小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑與思考

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑與思考與思考20152015年年景洪市景洪市項(xiàng)目導(dǎo)師培訓(xùn)項(xiàng)目導(dǎo)師培訓(xùn)朱維宗朱維宗云南師范大學(xué)云南師范大學(xué) 教師們要重視教師們要重視“課外課外”功夫的積累，時(shí)時(shí)功夫的積累，時(shí)時(shí)注意自己知識(shí)的注意自己知識(shí)的“厚積厚積” 。 著名特級(jí)教師著名特級(jí)教師 楊一青楊一青 自我反思是教學(xué)過程的一個(gè)必要環(huán)節(jié)，是自我反思是教學(xué)過程的一個(gè)必要環(huán)節(jié)，是提高教學(xué)效益的重要途徑，又是教師積累教學(xué)提高教學(xué)效益的重要途徑，又是教師積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的有效方法。不斷進(jìn)行教學(xué)反思，努力做經(jīng)驗(yàn)的有效方法。不斷進(jìn)行教學(xué)反思，努力做一個(gè)反思型教師，可以獲得寶貴的經(jīng)驗(yàn)、教訓(xùn)，一個(gè)反思型教師，可以獲得寶貴的

2、經(jīng)驗(yàn)、教訓(xùn)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問題，激發(fā)教師把教學(xué)實(shí)踐提升到及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問題，激發(fā)教師把教學(xué)實(shí)踐提升到新的高度，實(shí)現(xiàn)教師的自我超越。新的高度，實(shí)現(xiàn)教師的自我超越。 著名特級(jí)教師著名特級(jí)教師 王海平王海平 研研 修修 提提 綱綱一、引言一、引言二、小學(xué)數(shù)學(xué)二、小學(xué)數(shù)學(xué)1010個(gè)知識(shí)點(diǎn)的解析個(gè)知識(shí)點(diǎn)的解析三、思考與建議三、思考與建議 隨著隨著課程改革課程改革的不斷深入，的不斷深入，新課程理念新課程理念已已為越來越多的一線為越來越多的一線數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教師所接受。對(duì)處于所接受。對(duì)處于微觀知識(shí)層面微觀知識(shí)層面的一些的一些現(xiàn)實(shí)性現(xiàn)實(shí)性“詰問詰問”，諸如，諸如“最小的一位數(shù)是最小的一位數(shù)是0還是還是1？”、“4000

3、07000怎么讀怎么讀？”、“最大的分?jǐn)?shù)單最大的分?jǐn)?shù)單位是多少位是多少？”、“計(jì)算出勤率可不可以不乘計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？”等等，看似等等，看似“細(xì)節(jié)細(xì)節(jié)”的問題，的問題，卻是彰顯卻是彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“科學(xué)性科學(xué)性”、“嚴(yán)謹(jǐn)性嚴(yán)謹(jǐn)性”不可或缺的一環(huán)，處理不好可能直接影響到不可或缺的一環(huán)，處理不好可能直接影響到教學(xué)評(píng)估教學(xué)評(píng)估和和考試命題考試命題。一、一、引引 言言 但是也應(yīng)該指出，小學(xué)但是也應(yīng)該指出，小學(xué)一線教師一線教師大部分的大部分的教學(xué)困惑教學(xué)困惑來自來自教輔資料教輔資料或或考試、測驗(yàn)試題考試、測驗(yàn)試題。關(guān)于關(guān)于前者前者，要善于運(yùn)用，要善于運(yùn)用教輔資料教輔資料，合則用，合則用

4、，不合則棄不合則棄；關(guān)于；關(guān)于后者后者，要能，要能合理地理解合理地理解考試考試評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)的的理念理念。 下面簡要介紹下面簡要介紹考試學(xué)考試學(xué)的基本理論。的基本理論。一、一、引引 言言（一）考試的歷史發(fā)展）考試的歷史發(fā)展 隨著隨著教育的發(fā)展教育的發(fā)展，特別是，特別是學(xué)校教育學(xué)校教育的的出現(xiàn)出現(xiàn)和和發(fā)展發(fā)展，為了，為了更準(zhǔn)確，更精細(xì)、更客觀更準(zhǔn)確，更精細(xì)、更客觀地地評(píng)價(jià)教評(píng)價(jià)教育效果育效果，比較，比較受教育者受教育者之間的之間的學(xué)習(xí)差異學(xué)習(xí)差異，以便，以便決定何時(shí)轉(zhuǎn)入決定何時(shí)轉(zhuǎn)入下一階段的教學(xué)下一階段的教學(xué)，決定在轉(zhuǎn)變，決定在轉(zhuǎn)變教教學(xué)內(nèi)容學(xué)內(nèi)容時(shí)每個(gè)時(shí)每個(gè)受教育者受教育者的的升留取舍升留取舍，就要

5、求采，就要求采取類似取類似物件測量物件測量那樣一種方法，以得出那樣一種方法，以得出教育效教育效果果的的數(shù)量化數(shù)量化或或等級(jí)化等級(jí)化的的反映反映。 一、一、引引 言言 但是，但是，教育效果教育效果人的人的內(nèi)部素質(zhì)內(nèi)部素質(zhì)的提高，的提高，畢竟不同于畢竟不同于物件外部特征物件外部特征的變化，的變化，測量測量起來起來是很是很困難困難的。人們在的。人們在實(shí)踐實(shí)踐中逐步摸索出了這中逐步摸索出了這樣的樣的“測量測量”方法：從要求方法：從要求教育對(duì)象教育對(duì)象掌握的掌握的教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容中選取出中選取出部分內(nèi)容部分內(nèi)容（在統(tǒng)計(jì)學(xué)中叫在統(tǒng)計(jì)學(xué)中叫作作“抽樣抽樣”），再），再編制編制成便于回答的成便于回答的問題問題

6、，待待教育對(duì)象教育對(duì)象按要求回答后，再對(duì)按要求回答后，再對(duì)回答的結(jié)果回答的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)行評(píng)等評(píng)等或或判分判分。這就是。這就是考試考試。一、一、引引 言言 考試考試的出現(xiàn)，是的出現(xiàn)，是教育發(fā)展教育發(fā)展中的一件大事，對(duì)中的一件大事，對(duì)于于教育評(píng)價(jià)、比較、反饋教育評(píng)價(jià)、比較、反饋，具有難以估量的，具有難以估量的意意義義。教育評(píng)價(jià)教育評(píng)價(jià)和和考試考試有著十分密切的有著十分密切的關(guān)系關(guān)系，考考試試產(chǎn)生于產(chǎn)生于教育評(píng)價(jià)教育評(píng)價(jià)，并大大推動(dòng)了，并大大推動(dòng)了教育評(píng)價(jià)教育評(píng)價(jià)的的發(fā)展發(fā)展。一、一、引引 言言（一）考試的歷史發(fā)展）考試的歷史發(fā)展 (二)考試學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容體系考試學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容體系 考試學(xué)考試學(xué)是以是

