全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川初賽試題參考答案及評分標準

1、2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（四川）初賽試題20応年全國高中數(shù)學聯(lián)合竟賽（四川初賽）tt 目一三.總琥織3H15kft 井iw鼻人釐核人（5月脾 日下年1牡30一-16: 30）考生注蠢：U車14卷共三丸總全糅構裁0分2.用H置色I珠塔以!爼件善-3 計WS運訊工為蘋権常入島坊.L對tzi二* 咆JB大民找疔牛小盞.毎*蜃帝井共:W甘4K為M的離算成中孑的樂K址_. 1用鎳詐獨怦：齊X K i. & w ,卩、y WjhfctJl 2則脅比的十比網(wǎng)列”sma . tin fi ,審打尸構琰專比4.第題節(jié)寫不整Ifl過密封紋一tl(刈*鏘備口的佃駁_.9- Llll ll P1WW 5K為4 /兒

2、個_MT*.過-&A竹越臨 6 詢柚為、SC SD竹別處fi、3ttJitlAl AEf tiI1._.m*的奸嗆XiCLn ittA +*4.心u ff s i ftrj.T.* ft gmr a 的r眼亍 獨若乂、R、晟 亍訂IWtt*機滴足秦件；0) MH B- 2016；3H(A) + fiiB + nC) - n(財|弭廠農(nóng)cC|EWit丈值圧_A* 1BK iC i、I3.-2tr+ftxe-M) )iib記/CO的撾小値為環(huán)啊曲的ftXIFiA. -2D, I忡帀”強廉WiT聲數(shù)的亍T.則/（100,3J-IA、!1B* 13C. M6 19弭設療列仇洲 Q 嗎f叭篦応何刁心 時

3、叮刃農(nóng)示砂H、JR工豹葷冀轄甦尻為冊的（in噴*,則占抑石的牛但躍了址I冉.1B* 2C. 5, 6仏口5鬥尺足#4兩和期麗浚的舍地捕點P址它苗的T公從點，兒疋片戶 .gJW諛桶刪和測曲晚的陽心罰之秋的M小伯1612016 r：tNfi! VfF4Jll+rw分鉀料人三.f f AKO A 4*9 Ml 20 rRHO丨九說筲比載的舊”的耐丹能刨對耳“5. = 2 f r戶卸需業(yè)肌iC - 2(1 + logj ) (rt ).| )1*117；Ip)A中IT學K艸I種礙，an 2 4( 11 42S6年全國拓中川初豪)第3災(共4頁)1 仏已知 a、b.c 為正實敵.求abc2 丁孝:+ 匕

4、 +b-c)(b+ c-a)(c+a-b).15.已知拋物線於=2px過定點Ql,2),在拋物線上任取不冋于點C的一點 M 直找*C 了白線尸葉3 交于點幾 過點 P 作軸的半和線交拋物鏡于點(!)求證，直線過定點：(2)求 44BC 面幟的最小值16.已知 a 為實散 rfittXx=|?-ax|-lnr.諭討論函數(shù)人力的單調件.201b W金IHA中毆學IWHX川6 4 ft (A 4 )41、評閱試卷時，請依據(jù)評分標準選擇題和填空題只設 5 分 三、解答題（本大題共 4 個小題，每小題 20 分，共 80 分）和 0 分兩檔；其它各題的評閱，請嚴格按照評分標準規(guī)定的評分 檔次給分，不要再

5、增加其它中間檔次 .2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，5 分一個檔次，不要再增加其它中間檔次 .一、選擇題（本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分）1、A 2、D 3、C4、C5、A6、B二、填空題（本大題共 6 個小題，每小題 5 分，共 30 分）13、設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2nr（r為常數(shù)）， 記bn2（1 log2an） （n N*）.（1 ）求數(shù)列anbn的前n項和Tn；（2）若對于任意的正整數(shù)n,都有 1L丄衛(wèi)bib2bn成立，求實數(shù)k的最大值.解：（1）由條件易知a12 r,a2S2

6、S12 S3 4, 又由a；qa3得2016 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（四川）初賽試題參考答案及評分標準說明：7 、 180812、2015114于是f(n)嚴格單增，則f(n)的最小值為f(1)4門，2Tn23.1 22 2 L(n 1) 2nn 2n 1由 -得：Tn2122L2n12nn 2n1，故Tn(n 1) 2n 12.所以，數(shù)列bn的前n項和為n 1*Tn(n 1) 22 (n N ) .10 分即實數(shù)k的最大值是2.20 分414、已知a、b、c為正實數(shù)，求證：abcabc(a b c)(b111ca)(c a b).a2b2c2于是Sn2n1.故an2n1,bn2(1 log2an

