靜力學(xué) 空間力系

1、61 工程中的空間力系問題工程中的空間力系問題62 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影63 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩64 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程65 重心重心的概念的概念 66 重心重心坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式 6-7 物體重心的求法物體重心的求法第六章第六章 空間力系空間力系42P2PPPaaaAB61 工程中的空間力系問題工程中的空間力系問題一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cos, cos, cosFZFYFXxzFo ZYXy 由圖可知：6-2 6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影6cossin FXsinsin FYcosFZ 二次投影法（

2、間接投影法）二次投影法（間接投影法）zxFoFxy ZYXy 當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時(shí)，可先將 F 投影到xy面上，得到Fxy，然后再投影到x、y軸上，即7力沿坐標(biāo)軸分解力沿坐標(biāo)軸分解： 若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則： zyxFFF,zyxFFFF222ZYXFFZFYFXcos,cos,coskZFjYFiXFzyx , ,而：kZjYiXF所以：zxFoFzFyFxykjixyzFacbo例例1已知：F、a、b、c，求：Fz，解：Fcbac222 Fz =FcbaaFx222 FcbabFy222xyzFaaaao例例2已知：F、a、求：Fx， Fy， Fz解：F31xFyF

3、F31F31zF10與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力：空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。匯交點(diǎn)。nFFFFR321合力在軸的投影為合力在軸的投影為: 用 代入上式kZjYiXFiiiixRyRzR2、空間匯交力系的合力與平衡條件、空間匯交力系的合力與平衡條件：kZjYiXRiii)()()(合力zyxF1F3F2RiXiYiZiF11222 :zyxRRRR合力,cosRRx方向：222)()()(ZYX,cosRRyRRzcos12 0X 0Y 0Z 稱為稱為空間匯交力系的平衡方程空間匯交

4、力系的平衡方程 平衡充要條件為：0R空間匯交力系平衡的充要條件：空間匯交力系平衡的充要條件：222 zyxRRRR即：即：力系的合力為零力系的合力為零222)()()(ZYX136-3 6-3 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩1.力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩工程中經(jīng)常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩是力對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用效果的度量。)(FMz方向規(guī)定：hFxy)(xyOFMzFhoFzFxy 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩是代數(shù)量，絕對(duì)值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)于這個(gè)平面與該軸的交點(diǎn)的矩。右手螺旋法則，與坐標(biāo)軸正向一致為正。1.力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩等于零的情形：力對(duì)軸的矩等

5、于零的情形：力與軸平行力與軸平行力與軸相交力與軸相交力力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。xyzFacbo例例3已知：F、a、b、c，求：Mx(F)解：cFFMyx)(cFcbab222 Fcbabc222 例例4zxyFaa30已知：F、a、求：Mx(F)、 My(F)、Mz(F)解：0)(FMxaFFMy 30sin)(aFFMz 45sin30cos)(例例5已知：F=60kN，a=10cm求：Mx(F)、 My(F)、Mz(F)解：zxyaaaFzxFo1341252y334)(yxzFFFM例例5已知：F=60kN，圖中長度單位：cm求：Mx(F)、 My(F

6、)、Mz(F)解：432)(FFMx(kNcm)332)(FFMycm)kN(160cm)(kN 120100331432FF20 已知已知:F=1000N 求：力求：力P 對(duì)z軸的矩解解：例例FFx351FFy353)()()()(zzyzxzzFMFMFMFMFFz3550150)50100(yxFFm)N(4 .10121 由于空間力偶除大小、轉(zhuǎn)向外，還必須確定力偶的作用面的方位，所以空間力偶矩必須用矢量表示。一、力偶矩用矢量表示：一、力偶矩用矢量表示：力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)橛沂致菪▌t。從力偶矢末端看去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。2.2. 空間力偶空間力偶M空間力偶是一個(gè)自由矢量：可以進(jìn)行平移和滑動(dòng)。平移

7、滑動(dòng)23二、空間力偶的等效條件二、空間力偶的等效條件力偶矩矢相等力偶矩矢相等力偶矩矢的大小相等、方位、轉(zhuǎn)向相同。力偶矩矢的大小相等、方位、轉(zhuǎn)向相同。兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效。兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效。24由此可得出，空間力偶矩是自由矢量空間力偶矩是自由矢量，它有三個(gè)要素： 力偶矩的大小力偶矩的大小= 力偶矩的方向力偶矩的方向與力偶作用面法線方向相同 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向遵循右手螺旋規(guī)則。M三、空間力偶系的合成與平衡三、空間力偶系的合成與平衡 由于空間力偶系是自由矢量，只要方向不變，可移至任意一點(diǎn)，故可使其滑至匯交于某點(diǎn)，由于是矢量，它的合成符合矢量運(yùn)算法則。 合力偶矢 = 分力偶矩

