全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)_第1頁
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1、2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川)初賽試題20応年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合竟賽(四川初賽)tt 目一三.總琥織3H15kft 井iw鼻人釐核人(5月脾 日下年1牡30一-16: 30)考生注蠢:U車14卷共三丸總?cè)蹣?gòu)裁0分2.用H置色I(xiàn)珠塔以!爼件善-3 計(jì)WS運(yùn)訊工為蘋権常入島坊.L對(duì)tzi二* 咆JB大民找疔牛小盞.毎*蜃帝井共:W甘4K為M的離算成中孑的樂K址_. 1用鎳詐獨(dú)怦:齊X K i. & w ,卩、y WjhfctJl 2則脅比的十比網(wǎng)列”sma . tin fi ,審打尸構(gòu)琰專比4.第題節(jié)寫不整Ifl過密封紋一tl(刈*鏘備口的佃駁_.9- Llll ll P1WW 5K為4 /兒

2、個(gè)_MT*.過-&A竹越臨 6 詢柚為、SC SD竹別處fi、3ttJitlAl AEf tiI1._.m*的奸嗆XiCLn ittA +*4.心u ff s i ftrj.T.* ft gmr a 的r眼亍 獨(dú)若乂、R、晟 亍訂IWtt*機(jī)滴足秦件;0) MH B- 2016;3H(A) + fiiB + nC) - n(財(cái)|弭廠農(nóng)cC|EWit丈值圧_A* 1BK iC i、I3.-2tr+ftxe-M) )iib記/CO的撾小値為環(huán)啊曲的ftXIFiA. -2D, I忡帀”強(qiáng)廉WiT聲數(shù)的亍T.則/(100,3J-IA、!1B* 13C. M6 19弭設(shè)療列仇洲 Q 嗎f叭篦応何刁心 時(shí)

3、叮刃農(nóng)示砂H、JR工豹葷冀轄甦尻為冊(cè)的(in噴*,則占抑石的牛但躍了址I冉.1B* 2C. 5, 6仏口5鬥尺足#4兩和期麗浚的舍地捕點(diǎn)P址它苗的T公從點(diǎn),兒疋片戶 .gJW諛桶刪和測(cè)曲晚的陽心罰之秋的M小伯1612016 r:tNfi! VfF4Jll+rw分鉀料人三.f f AKO A 4*9 Ml 20 rRHO丨九說筲比載的舊”的耐丹能刨對(duì)耳“5. = 2 f r戶卸需業(yè)肌iC - 2(1 + logj ) (rt ).| )1*117;Ip)A中IT學(xué)K艸I種礙,an 2 4( 11 42S6年全國(guó)拓中川初豪)第3災(zāi)(共4頁)1 仏已知 a、b.c 為正實(shí)敵.求abc2 丁孝:+ 匕

4、 +b-c)(b+ c-a)(c+a-b).15.已知拋物線於=2px過定點(diǎn)Ql,2),在拋物線上任取不冋于點(diǎn)C的一點(diǎn) M 直找*C 了白線尸葉3 交于點(diǎn)幾 過點(diǎn) P 作軸的半和線交拋物鏡于點(diǎn)(!)求證,直線過定點(diǎn):(2)求 44BC 面幟的最小值16.已知 a 為實(shí)散 rfittXx=|?-ax|-lnr.諭討論函數(shù)人力的單調(diào)件.201b W金IHA中毆學(xué)IWHX川6 4 ft (A 4 )41、評(píng)閱試卷時(shí),請(qǐng)依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題和填空題只設(shè) 5 分 三、解答題(本大題共 4 個(gè)小題,每小題 20 分,共 80 分)和 0 分兩檔;其它各題的評(píng)閱,請(qǐng)嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分 檔次給分,不要再

5、增加其它中間檔次 .2、如果考生的解答題方法和本解答不同,只要思路合理,步驟正確,在評(píng)閱時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分,5 分一個(gè)檔次,不要再增加其它中間檔次 .一、選擇題(本大題共 6 個(gè)小題,每小題 5 分,共 30 分)1、A 2、D 3、C4、C5、A6、B二、填空題(本大題共 6 個(gè)小題,每小題 5 分,共 30 分)13、設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn2nr(r為常數(shù)), 記bn2(1 log2an) (n N*).(1 )求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn;(2)若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有 1L丄衛(wèi)bib2bn成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.解:(1)由條件易知a12 r,a2S2

6、S12 S3 4, 又由a;qa3得2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川)初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明:7 、 180812、2015114于是f(n)嚴(yán)格單增,則f(n)的最小值為f(1)4門,2Tn23.1 22 2 L(n 1) 2nn 2n 1由 -得:Tn2122L2n12nn 2n1,故Tn(n 1) 2n 12.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n 1*Tn(n 1) 22 (n N ) .10 分即實(shí)數(shù)k的最大值是2.20 分414、已知a、b、c為正實(shí)數(shù),求證:abcabc(a b c)(b111ca)(c a b).a2b2c2于是Sn2n1.故an2n1,bn2(1 log2an

