第五章抽樣與推斷

1、X2x2snN1nNnC nNAnNC12,n 12,nEEE 12,nDDDK 1,2,3,iDK in0 11lim1niiniPEn設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別有數(shù)學(xué)期望分別有數(shù)學(xué)期望以及方差以及方差并且方差是一致有上界的，即存在某一常數(shù)并且方差是一致有上界的，即存在某一常數(shù)，使得，使得，則對于任意正數(shù)，則對于任意正數(shù)，恒有：，恒有：lim1nPxXX2nX2n2,xNXn若總體變量存在有限的平均數(shù)若總體變量存在有限的平均數(shù)和方差和方差無論總體變量的分布是否為正態(tài)分布，在樣本單位數(shù)目無論總體變量的分布是否為正態(tài)分布，在樣本單位數(shù)目足夠多的條件下，樣本平均數(shù)足夠多的條件下，樣本平均數(shù)

2、的分布將充分接近以總體平均數(shù)的分布將充分接近以總體平均數(shù)為中心，方差為為中心，方差為的正態(tài)分布，即：的正態(tài)分布，即：xxp2 1020304050X30()525()五戶家庭三月份購買某商品的支出：元， 元， 元， 元， 元元現(xiàn)從五戶中抽取二戶作調(diào)查，如果為重復(fù)抽樣 考慮順序種排列組合如下：例例x樣樣本本平平均均數(shù)數(shù)xX 誤誤差差 2xX 抽抽取取樣樣本本x樣樣本本平平均均數(shù)數(shù)xX 誤誤差差 2xX 抽抽取取樣樣本本接左：接左：2()() 2500 10()25 ()xxXnn抽樣平均誤差元為樣本配合總數(shù)xxX 2(xX) ff 255410() X30()2 1C 種種元元xxX 2xX )

3、(66.810750n)X-x( )(2元抽樣平均誤差x上例五戶中抽取二戶調(diào)查，如采取不考慮順序的不重復(fù)抽上例五戶中抽取二戶調(diào)查，如采取不考慮順序的不重復(fù)抽樣方法，則：樣方法，則：211() ()nNxinixXN定義式2211() ()niXixxnn計(jì)算式ppqn1. 1. 用用過去全面調(diào)查或抽樣調(diào)查的資料，若同時(shí)有過去全面調(diào)查或抽樣調(diào)查的資料，若同時(shí)有n n個(gè)個(gè)的資料，應(yīng)選用數(shù)值較大的那個(gè)；的資料，應(yīng)選用數(shù)值較大的那個(gè)；2. 2. 用用樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差S S代替全及標(biāo)準(zhǔn)差代替全及標(biāo)準(zhǔn)差；3. 3. 在在大規(guī)模調(diào)查前，先搞個(gè)小規(guī)模的試驗(yàn)性的調(diào)查來大規(guī)模調(diào)查前，先搞個(gè)小規(guī)模的試驗(yàn)性的調(diào)查

4、來確定確定S S，代替，代替；4. 4. 用用估計(jì)的方法。估計(jì)的方法。x2202()100小時(shí) 某燈泡廠從一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品10,000個(gè)中抽取100個(gè)檢查其壽命，得平均壽命為2000小時(shí)(一般為重復(fù)抽樣)，根據(jù)以往資料：=20小時(shí)，根據(jù)以往資料，產(chǎn)品質(zhì)量不太穩(wěn)定，若=200小時(shí)，)(20 小時(shí)于是：例例%1374. 1)150001501 (150)98. 01 (98. 0)1 ()1 ( %14. 1150)98. 01 (98. 0)1 (%98150147 150 15000NnnppnpppnNpp若按不重復(fù)抽樣方式： 某玻璃器皿廠某日生產(chǎn)15000只印花玻璃杯，現(xiàn)按重復(fù)抽樣方式從中

