統(tǒng)計(jì)學(xué)第八章：假設(shè)檢驗(yàn)

1、1 第八章 假設(shè)檢驗(yàn)2STAT 加入WTO之后，我國的企業(yè)面臨著異常嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，汽車行業(yè)的形勢(shì)尤為嚴(yán)峻。是挑戰(zhàn)也是機(jī)遇，為了迎接挑戰(zhàn)，國內(nèi)汽車行業(yè)紛紛采取各種應(yīng)對(duì)措施。A汽車集團(tuán)公司對(duì)本公司的A1型號(hào)汽車的發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了一系列改進(jìn)，提高了啟動(dòng)速度，降低了噪音，改稱為A2型。其中，公司關(guān)心的一個(gè)重要問題是汽車的節(jié)能性。節(jié)油是汽車的一個(gè)賣點(diǎn)，改進(jìn)前的A1型汽車油耗較高，每百公里油耗為8.48升，公司希望改進(jìn)后的車型比改進(jìn)前節(jié)油，至少不比改進(jìn)前更費(fèi)油。實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)3STAT為此，隨機(jī)抽取了15輛A2型汽車做試驗(yàn)，測(cè)得15輛汽車的每百公里耗油量的數(shù)據(jù)如下表： 15輛汽車每百公里耗油量（單位：升）其平

2、均數(shù)為8.377。對(duì)此數(shù)據(jù)，技術(shù)部經(jīng)理認(rèn)為可以肯定改進(jìn)后的汽車更省油。實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)8.508.758.338.218.528.308.318.198.408.868.418.018.208.268.394STAT公司質(zhì)量部經(jīng)理對(duì)此結(jié)論有不同看法，他認(rèn)為這個(gè)現(xiàn)象有可能是由抽樣的隨機(jī)性造成的，現(xiàn)在就下結(jié)論說改進(jìn)后的汽車更省油還為時(shí)過早，應(yīng)該對(duì)此問題作統(tǒng)計(jì)上的假設(shè)檢驗(yàn)。質(zhì)量部的張工程師剛通過國家質(zhì)量工程師從業(yè)資格認(rèn)證考試，學(xué)會(huì)了不少統(tǒng)計(jì)方法，質(zhì)量部經(jīng)理就派張工解決這個(gè)問題。通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，很快張工就得到結(jié)論，他說，以現(xiàn)有的數(shù)據(jù)并不能認(rèn)為改進(jìn)前后汽車的油耗有明顯變化。那么，張工是怎樣作出他的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)

3、論的呢？實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)5STAT則上例中我們可建立如下的零假設(shè)和備擇假設(shè)：則上例中我們可建立如下的零假設(shè)和備擇假設(shè)：0:8.48:8.48HH6STAT第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesis testing）的基本原理一、零（原）假設(shè)和備擇假設(shè)例一名被告即將接受法庭的審判。 H0： （null hypothesis） H1： （alternative hypothesis）假設(shè)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)假設(shè)：檢驗(yàn)零假設(shè)的正確性。1.零假設(shè)：接受檢驗(yàn)的假設(shè)； 研究者懷疑并希望否定的命題。2.備擇假設(shè)：研究者希望肯定的命題。7STAT例 據(jù)一調(diào)查公司聲稱2002年某市職工月收入XN（=750，2= 1502）。現(xiàn)隨

4、機(jī)抽取100名職工，計(jì)算出其月平均收入為780元。問該聲稱是否可以接受（顯著性水平=0.05）。分析建立假設(shè)：H0： =750 H1：750拒絕接受傾向于7507803501250 x00HExHExxx“量變”，接受時(shí)當(dāng)“質(zhì)變”，拒絕時(shí)當(dāng)檢驗(yàn)規(guī)則030400500 xEx8STAT例一調(diào)查公司聲稱2002年某市職工月收入XN（ 750， 1502 ）。現(xiàn)隨機(jī)抽取100名職工，得其月平均收入為780元，問該聲稱是否可以接受（=0.05）。H0： =750 XZ)1 (接受域)1 (接受域接受拒絕xxExEx接受域拒絕域或xxxxExEExEx96. 12/Z查表得：2nxZ4 .292nZEx

