第三章等價(jià)線性化法、諧波平衡法、

1、第三章等價(jià)線性化法、諧波平衡法、 3.1 等價(jià)線性化法等價(jià)線性化法 3.1.1 自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) 已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有非線性已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有非線性 特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式：特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式： (3-1)式中式中 非線性慣性力與非線性阻尼力的綜合表達(dá)式；非線性慣性力與非線性阻尼力的綜合表達(dá)式； 非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。 mxfx xfx xmk, 0 fx xm, fx xk, 用等價(jià)線性化方法求非線性振動(dòng)方程的解，首先應(yīng)建用等價(jià)線性化方法求非線性振動(dòng)方程的解，首先應(yīng)

2、建 立一個(gè)與立一個(gè)與 非線性振動(dòng)方程相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程，非線性振動(dòng)方程相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程，即即 (3-2)式中式中 等價(jià)質(zhì)量；等價(jià)質(zhì)量； 等價(jià)阻力系數(shù)；等價(jià)阻力系數(shù)； 等價(jià)彈簧剛度。等價(jià)彈簧剛度。m xc xk xeee 0meceke 設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程 (3-2) 有以下形式的解：有以下形式的解： (3-3) 對(duì)于小阻尼情況對(duì)于小阻尼情況, 式中的振幅式中的振幅 a 和等效阻尼比和等效阻尼比 與等與等效固有頻率效固有頻率 可表示為可表示為 (3-4)x ataxaxaeeecoscossincos2 e eeeeeeeetmkmceaae2202 將式將式

3、 (3-3) 代入式代入式 (3-1) 和式和式 (3-2) 中中, 并將非線性函數(shù)展并將非線性函數(shù)展為富氐級(jí)數(shù)為富氐級(jí)數(shù), 便可求出等價(jià)質(zhì)量便可求出等價(jià)質(zhì)量 、等價(jià)阻力系數(shù)、等價(jià)阻力系數(shù) 與等與等價(jià)彈簧剛度價(jià)彈簧剛度 的值。的值。 首先將非線性函數(shù)展為富氏級(jí)數(shù)，即首先將非線性函數(shù)展為富氏級(jí)數(shù)，即: (3-5)mecekefx xccndnfx xaanbnnmnnnknnn, cossin, cossin, , ,010112 3 對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力遠(yuǎn)大于二次及其他高次諧波力，因此可以將后者看作是小量，遠(yuǎn)大于二

4、次及其他高次諧波力，因此可以將后者看作是小量，近似計(jì)算時(shí)可略去。這時(shí)可取近似值為近似計(jì)算時(shí)可略去。這時(shí)可取近似值為 (3-6) 按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù)按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù) 、c1、d1和和 、 、 可可按下式計(jì)算：按下式計(jì)算： (3.7)sincos,sincos,1111baxxfdcxxfkm c0a0a1b1cf am00212,dcf adf amm10210211 ,cos,sind dafaafabfafafaafafaakkkmmkk00210210221211 ,cos,sin,cos,sin,cos,sindd d 將式將式 (3-6) 和式和式 (3-7) 代入式代入

5、式 (3-1) 中，可得：中，可得： (3-8) 當(dāng)考慮當(dāng)考慮 (3-3) 式的近似值時(shí)，有式的近似值時(shí)，有 mxfafafafammkk,coscos,sinsin,coscos,sinsin1111002020202 ddddmxafaxafaxafaxafaxememkek,cos,sin,cos,sin11110202020202 dddd對(duì)應(yīng)于式對(duì)應(yīng)于式 (3-2) 的等價(jià)質(zhì)量的等價(jià)質(zhì)量 、等價(jià)阻力系數(shù)、等價(jià)阻力系數(shù) 與等價(jià)與等價(jià)剛度剛度 分別為：分別為： (3-9) 將式將式(3-9)的值代入式的值代入式(3-4)中中, 便可求出等價(jià)衰減系數(shù)便可求出等價(jià)衰減系數(shù) 與與等價(jià)固有頻率等

