數(shù)學(xué)建模的思想和方法

1、 數(shù)學(xué)建模的思想和方法數(shù)學(xué)建模的思想和方法 主講人：楊樹國主講人：楊樹國 1.1 1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模1.1.數(shù)學(xué)建模的思想和方法數(shù)學(xué)建模的思想和方法2.2.數(shù)學(xué)建模競賽的的思想和方法數(shù)學(xué)建模競賽的的思想和方法 2.1 2.1 參賽目的和原則參賽目的和原則 2.2 2.2 數(shù)學(xué)建模隊伍的組織數(shù)學(xué)建模隊伍的組織2.3 2

2、.3 建模競賽的步驟和方法建模競賽的步驟和方法 2.4 2.4 注意事項注意事項 玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型實物模型實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物。的替代物。 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征。中人們需要的那一部分特征。1.1 1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 啟示：啟示：

3、很多同學(xué)，尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)，把數(shù)學(xué)很多同學(xué)，尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)，把數(shù)學(xué)建?？吹煤苌衩?，總以為它高深莫測，其實并非建?？吹煤苌衩?，總以為它高深莫測，其實并非如此如此。實際上，數(shù)學(xué)建模就是發(fā)生在我們身邊的實際上，數(shù)學(xué)建模就是發(fā)生在我們身邊的事情，可能你不經(jīng)意間就在進行著數(shù)學(xué)建模和求事情，可能你不經(jīng)意間就在進行著數(shù)學(xué)建模和求解，只不過你不知道罷了。解，只不過你不知道罷了。 可以毫不夸張地說：可以毫不夸張地說：數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在! !數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在! ! 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列

4、出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .航行問題航行問題: :甲乙兩地相距甲乙兩地相距750750千米，船從甲到乙順?biāo)叫星?，船從甲到乙順?biāo)叫行栊?030小時，從乙到甲逆水航行需小時，從乙到甲逆水航行需5050小時，問船的速度是多小時，問船的速度是多少少? ?x =20y = 5求解求解數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在數(shù)學(xué)建模無時不在，無處不在! ! 航行問題求解過程分析航行問題求解過程分析: 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速

5、和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間） 列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。在解決這個問題的過程中，我們經(jīng)歷了如下的步驟：在解決這個問題的過程中，我們經(jīng)歷了如下的步驟：實際上，上述過程就是數(shù)學(xué)的建模和求解過程，連這實際上，上述過程就是數(shù)學(xué)的建模和求解過程，連這樣的小問題都是數(shù)學(xué)建模的問題，那么關(guān)于數(shù)學(xué)建模樣的小問題都是數(shù)學(xué)建模的問題，那么關(guān)于數(shù)學(xué)建模的廣泛性和普遍性，大家

6、就可想而知了。的廣泛性和普遍性，大家就可想而知了。 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)倪\用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）u數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model) (Mathematical Model) u數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)Mathematica

7、l Modeling) 1.2 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模大有用武之地；在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟

8、了許多處女地。 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計預(yù)報與決策預(yù)報與決策控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼 1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎? ?問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形呈正方形; ; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; ; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳地

9、面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。同時著地。 模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )xBADCOD C B A 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCDABCD繞繞O O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)四個距離四個距離(四只腳

10、四只腳)兩個距離兩個距離正方形正方形對稱性對稱性 f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , , f f( ( ), ), g g( ( ) )至少一個為至少一個為0 0數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題已知：已知：f f( ( ),),g g( ( ) )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; ;對任意對任意 ， f f( ( ) )g g( ( )=0;)=0;且且g g( (0 0)=0)=0，f f( (0 0)0. )0. 證明：存在證明：存在 0 0，使，使f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0)=0.)=0.地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三

11、只腳著地模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)90900 0，對角線，對角線ACAC和和BDBD互換。由互換。由g g( (0 0)=0)=0，f f( (0 0)0)0，知，知f f( ( /2/2)=0, )=0, g g( ( /2/2)0.)0.令令h h( ( )=)=f f( ( ) )g g( ( ),),則則h h(0)0(0)0和和h h( ( /2/2)0.)0.由由f,gf,g的的連續(xù)性知連續(xù)性知h h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), ,據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), ,必存在必

12、存在 0 0, ,使使h h( ( 0 0)=0,)=0,即即f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0).).因為因為f f( ( ) )g g( ( )=0,)=0,所以所以f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0)=0.)=0.評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵: : 和和f f( ( ),),g g( ( ) )的確定的確定. .模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法 1.3.2 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3 3名商人名商人 3 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一岸在