7、以考試考試為為研究對(duì)象研究對(duì)象的科學(xué)。它的的科學(xué)。它的任務(wù)是揭示任務(wù)是揭示考試考試的的客觀規(guī)律客觀規(guī)律，探究科學(xué)、準(zhǔn)探究科學(xué)、準(zhǔn)確確地地考查人考查人的的知識(shí)和能力水平知識(shí)和能力水平的方法，以指的方法，以指導(dǎo)導(dǎo)考試實(shí)踐考試實(shí)踐。 考試學(xué)考試學(xué)的的體系體系和和內(nèi)容內(nèi)容目前尚在目前尚在建立建立和和探索探索之中。之中。一、一、引引 言言 中國在中國在古代學(xué)校古代學(xué)校中建立了中建立了定期定期對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核的制度考核的制度, ,并在并在實(shí)踐中實(shí)踐中采用了今天仍在應(yīng)采用了今天仍在應(yīng)用的用的考試方法考試方法。例如。例如“口試口試”、“策試策試”、“筆試筆試”等。等。 由于由于現(xiàn)代學(xué)校教育現(xiàn)代學(xué)校教育

8、同時(shí)具有培養(yǎng)同時(shí)具有培養(yǎng)接班人接班人和和現(xiàn)代勞動(dòng)者現(xiàn)代勞動(dòng)者這兩種這兩種職能職能，現(xiàn)代考試現(xiàn)代考試就著重考就著重考查人的查人的知識(shí)知識(shí)、智力智力和和技能技能。人類人類不同的個(gè)體不同的個(gè)體在在知識(shí)、智力知識(shí)、智力和和技能技能方面是有差別的，方面是有差別的，考試考試正是對(duì)這種正是對(duì)這種差別差別的的測量測量。 知識(shí)知識(shí)是人們在實(shí)踐中獲得的對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)是人們在實(shí)踐中獲得的對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)（包括感性的經(jīng)驗(yàn)和理性的理論包括感性的經(jīng)驗(yàn)和理性的理論）。）。 智力智力是人的一種能力，是人的能力中與獲是人的一種能力，是人的能力中與獲得知識(shí)（得知識(shí)（認(rèn)識(shí)世界認(rèn)識(shí)世界）和運(yùn)用知識(shí)（）和運(yùn)用知識(shí)（能動(dòng)地改造能動(dòng)地改造世界世

9、界）相關(guān)聯(lián)的那一部分。這種能力有時(shí)也稱）相關(guān)聯(lián)的那一部分。這種能力有時(shí)也稱為智能。為智能。 技能技能是人們通過練習(xí)而形成，完成某種任是人們通過練習(xí)而形成，完成某種任務(wù)的活動(dòng)方式，是通過反復(fù)練習(xí)后而獲得整個(gè)務(wù)的活動(dòng)方式，是通過反復(fù)練習(xí)后而獲得整個(gè)活動(dòng)中近乎自動(dòng)化的那部分動(dòng)作。活動(dòng)中近乎自動(dòng)化的那部分動(dòng)作。技能可以分技能可以分為智力技能（如運(yùn)算技能、寫作技能等）和操為智力技能（如運(yùn)算技能、寫作技能等）和操作技能（如打字技能、游泳技能等）作技能（如打字技能、游泳技能等）。 考試考試是一種是一種抽樣測量抽樣測量。命題，編制試題命題，編制試題和和制作試卷制作試卷，既是選取，既是選取測量樣本測量樣本的過程

10、，又是的過程，又是制造、選取測量工具制造、選取測量工具的過程，它是確保的過程，它是確保測試測試質(zhì)量質(zhì)量的關(guān)鍵的的關(guān)鍵的工作環(huán)節(jié)工作環(huán)節(jié)。 考試測量考試測量的的有效性有效性，是以，是以被測人被測人的積極配的積極配合為合為前提前提的，并且的，并且考試過程考試過程所提供的所提供的資料資料具具有有多方面的價(jià)值。多方面的價(jià)值。 下面看幾個(gè)有特點(diǎn)的小學(xué)數(shù)學(xué)試題。下面看幾個(gè)有特點(diǎn)的小學(xué)數(shù)學(xué)試題。（二）考試學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容體系考試學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容體系 看圖編一道用乘法計(jì)算的問題，并列算看圖編一道用乘法計(jì)算的問題，并列算式計(jì)算。式計(jì)算。4312（只）（只） 或或 34 12（只）（只） 如果三個(gè)平臺(tái)上的物品和數(shù)量是

11、一樣的，猜一猜可能是什么？有幾個(gè)？再編一道用乘法計(jì)算的問題。一號(hào)門一號(hào)門二號(hào)門二號(hào)門大人都走大人都走1號(hào)門，小孩走號(hào)門，小孩走2號(hào)門，這樣最省錢號(hào)門，這樣最省錢一號(hào)門一號(hào)門 或或 二號(hào)門二號(hào)門二號(hào)家庭二號(hào)家庭一律一律6 6元元成人成人8 8元元小孩小孩4 4元元一號(hào)門一號(hào)門二號(hào)門二號(hào)門三號(hào)家庭三號(hào)家庭一號(hào)家庭一號(hào)家庭 小剛的媽媽參觀展銷會(huì)買了一件襯衣，小剛的媽媽參觀展銷會(huì)買了一件襯衣，用了用了25.9225.92元元。一條褲子要。一條褲子要34.5034.50元元，一件，一件外套要外套要75.8075.80元元。還需要什么數(shù)據(jù)，才可。還需要什么數(shù)據(jù)，才可以算出售貨員找給小剛媽媽的錢？以算出售貨

12、員找給小剛媽媽的錢？（1）這件襯衣的原價(jià)是多少。（2）小剛媽媽參觀展銷會(huì)的日期是哪天。（3）小剛媽媽給售貨員付了多少錢。（4）買這件襯衣節(jié)約了多少錢。（5）小剛媽媽帶了多少錢去參觀展銷會(huì)。 有一個(gè)質(zhì)數(shù)，是兩個(gè)數(shù)字組有一個(gè)質(zhì)數(shù)，是兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)，兩個(gè)數(shù)字之成的兩位數(shù)，兩個(gè)數(shù)字之和是和是8 8，兩個(gè)數(shù)字之兩個(gè)數(shù)字之差是差是2 2，請問這個(gè)質(zhì)數(shù)，請問這個(gè)質(zhì)數(shù)是幾？是幾？ 數(shù)一數(shù)數(shù)一數(shù), ,有幾條線段有幾條線段? ?幾個(gè)角幾個(gè)角? ? 一個(gè)一個(gè)無蓋無蓋的正方體紙盒，盒底的正方體紙盒，盒底有個(gè)洞，沿著圖中有個(gè)洞，沿著圖中紅線紅線剪開后得到的剪開后得到的是是( )( ) 已知正方形邊長已知正方形邊長

13、1010厘米，求厘米，求正方形中的正方形中的4 4個(gè)半圓所圍成的個(gè)半圓所圍成的4 4個(gè)個(gè)“花瓣花瓣”的面積。的面積。 1010厘米厘米1010厘米厘米 兩個(gè)圓面積兩個(gè)圓面積1010厘米厘米1010厘米厘米兩個(gè)圓面積兩個(gè)圓面積 減去正方形面積減去正方形面積1010厘米厘米1010厘米厘米 0.25 4 74137726 = ( 1 )73772641 = ( 1 )76341 = 1041 = 2 .5 = 1 741377264141 六年級(jí)三個(gè)班派出六年級(jí)三個(gè)班派出運(yùn)動(dòng)員組成年級(jí)代表隊(duì)。運(yùn)動(dòng)員組成年級(jí)代表隊(duì)。我們六三班派我們六三班派出了出了1515人人。六年級(jí)代表隊(duì)共有六年級(jí)代表隊(duì)共有多少人