6、價(jià)固有頻率 ： (3-10)mecekemmafacafaafakafaeemeemekek 1111202020202 ,cos,sin,sin,cosdddd e e2020dsin,dsin,212afafammckmeeeee eddkmafamafaeekem1102202,cos,cos3.1.2 非自治系統(tǒng)非自治系統(tǒng) 假如已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有假如已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有 非線性特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式：非線性特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式： (3-11)式中式中 非線性慣性力與非線性阻尼力的綜合表達(dá)式；非線性慣性力與非線性阻尼力的

7、綜合表達(dá)式； 非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。 非線性振動(dòng)方程非線性振動(dòng)方程(3-11)相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程為相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程為 (3-12)式中式中 等價(jià)質(zhì)量；等價(jià)質(zhì)量； 等價(jià)阻力系數(shù)；等價(jià)阻力系數(shù)； 等價(jià)彈簧剛度等價(jià)彈簧剛度; 不變的作用力。不變的作用力。 mxfx xfx xFtmk, , sin fx xm, fx xk,m xc xk xFFteeesin 0 mecekeF0 只要求出等價(jià)質(zhì)量只要求出等價(jià)質(zhì)量 、等價(jià)阻力系數(shù)、等價(jià)阻力系數(shù) 和等價(jià)彈簧剛和等價(jià)彈簧剛度度 , 非線性振動(dòng)方程就可以近似地按照線性振動(dòng)方程進(jìn)行

8、非線性振動(dòng)方程就可以近似地按照線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解。由于阻尼的存在求解。由于阻尼的存在, 自由振動(dòng)在經(jīng)過一定時(shí)間后將會(huì)消失自由振動(dòng)在經(jīng)過一定時(shí)間后將會(huì)消失, 所以可設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程所以可設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程 (3-12) 有以下形式的強(qiáng)迫振動(dòng)解：有以下形式的強(qiáng)迫振動(dòng)解： (3-13) 因此，等價(jià)線性化振幅因此，等價(jià)線性化振幅 A、相位差角、相位差角 分別可由下式求分別可由下式求出：出： (3-14)mecekexAAtAAxAxAt002sinsincossin AFkmckmAFkeeeeecos2200 arc tg 等價(jià)質(zhì)量等價(jià)質(zhì)量 、等價(jià)阻力系數(shù)、等價(jià)阻力系數(shù) 與等價(jià)彈簧剛度與等價(jià)彈簧

9、剛度 的值，的值，可以通過將非線性慣性力、非線性阻尼力與非性彈性力是按富可以通過將非線性慣性力、非線性阻尼力與非性彈性力是按富氏級(jí)數(shù)展開的方法得出：氏級(jí)數(shù)展開的方法得出： (3-15)對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力遠(yuǎn)對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力遠(yuǎn)大于二次和其他高次諧波力及常數(shù)項(xiàng)，因此可以將后者看作是大于二次和其他高次諧波力及常數(shù)項(xiàng)，因此可以將后者看作是小量，近似計(jì)算時(shí)略去。這時(shí)可取近似值為小量，近似計(jì)算時(shí)略去。這時(shí)可取近似值為 (3-16) mecekefx xccndnfx xaanbnnmnnnknnn, cossin, cossin, , ,01

10、011 2 3sincos,sincos,110110baaxxfdccxxfkm 按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù)按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù) 、c1、d1和和 、 、 可可按下式計(jì)算：按下式計(jì)算： (3-17)c0a0a1b1cfAcfAdfAafA AafA AbfA Ammmkkk00210210200021002100212111211 ,cos,sin, , ,cos, ,sindd ddd dcos,sin,cos,sin,002AAAfAAfAAfAfkkmm 將式將式(3-16)和式和式(3-17)代入式代入式(3-11)中，可得：中，可得： (3-18)mxfA AfA Af A Af

11、 A AFtfAf A Ammkkmk, ,sinsin, ,coscos, ,sinsin, ,coscossin, ,11111212002002002002020 dddddd02或或 (3-19)2002002002002002002d,21d,21sindcos,1dsin,1dcos,1dsin,1AAfAAftFxAAfAxAAfAxAAfAxAAfAxmkmkkmm 等價(jià)質(zhì)量等價(jià)質(zhì)量 、等價(jià)阻力系數(shù)、等價(jià)阻力系數(shù) 與等價(jià)剛度與等價(jià)剛度 、等價(jià)衰、等價(jià)衰減系數(shù)減系數(shù) 與等價(jià)固有頻率與等價(jià)固有頻率 分別為：分別為： (3-20) meceke eemmAfA AcAfA AAfA