13、河的任一岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商人多一旦隨從的人數(shù)比商人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. .商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河? ?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策: : 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求: : 在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有限經(jīng)有限步使全體人員過河步使全體人員過河. .河河小船小船( (至多至多2 2人人) ) 模型構(gòu)成模型構(gòu)成X Xk k-第第k k次渡河前此岸

14、的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)y yk k-第第k k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, s sk k=(=(x xk k , y, yk k)-)-過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S-S-允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合u uk k-第第k k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)v vk k-第第k k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策決策D=(D=(u u ,v,v) ) u+vu+v= =1,2-1,2-允許決策集合允許決策集合uk, vk=

15、0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k-狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求d dk k D(D(k k=1,2,=1,2,n),n),使使s sk k S,S,并按并按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由s s1 1=(3,3)=(3,3)到達到達s sn n+1+1=(0,0).=(0,0).多步?jīng)Q策多步?jīng)Q策問題問題 模型求解模型求解xy3322110窮舉法窮舉法-編程上機編程上機圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)s s=(=(x,yx,y)-16)-16個格點個格點 -10 -10個點個點允許決策允許決策 -移動移動1 1或或2 2格格; ;k k奇奇, ,左或下移左或下移;k;k偶偶, ,右或上移右或上移.

16、 .s1sn+1d d1 1, , ，d d1111給出安全渡河方案給出安全渡河方案評注和思考評注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 19991625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口( (億億) 5 10 20 30 40 50 60) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1

17、908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 20001908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口( (億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長1.3.3 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x x( (t t)-)-時刻時刻t t的人口的人口基

18、本假設(shè)基本假設(shè) : : 人口人口( (相對相對) )增長率增長率 r r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口x x0 0, ,年增長率年增長率r rk k年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與1919世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于1919世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于

19、短期人口增長預(yù)測 不符合不符合1919世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) ) 阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr r-固有增長率固

20、有增長率( (x x很小時很小時) )x xm m-人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr r是是x x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxr rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x x( (t t)-S)-S形曲線形曲線, , x x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) ) 參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)預(yù)

21、報，必須先估計模型參數(shù) r r 或或 r, xr, xm m 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位-百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計r=0.2557/10, xm=392.1阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) ) 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗把模型計算結(jié)果把模型計算結(jié)果 與實際數(shù)據(jù)比較與實際數(shù)據(jù)比較10./ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxx

22、rxxxxx實際為實際為281.4(281.4(百萬百萬) )5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用-預(yù)報美國預(yù)報美國2010年的人口年的人口加入加入20002000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)r=0.02490, xm=434.0 x(2010)=306.0阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) ) 數(shù)學(xué)建模的基本方法數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”, ,通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計

23、分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(Case Studies)來學(xué)習(xí)。我們所指的建模主要指機理分析。來學(xué)習(xí)。我們所指的建模主要指機理分析。二者結(jié)合二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機理分析建立模型結(jié)構(gòu), ,用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實際背景了解實際背景明確

24、建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的問題問題 模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)

25、的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證( (歸納歸納) )( (演繹演繹) )表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問成數(shù)學(xué)問題題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)

26、模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯翻譯”回實際對象回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐實踐現(xiàn)現(xiàn)實實世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論理論實踐實踐 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的漸進性模型的強健性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的特點 應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計

27、初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計表現(xiàn)特性表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱確定和隨機確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性線性和非線性離散和連續(xù)離散和連續(xù)數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循技術(shù)大致有章可循 藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型 親自動手，認真

28、作幾個實際題目親自動手，認真作幾個實際題目 2.2.數(shù)學(xué)建模競賽的的思想和方法數(shù)學(xué)建模競賽的的思想和方法 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高等教育司和中國工全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高等教育司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的面向大學(xué)生的課外科技活動業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的面向大學(xué)生的課外科技活動, ,是是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動之一全國高校規(guī)模最大的課外科技活動之一, ,居教育部四大學(xué)科競居教育部四大學(xué)科競賽之首。賽之首。 本競賽在每年本競賽在每年9 9月月( (一般在中旬某個周末的星期五至下周星一般在中旬某個周末的星期五至下周星期一共期一共3 3天，天，7272小時）舉行，競