14、？多少人？我們我們六一六一班派班派出的人數(shù)是出的人數(shù)是你你們兩個(gè)班們兩個(gè)班派出派出總數(shù)的總數(shù)的 。2 21 1我們六二班派我們六二班派出的人數(shù)是出的人數(shù)是你你們兩個(gè)班們兩個(gè)班派出派出總數(shù)的總數(shù)的 。1 13 3我們我們六一六一班派班派出的人數(shù)是出的人數(shù)是你你們兩個(gè)班們兩個(gè)班派出派出總數(shù)的總數(shù)的 。2 21 1是是你們兩個(gè)班你們兩個(gè)班派出總數(shù)的派出總數(shù)的 。1 1就是就是三個(gè)班三個(gè)班派出總數(shù)的派出總數(shù)的 。1 1 六年級(jí)三個(gè)班派出六年級(jí)三個(gè)班派出運(yùn)動(dòng)員組成年級(jí)代表隊(duì)。運(yùn)動(dòng)員組成年級(jí)代表隊(duì)。我們六三班派我們六三班派出了出了1515人人。我們六年級(jí)代表隊(duì)我們六年級(jí)代表隊(duì)共有多少人？共有多少人？六一六

15、一班是你們班是你們兩個(gè)班總數(shù)的兩個(gè)班總數(shù)的 ，就是三個(gè)，就是三個(gè)班總數(shù)的班總數(shù)的 。1 12 23 31 1六二六二班是你們班是你們兩個(gè)班總數(shù)的兩個(gè)班總數(shù)的 ，就是三個(gè)，就是三個(gè)班總數(shù)的班總數(shù)的 。1 14 43 31 1六一六一班是三個(gè)班是三個(gè)班班總數(shù)總數(shù)的的 。3 31 1六二六二班是三個(gè)班是三個(gè)班班總數(shù)總數(shù)的的 1 14 4一一班班 3 31 1二二班班 4 41 1三三班班1515人人？人人 15 （1 ）=36（人） 3 31 14 41 1 六年級(jí)代表隊(duì)共有六年級(jí)代表隊(duì)共有36人？人？ 小明小明1 14 4 小麗小麗？小云小云 ，。 4545 =135 1 14 413545=13

16、6 13545=136 45 3 1=136 45 3 =135 汶川發(fā)生地震，師生們積極捐款汶川發(fā)生地震，師生們積極捐款 獻(xiàn)愛心。全校捐款情況如下統(tǒng)計(jì)圖。獻(xiàn)愛心。全校捐款情況如下統(tǒng)計(jì)圖。高中高中小學(xué)小學(xué)5 5 初三初三1818 初一初一2121 初二初二2020 教師教師2020 （2 2）初一學(xué)生捐款多少元？補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖。）初一學(xué)生捐款多少元？補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖。（3 3）高中捐款數(shù)在統(tǒng)計(jì)圖的圓心角是多少度？）高中捐款數(shù)在統(tǒng)計(jì)圖的圓心角是多少度？單位：元單位：元 63000初一初一2121 下面對(duì)在下面對(duì)在 “國培計(jì)劃國培計(jì)劃”項(xiàng)目實(shí)施過程中所項(xiàng)目實(shí)施過程中所收集到的小學(xué)一線教師的收集到的小學(xué)一線教

17、師的教學(xué)困惑教學(xué)困惑作一番作一番梳梳理，分為理，分為10個(gè)個(gè)問題問題，逐一給出，逐一給出分析分析或或思考思考，供各位老師供各位老師參考參考。不妥之處，敬請?zhí)岢觥２煌字?，敬請?zhí)岢雠u(píng)、批評(píng)、改正改正意見。意見。二、二、小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)10個(gè)知識(shí)點(diǎn)的解析個(gè)知識(shí)點(diǎn)的解析 “數(shù)位數(shù)位”是指一個(gè)（是指一個(gè)（非零非零）自然數(shù)自然數(shù)的每個(gè)的每個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)字所占所占的的位置位置。 “位數(shù)位數(shù)”是指一個(gè)是指一個(gè)自然數(shù)自然數(shù)中含有中含有數(shù)位數(shù)位的的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)。 區(qū)別：區(qū)別： “數(shù)位數(shù)位”無法無法比較大小比較大小。數(shù)位順序表數(shù)位順序表從右從右端算起，第一位是端算起，第一位是“個(gè)位個(gè)位”，第二位是，第二位是“十位十位”，

18、第三位是第三位是“百位百位”，第四位是，第四位是“千位千位”，第五位是，第五位是“萬位萬位”，等等。平時(shí)只說，等等。平時(shí)只說個(gè)位數(shù)的數(shù)是幾，十位個(gè)位數(shù)的數(shù)是幾，十位上的數(shù)是幾上的數(shù)是幾。只有數(shù)和數(shù)可以比較大小。只有數(shù)和數(shù)可以比較大小。 請看下面的例子：請看下面的例子：1.1.關(guān)于關(guān)于“數(shù)位數(shù)位”與與“位數(shù)位數(shù)” 例例1.1. 數(shù)位多的數(shù)一定大（數(shù)位多的數(shù)一定大（ ） 。 分析：分析：本題選本題選. 理由是：理由是：數(shù)位不能比較大小數(shù)位不能比較大小。如如將題目的條件改為：將題目的條件改為：位數(shù)多的數(shù)一定大位數(shù)多的數(shù)一定大。則。則題目題目是是對(duì)的。例如，三位數(shù)比兩位數(shù)多一位，五位數(shù)比三對(duì)的。例如，

19、三位數(shù)比兩位數(shù)多一位，五位數(shù)比三位數(shù)多兩位，所以位數(shù)多兩位，所以前者前者比比后者后者大。大。 例例2.2. 最小的一位數(shù)是最小的一位數(shù)是0還是還是1？ 分析：分析：所謂所謂最大最大的的幾位數(shù)幾位數(shù)，最小最小的的幾位數(shù)幾位數(shù)，通常是通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。在非零自然數(shù)的范圍研究。所以所以一位數(shù)一位數(shù)共有九個(gè)，共有九個(gè)，即：、。即：、。不不是最小的一位數(shù)。是最小的一位數(shù)。 1.1.關(guān)于關(guān)于“數(shù)位數(shù)位”與與“位數(shù)位數(shù)”【注注1】在日常的在日常的教學(xué)教學(xué)中，中，一部分老師會(huì)對(duì)諸部分老師會(huì)對(duì)諸如，如，400007000怎么讀，產(chǎn)生怎么讀，產(chǎn)生疑問疑問。 其實(shí)，這個(gè)其實(shí)，這個(gè)數(shù)數(shù)讀作：讀作：4億零億

20、零7千千。零在億級(jí)零在億級(jí)和千中間，每級(jí)中間的零要讀，但連續(xù)的幾和千中間，每級(jí)中間的零要讀，但連續(xù)的幾個(gè)零只讀一個(gè)。個(gè)零只讀一個(gè)。 又如，又如，1580150015 中的中的 15是是讀十五還是讀十五還是讀一十五？讀一十五？ 這個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)一般讀作一般讀作：15億億8千零千零15萬零萬零15. 再如，再如，108000讀作讀作10萬萬8千千還是還是10萬零萬零8千千？ 這個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)一般讀作一般讀作10萬萬8千千.【注注2】2014年后的小學(xué)數(shù)學(xué)年后的小學(xué)數(shù)學(xué)教材教材中，中， 十五十五億八千零十五萬零十五億八千零十五萬零十五寫作寫作： 15億億8千零千零15萬零萬零15. 課程標(biāo)準(zhǔn)課程標(biāo)準(zhǔn)下的下的