12、Aememk1112002002002 ,sin,cos,cosdddkAfA Aek1002 ,sin d22000001, ,d, ,d2mkFfA AfA A （3-21） 將式將式 (3-20) 的值代入式的值代入式 (3-14) 中便可求出等價(jià)線性化振幅中便可求出等價(jià)線性化振幅 A 及相位差及相位差 。2002200200200dsin,1dsin,1dcos,dcos,21AAfAmAAfAmkAAfAAfAmmkeeeklmee 例例 3.1.1 用等價(jià)線性化方法求下列非線性振動(dòng)方程的等價(jià)用等價(jià)線性化方法求下列非線性振動(dòng)方程的等價(jià)阻力系數(shù)阻力系數(shù) 與等價(jià)彈簧剛度與等價(jià)彈簧剛度 。

13、 式中式中 與位移成三次及五次方的恢復(fù)力系數(shù)。與位移成三次及五次方的恢復(fù)力系數(shù)。 解解: 設(shè)方程的強(qiáng)迫振動(dòng)解為設(shè)方程的強(qiáng)迫振動(dòng)解為 cekemxcxkxbxdxFtsin 35 db,xAtAxAtAsinsincoscos 按照式按照式 (3-20), 求等價(jià)阻力系數(shù)求等價(jià)阻力系數(shù) ： 非線性彈性力對(duì)等價(jià)阻力系數(shù)的值沒有影響。非線性彈性力對(duì)等價(jià)阻力系數(shù)的值沒有影響。按照式按照式 (3-20) 第二式可求出彈簧剛度第二式可求出彈簧剛度 ： cAc Ak Ab Ad Ace13502 cossinsinsincos dcekAc Ak Ab Ad AkbAdAecoss

14、insinsinsin d 例例3.1.2 已知非線性方程已知非線性方程 式中式中 非線性彈性力非線性彈性力 求等價(jià)剛度、等價(jià)固有頻率及受迫振動(dòng)的振幅求等價(jià)剛度、等價(jià)固有頻率及受迫振動(dòng)的振幅 。 。 mxfxFtksin f x exexkkxexexkkxexekxxfk 解解: 在一次近似的情況下，方程的近似解為：在一次近似的情況下，方程的近似解為： 非線性彈性力在一次近似情況下可改寫為以下形式：非線性彈性力在一次近似情況下可改寫為以下形式： 式中式中 間隙間隙 e 所對(duì)應(yīng)的相位角所對(duì)應(yīng)的相位角; 該系統(tǒng)的等價(jià)彈簧剛度為：該系統(tǒng)的等價(jià)彈簧剛度為： xAtA sinsin fxkxkxk x

15、ekxk xekeeeeeeee 22, eearceAsinkAfAAe102 sin,cossind將將x的值代入，并進(jìn)行分段積分，可求得：的值代入，并進(jìn)行分段積分，可求得： 因?yàn)橐驗(yàn)?可將和展為冪級(jí)數(shù)可將和展為冪級(jí)數(shù), 于是有于是有等價(jià)固有頻率：等價(jià)固有頻率： 等價(jià)線性化振幅為：等價(jià)線性化振幅為： kkkeAeAeAkkeee 121121222arcsinsineA 1,arcsineAeAeA12 kkkeAeAeAe 1411614024 eekm aFkme 2 諧波平衡法是將非線性方程的解假設(shè)為各次諧波疊加的諧波平衡法是將非線性方程的解假設(shè)為各次諧波疊加的形式，然后將方程的解代