7、)2n,anbnf(n 1)f(n)-n 1 12(n 1).n 22(n1)4n212n9:4n212n81,.15 分因為證明：(1)先證：abc11 d1 bnbn1 2na b c-2y-22abc等價于證明:2n2 2 2(ab) (bc) (ca) abc(a b c)，構造f(n)1 2n2n令x ab, y bc,z ca，由不等式x2y2z2xy yz zx知結論因此Tn1 212 22L (n 1) 2n 1n 2n成立.只需證：丄丄丄yz zx xy2 2 2?(y z) (z x) (x y)15 分(2)再證：a b c (a b c)(b c a)(c a b) 1

8、122(*)a b c由于不等式是輪換對稱的，不妨設a maxa,b,c,則abc0,cab0注意到:(y z)24yz，z)21yz41(z x)2zxL丄.所以，原不等式成(x y) xy當b c a 0時，結論顯然成立;立. 20 分當b c a0時，令a y乙b z x, c x y，15、已知拋物線y?2px過定點Q1,2)在拋物線上任取不同1貝9 x -(b c a)，y21(c a b)21(a b c)，于點C的一點A,直線AC與直線y?x?3 交于點P,過點P作x軸10的平行線交拋物線于點B.(1)求證：直線AB過定點;故x, y,z均大于 0.不等式(*)變?yōu)?( x y

9、z)1 1 18xyz(y2 2 2z) (z x) (x y)(2)求厶ABC面積的最小值.解：(1)由拋物線y2?2px過定點C(1,2)可得拋物線方程為y2?4x.22設點A坐標為( (里，里，y)()(yo工 2)，則直線AC的方程為y?2?4(x?1)，即y?2?(x?1),yo2與y?x?3 聯(lián)立解得P點坐標為(，勺，勺) ).5 分yo2yo22所以B點坐標為( (豁，答豁，答) ).當y2?12 時，A坐標為(3,yo) ,B點坐標為(3,化簡得，y?y。？孚 (4x?yf),(或：y?yo?(y22(x?衛(wèi)),)yo12y434易 得， 直 線AB也 過 定 點Q3,2).1

10、0 分法 2：由拋物線y3?2px過定點 qi,2)，可得拋物線方程為y4?4x. 設直線AB的方程為x?my?a，與拋物線方程聯(lián)立得，2y?4my?4a?O.(yo6)22(yo2)汀，直線yo2242設A(xi,yi)，B(X2,y2)，則yi?y2?4m yiy2?4a，當y工 12 時，世豐(yo 6)2，直線AB的方程為y?yo?4(yo2)2y12yo2P點坐標為B(y2?3,y2)， 因為AP過定點C,所以一S?2， 又X1?my?a,y23 1 x11所(n?1)y1y2?(2 n?4)y1?(a?1)y2?2a?6?O.AB過定點Q3,2)yo2( (X? ?乎乎) )，44

11、_ 2 _16、已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)?|x?ax| ?lnx，請討論函數(shù)f(x)的單調性.將yiy2?4a,y2?4n?yi代入上式，得(?2m?3?a)yi?(2a?4n?6)?0 .解：由條件知函數(shù)即(?2m?3?a)(yi?2)?0 .f (x)的定義域為(0,因此式對任意 y“ 2 都成立，所以?2m?3?a?0,即 3?2m?a,因 此 直 線x?my?a過 定 點Q3,2).10 分(2)由(1)可設直線AB的方程為x?3?my?2)，2與拋物線方程聯(lián)立得y?4my?4(2m?3)?0 .貝yyi?y2?4m,yiy2?4(2m?3)，SABC?-2 |C(Q?|yi?y2|

12、 ?|yi?y2| ? .(yiy?)24%y2?4.(m 1)22. ?(?若af (x) 2x a -xa 4a8x20 ,貝 yf(x)?2x2ax 1，令f (x)xx2?ax?lnx,?于是所以，f(x)在(0,a a 8)上單調遞減，在(十，)上單調遞增。5 分(2)若a0,貝V f(x)?x2ax In x，當xa時?2x ax Inx,當CKxa)的單調性.當?a2?0, 即卩a2 2時,減,2.f2g(x)?2x?a?1?2x心.令 g(x)?0,得x?aa 8 0,xx4令h(x)?0，得0 xi尋a,即a 1 時，g(x)在(a,a8)上單調遞減,44所以h(x)在(0,空 ), (aL,a)上單調遞減,44在( (迢迢8, , ? ? ) )上單調遞增;4在( (空空a8, ,a a8) )上單調遞增.4415 分當8 1 時，g(x)在(a, ?)上單調遞增.104分2再討論當a 0 時，h(