7、)2n,anbnf(n 1)f(n)-n 1 12(n 1).n 22(n1)4n212n9:4n212n81,.15 分因?yàn)樽C明:(1)先證:abc11 d1 bnbn1 2na b c-2y-22abc等價(jià)于證明:2n2 2 2(ab) (bc) (ca) abc(a b c),構(gòu)造f(n)1 2n2n令x ab, y bc,z ca,由不等式x2y2z2xy yz zx知結(jié)論因此Tn1 212 22L (n 1) 2n 1n 2n成立.只需證:丄丄丄yz zx xy2 2 2?(y z) (z x) (x y)15 分(2)再證:a b c (a b c)(b c a)(c a b) 1

8、122(*)a b c由于不等式是輪換對(duì)稱的,不妨設(shè)a maxa,b,c,則abc0,cab0注意到:(y z)24yz,z)21yz41(z x)2zxL丄.所以,原不等式成(x y) xy當(dāng)b c a 0時(shí),結(jié)論顯然成立;立. 20 分當(dāng)b c a0時(shí),令a y乙b z x, c x y,15、已知拋物線y?2px過定點(diǎn)Q1,2)在拋物線上任取不同1貝9 x -(b c a),y21(c a b)21(a b c),于點(diǎn)C的一點(diǎn)A,直線AC與直線y?x?3 交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸10的平行線交拋物線于點(diǎn)B.(1)求證:直線AB過定點(diǎn);故x, y,z均大于 0.不等式(*)變?yōu)?( x y

9、z)1 1 18xyz(y2 2 2z) (z x) (x y)(2)求厶ABC面積的最小值.解:(1)由拋物線y2?2px過定點(diǎn)C(1,2)可得拋物線方程為y2?4x.22設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為( (里,里,y)()(yo工 2),則直線AC的方程為y?2?4(x?1),即y?2?(x?1),yo2與y?x?3 聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(,勺,勺) ).5 分yo2yo22所以B點(diǎn)坐標(biāo)為( (豁,答豁,答) ).當(dāng)y2?12 時(shí),A坐標(biāo)為(3,yo) ,B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,化簡(jiǎn)得,y?y。?孚 (4x?yf),(或:y?yo?(y22(x?衛(wèi)),)yo12y434易 得, 直 線AB也 過 定 點(diǎn)Q3,2).1

10、0 分法 2:由拋物線y3?2px過定點(diǎn) qi,2),可得拋物線方程為y4?4x. 設(shè)直線AB的方程為x?my?a,與拋物線方程聯(lián)立得,2y?4my?4a?O.(yo6)22(yo2)汀,直線yo2242設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則yi?y2?4m yiy2?4a,當(dāng)y工 12 時(shí),世豐(yo 6)2,直線AB的方程為y?yo?4(yo2)2y12yo2P點(diǎn)坐標(biāo)為B(y2?3,y2), 因?yàn)锳P過定點(diǎn)C,所以一S?2, 又X1?my?a,y23 1 x11所(n?1)y1y2?(2 n?4)y1?(a?1)y2?2a?6?O.AB過定點(diǎn)Q3,2)yo2( (X? ?乎乎) ),44

11、_ 2 _16、已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)?|x?ax| ?lnx,請(qǐng)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.將yiy2?4a,y2?4n?yi代入上式,得(?2m?3?a)yi?(2a?4n?6)?0 .解:由條件知函數(shù)即(?2m?3?a)(yi?2)?0 .f (x)的定義域?yàn)?0,因此式對(duì)任意 y“ 2 都成立,所以?2m?3?a?0,即 3?2m?a,因 此 直 線x?my?a過 定 點(diǎn)Q3,2).10 分(2)由(1)可設(shè)直線AB的方程為x?3?my?2),2與拋物線方程聯(lián)立得y?4my?4(2m?3)?0 .貝yyi?y2?4m,yiy2?4(2m?3),SABC?-2 |C(Q?|yi?y2|

12、 ?|yi?y2| ? .(yiy?)24%y2?4.(m 1)22. ?(?若af (x) 2x a -xa 4a8x20 ,貝 yf(x)?2x2ax 1,令f (x)xx2?ax?lnx,?于是所以,f(x)在(0,a a 8)上單調(diào)遞減,在(十,)上單調(diào)遞增。5 分(2)若a0,貝V f(x)?x2ax In x,當(dāng)xa時(shí)?2x ax Inx,當(dāng)CKxa)的單調(diào)性.當(dāng)?a2?0, 即卩a2 2時(shí),減,2.f2g(x)?2x?a?1?2x心.令 g(x)?0,得x?aa 8 0,xx4令h(x)?0,得0 xi尋a,即a 1 時(shí),g(x)在(a,a8)上單調(diào)遞減,44所以h(x)在(0,空 ), (aL,a)上單調(diào)遞減,44在( (迢迢8, , ? ? ) )上單調(diào)遞增;4在( (空空a8, ,a a8) )上單調(diào)遞增.4415 分當(dāng)8 1 時(shí),g(x)在(a, ?)上單調(diào)遞增.104分2再討論當(dāng)a 0 時(shí),h(

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