16、入非線性方程中，消去方程中的正形式，然后將方程的解代入非線性方程中，消去方程中的正弦與余弦項(xiàng)，即可得到能求出含有未知系數(shù)的相應(yīng)多個(gè)代數(shù)弦與余弦項(xiàng)，即可得到能求出含有未知系數(shù)的相應(yīng)多個(gè)代數(shù)方程式，進(jìn)而可求得方程的解。方程式，進(jìn)而可求得方程的解。 設(shè)有非線性方程設(shè)有非線性方程 (3-22) 若若 是是 t 的周期為的周期為 T 的函數(shù)，并且方程存在著周的函數(shù)，并且方程存在著周期等于期等于 T 或或 T 的整數(shù)倍的周期解的情形，方程右邊的整數(shù)倍的周期解的情形，方程右邊 在的有限區(qū)域在的有限區(qū)域 內(nèi)分別滿足萊伯尼茲條件，方程的解是內(nèi)分別滿足萊伯尼茲條件，方程的解是唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展

17、成為富氏級(jí)數(shù)，唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成為富氏級(jí)數(shù)，所以可設(shè)方程的解為：所以可設(shè)方程的解為： ,xf x x t f x x t, f x x t,x x , 3.2 諧波平衡法諧波平衡法 (3-23) 將它代入等式的兩邊，等式兩邊的常數(shù)項(xiàng)將它代入等式的兩邊，等式兩邊的常數(shù)項(xiàng) 及及cos 、sin 的系數(shù)必須分別相等，如果只取到的系數(shù)必須分別相等，如果只取到 n 次諧波，則可次諧波，則可得得2n+1個(gè)方程，由此可求出包含有個(gè)方程，由此可求出包含有n次諧波的近似解。這一次諧波的近似解。這一方法稱為諧波平衡法。方法稱為諧波平衡法。 xaanbnnnnn01212 3 cossin,

18、, , a0n n 例例3.2.1 用諧波平衡法求以下有阻尼用諧波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次諧波方程的次諧波解（亞諧振動(dòng)）解（亞諧振動(dòng)） 解解: 設(shè)設(shè) 將自變量變換成將自變量變換成，因變量變換成，因變量變換成，便可寫成，便可寫成 tQbxxkxcxmcos3 cmktkmb xFbQk 000 dd1cos3F 如果設(shè)如果設(shè) 則上述方程為則上述方程為 假設(shè)它的次諧波振動(dòng)解：假設(shè)它的次諧波振動(dòng)解： FHFGcossin 23 HGcossin dd AAB13113coscossin 將上式代入前式，進(jìn)行諧波平衡，可得將上式代入前式，進(jìn)行諧波平衡，可得 02243912121131

19、2312BAAAAHBBAABAAAAB1211312311331123113364110433122222121223123112121231112 2431FGHBABAGBABABB則有則有 考慮考慮 ，解出第一式，得，解出第一式，得19342319916132342311934231233429116222222222222222222222222262 F 11 21222222242216819194819163649 由第二式得由第二式得 式中式中, 軟特性為軟特性為 -1, 硬特性為硬特性為+1。 用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代求解，可得次諧波振動(dòng)的幅用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代求解，可得次諧波

20、振動(dòng)的幅 值值 、 與與、的關(guān)系及基波幅值的關(guān)系及基波幅值 、 與與、的關(guān)系。的關(guān)系。12222226222222222222232311619243231234391132F 1 1 2 1 2 3.3 迦遼金法與里茲法迦遼金法與里茲法 3.3.1 迦遼金法迦遼金法 采用微分算子采用微分算子 , 可以將非線性方程寫成可以將非線性方程寫成 (3-24)式中的式中的 一般是算子一般是算子 D、因變量、因變量 x 和自變量和自變量 t 的某種非線性函數(shù)。對(duì)于精確解的某種非線性函數(shù)。對(duì)于精確解 x(t) , 函數(shù)函數(shù) , 而對(duì)于近似解而對(duì)于近似解 X(t) , 函數(shù)函數(shù) , 或多或少會(huì)產(chǎn)生或多或少會(huì)