5、xExE9STAT三、兩類錯(cuò)誤例法官判案過程中的錯(cuò)誤 H0：被告是無罪的 ：判定一個(gè)無罪的人有罪；：判定一個(gè)有罪的人無罪。 減小 限制警察獲取證詞的權(quán)力，防止逼、供、信或用刑等增大。10STAT四、檢驗(yàn)類型例新生兒的體重服從正態(tài)分布。根據(jù)2002年的統(tǒng)計(jì)，新生兒的平均體重為3190克?，F(xiàn)從2003年的新生兒中隨機(jī)抽取50名，測(cè)得其平均體重為3210克。問2003年的新生兒與2002年相比，？ （1）2003= 2002=3190 （2）2003 2002=3190 H0： =3190 H1： 3190 接受域200HExHExxx拒絕接受雙側(cè)檢驗(yàn)：過大過小均拒絕xExE11STAT例市府欲購入

6、10萬只燈泡，合同規(guī)定其使用壽命平均不能低于1000小時(shí)。已知燈泡使用壽命服從正態(tài)分布，為200，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100只，測(cè)得樣本均值為960小時(shí)，（=0.05） H0：1000 H1： 1000 注：當(dāng)樣本數(shù)據(jù) 總體數(shù)據(jù)0時(shí) H1： 5% 注：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)總體數(shù)據(jù)P0時(shí) H1： P P0 0000HPpHPp拒絕當(dāng)接受當(dāng)%10)4(%7)3(%1)2(%4) 1 (pppp若)1 (接受域右單側(cè)檢驗(yàn)右單側(cè)檢驗(yàn)“怕大不怕小怕大不怕小”p 13STAT 建立零假設(shè)和備擇假設(shè)總結(jié)： 設(shè)設(shè) 表示在零假設(shè)和備擇假設(shè)中考慮的某一特定數(shù)值。一般來表示在零假設(shè)和備擇假設(shè)中考慮的某一特定數(shù)值。一般來說，對(duì)總體均

7、值的假設(shè)檢驗(yàn)采取下面的三種形式之一：說，對(duì)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)采取下面的三種形式之一：0左單側(cè)檢驗(yàn)左單側(cè)檢驗(yàn)“怕小不怕大怕小不怕大”右單側(cè)檢驗(yàn)右單側(cè)檢驗(yàn)“怕大不怕小怕大不怕小”雙側(cè)檢驗(yàn)：過大過小均拒絕雙側(cè)檢驗(yàn)：過大過小均拒絕0100:HH左側(cè)檢驗(yàn)0100:HH右側(cè)檢驗(yàn)0100:HH雙側(cè)檢驗(yàn)14STAT 在實(shí)踐中，我們通常確定允許犯第一類錯(cuò)誤的概率的最大值，將其稱為顯著性水平。 可以選擇= =0.05( (在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，其臨界值為在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，其臨界值為1.645)1.645) 或= =0.01( (在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，其臨界值為在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，其臨界值為2.33)2.33) 15STAT 例：聯(lián)邦貿(mào)易委

8、員會(huì)定期進(jìn)行調(diào)查，目的是檢驗(yàn)生產(chǎn)商們對(duì)自己產(chǎn)品的陳述。例如，大聽的希爾托普（Hilltop）咖啡的標(biāo)簽標(biāo)明：聽內(nèi)至少裝有3磅的咖啡，我們用假設(shè)檢驗(yàn)來檢驗(yàn)標(biāo)簽的陳述是否正確。若抽取了36聽咖啡作為樣本。 步驟：1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè)。 H0：3 H1：3 若根據(jù)樣本計(jì)算出來的樣本平均重量低于3磅，我們就可以懷疑零假設(shè)的正確性。究竟樣本低到什么程度我們才可以認(rèn)為對(duì)總體所作的假定是錯(cuò)誤的呢?即愿意冒犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，錯(cuò)誤地控告該公司違背了標(biāo)簽的陳述。 這將取決于決策者的態(tài)度。 第二節(jié) 大樣本情況下總體均值的單側(cè)檢驗(yàn)16STAT 當(dāng)n=36時(shí)，樣本均值服從正態(tài)分布，我們可以用統(tǒng)計(jì)量 的取值來衡量樣