5、抽取150只進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，結(jié)果有147只合格，其余3只為不合格品，試求這批印花玻璃杯合格率(成數(shù))的抽樣平均誤差。例例211() ()nNCxiniNxXC定義式2211(1)(1)() ()niXinnxxnNnN計(jì)算式(1)ppqnnN2xNnnN1 2xNnn(1)nN 但但實(shí)實(shí)際際中中， 往往往往 很很大大， 很很小小，故故改改用用下下列列公公式式：x400100(1)1.99()10010000 上上例例中中，若若為為不不重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣，則則：小小時(shí)時(shí)xxX ppP xpxxX1xxxXprob 2xxZ 2ppZ 11SnxX2xxt 222t n 重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣：22t P(

6、1P)n 22222Nt nNt 不不重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣：二、必要抽樣數(shù)目的計(jì)算公式二、必要抽樣數(shù)目的計(jì)算公式222N P(1P)tnNt P(1P) xXpP由由樣樣本本指指標(biāo)標(biāo)直直接接代代替替全全及及指指標(biāo)標(biāo)，不不考考慮慮任任何何抽抽樣樣誤誤差差因因素素。即即用用 直直接接代代表表 ，用用直直接接代代表表 。是是就就100 x 1002p98%X 1002P98% 在在全全部部產(chǎn)產(chǎn)品品中中，抽抽取取件件進(jìn)進(jìn)行行仔仔細(xì)細(xì)檢檢查查，得得到到平平均均重重量量克克，合合格格率率，我我們們直直接接推推斷斷全全部部產(chǎn)產(chǎn)品品的的平平均均重重量量克克，合合格格率率。例例 由于區(qū)間估計(jì)所表示的是一個(gè)可能的范圍

7、，而不由于區(qū)間估計(jì)所表示的是一個(gè)可能的范圍，而不是一個(gè)絕對可靠的范圍。就是說，推斷全及指標(biāo)在這是一個(gè)絕對可靠的范圍。就是說，推斷全及指標(biāo)在這個(gè)范圍內(nèi)只有一定的把握程度。用數(shù)學(xué)的語言講，就個(gè)范圍內(nèi)只有一定的把握程度。用數(shù)學(xué)的語言講，就是有一定的概率。是有一定的概率。 根據(jù)中心極限定理，得知當(dāng)根據(jù)中心極限定理，得知當(dāng)n n足夠大時(shí)，抽樣總足夠大時(shí)，抽樣總體為正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布規(guī)律可知，樣本指標(biāo)是體為正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布規(guī)律可知，樣本指標(biāo)是以一定的概率落在某一特定的區(qū)間內(nèi)，統(tǒng)計(jì)上把這個(gè)以一定的概率落在某一特定的區(qū)間內(nèi)，統(tǒng)計(jì)上把這個(gè)給定的區(qū)間叫抽樣極限誤差，也稱置信區(qū)間，即在概給定的區(qū)間叫抽樣極

8、限誤差，也稱置信區(qū)間，即在概率率F(t)F(t)的保證下：的保證下： 抽樣極限誤差抽樣極限誤差=t=t，（，（t t為概率度）為概率度）當(dāng)當(dāng)F(t)=68.27%F(t)=68.27%時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的1 1倍倍(t=1);(t=1);當(dāng)當(dāng)F(t)=95.45%F(t)=95.45%時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的2 2倍倍(t=2);(t=2);當(dāng)當(dāng)F(t)=99.73%F(t)=99.73%時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的時(shí)，抽樣極限誤差等于抽樣平均誤差的3 3倍倍(t=3);(t=3);可見，抽樣極限