21、產(chǎn)生余項(xiàng)，或稱誤差余項(xiàng)，或稱誤差(t)，即有，即有 (3-25)Dddtfx tD, , 0fx tD, ,fx tD, , 0fX tD, 0 fX t ttD, 對(duì)微分方程的近似解可以采取與上述同樣的做法，這種對(duì)微分方程的近似解可以采取與上述同樣的做法，這種方法便是迦遼金法。方法便是迦遼金法。 在這種情況下，如果設(shè)我們所考察的自變量區(qū)域?yàn)樵谶@種情況下，如果設(shè)我們所考察的自變量區(qū)域?yàn)閍tb，那么式，那么式 (3-27) 的誤差為的誤差為(t), 而而“誤差的平方和誤差的平方和”可以用以下可以用以下積分式來(lái)表示積分式來(lái)表示 (3-26)假設(shè)近似解假設(shè)近似解X(t)可以用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)可以用適當(dāng)?shù)暮?/p>

22、數(shù) 的線性組合來(lái)表示的線性組合來(lái)表示，即用，即用 (3-27) Jt d tab 2 it X ttctiiin 01作為方程作為方程 (3-24) 的最合適的近似解，的最合適的近似解， 其中的常數(shù)其中的常數(shù) ci 可以從可以從式式(3-26)的積分取最小值的條件加以確定，即從下述聯(lián)立方的積分取最小值的條件加以確定，即從下述聯(lián)立方程式程式 (3-28)來(lái)解出來(lái)解出 。函數(shù)。函數(shù) 可以從物理和其他方面的考慮來(lái)選可以從物理和其他方面的考慮來(lái)選取，使它成為比較逼近的近似解，并且使它滿足初始條件。取，使它成為比較逼近的近似解，并且使它滿足初始條件。這樣，對(duì)于這樣，對(duì)于 來(lái)說(shuō)初始值都等于零。來(lái)說(shuō)初始值都

23、等于零。 JcttctJcttctabnnabn1112020ddci 0t it 例例3.3.1 用迦遼金法求以下用迦遼金法求以下Duffing方程的解方程的解 解解: 當(dāng)當(dāng) b 甚小時(shí)甚小時(shí), 它的周期解近似于諧振動(dòng)它的周期解近似于諧振動(dòng), 所以取圓頻率所以取圓頻率為為, 振幅為振幅為 A , 即取即取 作為近似解。這相當(dāng)于取作為近似解。這相當(dāng)于取 。這。這時(shí)誤差時(shí)誤差為為 xaxbx 30 X tAt cos 01110 ,cos,ct cA 23334143AaAbAtbAtcoscos 區(qū)間區(qū)間 (a,b) 可以取為一個(gè)周期可以取為一個(gè)周期 (0, ), 因而最適宜的條因而最適宜的條

24、件可寫成件可寫成 即有即有 2JAAt202d 23414323302 AaAbAtbAtcoscos222943430abAtbAttcoscosd23222534943160AaAbAabAb A由此得由此得 或或 這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解之得這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解之得 其中，其中， 即即 k=0.89 或或 k。 A=0 給出方程的顯然解，這相當(dāng)于給出方程的顯然解，這相當(dāng)于k=+, 這時(shí)這時(shí)J=0。而系數(shù)而系數(shù)0.89 與與 2.11 究竟那一個(gè)給出究竟那一個(gè)給出J的極小值，的極小值， 可以通過可以通過下面的分析弄清楚。下面的分析弄清楚。 因?yàn)閷?duì)于光滑曲線來(lái)說(shuō)，極大值與極小

25、值往往是交替因?yàn)閷?duì)于光滑曲線來(lái)說(shuō)，極大值與極小值往往是交替發(fā)生的，考慮到這一點(diǎn)，由于發(fā)生的，考慮到這一點(diǎn)，由于 k=+ 時(shí)，有時(shí)，有 J=0, 它給出最它給出最小值，所以小值，所以k對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于J取極大值，而取極大值，而k對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于J取極取極小值。小值。k的精確解為，按這種方法求解有一定誤差。的精確解為，按這種方法求解有一定誤差。A 0 abAab A 22222431580bA222akbAk 1466()3.3.2 里茲法里茲法 前一種方法是用誤差平方的積分來(lái)評(píng)價(jià)近似解的近似前一種方法是用誤差平方的積分來(lái)評(píng)價(jià)近似解的近似程度。除了上述積分之外，還有其它多種形式的積分，其程度。除了上述積分