9、本均值偏離總體均值的程度。 我們先考察 的情況，下圖表明觀察到的樣本均值低于總體均值的1.6451.645倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率是倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率是0.05(0.05(在在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)) )。如果FTC認(rèn)為，犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.05是可以接受的，那么，只要統(tǒng)計(jì)量z的值顯示樣本均值低于總體均值的1.645倍的標(biāo)準(zhǔn)差以上，我們就可以拒絕零假設(shè)。也就是xxz01.645,Hz 我們就拒絕。317STATx 的抽樣分布xn圖1 樣本均值低于總體均值的1.645倍的標(biāo)準(zhǔn)差的概率1.645x0.05318STAT 在進(jìn)行檢驗(yàn)之前，我們要確定犯第一類錯(cuò)誤的最大允許概率，即顯著性水平。 在上例中，假定FTC

10、的檢驗(yàn)計(jì)劃的主管人員作出了下列陳述：如果公司的產(chǎn)品重量符合技術(shù)規(guī)格的要求 ,我們就有99%的概率不對(duì)該公司采取不利的行動(dòng)。當(dāng)我們控告該公司的產(chǎn)品重量不足時(shí)，我們?cè)敢饷暗姆高@類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)的概率是1%。 可以推定 。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得臨界值為2.33 ( (在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)) ) 。30.0119STAT若根據(jù)樣本均值計(jì)算得Z值小于-2.33，就可以拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。 稱 假定根據(jù)36個(gè)聽裝咖啡樣本計(jì)算出的均值 ，又根據(jù)以前的研究，我們知道總體的標(biāo)準(zhǔn)差 ，計(jì)算z值：2.33z 為拒絕域。2.9232.670.18/362.33,xxzz 落入拒絕域，則可以拒絕零假設(shè)。0.182

11、.92x 20STAT 若 ，則統(tǒng)計(jì)量的值 2.97x 2.9731.000.18/362.33,xxzz 落入接受域，則不能拒絕零假設(shè)。21STAT總結(jié) 在大樣本情況下，無論總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或未知，樣本在大樣本情況下，無論總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或未知，樣本均值總是服從正態(tài)分布，則可歸納左側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟：均值總是服從正態(tài)分布，則可歸納左側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟： 1.1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè)建立零假設(shè)和備擇假設(shè) H0： 0 H1： 0 2.2.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值 3.3.根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值 4.

12、4.拒絕規(guī)則：拒絕規(guī)則：,xxxxsznn或一、一、單個(gè)總體均值的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)單個(gè)總體均值的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)0,Hzz 拒絕。22STAT同理，在大樣本情況下，右側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟：同理，在大樣本情況下，右側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟： 1.1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè)建立零假設(shè)和備擇假設(shè) H0： 0 H1： 0 2.2.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值 3.3.根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值得臨界值 4.4.拒絕規(guī)則：拒絕規(guī)則：0,Hzz拒絕。,xxxxsznn或23STAT 例：某市的一家公司生產(chǎn)一種新型的輪胎，這種新型輪胎的設(shè)計(jì)

13、規(guī)格是平均行駛里程至少為28000英里。隨機(jī)抽取了30只輪胎作為一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果，樣本均值是27500英里，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是1000英里。采用0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)是否有足夠的證據(jù)拒絕輪胎的平均行駛里程至少為28000英里的陳述。解：已知1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè) H0： 28000 H1： 28000 028000,30,27500,1000,0.05,1.645nxsz24STAT 2.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值3.4.27500280002.74/1000/30 xxxzsn 0.05,1.645z02.741.645,Hzz 拒絕。即不能接受該公司關(guān)于輪胎的陳述。25STAT P值

14、是指觀察到的樣本均值小于或等于觀察值的概率。也可以稱為觀測(cè)的顯著性水平。 以希爾托普公司的咖啡問題為例來計(jì)算樣本均值 的P值。 我們已經(jīng)給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值z(mì)=-2.67,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出在均值與z=-2.67之間的區(qū)域面積是0.4962。由此得到樣本均值小于或等于觀察值 的概率是0.5000-0.4962=0.0038，即P值就是0.0038。2.92x 2.92x 26STAT P值可以用來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的決策，如果P值比顯著性水平小，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值就在拒絕域內(nèi)，若更大，則落入接受域內(nèi)。上例中，P=0.0038, 假設(shè)檢驗(yàn)的P值標(biāo)準(zhǔn) 0.01,P應(yīng)該拒絕零假設(shè)。,P如果拒絕零假設(shè)。