21、教材教材對(duì)對(duì)“也是自然數(shù)也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。 中央教科所教材編寫組中央教科所教材編寫組主編主編陳昌鑄陳昌鑄如是說如是說：“國際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說國際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù)法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù)從從0 0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認(rèn)為的說法，認(rèn)為0 0不是自然數(shù)。不是自然數(shù)。20002000年教育部主年教育部主持召開教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將持召開教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0 0歸為歸為自然數(shù)。

22、這次改版也是與國際慣例接軌。自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。”2. 2. 0為什么也是自然數(shù)為什么也是自然數(shù)? 從從教學(xué)實(shí)踐層面教學(xué)實(shí)踐層面來說，將來說，將“”規(guī)定為規(guī)定為“自然數(shù)自然數(shù)”也有著積極的也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義現(xiàn)實(shí)意義。例如，。例如，集合論集合論中，有一個(gè)中，有一個(gè)集合，集合，叫做叫做空集空集： ，它不含，它不含元素元素，因此，因此，空集的空集的基數(shù)基數(shù)為為0. 如果不把如果不把0作為作為自然數(shù)自然數(shù)，那么，那么空集空集的的元素元素的個(gè)數(shù)就無法用的個(gè)數(shù)就無法用自然數(shù)自然數(shù)來表示。如果把來表示。如果把“0”作為一作為一個(gè)個(gè)自然數(shù)自然數(shù)，那么，那么自然數(shù)自然數(shù)就可以完成刻畫就可以完成

23、刻畫“有限集合有限集合元素個(gè)數(shù)元素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。因此，從的任務(wù)了。因此，從“自然數(shù)的基數(shù)性自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把這個(gè)角度，我們看到了把“0”作為作為自然數(shù)自然數(shù)的好處。的好處。 其次，其次，“0”加入加入自然數(shù)集合自然數(shù)集合，所有的，所有的自然數(shù)自然數(shù)的的“運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則” (交換律、結(jié)合律、分配律交換律、結(jié)合律、分配律)依舊依舊保持保持 。2. 2. 0為什么也是自然數(shù)為什么也是自然數(shù)? “0”加盟到加盟到自然數(shù)集合自然數(shù)集合實(shí)屬實(shí)屬數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，的需要，而不僅僅是人為的而不僅僅是人為的“規(guī)定規(guī)定”。 它可以讓我們更好地理解它可以讓我們更好地理解自然數(shù)自然數(shù)和它

24、的和它的功能功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)教學(xué)時(shí)不僅要時(shí)不僅要知知道道和和記住記住數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的“定義定義”和和“規(guī)定規(guī)定”，還應(yīng)，還應(yīng)該該思考思考“規(guī)定規(guī)定”背后的背后的數(shù)學(xué)涵義數(shù)學(xué)涵義。2. 2. 0為什么也是自然數(shù)為什么也是自然數(shù)? 有效數(shù)字有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值近似值的的精確程度精確程度而提出而提出的。同一個(gè)的。同一個(gè)近似數(shù)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字有效數(shù)字多，就比保留的多，就比保留的有效數(shù)字有效數(shù)字少更精確。少更精確。 一般說，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說一般說，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這

25、個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)，從左邊這時(shí)，從左邊第一個(gè)非第一個(gè)非零的數(shù)字零的數(shù)字起，到那一位上的起，到那一位上的所有數(shù)字所有數(shù)字（包含包含0）都都叫做這個(gè)數(shù)的叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字有效數(shù)字。如近似數(shù)。如近似數(shù)0.00309有三個(gè)有三個(gè)有效數(shù)字有效數(shù)字：3、0、9；0.520也有三個(gè)也有三個(gè)有效數(shù)字有效數(shù)字：5、2、0。而。而0.00309中左邊的三個(gè)中左邊的三個(gè)0，0.520中左邊的中左邊的一個(gè)一個(gè)0，都叫做，都叫做無效數(shù)字無效數(shù)字。3. 3. 什么是有效數(shù)字、什么是無效數(shù)字？什么是有效數(shù)字、什么是無效數(shù)字？ （1 1）加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？）加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？

26、 “加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算運(yùn)算”這似乎成了許多老師的這似乎成了許多老師的口頭禪口頭禪，這樣說對(duì)嗎？，這樣說對(duì)嗎？ 這其實(shí)是一種這其實(shí)是一種誤解誤解。例如：。例如： 加法加法“”，其，其逆運(yùn)算逆運(yùn)算為為“”，“”。故此，。故此，加法的逆運(yùn)算只有加法的逆運(yùn)算只有減法；減法；減法減法“”，其，其逆運(yùn)算逆運(yùn)算有有 “”， “”。故此，。故此，減法的逆運(yùn)算有減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。減法和加法兩種運(yùn)算。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算（1 1）加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？）加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？ 綜上可知，只

27、能說綜上可知，只能說減法是加法的逆運(yùn)算減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。 同理，也只能說同理，也只能說除法是乘法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，而而不能說不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。乘法與除法互為逆運(yùn)算。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （2 2）為什么不寫）為什么不寫“倍倍”？ 在學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)用題時(shí)，很多很多小學(xué)生小學(xué)生會(huì)自然提出這樣的會(huì)自然提出這樣的疑問疑問，如，如：“飼養(yǎng)小飼養(yǎng)小組養(yǎng)了組養(yǎng)了12只小雞，只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？幾倍？”

28、為什么為什么“1234”的后面不寫的后面不寫“倍倍”呢？呢？ 分析：分析：在解答在解答應(yīng)用題應(yīng)用題時(shí)，時(shí)，得數(shù)得數(shù)后面一般要寫上后面一般要寫上單位單位名稱名稱。如：。如：12只只的的“只只”；8克克的的“克克”。一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長短、輕重多少、大小、長短、輕重等等。等等。 4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （2 2）為什么不寫）為什么不寫“倍倍”？ 分析：分析：但是，但是，“倍倍”不是不是單位名稱單位名稱，它表示它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)。例如，上面的計(jì)算

29、結(jié)果算結(jié)果“4”，表示，表示12里面有里面有4個(gè)個(gè)3，也就是，也就是12只小雞是只小雞是3只小鴨的只小鴨的4倍倍。所以，在。所以，在算式算式里不里不寫寫“倍倍”，以免，以免“倍倍”與與單位名稱單位名稱發(fā)生發(fā)生混淆混淆。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （3 3）“倍倍”和和“倍數(shù)倍數(shù)”的區(qū)別的區(qū)別 在在第一學(xué)段第一學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)了學(xué)生學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)倍的初步認(rèn)識(shí)識(shí)”，認(rèn)識(shí)了，認(rèn)識(shí)了概念概念“倍倍”，而在，而在第二學(xué)段第二學(xué)段，學(xué)生又學(xué)習(xí)到學(xué)生又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)倍數(shù)”這個(gè)這個(gè)概念概念。那么。那么，“倍倍”和和“倍數(shù)倍數(shù)”這兩個(gè)這兩個(gè)詞詞到底是不是到底是不是一回一回事呢事呢？這兩個(gè)？這兩個(gè)詞詞之間