26、之外，還有其它多種形式的積分，其中之一即拉格朗日函數(shù)中之一即拉格朗日函數(shù) 的積分，的積分， 或稱為哈密或稱為哈密頓作用量：頓作用量： (3-29)式中式中 T系統(tǒng)的動(dòng)能；系統(tǒng)的動(dòng)能； U系統(tǒng)的勢(shì)能。系統(tǒng)的勢(shì)能。LTUSJL tTUtsttttdd1212 對(duì)于方程的周期解來(lái)說(shuō)，哈密頓的作用量對(duì)于方程的周期解來(lái)說(shuō)，哈密頓的作用量J的變分可取為的變分可取為0，即即 (3-30)式中式中 T周期；周期； Xi、Yi、Zi 三個(gè)座標(biāo)方向上的有勢(shì)力；三個(gè)座標(biāo)方向上的有勢(shì)力； mi質(zhì)體質(zhì)體i的質(zhì)量；的質(zhì)量； 、 、 質(zhì)體質(zhì)體i在三個(gè)座標(biāo)方向上的加速度。在三個(gè)座標(biāo)方向上的加速度。 采用以上方法，可以求出方程

27、的解。采用以上方法，可以求出方程的解。JTUtXm xxYm yyZmzztsTiiiiiiiiii iiTdd000 xi yi zi 下面來(lái)看前面列舉的非線性方程下面來(lái)看前面列舉的非線性方程 f(D,x,t)=0。假設(shè)該方程。假設(shè)該方程是二階方程，那么它就可以看作是一個(gè)力，即相當(dāng)于式是二階方程，那么它就可以看作是一個(gè)力，即相當(dāng)于式(3-30)中的中的 , 因而方程因而方程 f(D,x,t)=0應(yīng)滿足式應(yīng)滿足式(3-34)的條件，即的條件，即 (3-31) 使式使式(3-29)中的中的 J 取最小值的近似解為取最小值的近似解為X(t)，也可以把它，也可以把它看作是近似度最好的近似解。所以式看

28、作是近似度最好的近似解。所以式(3-25)的解可由下式求得的解可由下式求得 (3-32) 可設(shè)方程的解可設(shè)方程的解 (3-33)Xm xii i fx tTD, ,00 tX tfX tX tTTdDd000, X tctiiin 1因而有因而有 (3-34)按照哈密頓原理：按照哈密頓原理： (3-35)即即 (3-36)待定系數(shù)待定系數(shù) ci 便可由上式確定。便可由上式確定。 X tctiiin 1 TiittctXf00d,D fX tttiTDd, 00 對(duì)于無(wú)阻尼非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的近似解為對(duì)于無(wú)阻尼非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的近似解為或或 (3-37) 對(duì)于有阻尼的非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的

29、近似解為對(duì)于有阻尼的非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的近似解為 (3-38)或或 (3-39) X tcitiin sin 1 X tcitiin cos 1 X tcitiiin sin 1 X taitbitiiinsinsin1 由由(3-38)有有 (3-40) 將將(3-44)代入代入(3-32)式，待定系數(shù)式，待定系數(shù) ci 與與 可由下式求出可由下式求出 (3-41) 將近似解代入上式中，完成積分計(jì)算，便可得到一個(gè)代將近似解代入上式中，完成積分計(jì)算，便可得到一個(gè)代數(shù)方程或代數(shù)方程組。因此用迦遼金數(shù)方程或代數(shù)方程組。因此用迦遼金里茲方法時(shí)，其問題里茲方法時(shí)，其問題歸結(jié)于代數(shù)方程組的求解。但有時(shí)

30、得到的代數(shù)方程是超越方歸結(jié)于代數(shù)方程組的求解。但有時(shí)得到的代數(shù)方程是超越方程或超越方程組，計(jì)算往往是相當(dāng)復(fù)雜的。程或超越方程組，計(jì)算往往是相當(dāng)復(fù)雜的。 X tcitcitiiiiiinsincos1 ifX tittiTDd,sin00fX tittiTDd,cos00例例3.3.2 某非線性方程某非線性方程 試用本節(jié)的方法求方程的解。試用本節(jié)的方法求方程的解。解解: 由上式得由上式得 設(shè)一次近似解為：設(shè)一次近似解為： mxfxFtksin fxkxexekxk xexekxk xexek fx tmxfxFtkD, ,sin0 X tAtsin 代入式代入式(3-35)中，得中，得 將非線性

