guān)節(jié)： （肩（肩中指尖）中指尖） 膝膝 蓋：蓋： （髖關(guān)節(jié)（髖關(guān)節(jié)足尖）足尖）272 2） 著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字如埃及的金字塔，高（塔，高（137137米）與底米）與底邊長（邊長（227227米）之比為米）之比為0.6290.629古希臘的巴特農(nóng)古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高神殿，塔高與工作廳高之比為之比為3405530.6153405530.615（外形的高與寬之比？（外形的高與寬之比？ 大理石廊柱高與神殿高之比？）大理石廊柱高與神殿高之比？）28 3 3） 美觀

9、矩形的美觀矩形的 寬長比寬長比 如國旗和其它如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、用到矩形的地方（建筑、家具）家具） 294 4） 正五角星中的比0.618ABAD0.618ABAC0.618ADD C30 5 5） 舞臺報幕者舞臺報幕者 的最佳站的最佳站位位 在整個舞臺寬度在整個舞臺寬度的的0.6180.618處較美處較美31 四四 推廣的斐波那契數(shù)列推廣的斐波那契數(shù)列 盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列 1 1） 盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列 盧卡斯（盧卡斯（LucasLucas，F(xiàn).E.A. 1824-1891F.E.A. 1824-1891） 構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為

10、稱為“推廣的斐波那契數(shù)列推廣的斐波那契數(shù)列”。32 即從任何兩個正整數(shù)開始，往后的每即從任何兩個正整數(shù)開始，往后的每一個數(shù)是其前兩個數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮一個數(shù)是其前兩個數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。此即，二階遞推公式數(shù)列。此即，二階遞推公式 中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù) 可任取?？扇稳?。1212?nnnLLLLL12,L L33 斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8， 是這類數(shù)列中最簡單的一個，起始整數(shù)是這類數(shù)列中最簡單的一個，起始整數(shù) 分別取為分別取為1 1、1 1。 次簡單的為次簡單的為1 1，3 3，4 4，7 7，111

11、1，1818， 現(xiàn)稱之為現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列。 盧卡斯數(shù)列的通項公式是盧卡斯數(shù)列的通項公式是 12,L L151522nnnL34 推廣的斐波那契數(shù)列推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項數(shù)的增加而比；并且，兩數(shù)之比的差隨項數(shù)的增加而越來越小，趨近于越來越小，趨近于0 0，從而這個比存在極，從而這個比存在極限；而且限；而且這個比的極限也是黃金比這個比的極限也是黃金比 。 51235類似于前面提到的數(shù)列 對于推廣的斐

12、波那契數(shù)列，對于推廣的斐波那契數(shù)列，相鄰兩項之比的極限也是相鄰兩項之比的極限也是512111 1 2 3 5 8,1 2 3 5 8 13nnnnuuvv五 自然界中的斐波那契數(shù)37菜花表面排列的螺線數(shù)（菜花表面排列的螺線數(shù)（5-85-8）38 向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排線排 列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的相繼的兩兩個斐波那契數(shù)，一般是個斐波那契數(shù)，一般是3434和和5555，大向日葵，大向日葵是是8989和和144144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日，還曾發(fā)現(xiàn)過一

13、個更大的向日葵有葵有144144和和233233條螺線，它們都是相繼的兩條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)。個斐波那契數(shù)。1c42 1 1 跳格游戲跳格游戲 43 如圖，一個人站在如圖，一個人站在“梯子格梯子格”的起點處的起點處向上跳，從格外只能進入第向上跳，從格外只能進入第1 1格，從格中，格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：每次可向上跳一格或兩格，問：可以用多可以用多少種方法，跳到第少種方法，跳到第n n格？格？ 442 2蜜蜂進蜂房問題蜜蜂進蜂房問題： 一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到、n號蜂房，只允許它自左向右（不許反方向倒走）。則它爬到各號蜂房的路線多少？空空空 空空空 1 13

14、35 57 72 24 46 6n nn-2n-2n-1n-145第三講韓信點兵與中國剩余定理第三講韓信點兵與中國剩余定理 46u韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時就韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時就父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年時被潑皮強迫從胯下鉆過的事。時被潑皮強迫從胯下鉆過的事。u后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為劉邦打敗了楚霸王項羽立下汗馬功勞，開創(chuàng)了劉劉邦打敗了楚霸王項羽立下汗馬功勞，