9、誤差，即擴(kuò)大或縮小了以后的抽樣誤可見，抽樣極限誤差，即擴(kuò)大或縮小了以后的抽樣誤差范圍。差范圍。例例xxppF(t)xXxpPp()()t 在在概概率率的的保保證證下下：即即：全全及及平平均均數(shù)數(shù) 成成數(shù)數(shù)抽抽樣樣平平均均數(shù)數(shù) 成成數(shù)數(shù))403.57( 100003)99.73%(t (3)402.38( 100002)95.45%(t 千克畝產(chǎn)量的可能范圍為：畝小麥的平均保證，該農(nóng)場若以概率千克畝產(chǎn)量的可能范圍為：畝小麥的平均保證，該農(nóng)場若以概率千克43.39619. 1340062.39719. 12400)2()(19. 1)100001001 (10012)1 () 1 (22XxXNn

10、nxx 某農(nóng)場進(jìn)行小麥產(chǎn)量的抽樣調(diào)查，該農(nóng)場小麥播種面積為某農(nóng)場進(jìn)行小麥產(chǎn)量的抽樣調(diào)查，該農(nóng)場小麥播種面積為1000010000畝，畝，采用不重復(fù)的簡單隨機(jī)抽樣從中選采用不重復(fù)的簡單隨機(jī)抽樣從中選100100畝作為樣本，進(jìn)行實(shí)割實(shí)測，得到畝作為樣本，進(jìn)行實(shí)割實(shí)測，得到樣本的平均畝產(chǎn)量為樣本的平均畝產(chǎn)量為400400千克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為千克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1212千克。千克。則：則： 例例1 1pp380p100%95%400P(1P)95%(195%)1.09%n40095.45%Pp95%2 1.09% 92.82% 97.18% 在概率的保證下，全及一級品率： 某機(jī)械廠日產(chǎn)某種產(chǎn)品某機(jī)械廠日產(chǎn)

11、某種產(chǎn)品80008000件，現(xiàn)采用純隨機(jī)不重復(fù)抽樣方式件，現(xiàn)采用純隨機(jī)不重復(fù)抽樣方式( (按重按重復(fù)抽樣公式計(jì)算復(fù)抽樣公式計(jì)算) )，從中抽取，從中抽取400400件進(jìn)行觀察，其中有件進(jìn)行觀察，其中有380380件為一級品，試件為一級品，試以概率以概率95.45%95.45%的可靠程度推斷全部產(chǎn)品的一級品率及一級品數(shù)量的范圍。的可靠程度推斷全部產(chǎn)品的一級品率及一級品數(shù)量的范圍。則：抽樣一級品率： 例例2 2312123iinnnnnNNNNNinniNNiiiiiNnnN2xn1pPPn222iiiiNnNn或111iiiiiiN PPn PPPPNn或21xnnN11pPPnnN注意方差的表

12、達(dá)式注意方差的表達(dá)式22 ; P(1-P)P(1-P) 22222t nt P(1P) n ：重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣22222222Nt nNtNt P(1P) nNt P(1P) 不不重重樣樣：復(fù)復(fù)抽抽1.1.隨隨機(jī)起點(diǎn)等距抽樣機(jī)起點(diǎn)等距抽樣k k k k+a 2k+a (n-1)k+aak(k為抽取間隔)示意圖：示意圖：k k kk(k為抽取間隔)2k2kk 22kk 2) 1(kkn示意圖：示意圖：示意圖：示意圖：k k k 2k-a 2k+a 4k-a 4k+aak(k為抽取間隔)2222iixxXXxxRr或 者 ：iXXixx2222iippPPppRr或者：iPPipp21xxRrrR

13、21ppRrrR2222ppxxnr ; NR ; ; 22x222xx22p222ppRt rRtRt rRt 不不：重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣.216 100101 21101001XRrrR216100R10r 21221222212212nxnnijijxxxnXEnnxXxXxXEnE xXE xXE xXE xXxXn2201,2,ijiE xXxXE xXin2xn 22122122221222221111nxnnijijniijiijxxxnXEnnxXxXxXEnE xXE xXE xXE xXxXnE xXE xXxXnn221122211111111,2,ijijijNNijiji