29、賽面向全國大專院校的學(xué)生，小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學(xué)生，不分專業(yè)（但競賽分本科、?？苾山M，本科組競賽所有大學(xué)不分專業(yè)（但競賽分本科、?？苾山M，本科組競賽所有大學(xué)生均可參加，?？平M競賽只有專科生（包括高職、高專生）生均可參加，?？平M競賽只有專科生（包括高職、高專生）可以參加）?？梢詤⒓樱?。 2008 2008 年全國有年全國有3131個省個省/ /市市/ /自治區(qū)自治區(qū)( (包括香港包括香港)1023)1023所院校、所院校、1284612846個隊（其中甲組個隊（其中甲組1038410384隊、乙組隊、乙組24622462隊）、隊）、3 3萬萬8 8千多名千多名來自各個專業(yè)的大學(xué)生參

30、加競賽，是歷年來參賽人數(shù)最多的來自各個專業(yè)的大學(xué)生參加競賽，是歷年來參賽人數(shù)最多的一次！可以說，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是我國高等教育改革的一次！可以說，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是我國高等教育改革的一次成功實踐。一次成功實踐。 2.1 2.1 參賽目的和原則參賽目的和原則提高對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用性的認識提高對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用性的認識提高對專業(yè)知識應(yīng)用性的認識提高對專業(yè)知識應(yīng)用性的認識培養(yǎng)應(yīng)用能力和探索精神培養(yǎng)應(yīng)用能力和探索精神培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神提高獨立解決問題的能力提高獨立解決問題的能力提高分析問題解決問題的能力提高分析問題解決問題的能力培養(yǎng)團隊精神培養(yǎng)團隊精神培養(yǎng)編程能力培養(yǎng)編程能力 提

31、高表達及寫作能力提高表達及寫作能力參賽目的參賽目的參賽原則參賽原則繼承和創(chuàng)新相結(jié)合的原則繼承和創(chuàng)新相結(jié)合的原則理論與實踐相結(jié)合的原則理論與實踐相結(jié)合的原則普遍和特殊相統(tǒng)一的原則普遍和特殊相統(tǒng)一的原則分工和合作相統(tǒng)一的原則分工和合作相統(tǒng)一的原則 2.2 2.2 數(shù)學(xué)建模隊伍的組織數(shù)學(xué)建模隊伍的組織組隊時，要統(tǒng)籌兼顧，充分利用現(xiàn)有的師生資源。既組隊時，要統(tǒng)籌兼顧，充分利用現(xiàn)有的師生資源。既要考慮到每個隊伍中學(xué)生的年級情況，又要考慮到其要考慮到每個隊伍中學(xué)生的年級情況，又要考慮到其學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、專業(yè)背景等，一般來講，三個學(xué)生學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、專業(yè)背景等，一般來講，三個學(xué)生最好來自不同的專業(yè)，每個隊伍

32、中既要有理論知識雄最好來自不同的專業(yè)，每個隊伍中既要有理論知識雄厚的學(xué)生又要有編程能力較強的學(xué)生，既要有精通理厚的學(xué)生又要有編程能力較強的學(xué)生，既要有精通理工科知識又要有文筆出眾的學(xué)生，對于教師亦是如此，工科知識又要有文筆出眾的學(xué)生，對于教師亦是如此，既要考慮到教師的經(jīng)驗和能力既要考慮到教師的經(jīng)驗和能力，又要考慮到教師的年又要考慮到教師的年齡和體力，既要考慮到與學(xué)生的熟悉和默契程度，又齡和體力，既要考慮到與學(xué)生的熟悉和默契程度，又要考慮到師生的專業(yè)，保證師生資源的合理配置，使要考慮到師生的專業(yè)，保證師生資源的合理配置，使師生資源能夠最大地得到利用，確保參賽隊伍具有很師生資源能夠最大地得到利用，

33、確保參賽隊伍具有很強的戰(zhàn)斗力。強的戰(zhàn)斗力。 2.3 2.3 數(shù)學(xué)建模競賽的步驟和方法數(shù)學(xué)建模競賽的步驟和方法 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽一般在每年一般在每年9 9月中旬舉行月中旬舉行( (某個周末的星期五至某個周末的星期五至下周星期一共下周星期一共3 3天，天，7272小時小時。周一上午在網(wǎng)上遞交電子版的競周一上午在網(wǎng)上遞交電子版的競賽論文）。賽論文）。 20092009年數(shù)學(xué)建模競賽定于年數(shù)學(xué)建模競賽定于9 9月月1111日上午日上午8 8：0000開始，賽題將同開始，賽題將同時在時在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、高等教育出版社高等教育出版社和和中國數(shù)模中國數(shù)模以以及及數(shù)學(xué)中國