15、開創(chuàng)了劉漢皇朝四百年的基業(yè)。漢皇朝四百年的基業(yè)。u民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故事，韓信點兵的故事就是其中的一個。事，韓信點兵的故事就是其中的一個。一、一、“韓信點兵韓信點兵”的故事與的故事與孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中的題目中的題目47 相傳有一次，韓信將相傳有一次，韓信將15001500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，只是一時還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大只是一時還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大本營，準備清

16、點人數(shù)。當行至一山坡時，忽有后軍來報，本營，準備清點人數(shù)。當行至一山坡時，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠方塵土飛說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時不由得人揚，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時不由得人心大亂。韓信仔細地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便心大亂。韓信仔細地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。不一會兒，值日副官報告，共有急速點兵迎敵。不一會兒，值日副官報告，共有10351035人。人。他還不放心，決定自己親自算一下。他還不放心，決定自己親自算一下。 1.1.“韓信點兵韓信點兵”的故事的故

17、事48 韓信閱兵時，讓一隊士兵韓信閱兵時，讓一隊士兵5 5人一行排隊從他面前走過，人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（他記下最后一行士兵的人數(shù)（1 1人）；再讓這隊士兵人）；再讓這隊士兵6 6人一人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5 5人）；人）；再讓這隊士兵再讓這隊士兵7 7人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（士兵的人數(shù)（4 4人），再讓這隊士兵人），再讓這隊士兵1111人一行排隊從他面前人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（走過，他記下最后一行士兵的人

18、數(shù)（1010人）。然后韓信就人）。然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊士兵的總?cè)藬?shù)。憑這些數(shù)，可以求得這隊士兵的總?cè)藬?shù)。49 約成書于四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚。約成書于四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的現(xiàn)在傳本的孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)共三卷。卷上敘述共三卷。卷上敘述算籌算籌記數(shù)的縱記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數(shù)算法橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數(shù)算法和籌算開平方法。卷下第和籌算開平方法。卷下第3131題，可謂是后世題，可謂是后世“雞兔同籠雞兔同籠”題的始祖，后來傳到題的始祖，后來傳到日本日本，變成，變成“鶴龜算鶴龜算”。2.2.孫子算經(jīng)

19、孫子算經(jīng) 書中是這樣敘述的：書中是這樣敘述的：“今有雞兔今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有面數(shù)，有3535個頭；從下面數(shù)，有個頭；從下面數(shù)，有9494只只腳。求籠中各有幾只雞和兔？腳。求籠中各有幾只雞和兔？孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)50 我國古代數(shù)學(xué)名著我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中有中有“物不知數(shù)物不知數(shù)”的題目：的題目： 今有物不知其數(shù)，今有物不知其數(shù)， 三三數(shù)之剩三三數(shù)之剩2 2， 五五數(shù)之剩五五數(shù)之剩3 3， 七七數(shù)

20、之剩七七數(shù)之剩2 2， 問物幾何？問物幾何？孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中的題目中的題目 51 二問題的二問題的解答解答 1.1.篩法篩法 先給出先給出 被被3 3除余除余2 2的數(shù)的數(shù) 2 2，5 5，8 8，1111，3k+2, 3k+2, 上列數(shù)種被上列數(shù)種被5 5除余除余3 3的數(shù)的數(shù) 8 8，2323，3838， ，8+15k8+15k 第二列中被第二列中被7 7除余除余2 2的數(shù)的數(shù) 23 23，128128，233233， ，23+105k23+105k 2 2從另一個問題入手從另一個問題入手( (公倍數(shù)方法公倍數(shù)方法) ) 問題：問題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1

21、 1，三三數(shù)之剩三三數(shù)之剩2 2，四四數(shù)之剩，四四數(shù)之剩3 3，五五數(shù)之剩，五五數(shù)之剩4 4，六六數(shù)之剩六六數(shù)之剩5 5，七七數(shù)之剩，七七數(shù)之剩6 6，八八數(shù)之剩，八八數(shù)之剩7 7，九九數(shù)之剩九九數(shù)之剩8 8，問物幾何？，問物幾何？53 再從中挑再從中挑“用用5 5除余除余4 4”的數(shù)，的數(shù)， 一直篩選下去，舍得下功夫，就一一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。定可得結(jié)果。 并且看起來，解，還不是唯一的；并且看起來，解，還不是唯一的；可能有無窮多個解?？赡苡袩o窮多個解。54 設(shè)問題中，需要求的數(shù)是設(shè)問題中，需要求的數(shù)是 ，則，則 被被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，