31、函數(shù)將非線性函數(shù)f(X)的近似值代入上式，進(jìn)行分段積分，并化的近似值代入上式，進(jìn)行分段積分，并化簡(jiǎn)得：簡(jiǎn)得： 整理后可得整理后可得 fX ttmAtfxFtt tTik02020 Ddd,sinsinsin kkmkAeFkeAeeAeA 2221arc sinAFkkeAeAeAm12122arc sin 因?yàn)橐驗(yàn)?可將可將 和和 展為冪級(jí)數(shù)，展為冪級(jí)數(shù)，于是有：于是有： 為了求得為了求得A值，可采用圖解法或數(shù)值方法。由上面解值，可采用圖解法或數(shù)值方法。由上面解式可見，等號(hào)左邊和右邊分別為式可見，等號(hào)左邊和右邊分別為 eA 1,arcsineAeAeA12AFkkeAeAeAm1411614

32、0242yAeeAeAykkmkAeFk e122221 arc sin 上式若以上式若以 為自變量，用坐標(biāo)橫軸來(lái)表示；而為自變量，用坐標(biāo)橫軸來(lái)表示；而 和和 為縱坐標(biāo)，則第一方程為兩條曲線為縱坐標(biāo)，則第一方程為兩條曲線 和和 ，第二方程為直線第二方程為直線 。這二組線的交點(diǎn)即為方程的解。這二組線的交點(diǎn)即為方程的解。 用數(shù)值方法計(jì)算時(shí)，將具體數(shù)值代入上式，利用兩式相用數(shù)值方法計(jì)算時(shí)，將具體數(shù)值代入上式，利用兩式相等的條件，即可求出等的條件，即可求出 , 當(dāng)當(dāng) e 值確定后，便可求出值確定后，便可求出 A 值。值。Aey1y2 A B A BAe 3.4.1 杜芬迭代法杜芬迭代法 杜芬方程的近似

33、解可用杜芬迭代法求出。設(shè)杜芬方程有以杜芬方程的近似解可用杜芬迭代法求出。設(shè)杜芬方程有以下形式：下形式： (3-42) 假設(shè)假設(shè)b很小，很小，F(xiàn)也很小，而且也很小，而且 接近于接近于a, 這時(shí)方程可寫這時(shí)方程可寫成：成： (3-43) 在上述假設(shè)下，方程右端為小量，因此可以先將它略去，在上述假設(shè)下，方程右端為小量，因此可以先將它略去，方程成為：方程成為： (3-44)cosxaxbxFt 3 2 cosxxa xbxFt 223 xx0200 3.4 迭代法迭代法其解為其解為 (3-45)并作為零次近似解。將它代入式并作為零次近似解。將它代入式(3-47)右端，有右端，有 (3-46) 根據(jù)上式

34、來(lái)確定一次近似解時(shí)，為保證根據(jù)上式來(lái)確定一次近似解時(shí)，為保證x1是周期的，即是周期的，即方程的解中不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)方程的解中不出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng) (或稱永年項(xiàng)，久期項(xiàng)或稱永年項(xiàng)，久期項(xiàng)) ： 與與 , 上式右端上式右端 cos 的系數(shù)應(yīng)等于零，因而有的系數(shù)應(yīng)等于零，因而有 (3-47) 由式由式(3-39)可解出一次近似解：可解出一次近似解： (3-48)xAt0coscoscosxxa AbAFtbAt12123334143ttsinttcos t 2234 abAFA x tAtbAt1321323 coscos 式中的式中的可由可由(3-47)確定。在這一方程中，我們有意不確定。在這一方程中，我們有意不給定給定，而把它看作是基波振幅，而把它看作是基波振幅A的函數(shù)。的函數(shù)。 將一次近似解代入式將一次近似解代入式(3-43)的右端，再按方程的右端，再按方程(3-47)確定確定二次近似解二次近似解x2(t)。假設(shè)代入后右端可寫