30、有什么之間有什么區(qū)別區(qū)別呢？呢？4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （3 3）“倍倍”和和“倍數(shù)倍數(shù)”的區(qū)別的區(qū)別 “倍倍”指的是指的是數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系，它建立在，它建立在乘除法乘除法概念概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有人，女生有30人，因?yàn)槿耍驗(yàn)椤?03=30”或者或者“3010=3”，我們就說，我們就說，女生人數(shù)女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)是男生人數(shù)（10）的的3倍倍，也可以說，也可以說，男生人數(shù)男生人數(shù)（10）的的3倍等倍等于女生人數(shù)于女生人數(shù)（30）。所以，）。所以，“倍倍”其實(shí)表示其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)的商的是兩個(gè)數(shù)的商（這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、這個(gè)商可以

31、是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）。）。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （3 3）“倍倍”和和“倍數(shù)倍數(shù)”的區(qū)別的區(qū)別 “倍數(shù)倍數(shù)”指的是指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在，它建立在整除概念整除概念的基礎(chǔ)上。例如，的基礎(chǔ)上。例如，30能被能被6整除整除，30就是就是6的的倍數(shù)倍數(shù)?？梢?，。可見，“倍數(shù)倍數(shù)”是不能是不能獨(dú)立存在獨(dú)立存在的（的（具有具有特定的指向性特定的指向性），而且），而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求對(duì)數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)必須為整數(shù)）。）。 同時(shí)又應(yīng)該看到，同時(shí)又應(yīng)該看到，30也是也是6的的5倍，因?yàn)楸?，因?yàn)?530，“65”表示表示

32、6的的5倍。所以，從這個(gè)角度來說倍。所以，從這個(gè)角度來說，“倍倍”的的涵義涵義應(yīng)寬泛于應(yīng)寬泛于“倍數(shù)倍數(shù)”，后者可以視為前后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。者在特定情形下的一種表現(xiàn)。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算（4 4）分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義相同嗎？）分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義相同嗎？ 分?jǐn)?shù)乘法分兩種情況：分?jǐn)?shù)乘法分兩種情況： 分?jǐn)?shù)乘（以）整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意分?jǐn)?shù)乘（以）整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義完全相同。義完全相同。一個(gè)數(shù)乘（以）分?jǐn)?shù)，表示求這個(gè)數(shù)的幾一個(gè)數(shù)乘（以）分?jǐn)?shù)，表示求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。與整數(shù)乘法的意義不同。分之幾是多少。與整數(shù)乘法的意義不同。4.

33、 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算（5 5）一個(gè)因數(shù)的末尾有）一個(gè)因數(shù)的末尾有0 0，積一定有，積一定有0. 0. 分析：分析：針對(duì)針對(duì)不同年級(jí)不同年級(jí)的學(xué)生有不同的的學(xué)生有不同的答案答案： 三年級(jí)上冊：三年級(jí)上冊：一個(gè)因數(shù)末尾有零乘法。一個(gè)因數(shù)末尾有零乘法。這時(shí)一個(gè)因數(shù)的末尾有這時(shí)一個(gè)因數(shù)的末尾有0，積一定有，積一定有0. . 六年級(jí)上冊：六年級(jí)上冊：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。這時(shí)一個(gè)因數(shù)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。這時(shí)一個(gè)因數(shù)的末尾有的末尾有0，積不一定有積不一定有0. 如：如：101/2=5.4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算（6 6）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商就不變？）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商就不變？ 分析：分析：該

34、該問題問題考察對(duì)考察對(duì)除法基本性質(zhì)除法基本性質(zhì)的掌握。的掌握。例如，例如，4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 11 2.1010 3 只有只有被除數(shù)被除數(shù)和和除數(shù)除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商才不變商才不變。 （7 7）0.40.4 0.50.5的積應(yīng)該有幾位小數(shù)？的積應(yīng)該有幾位小數(shù)？ 分析：分析：人教版四年級(jí)教材人教版四年級(jí)教材有有規(guī)定：規(guī)定：小數(shù)乘法小數(shù)乘法的結(jié)果，如果小數(shù)點(diǎn)后面有的結(jié)果，如果小數(shù)點(diǎn)后面有0 0，一般要把末尾，一般要把末尾的的0 0去掉。去掉。 對(duì)于這樣的對(duì)于這樣的問題問題，如果做題要求是，如果做題要求是保留保留兩位小數(shù)兩位小數(shù)，那就必須寫成，那就必須寫成0

35、.20. 如果沒有如果沒有具具體要求體要求保留保留小數(shù)數(shù)位小數(shù)數(shù)位，那么答案是，那么答案是0.2. 答案：答案： 0.40.40.50.5的的積積是是一位小數(shù)一位小數(shù)。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算例：例：用用8、6、4、1、0組成最大的組成最大的兩位小數(shù)兩位小數(shù)，這個(gè)這個(gè)數(shù)數(shù)是多少？是多少？ 分析：分析：不同的不同的教學(xué)參考書教學(xué)參考書，答案答案不同。有兩不同。有兩個(gè)不同的個(gè)不同的答案答案：864.10 和和 864.01. 這讓老師這讓老師們很們很頭疼頭疼！ 按上面的按上面的分析分析，答案答案應(yīng)為：應(yīng)為： 864.01. 個(gè)人認(rèn)為，做類似這樣的個(gè)人認(rèn)為，做類似這樣的題目題目沒有意義沒

36、有意義。4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算【注注3】 乘法乘法是是加法加法的簡便運(yùn)算。如的簡便運(yùn)算。如, 5+5+5=53，那么，那么，除法除法和和減法減法的的關(guān)系關(guān)系是什么？是什么？ 除法除法可以是看作是可以是看作是連續(xù)減去相同數(shù)的簡便運(yùn)連續(xù)減去相同數(shù)的簡便運(yùn)算算，被除數(shù)被除數(shù)就是就是被減數(shù)被減數(shù)，除數(shù)除數(shù)就是相同的就是相同的減數(shù)減數(shù)，連減連減的最多次數(shù)就是的最多次數(shù)就是商商。如，。如，205=20-5-5-5-5=0. 如果如果連續(xù)減去連續(xù)減去若干次后，剛好減完，若干次后，剛好減完，說明說明余數(shù)余數(shù)為為0；如果；如果連續(xù)減去連續(xù)減去若干次后最后的若干次后最后的差差不是不是0，但比，但比除

37、數(shù)除數(shù)小，那么最后的小，那么最后的差差是是余數(shù)余數(shù)。（8 8）關(guān)于整除、除盡、除不盡。）關(guān)于整除、除盡、除不盡。 “整除整除”是是整數(shù)范圍整數(shù)范圍內(nèi)的內(nèi)的除法除法。對(duì)于任意對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)兩個(gè)整數(shù)a和和b（b0），如果存在一個(gè)整數(shù)），如果存在一個(gè)整數(shù)q，使使bq=a成立，則稱成立，則稱a能被能被b整除。整除。而而“除盡除盡”則不限于則不限于整數(shù)范圍整數(shù)范圍，只要求，只要求余數(shù)余數(shù)為零為零。“整除整除”與與“除盡除盡”的的區(qū)別區(qū)別和和聯(lián)系聯(lián)系在于：在于：“整除整除”也可也可以稱作以稱作“除盡除盡”，但是，但是“除盡除盡”不一定是不一定是“整整除除”。“除盡除盡”中包括了中包括了“整除整除”，“整