14、E xXxXxXxXN NxXxXN NN NNE xXin21xNnnN一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義所謂所謂假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)，就是對某一總體參數(shù)先作，就是對某一總體參數(shù)先作出假設(shè)的數(shù)值；然后搜集樣本資料，用這些樣本出假設(shè)的數(shù)值；然后搜集樣本資料，用這些樣本資料確定假設(shè)數(shù)值與樣本數(shù)值之間的差異；最后，資料確定假設(shè)數(shù)值與樣本數(shù)值之間的差異；最后，進(jìn)一步判斷兩者差異是否顯著，若兩者差異很小，進(jìn)一步判斷兩者差異是否顯著，若兩者差異很小，則假設(shè)的參數(shù)是可信的，作出則假設(shè)的參數(shù)是可信的，作出“接受接受”的結(jié)論，的結(jié)論，若兩者的差異很大，則假設(shè)的參數(shù)準(zhǔn)確的可能性若兩者的差異很大，則假設(shè)的參數(shù)準(zhǔn)確的

15、可能性很小，作出很小，作出“拒絕拒絕”的結(jié)論。的結(jié)論。某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，必須檢驗(yàn)合格才能出廠，規(guī)定合格率為95%，現(xiàn)從中抽取100件進(jìn)行質(zhì)量檢查，發(fā)現(xiàn)合格率為93%，假設(shè)檢驗(yàn)就是利用樣本指標(biāo)p=93%的合格率，來判斷原來假設(shè)P=95%合格率是否成立。如假設(shè)成立，產(chǎn)品就能出廠，如假設(shè)不成立，這批產(chǎn)品便不能出廠。例例1 1某地區(qū)去年職工家庭年收入為72000元，本年抽樣調(diào)查結(jié)果表明，職工家庭年收入為71000元，這是否意味著職工生活水平下降呢？我們還不能下這個(gè)結(jié)論，最好通過假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)這兩年職工家庭收入是否存在顯著性統(tǒng)計(jì)差異，才能判斷該地區(qū)今年職工家庭年收入是否低于去年水平。例例2 2( (一一

16、) )提出原假設(shè)和替代假設(shè)提出原假設(shè)和替代假設(shè)原假設(shè)原假設(shè)( (又稱虛無假設(shè)又稱虛無假設(shè)) )是接受檢驗(yàn)的假設(shè)，是接受檢驗(yàn)的假設(shè)，記作記作H H0 0；替代假設(shè)替代假設(shè)( (又稱備選假設(shè)又稱備選假設(shè)) )是當(dāng)原假設(shè)被否定是當(dāng)原假設(shè)被否定時(shí)的另一種可成立的假設(shè)，記作時(shí)的另一種可成立的假設(shè)，記作H H1 1；H H0 0與與H H1 1兩者是對立的，如兩者是對立的，如H H0 0真實(shí)，則真實(shí)，則H H1 1不真不真實(shí)；如實(shí)；如H H0 0不真實(shí)，則不真實(shí)，則H H1 1為真實(shí)。為真實(shí)。 H H0 0和和H H1 1在統(tǒng)計(jì)學(xué)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。中稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。關(guān)于總體平均數(shù)的假設(shè)有三種情況： (

17、1) H0: =0； H1: 0 (2) H0: 0； H1: 0以上三種類型，對第一種類型的檢驗(yàn)，稱雙邊檢驗(yàn)，因?yàn)?，包含0和0。而對第二、三種類型的檢驗(yàn)，稱單邊檢驗(yàn)。例例 當(dāng)當(dāng)原假設(shè)原假設(shè)H H0 0為真時(shí)為真時(shí)，卻因?yàn)闃颖局笜?biāo)的，卻因?yàn)闃颖局笜?biāo)的差異而被否定，這種否定真實(shí)的原假設(shè)的概差異而被否定，這種否定真實(shí)的原假設(shè)的概率就是顯著性水平。用率就是顯著性水平。用表示。表示。例例 =0.05(=0.05(即即5%)5%)或或=0.01(=0.01(即即1%)1%) 在假設(shè)檢驗(yàn)中，要分析樣本數(shù)值與參數(shù)在假設(shè)檢驗(yàn)中，要分析樣本數(shù)值與參數(shù)假設(shè)值之間的差異，若兩者差異越小，假設(shè)假設(shè)值之間的差異，若兩