22、9 9去除，所得的余去除，所得的余數(shù)都是比除數(shù)少數(shù)都是比除數(shù)少1 1，于是我們把被除數(shù)，于是我們把被除數(shù) 再加再加1 1， 則則 就可被就可被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9均整除。也就是說，均整除。也就是說， 是是2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,5,6,7,8,9的公倍數(shù)，從而是其最小公的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)倍數(shù)2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,5,6,7,8,9的倍數(shù)。的倍數(shù)。xxx1x1xx55 即即 這就是原問題的全部解，有無窮多個解，其中這就是原問題的全部解，有無窮多個解，其中第一個解是第一個解是25192519；我們只取正數(shù)解，

23、因為；我們只取正數(shù)解，因為“物體物體的的 個數(shù)個數(shù)”總是正整數(shù)?？偸钦麛?shù)。 12,3,4,5,6,7,8,92520,1,2,3,xkkk 25201,1,2,3,xkk56 思思 ：求求“用用2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9除除 都余都余1”1”的的數(shù)。數(shù)。 求求“用用5 5，7 7，9 9，11 11 除都余除都余2”2”的數(shù)。的數(shù)。57 現(xiàn)在仿照上邊用過的現(xiàn)在仿照上邊用過的“公倍數(shù)法公倍數(shù)法”來看物不知數(shù)問題，設(shè)要求的數(shù)來看物不知數(shù)問題，設(shè)要求的數(shù)為為 ，則依題意，得聯(lián)立方程組，則依題意，得聯(lián)立方程組 x1233253(*)72xnxnxn58 按上一問題

24、中按上一問題中“公倍數(shù)法公倍數(shù)法”解決問題的解決問題的思路：把思路：把方程兩邊同時加上或減去方程兩邊同時加上或減去一個什么一個什么樣的數(shù)，就能使三個等式的右邊分別是樣的數(shù)，就能使三個等式的右邊分別是3 3，5 5，7 7的倍數(shù)，從而等式左邊就是的倍數(shù)，從而等式左邊就是3 3，5 5，7 7的公倍的公倍數(shù)了。數(shù)了。 這要通過這要通過反復(fù)反復(fù)的試算去完成。的試算去完成。59一種試算的方法1233253(*)72xnxnxn60 從第三個等式入手，兩邊加從第三個等式入手，兩邊加5 5（或減（或減2 2）則則得得 357(1)xn3(27)xn或61 則右邊是則右邊是7 7的倍數(shù)了，但兩邊加的倍數(shù)了，

25、但兩邊加5 5（或減（或減2 2）并不能使前兩式的右邊分別是并不能使前兩式的右邊分別是3 3的倍數(shù)和的倍數(shù)和5 5的倍數(shù)，的倍數(shù)，所以兩邊加所以兩邊加5 5（或減（或減2 2）并不能使右邊成為并不能使右邊成為3 3，5 5，7 7的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個等式入手，為使第三個的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個等式入手，為使第三個等式右邊仍然保持是等式右邊仍然保持是7 7的倍數(shù)，可再加的倍數(shù)，可再加 （或再（或再減減 ），則，則 （或（或 ） 將將 代入試算、分代入試算、分 析，析，7l3577(1)xlnl 3277()xhnh1,2,3l (1,2,3)h 或62 最后發(fā)現(xiàn)，為達到目的最后發(fā)現(xiàn)，為達到目

26、的（三個等式的右邊分別是（三個等式的右邊分別是3 3，5 5，7 7的倍的倍數(shù)），最小的加數(shù)是數(shù)），最小的加數(shù)是8282（ 時時 ）（或最?。ɑ蜃钚〉臏p數(shù)是的減數(shù)是2323，即，即 時時 ）。11l 5782l3h 2723h63 用等式兩邊加用等式兩邊加8282來求解，有來求解，有 用等式兩邊減用等式兩邊減2323來求解，有來求解，有 多了一個多了一個“ ” ，因這時，因這時 也是正數(shù)，合也是正數(shù)，合 要求要求。0k123823(28)825(17)823,5,7105827(12)10582,1,2,3,xnxnxkkxnxkk123233(7)235(4)233,5,7105237(3)

27、10523,0,1,2,3,xnxnxkkxnxkkx64 這兩組解是一樣的，都是這兩組解是一樣的，都是“2323，23+10523+105，23+223+2105105，”。 原因是原因是82+23=10582+23=105，故令，故令 第一組解就成為第一組解就成為 便轉(zhuǎn)化成第二組解。便轉(zhuǎn)化成第二組解。1kk105(1)821051058210523xkkk65 3 3 單因子構(gòu)件湊成法單因子構(gòu)件湊成法 我們先對前幾頁（我們先對前幾頁（* *）式作兩個方面的簡化：）式作兩個方面的簡化：一方一方面面是每次只考慮是每次只考慮“一個除式一個除式”有余數(shù)的情況（即另兩個除有余數(shù)的情況（即另兩個除式都