38、除整除”只是只是“除盡除盡”的一種特殊情況。的一種特殊情況。 4. 4. 關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算（8 8）關(guān)于整除、除盡、除不盡。）關(guān)于整除、除盡、除不盡。 “除不盡除不盡”，就是兩個(gè)數(shù)，就是兩個(gè)數(shù)相除相除，不用，不用余余數(shù)數(shù)表示，表示，商商是是無限小數(shù)無限小數(shù)，這樣的兩個(gè)，這樣的兩個(gè)數(shù)數(shù)叫做叫做“除不盡除不盡”。 “除不盡除不盡”又分為兩種又分為兩種情形情形：商是無限商是無限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)小數(shù)，如：如：86=1.333；和和商是無商是無限不循環(huán)小數(shù)限不循環(huán)小數(shù)，如：，如：圓的周長圓的周長圓的直徑圓的直徑= =.（小學(xué)階段不學(xué)習(xí)無理數(shù)，約定小學(xué)階段不學(xué)習(xí)無理數(shù)，約定=3.14 ）4. 4.

39、關(guān)于四則運(yùn)算關(guān)于四則運(yùn)算 （1 1）最大的分?jǐn)?shù)單位是）最大的分?jǐn)?shù)單位是1/21/2還是還是1/11/1？ 先看先看分?jǐn)?shù)單位分?jǐn)?shù)單位的含義：的含義：把單位把單位“1”平均分成若干平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。份，表示這樣一份的數(shù)。 在在分?jǐn)?shù)意義分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是中，關(guān)鍵是“分分”，沒有，沒有“分分”，就，就沒有沒有“份份”。因?yàn)?。因?yàn)榘褑挝话褑挝弧?”平均分成的最少份數(shù)平均分成的最少份數(shù)是是2份份（如果是如果是1份，也就無所謂份，也就無所謂“分分”），），由此得由此得到的分?jǐn)?shù)單位是到的分?jǐn)?shù)單位是1/2，所以所以1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位是最大的分?jǐn)?shù)單位。 盡管就盡管就廣義的分?jǐn)?shù)廣義的分?jǐn)?shù)來說，來

40、說，1/1也可視作分?jǐn)?shù)也可視作分?jǐn)?shù)，但它，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)整數(shù)對(duì)立的那種對(duì)立的那種分分?jǐn)?shù)數(shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，），故此，最大的分最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以數(shù)單位應(yīng)以1/2為宜。為宜。5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù) （2 2）長方形對(duì)角線把其分成四部分，那么每部分長方形對(duì)角線把其分成四部分，那么每部分都是都是1/4嗎？（三年級(jí)）嗎？（三年級(jí)） 分析：分析：不對(duì)。不對(duì)。長方形長方形用兩條用兩條對(duì)角線對(duì)角線將其分成將其分成四份四份，四份不完全相等四份不完全相等。把一個(gè)。把一個(gè)長方形長方形沿沿對(duì)對(duì)角線角線撕開變成

41、四個(gè)撕開變成四個(gè)三角形三角形，它們不完全相等它們不完全相等。5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)? ? 小學(xué)小學(xué)教科書教科書中中分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的定義明確指出：的定義明確指出：把把單位單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫分?jǐn)?shù)。幾份的數(shù)，叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的其中，分成的份數(shù)份數(shù)叫做叫做分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的的分母分母，要表示的，要表示的份數(shù)份數(shù)叫做叫做分子分子。由此。由此可知，可知，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)數(shù)。從

42、這個(gè)意義來說，以上這幾個(gè)。從這個(gè)意義來說，以上這幾個(gè)數(shù)數(shù)徒具徒具分分?jǐn)?shù)數(shù)的的形式形式，而不具，而不具分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)，因此，因此都不應(yīng)都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)該視為分?jǐn)?shù)。5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)? ? 進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)”涵義的理涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)，將上述，將上述這些這些變異形式變異形式納入納入思考思考的范圍，其本身對(duì)的范圍，其本身對(duì)訓(xùn)訓(xùn)練練學(xué)生的學(xué)生的思維思維并無多大并無多大實(shí)際意義實(shí)際意義

43、，而且會(huì)令，而且會(huì)令諸如諸如“分?jǐn)?shù)都大于分?jǐn)?shù)都大于0”等等命題命題的的真與假真與假陷入尷陷入尷尬。尬。5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)（4 4）比）比6 6多多1/21/2的數(shù)的數(shù)”應(yīng)該是應(yīng)該是“6+1/26+1/2”還是還是“6 6 (1+1/2)(1+1/2)” 要弄清這個(gè)問題，先得弄清要弄清這個(gè)問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，的性質(zhì)。顯然，此處的此處的“6”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)數(shù)”，而非一個(gè)，而非一個(gè)“量量”，求求“比比6多多1/2的數(shù)的數(shù)”應(yīng)屬于應(yīng)屬于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的的范疇，問題中的“多幾多幾”都是確定的都是確定的具體數(shù)具體

44、數(shù)，這，這里的里的“幾幾”既可以是既可以是整數(shù)整數(shù)，也可以是，也可以是小數(shù)小數(shù)或或分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)。所以，這里的所以，這里的“1/2”是指在是指在6的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上“多多1/2”這個(gè)這個(gè)“1/2”數(shù)的本身，而非數(shù)的本身，而非“6的的1/2”。所以。所以，“比比6多多1/2的數(shù)的數(shù)”應(yīng)該是應(yīng)該是“6+1/2”。 當(dāng)然，如果當(dāng)然，如果題目題目為：為：“比比6多它的多它的1/2的數(shù)的數(shù)”，那，那答答案則屬于后者。案則屬于后者。 5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù) 把把 平均平均分給兩個(gè)小朋友，分給兩個(gè)小朋友，每人得到一個(gè)分每人得到一個(gè)分?jǐn)?shù)，誰會(huì)分？數(shù)，誰會(huì)分？ （5 5）計(jì)算出勤率可不可以不乘）計(jì)

45、算出勤率可不可以不乘100%100%？ 同一同一課程標(biāo)準(zhǔn)課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的下，不同的課本課本對(duì)此給出了對(duì)此給出了不同的理解，這給教師帶來了困惑：不同的理解，這給教師帶來了困惑：到底可不可以不到底可不可以不乘乘100% %呢？呢？個(gè)人以為個(gè)人以為，求，求“率率”其結(jié)果必定為其結(jié)果必定為百分率百分率。以。以出勤率出勤率為例，就是求為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：如果公式只寫成：出勤率出勤率=實(shí)際實(shí)際出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)，出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)，這只是這只是分?jǐn)?shù)形式分?jǐn)?shù)形式（也即是求也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人

46、數(shù)的“幾分之幾幾分之幾”），并不），并不是是百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)。因此，在公式后面乘上。因此，在公式后面乘上“100”，既可，既可以使以使計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證大小不變，又能保證結(jié)果形式結(jié)果形式滿足滿足百分百分?jǐn)?shù)數(shù)的要求。因此，的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率格率的公式中，都應(yīng)乘的公式中，都應(yīng)乘“100”。 5. 5. 關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)關(guān)于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)（1）足球比賽記分牌上的足球比賽記分牌上的“:”是數(shù)學(xué)中的是數(shù)學(xué)中的“比比”嗎？嗎？ 至少可以從兩個(gè)方面來理解它們的至少可以從兩個(gè)方面來理解它們的差別差別。 第一，第一， 球類比賽球類比賽中的中的