34、數(shù)學(xué)中國等網(wǎng)站發(fā)布。等網(wǎng)站發(fā)布。 (1)(1)選題選題 拿到賽題后，學(xué)生和指導(dǎo)教師要一起來分析和研究各個賽題，拿到賽題后，學(xué)生和指導(dǎo)教師要一起來分析和研究各個賽題，要根據(jù)各賽題的難易程度和知識成分并結(jié)合本隊學(xué)生的知識特要根據(jù)各賽題的難易程度和知識成分并結(jié)合本隊學(xué)生的知識特點和特長來進行選題。點和特長來進行選題。 (2)(2)賽題分解賽題分解 對賽題進行必要的分解，然后根據(jù)學(xué)生的專業(yè)、知識結(jié)構(gòu)和對賽題進行必要的分解，然后根據(jù)學(xué)生的專業(yè)、知識結(jié)構(gòu)和能力進行合理的分工，誰干什么，怎么干，都要心中有數(shù)。要能力進行合理的分工，誰干什么，怎么干，都要心中有數(shù)。要有主要負責(zé)建模的，主要負責(zé)編程的，主要負責(zé)寫

35、作的。但切有主要負責(zé)建模的，主要負責(zé)編程的，主要負責(zé)寫作的。但切記分工是相對的，合作是絕對的，怎么配合，怎么互相幫助，記分工是相對的，合作是絕對的，怎么配合，怎么互相幫助，事先都要有充分的考慮。事先都要有充分的考慮。 (3)(3)查閱資料查閱資料 在開始解決各個問題之前，所有學(xué)生都必須要先查閱資料，在開始解決各個問題之前，所有學(xué)生都必須要先查閱資料，只有掌握具有針對性的第一手資料、閱讀和理解了資料，工只有掌握具有針對性的第一手資料、閱讀和理解了資料，工作才能進行下去。查閱資料時，可以利用作才能進行下去。查閱資料時，可以利用goolegoole和和baidubaidu等搜等搜索引擎搜索相關(guān)網(wǎng)頁，

36、也可以通過校園網(wǎng)圖書館內(nèi)電子資源索引擎搜索相關(guān)網(wǎng)頁，也可以通過校園網(wǎng)圖書館內(nèi)電子資源中的中的CNKICNKI數(shù)據(jù)庫，維普科技期刊，萬方數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)庫，維普科技期刊，萬方數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)庫來查找等數(shù)據(jù)庫來查找相關(guān)的期刊論文和學(xué)位論文。相關(guān)的期刊論文和學(xué)位論文。 (4)(4)分題求解分題求解 一般每個問題都包括建立模型、編程求解和答案書寫等三一般每個問題都包括建立模型、編程求解和答案書寫等三個部分，建模時個部分，建模時, ,三個學(xué)生要合作，要一起來進行思考和分三個學(xué)生要合作，要一起來進行思考和分析，搭建出模型的基本框架，然后把具體的細節(jié)問題交給負析，搭建出模型的基本框架，然后把具體的細節(jié)問題交給負責(zé)建模的學(xué)

37、生，此時負責(zé)編程的學(xué)生要基本上了解模型的結(jié)責(zé)建模的學(xué)生，此時負責(zé)編程的學(xué)生要基本上了解模型的結(jié)構(gòu)，對于一些問題如包括哪些變量、變量之間的關(guān)系如何、構(gòu)，對于一些問題如包括哪些變量、變量之間的關(guān)系如何、要采用什么樣的算法來求解等等都要心中有數(shù)，并且開始動要采用什么樣的算法來求解等等都要心中有數(shù)，并且開始動手編程，負責(zé)寫作的學(xué)生要把問題分析、模型假設(shè)、符號說手編程，負責(zé)寫作的學(xué)生要把問題分析、模型假設(shè)、符號說明等框架寫出來。明等框架寫出來。 (4)(4)模型的驗證和修改模型的驗證和修改 建立模型、制定算法、編程求解后，一般來說，所得建立模型、制定算法、編程求解后，一般來說，所得到的結(jié)果與問題的實際理

38、想值都會有一定的出入，甚至到的結(jié)果與問題的實際理想值都會有一定的出入，甚至有時所得的結(jié)果非常離譜，簡直不可思議。此時一定不有時所得的結(jié)果非常離譜，簡直不可思議。此時一定不要慌，大家要集中起來認真分析，一個問題一個問題地要慌，大家要集中起來認真分析，一個問題一個問題地去排除，如可以先檢查一下模型是不是有問題，是不是去排除，如可以先檢查一下模型是不是有問題，是不是在建模的時候有些因素沒有考慮到；如果模型沒有什么在建模的時候有些因素沒有考慮到；如果模型沒有什么問題，那么再檢查一下程序編寫得是不是有問題等等，問題，那么再檢查一下程序編寫得是不是有問題等等，一個正確模型的建立，肯定不會一蹴而就的，要經(jīng)過