8、的矢量和nMMMMM321zM1M2M3xyxzM1M2M3yMiMkMjMiMMzyx解析式：izziyyixxMMMMMM;222zyxMMMM合力偶矢的大小和方向：MMMMMMzyxcos,cos,coszxyM1M2M3M270iMM顯然空間力偶系的平衡條件是：222zyxMMMM0 xM0yM0zMzyx例例3求合力偶求合力偶M2M1zyxM2221MMMhFMbFM2211yxzF1F2F2F1bh29 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間坐標(biāo)系。簡化問題，但須把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間

9、坐標(biāo)系。 nFFFF321, 設(shè)作用在剛體上有設(shè)作用在剛體上有空間一般力系空間一般力系向向O點(diǎn)簡化點(diǎn)簡化（O點(diǎn)任選）點(diǎn)任選）6-4 6-4 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化30根據(jù)力線平移定理，將各力平行移到O點(diǎn)，得到一空間匯交力系： 和附加力偶系 , , 321nFFFFnMMM,21由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點(diǎn)。MMM31合成 得主矩nMMM,21OM合成 得主矢, , 321nFFFFR（主矢 過簡化中心O，其大小和方向與O點(diǎn)的選擇無關(guān)）ROM（主矩 與簡化中心O有關(guān)）MMM132222zyxRRRR主矢主矢:

10、主矩主矩:;222zyxOMMMMMxMyMzxRyRzR222)()()(ZYXxR yR zR iXiYiZ)(ixxFMM)(iyyFMM)(izzFMM222)()()(FMFMFMzyx33空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程0)( , 00)( , 00)( , 0FMZFMYFMXzyx二、空間任意力系的平衡方程二、空間任意力系的平衡方程MxMyMzxRyRzR222)()()(ZYXR222)()()(FMFMFMMzyxO34空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程：0)( , 0 , 0FMYXzxyz1F2F3F4F0)(0)(, 0FMFMZyx 351、球

11、形鉸鏈、球形鉸鏈三、空間約束三、空間約束 觀察物體在空間的六種（沿三軸移動(dòng)和繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)）可能觀察物體在空間的六種（沿三軸移動(dòng)和繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)）可能的運(yùn)動(dòng)中，有哪幾種運(yùn)動(dòng)被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。的運(yùn)動(dòng)中，有哪幾種運(yùn)動(dòng)被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動(dòng)為反力，阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)為反力偶。阻礙移動(dòng)為反力，阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)為反力偶。例例362、向心軸承，滾珠（柱）軸承，蝶鉸鏈、向心軸承，滾珠（柱）軸承，蝶鉸鏈373、止推軸承、止推軸承 384、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板395、空間固定端、空間固定端40滑動(dòng)軸承滑動(dòng)軸承例例 三輪小車，三輪小車，P=8kN，P1=10kN，求地面對(duì)車輪的反力。，求地面對(duì)

12、車輪的反力。解：，0)(FMx022 . 12 . 01DFPPkN8 . 5 DF，0)(FMy02 . 16 . 06 . 08 . 01BDFFPPkN777. 7 BF，0Z01DBAFFFPPkN423. 4 AF例6zyxABCDP45已知：桿AB與CD等長，在中點(diǎn)E鉸接， AC=BC=a ，P=500N，求繩子的拉力和支座A、C的反力。E解：整體zyxABCD45FCzFCyFCxFAzFAxFAyFBPE， 0)(FMy， 0)(FMxN)(708BFN)(500AzFzyxABCDP45045cos aPaFB0aPaFAz， 0ZN)(500CzF045sinPFFFBAz

13、CzzyxABCD45FCzFCyFCxFAzFAxFAyFBPE， 0)(FMz0AyF0aFAy， 0YN)(500CyF， 0X045cosBAyCyFFF; 0AxCxFFzyxBCDFCzFCyFCxFEzFExFEyPE， 0)(FMzCyCxFFCxAxFFCD桿zyxABCDP450aFaFCyCxN)(500N)(5002P2PPPaaABaDdyzx例例7已知：已知：P、D、a，求求A、B 處的支反力。處的支反力。FBzFBxFAzFAx解：0)(, 00)(, 00)(, 0FMZFMYFMXzyx2P2PPPaaABaDdyzxFBzFBxFAzFAx解：，0)(FMx