47、“3:2”表示的是比賽雙方表示的是比賽雙方的得分情況，是的得分情況，是“差差”比，即表示比，即表示相差關(guān)系相差關(guān)系，一方，一方得得3分，另一方得分，另一方得2分，雙方相差分，雙方相差1分；分；數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的中的“3:2”表示的是表示的是“32”，是，是“倍倍”比，比，商商為為1.5. 有鑒于此，有鑒于此，球類比賽球類比賽中的中的“比比”（其實(shí)是比分其實(shí)是比分），），其其后數(shù)后數(shù)可以為可以為0的，而的，而數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的中的“比比”，其，其后數(shù)后數(shù)（相當(dāng)于除數(shù)相當(dāng)于除數(shù)）在）在小學(xué)階段小學(xué)階段是不可以為是不可以為0的。的。6. 6. 關(guān)于比例關(guān)于比例（1）足球比賽記分牌上的足球比賽記分牌上的“:”是數(shù)

48、學(xué)是數(shù)學(xué)中的中的“比比”嗎？嗎？ 至少可以從兩個(gè)方面來理解它們的至少可以從兩個(gè)方面來理解它們的差別差別。 第二，數(shù)學(xué)中的第二，數(shù)學(xué)中的“比比”是可以是可以化簡化簡的，如的，如“4:22:1”；同樣的；同樣的“4:2”放在放在球類比賽球類比賽中，中，卻不可以卻不可以化簡化簡，如果，如果化簡化簡就不能反映雙方在就不能反映雙方在比賽中的比賽中的實(shí)際得分實(shí)際得分了。了。6. 6. 關(guān)于比例關(guān)于比例（2）小學(xué)階段解答比例應(yīng)用題的完整步驟是什么？小學(xué)階段解答比例應(yīng)用題的完整步驟是什么？ 分析：分析：解答解答比例應(yīng)用題比例應(yīng)用題的完整的完整步驟步驟為：為： 先先判斷判斷題中的題中的量量成什么成什么比例比例，

49、再按，再按比例比例的方法的方法列出列出比例量比例量，然后，然后解答解答和和檢驗(yàn)檢驗(yàn)。一般一般，小學(xué)階段應(yīng)將小學(xué)階段應(yīng)將比例問題比例問題的答案化到不能的答案化到不能約分約分為止。例如，為止。例如，“8a=6b（b0），那么那么， a:b=3:4”，而不寫成，而不寫成“a:b=6:8”.6. 6. 關(guān)于比例關(guān)于比例 估算估算是在是在計(jì)算、測量計(jì)算、測量時(shí)無法也沒有必要進(jìn)時(shí)無法也沒有必要進(jìn)行行精確計(jì)算精確計(jì)算或或測量測量，對(duì)，對(duì)數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系做做合理合理的的大大概推斷概推斷。 在小學(xué)在小學(xué)課堂教學(xué)課堂教學(xué)中，何時(shí)中，何時(shí)“估算估算”、何時(shí)、何時(shí)“精確計(jì)算精確計(jì)算”？可以參考下面的？可以參考下面的建

50、議建議。7.7.關(guān)于估算關(guān)于估算用計(jì)算器問題情境用筆算需要計(jì)算需要近似答案估算估算需要精確答案用心算“估算估算”教學(xué)的策略教學(xué)的策略教學(xué)生估算的方法教學(xué)生估算的方法 1. 湊整湊整。 取整十?dāng)?shù)、四舍五入取整十?dāng)?shù)、四舍五入 3. 利用利用特殊數(shù)據(jù)特殊數(shù)據(jù)特點(diǎn)特點(diǎn)估數(shù)估數(shù)。1272673=1272621130625=81250 2. 取中間數(shù)。取中間數(shù)。 672+678+673+6796754=2700 4.尋找區(qū)間，看首位。尋找區(qū)間，看首位。首位首位-1：至少；首位都：至少；首位都+1：最多。例如，最多。例如，4.33.7 至少至少：43=12 最多最多： 54=20 5. 都往都往大估大估，或

51、都往或都往小估小估；一個(gè)一個(gè)估大估大，一個(gè)一個(gè)估小估?。换蚧蛞粋€(gè)估，一個(gè)不估一個(gè)估，一個(gè)不估（視具體情境而定視具體情境而定）先估后調(diào)先估后調(diào)?！肮浪愎浪恪苯虒W(xué)的策略教學(xué)的策略教學(xué)生估算的方法教學(xué)生估算的方法例：例：媽媽用媽媽用100100元錢元錢買下列物品，夠嗎？買下列物品，夠嗎？24元元33元元44元元6.6.利用乘法口訣估算。利用乘法口訣估算。 “兩位數(shù)除以一位數(shù)的估算兩位數(shù)除以一位數(shù)的估算” （三下）（三下） 教科書教科書中設(shè)計(jì)了如下一些估算題目：中設(shè)計(jì)了如下一些估算題目： 593 883 912 414 6247. 利用估算進(jìn)行判斷。利用估算進(jìn)行判斷。61232412883=79942

52、9229=10128“估算估算”教學(xué)的策略教學(xué)的策略教學(xué)生估算的方法教學(xué)生估算的方法 A 少于少于200 B. 400500 C. 300400 D. 200300備選答案不是一個(gè)具體數(shù)值，而是一個(gè)數(shù)值備選答案不是一個(gè)具體數(shù)值，而是一個(gè)數(shù)值區(qū)間?？梢岳贸朔ü浪銇斫鉀Q這樣的問題。區(qū)間?？梢岳贸朔ü浪銇斫鉀Q這樣的問題。 公園平均每小時(shí)有公園平均每小時(shí)有3645人乘坐碰碰車，人乘坐碰碰車，估計(jì)估計(jì)6小時(shí)中，乘坐碰碰車的人數(shù)是：（小時(shí)中，乘坐碰碰車的人數(shù)是：（ ） D教學(xué)案例教學(xué)案例 估估 算算 （北京教科院北京教科院 吳正憲吳正憲）青青和母親去購物青青和母親去購物買了這么多物品，要多少錢呢？買了

53、這么多物品，要多少錢呢？我?guī)Я宋規(guī)Я?00200元錢，元錢，夠不夠呢？夠不夠呢？ 在下列哪種情況下使用估算在下列哪種情況下使用估算比精確計(jì)算有意義比精確計(jì)算有意義？A.A.當(dāng)青青想確認(rèn)當(dāng)青青想確認(rèn)200200元錢是不是夠用時(shí)；元錢是不是夠用時(shí)；C.C.當(dāng)青青被告知應(yīng)付多少錢時(shí)。當(dāng)青青被告知應(yīng)付多少錢時(shí)。B.B.當(dāng)銷售員將每種食品的價(jià)錢輸入收銀機(jī)時(shí)；當(dāng)銷售員將每種食品的價(jià)錢輸入收銀機(jī)時(shí)；吳老師用這個(gè)情景說明：吳老師用這個(gè)情景說明：“估算估算”適適用的范圍。用的范圍。曹沖稱象曹沖稱象吳老師創(chuàng)設(shè)這個(gè)情景，目的是吳老師創(chuàng)設(shè)這個(gè)情景，目的是讓學(xué)生體驗(yàn)讓學(xué)生體驗(yàn)“估算估算”的方法。的方法。 這么多的石頭和