18、者差異越小，假設(shè)值真實(shí)的可能性則越大；反之，假設(shè)值真實(shí)值真實(shí)的可能性則越大；反之，假設(shè)值真實(shí)的可能性越小。因此，要分析兩者差異是否的可能性越小。因此，要分析兩者差異是否顯著，如兩者差異是顯著的，就要否定原假顯著，如兩者差異是顯著的，就要否定原假設(shè)，因此，假設(shè)檢驗(yàn)又稱顯著性檢驗(yàn)。設(shè)，因此，假設(shè)檢驗(yàn)又稱顯著性檢驗(yàn)。 如如下下：樣樣本本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的基基本本量量被被假假設(shè)設(shè)參參數(shù)數(shù)檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量統(tǒng)統(tǒng)形形式式計(jì)計(jì)量量的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差XX Z tSnn 檢檢驗(yàn)驗(yàn)總總體體平平均均值值的的統(tǒng)統(tǒng)有有計(jì)計(jì)，量量： 例例 在在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，要注意是雙邊計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，要注意是雙邊檢驗(yàn)

19、還是單邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)還是單邊檢驗(yàn)。要根據(jù)顯著性水平要根據(jù)顯著性水平的的值確定統(tǒng)計(jì)量的否定域、接受域及臨界值。值確定統(tǒng)計(jì)量的否定域、接受域及臨界值。 如如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值落在否定域內(nèi)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值落在否定域內(nèi)( (包括臨界值包括臨界值) )，就說明原假設(shè)，就說明原假設(shè)H H0 0與樣本描述與樣本描述的情況有顯著差異，的情況有顯著差異，應(yīng)該應(yīng)該否定原假設(shè)；否定原假設(shè)；如果如果該數(shù)值落在接受域內(nèi)，就說明原假設(shè)該數(shù)值落在接受域內(nèi)，就說明原假設(shè)H H0 0與樣與樣本描述的情況無顯著差異，則本描述的情況無顯著差異，則應(yīng)接受應(yīng)接受原假設(shè)。原假設(shè)。22220ZZZZH2ZZ 在在假假設(shè)設(shè)的的雙雙邊邊檢檢驗(yàn)

20、驗(yàn)中中，如如果果檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的數(shù)數(shù)值值過過大大或或過過小小，都都將將否否定定原原假假設(shè)設(shè)。否否定定域域位位于于正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線兩兩邊邊，在在顯顯著著性性水水平平 條條件件下下，每每個(gè)個(gè)尾尾部部的的面面積積分分別別為為，臨臨界界值值為為和和。當(dāng)當(dāng)檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的數(shù)數(shù)值值時(shí)時(shí)，就就否否定定原原假假設(shè)設(shè)；時(shí)時(shí)，認(rèn)認(rèn)為為差差異異不不顯顯著著，就就接接受受原原假假設(shè)設(shè)，見見圖圖：221)(2臨界值Z)(2臨界值Z否定域否定域接受域 )%95(96. 105. 051002 . 061 . 66H6cm 22011的可靠程度否定原假設(shè)即有因此這批產(chǎn)品不合格。，體平均數(shù)存在顯著差異，說明樣本平均數(shù)和總因?yàn)闀r(shí)，對應(yīng)的臨界值：；：解：選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量方法ZZZnXUcmH 某種產(chǎn)品的直徑為6cm時(shí)，產(chǎn)品為合格，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢查，得知樣本平均