39、不一個正確模型的建立，肯定不會一蹴而就的，要經(jīng)過不斷的修改和反復(fù)驗證，直至與問題相符合為止。斷的修改和反復(fù)驗證，直至與問題相符合為止。 （5 5）論文成稿與修改）論文成稿與修改 常言道：常言道：“編框編簍，全在收口編框編簍，全在收口”，一個模型建立的好壞，一個模型建立的好壞固然很重要，但是最后論文的書寫也非常重要，要注意用標(biāo)固然很重要，但是最后論文的書寫也非常重要，要注意用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言來進行表述，各個問題的解答基本上都要包括準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言來進行表述，各個問題的解答基本上都要包括這樣幾個部分：問題分析，問題假設(shè)，符號說明（通用的符這樣幾個部分：問題分析，問題假設(shè)，符號說明（通用的符號在前面統(tǒng)一說

40、明，具體各分題的符號在各個問題解答之前號在前面統(tǒng)一說明，具體各分題的符號在各個問題解答之前說明）等等，每個問題的敘述都應(yīng)具有獨立性和自含性，即說明）等等，每個問題的敘述都應(yīng)具有獨立性和自含性，即閱卷人單獨閱覽某個問題時不需要閱讀全文，就能獲得該問閱卷人單獨閱覽某個問題時不需要閱讀全文，就能獲得該問題必要的信息。題必要的信息。 整篇論文要內(nèi)容完整，論點鮮明突出，論據(jù)充分確鑿，論整篇論文要內(nèi)容完整，論點鮮明突出，論據(jù)充分確鑿，論述條理清楚，分析透徹，具有說服力；整個推導(dǎo)過程要嚴(yán)謹，述條理清楚，分析透徹，具有說服力；整個推導(dǎo)過程要嚴(yán)謹，實驗曲線、模擬結(jié)果和結(jié)論正確；要語言準(zhǔn)確，語句通順，實驗曲線、模

41、擬結(jié)果和結(jié)論正確；要語言準(zhǔn)確，語句通順，行文流暢，敘述簡明扼要，層次清晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹；撰寫規(guī)范，行文流暢，敘述簡明扼要，層次清晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹；撰寫規(guī)范，格式正確，曲線的線條要均勻清晰、整潔美觀，問題分析假格式正確，曲線的線條要均勻清晰、整潔美觀，問題分析假設(shè)、建立模型等各欄目齊全、合理，沒有遺漏項目。設(shè)、建立模型等各欄目齊全、合理，沒有遺漏項目。 一篇好的論文要經(jīng)過不斷的修改才能最終定稿、上交。一篇好的論文要經(jīng)過不斷的修改才能最終定稿、上交。 2.4 2.4 注意事項注意事項(1)(1)選題要慎重選題要慎重 一般來講，選好了賽題后，除非萬不得已，不要輕易一般來講，選好了賽題后，除非萬不得已，不要輕

42、易換題，因為每個競賽試題都有很大的難度，在規(guī)定的時換題，因為每個競賽試題都有很大的難度，在規(guī)定的時間內(nèi)完成任務(wù)，壓力很大、時間很緊張、基本上都不夠間內(nèi)完成任務(wù)，壓力很大、時間很緊張、基本上都不夠用，半道換題就不更用說了。用，半道換題就不更用說了。(2)(2)資料要充足資料要充足 很多學(xué)生不喜歡查資料，上來就開始進行賽題的分析很多學(xué)生不喜歡查資料，上來就開始進行賽題的分析和研究，要時刻牢記：兵馬未動、糧草先行。資料就是和研究，要時刻牢記：兵馬未動、糧草先行。資料就是我們的糧草！我們的第一個任務(wù)就是要查閱大量的資料。我們的糧草！我們的第一個任務(wù)就是要查閱大量的資料。 (3)(3)要合理分配時間，解答過程要全面要合理分配時間，解答過程要全面 各個問題的解答基本上都要包括問題分析，問題假設(shè)，各個問題的解答基本上都要包括問題分析，問題假設(shè)，符號說明，建立模型，模型求解，模型驗證等幾個部分，符號說明，建立模型，模型求解，模型驗證等幾個部分，有很多學(xué)生把工作的重點都放在了前一兩個問題，對后面有很多學(xué)生把工作的重點都放在了前一兩個問題，對后面問題的建模和求解不