14、, 033aPaFBzPFPFPFPFAxBxAzBz,2,2,，0Z，0)(FMz，0X, 03 PFFBzAz, 0233aPaFBx03 PFFBxAx例例皮帶拉力F2=2 F1 ，F(xiàn)=2kN，D=0.4m，R=0.3m，=30 , =60，求皮帶的拉力和軸承反力。解：整體; 0)(FMy02212DFDFFRkN3 2112FFF; 0)(FMx04 . 02 . 0 2 . 060cos2 . 030cos21BzFFFFN1799 BzF; 0)(FMz04 . 0 2 . 060sin2 . 030sin21BxFFFN3348 BxF; 0X060sin30sin21BxAxF

15、FFFN1004 AxF; 0Z0 60cos30cos21BzAzFFFFFN9397 AzF例r =100mm, R =200mm, P =10kN，求A、B的支反力和鏈條的拉力。鏈條的主動(dòng)邊拉力是從動(dòng)邊拉力的兩倍。3030300300400MPRrABxzy解：3030300300400MPRrABxz解：3030300300400PRrABxyzFBzFBxFAzFAx2TT; 0)(FMy02RTrPRTkN5PRrT; 0)(FMz06 . 0)30cos2(6 . 0)30cos(1TTFBxkN8 . 7BxF3030300300400PRrABxyzFBzFBxFAzFAx2

16、TT; 0X030cos230cosBxAxFTTFkN2 . 5AxF3030300300400PRrABxyzFBzFBxFAzFAx2TT; 0)(FMxkN5 . 1BzF03 . 06 . 0)30sin2(6 . 0)30sin(1PTTFBz; 0Z030sin230sinPFTTFBzAzkN6AzF586-5 6-5 重心的概念重心的概念 地球?qū)ξ矬w的引力稱為重力。重力作用于物體內(nèi)每一微地球?qū)ξ矬w的引力稱為重力。重力作用于物體內(nèi)每一微小部分，是一個(gè)分布力系，由于物體的尺寸與地球的半徑相小部分，是一個(gè)分布力系，由于物體的尺寸與地球的半徑相比小得多，因此可近似地認(rèn)為這個(gè)力系是空間

17、平行力系，此比小得多，因此可近似地認(rèn)為這個(gè)力系是空間平行力系，此平行力系的合力一般稱為物體的平行力系的合力一般稱為物體的。不論物體如何放置，其重力的作用線總是通過物體內(nèi)的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的。重心的位置在工程中由重要意義。zxPycoyxcyixizizcPiMiC Vi59物體分割的越多，每一小部分體積越小，求得的重心位置就越準(zhǔn)確。在極限情況下，(n )，常用積分法求物體的重心位置。zxPycoyxcyixizizcPiMiC Vi,PyPyPxPxiiCiiCiPP由合力矩定理：66 重心重心坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式PzPziiCiiCyPyPiiCxPxP60對(duì)于均質(zhì)物體，單位體積的重

18、量 =常數(shù)；Vi為第i個(gè)小體積，則 VPVPii;積分表達(dá)式為：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC , ,VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC , ,VxVxiiC ,VyVyiiC VzVziiC 61 可見：對(duì)于均質(zhì)物體，重心與物體的單位體積的重量（比重）無關(guān)，只與物體的形狀有關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為物體的薄板的重心（形心）公式：薄板的重心（形心）公式：VxVxiiCzxyCAiVi=tAi V=tA,AyAyAxAxiiCiiCtAxAtii,AxAii62,d,dAAyyAAxxACAC積分表達(dá)式為：積分表達(dá)式為：靜矩：靜矩：AxAySdAyC稱為圖形對(duì)稱為圖形對(duì)x

19、軸軸的靜矩。的靜矩。 （面積矩、一次矩）（面積矩、一次矩）xSxyCxCyCdAyx63 6-7 物體重心的求法物體重心的求法AyAyiiC由解解：cm348 cm4 , 21 ,80cm212221)R(y,yRAA 求：該組合體的重心？求：該組合體的重心？已知：例例10 組合法（分割法和負(fù)面積法）分割法212211 AAyAyAcm0 . 6AA204002002015012315求求Z形截面形截面重心的位置。重心的位置。例例6-4解解：AxAxiiC300054004000)60(30005 . 754001004000321332211AAAxAxAxAmm)(21204002002015012315202001A153602A201503Amm1001xmm5 . 72xmm603xxyAyAyiiC321332211AAAyAyAyA2040020020150123xy1530005400400039030002005400104000mm)(7 .184202001A153602