28、是整除的情況）；式都是整除的情況）；另一方面另一方面是把余數(shù)都簡化為最簡單是把余數(shù)都簡化為最簡單的的1 1。這樣得到三組方程。這樣得到三組方程。1233253(*)72xnxnxn11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn66 （1 1）式意味著，在）式意味著，在5 5和和7 7的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（3535，7070，105105，）尋找被）尋找被3 3除余除余1 1的數(shù)；的數(shù)； （2 2）式意味著，在）式意味著，在3 3和和7 7的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（2121，4242，6363，）尋找被）尋找被5 5除余除余1 1的數(shù)；的數(shù)；

29、 （3 3）式意味著，在）式意味著，在3 3和和5 5的公倍數(shù)中（的公倍數(shù)中（1515，3030，4545，）尋找被）尋找被7 7除余除余1 1的數(shù)。的數(shù)。11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn67 對（對（1 1）式而言，這個數(shù)可以?。┦蕉?，這個數(shù)可以取7070，對（，對（2 2）式）式而言，這個數(shù)可以取而言，這個數(shù)可以取2121，對（，對（3 3）式而言，這個數(shù)可以?。┦蕉?，這個數(shù)可以取1515。 11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn68 現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的現(xiàn)

30、在重復(fù)一下：所得的x x是是被被3 3除余除余1 1，被，被5 5和和7 7除余除余0 0的數(shù)；的數(shù)；y y是是被被5 5除余除余1 1，被，被3 3和和7 7除余除余0 0的數(shù)；的數(shù)；z z是是被被7 7除余除余1 1，被，被3 3和和5 5除余除余0 0的數(shù)。的數(shù)。69 那么，湊那么，湊出出 ， s s 不就是我們需要求的不就是我們需要求的數(shù)嗎？數(shù)嗎？ 232sxyz70 于是我們要求的數(shù)是于是我們要求的數(shù)是 這就是這就是孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中中“物不知其數(shù)物不知其數(shù)”一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是2323（ 時）。時）。1231232322(10

31、570)3(10521)2(10515)(70221 3152)105(232)70221 31521052, 1,0,1,2,3,sxyzkkkkkkkk 2k 71 這里，（這里，（1 1），（），（2 2），（），（3 3）三式分別叫三個）三式分別叫三個“單子因構(gòu)件單子因構(gòu)件”，分別解得分別解得 每個單因子構(gòu)件，都是用某一個數(shù)去除余每個單因子構(gòu)件，都是用某一個數(shù)去除余1 1，用另兩個數(shù)去除均，用另兩個數(shù)去除均余余0 0的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是2 2，3 3，2 2的情況，湊成的情況，湊成11122233331335(1);51(2);5(3)7771x

32、nynznxnynznxnynzn232sxyz123105701052110515xkykzk72 4 4 歌訣歌訣 推廣了的推廣了的“物不知其數(shù)物不知其數(shù)”問題的解為問題的解為 明朝數(shù)學(xué)家程大位在明朝數(shù)學(xué)家程大位在算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗中把上式總結(jié)為中把上式總結(jié)為一首通俗易懂的歌決：一首通俗易懂的歌決： 三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝， 七子團圓正半月，除百零五便得知。七子團圓正半月，除百零五便得知。 其中正半月是指其中正半月是指1515，這個口訣把，這個口訣把3 3，5 5，7 7；7070，2121，1515及及105105這幾個關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細說，歌訣的這幾個關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細說，歌訣的含義是：用含義是：用3 3除的余數(shù)乘除的余數(shù)乘7070，5 5除的余數(shù)乘除的余數(shù)乘2121，7 7除的余數(shù)除的余數(shù)乘乘1515，相加后再減去（，相加后再減去（“除除”當當“減減”講）講）105105的適當倍的適當倍數(shù)，就是需要求的（最?。┙饬?。數(shù)，就是需要求的（最?。┙饬?。702115105sabck73 當然，解，不是唯一的，每差當然，解，不是唯一的，每差105105，都是另一個解答，但如果結(jié)合實際問題，都是另一個解答，但如果結(jié)合實際問題，答案往往就是唯一