54、大象一樣重這么多的石頭和大象一樣重六次六次稱石頭的質(zhì)量如下（單位：千克）稱石頭的質(zhì)量如下（單位：千克）次數(shù)次數(shù)123456質(zhì)量質(zhì)量328 346 307 377 398 352 你能估計(jì)出這頭你能估計(jì)出這頭 大象多重嗎？大象多重嗎？ 這里可以有多種這里可以有多種“估算估算”的方法，方法的選擇：的方法，方法的選擇：“快快”；“誤差盡可誤差盡可能小能小”。 2108 2108千克千克 2010820108千克千克哪個(gè)答案對(duì)？哪個(gè)答案對(duì)？ 350350名同學(xué)要外出參觀，名同學(xué)要外出參觀， 有有7 7輛車，每輛車輛車，每輛車5656個(gè)座位，個(gè)座位， 估一估夠不夠坐？估一估夠不夠坐？ 756350（個(gè)）

55、（個(gè)） 350個(gè)個(gè)=350個(gè)個(gè) 看作看作5050756420（個(gè)）（個(gè)） 420個(gè)個(gè)350個(gè)個(gè) 看作看作6060“估算估算”意識(shí)的滲透意識(shí)的滲透 車重車重986986千克，這輛車可以過橋嗎？千克，這輛車可以過橋嗎？ 共共6 6箱箱限重限重3 3噸噸每箱重每箱重285285千克千克3t2084= 哪個(gè)答案可能是正確的？哪個(gè)答案可能是正確的？A 8032 B 823C 832 832 本案例完本案例完 總之，總之，估算估算的方法有多種，要讓學(xué)生在日的方法有多種，要讓學(xué)生在日常生活中多常生活中多觀察，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法解觀察，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法解決問題，通過不失時(shí)機(jī)的估算訓(xùn)練，使學(xué)生決問題，通過

56、不失時(shí)機(jī)的估算訓(xùn)練，使學(xué)生感受到感受到估算估算是解決問題的一種策略是解決問題的一種策略。用它可。用它可以簡潔并迅速地解決某些以簡潔并迅速地解決某些問題問題，從而在培養(yǎng)，從而在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生估算技能估算技能的同時(shí)逐步向?qū)W生的同時(shí)逐步向?qū)W生滲透滲透估算的估算的意識(shí)意識(shí)和和理念理念。 7.7.關(guān)于估算關(guān)于估算 首先應(yīng)該明確的是，首先應(yīng)該明確的是，小小時(shí)時(shí)并非并非國際時(shí)間單位國際時(shí)間單位。在在1984年國務(wù)院發(fā)布的年國務(wù)院發(fā)布的關(guān)于我國統(tǒng)一法定計(jì)量單關(guān)于我國統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令位的命令中，把中，把秒秒作為作為時(shí)間的基本單位時(shí)間的基本單位，把，把非國非國際單位制的時(shí)間單位天（日）、際單位制的時(shí)間單位天（

57、日）、小小時(shí)、分作為時(shí)、分作為輔助單位輔助單位?！咀⒆ⅰ?里的字，在不致里的字，在不致混淆混淆的情況下，可以的情況下，可以省略省略。這樣，在。這樣，在我國范圍我國范圍內(nèi)使用的內(nèi)使用的法定時(shí)間單位法定時(shí)間單位就就有：有：天（日）、天（日）、小小時(shí)、分、秒。時(shí)、分、秒。 8. “8. “時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”有什么不同？怎樣使用有什么不同？怎樣使用“時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”？ 由此，由此，“時(shí)時(shí)”既可以表示既可以表示時(shí)間時(shí)間，又可以表示，又可以表示時(shí)刻時(shí)刻。由于由于“時(shí)間時(shí)間”和和“時(shí)刻時(shí)刻”這兩個(gè)不同的這兩個(gè)不同的概念概念，容易容易產(chǎn)生產(chǎn)生混淆混淆，在實(shí)際應(yīng)用，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位時(shí)間單位“時(shí)時(shí)”時(shí)

58、，現(xiàn)行時(shí)，現(xiàn)行課課本本作了如下處理：作了如下處理：當(dāng)當(dāng)列式計(jì)算列式計(jì)算出出時(shí)間的長短時(shí)間的長短時(shí)，在時(shí)，在得數(shù)得數(shù)的括號(hào)里寫的括號(hào)里寫上時(shí)間的單位上時(shí)間的單位“時(shí)時(shí)”。例如：。例如：超市營業(yè)時(shí)間：超市營業(yè)時(shí)間：21-9=12（時(shí)時(shí)）。）。（此處可省略此處可省略“小小”字字）8. “8. “時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”有什么不同？怎樣使用有什么不同？怎樣使用“時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”？ 在用在用語言表述語言表述時(shí)間的長短時(shí)間的長短時(shí)，為避免時(shí)，為避免“時(shí)時(shí)間間”和和“時(shí)刻時(shí)刻”這兩個(gè)概念產(chǎn)生這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆混淆，則在，則在“時(shí)時(shí)”的前面加上一個(gè)的前面加上一個(gè)“小小”字。例如：字。例如：超超市營業(yè)時(shí)間市

59、營業(yè)時(shí)間12小時(shí)小時(shí)。在用在用語言表示語言表示時(shí)刻時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小小時(shí)時(shí)”字樣。例如：公園每天早上字樣。例如：公園每天早上7時(shí)時(shí)30分開園分開園（而非而非7小時(shí)小時(shí)30分分）。）。8. “8. “時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”有什么不同？怎樣使用有什么不同？怎樣使用“時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”？ 總之：總之：表示表示經(jīng)過的時(shí)段經(jīng)過的時(shí)段（時(shí)間時(shí)間）一般用一般用“小時(shí)小時(shí)”表表示，表示示，表示某一段瞬間某一段瞬間（時(shí)刻時(shí)刻）則用則用“時(shí)時(shí)”來表示。來表示?！靶r(shí)小時(shí)”是計(jì)量時(shí)間長短的一個(gè)是計(jì)量時(shí)間長短的一個(gè)輔助單位名稱輔助單位名稱，但，但如果在不至于與表示時(shí)間的某一瞬間的如果在不至于

60、與表示時(shí)間的某一瞬間的“時(shí)時(shí)”發(fā)生發(fā)生混淆混淆時(shí)，時(shí)，這個(gè)這個(gè)“小小”字可以省略。因?yàn)樽挚梢允÷?。因?yàn)橹挥斜硎窘?jīng)只有表示經(jīng)過多少時(shí)間的量才能參加運(yùn)算或換算過多少時(shí)間的量才能參加運(yùn)算或換算，所以在，所以在算式算式中可以將中可以將“小時(shí)小時(shí)”省略為省略為“時(shí)時(shí)”。如：。如：9-8=1（時(shí)時(shí)），而在），而在文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹鲋校@個(gè)中，這個(gè)“小小”字一般字一般不省不省略略。8. “8. “時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”有什么不同？怎樣使用有什么不同？怎樣使用“時(shí)時(shí)”和和“小時(shí)小時(shí)”？ （1 1）x=0 x=0是方程還是方程的解是方程還是方程的解? ? 分析：分析：方程方程指含有指含有未知數(shù)未知數(shù)的的等式等式。