15、27STAT一、雙側(cè)檢驗(yàn)例：根據(jù)美國高爾夫球協(xié)會(huì)的準(zhǔn)則，只有射程和滾動(dòng)距離平均正好是280碼的高爾夫球可在比賽中使用。假定某公司最近開發(fā)了一種高技術(shù)生產(chǎn)方法，用這種方法生產(chǎn)的高爾夫球的射程和滾動(dòng)距離平均為280碼?，F(xiàn)在抽取一個(gè)由36個(gè)高爾夫球的隨機(jī)樣本來檢驗(yàn)該公司的陳述是否為真。數(shù)據(jù)如下表。（假定在顯著性水平為0.05的條件下進(jìn)行）。第三節(jié) 大樣本情況下總體均值的雙側(cè)檢驗(yàn)26930129627528227628427226330029526528226328626028526426828827126027029329929327327827827926626927427728129128STA

16、T 該問題就是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)的例子。 先建立如下的零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0：= 280 H1: 280在大樣本的情況下，仍然選擇統(tǒng)計(jì)量Z,和單側(cè)檢驗(yàn)不同的是，此時(shí)的拒絕域分布在正態(tài)曲線的兩側(cè)，對(duì)應(yīng)的概率均為 。查表時(shí)應(yīng)該查 對(duì)應(yīng)的臨界值/xxxzsn22/2z29STAT 上例中，依據(jù)表中資料可計(jì)算得， 則統(tǒng)計(jì)量的值為根據(jù)給定的顯著性水平278.5,12xs278.52800.75/12/36xxxzsn /20.05,1.96z可查表得/2/2,zzz落入接受域，不能拒絕零假設(shè)。30STAT歸納：在大樣本情況下，雙側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟：歸納：在大樣本情況下，雙側(cè)檢驗(yàn)的一般步驟： 1.1.建立零假設(shè)和

17、備擇假設(shè)建立零假設(shè)和備擇假設(shè): :H0：= 0 H1: 0 2.2.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值 3.3.根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值根據(jù)事先確定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值 4.4.拒絕規(guī)則：拒絕規(guī)則：/2/20,Hzzzz 或拒絕。,xxxxsznn或31STAT對(duì)于前面關(guān)于高爾夫球的例子，我們已知對(duì)應(yīng)樣本均值 的z值是-0.75，從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以查到，在均值和z值-0.75之間的面積是0.2734。因此，左側(cè)的面積為0.2266，而此時(shí)左側(cè)的拒絕域內(nèi)的面積為 =0.025。0.22660.025，統(tǒng)計(jì)量不在拒絕域內(nèi)，不能拒絕零假

18、設(shè)，與前的結(jié)論相同。 P值為z值對(duì)應(yīng)一側(cè)面積的2倍。 此時(shí)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)仍然是 二、雙側(cè)檢驗(yàn)的P值278.5x 2,P如果拒絕零假設(shè)。32STAT在大樣本的情況下，給定置信水平 的總體均值的置信區(qū)間為：進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，首先需要對(duì)總體的參數(shù)作出假定： 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn) H0：= 0 H1: 0 1已知時(shí)nZx2未知時(shí)2sxZn三、 區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系00/2/2根據(jù)拒絕規(guī)則，可知不能拒絕H 的區(qū)域包括位于 的-z和z個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間的所有樣本均值。（1）33STAT 因此，雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的樣本均值的非拒絕區(qū)域可以由下式給出：雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的非拒絕域和置信區(qū)間之間的關(guān)系：已知時(shí)02Zn未知時(shí)02sZn

19、200如果x在式（ ）中所定義的非拒絕區(qū)域之內(nèi)，假定的值就在式（1）所定義的置信區(qū)間之內(nèi)。反過來說，如果假定值就在式（1）所定義的置信區(qū)間之內(nèi)，樣本均值就在（2）所定義的假設(shè)檢驗(yàn)的非拒絕區(qū)域之內(nèi)。（2）34STAT 由此得到由置信區(qū)間方法到假設(shè)檢驗(yàn)的運(yùn)算過程：假設(shè)的形式： H0：= 0 H1: 0（1）從總體中抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨即樣本構(gòu)建總體均值的置信區(qū)間：（2）如果置信區(qū)間包含假定的 值，則不拒絕零假設(shè) 。 否則，拒絕已知時(shí)nZx2未知時(shí)2sxZn00H0H35STAT 例：仍然采用前述關(guān)于高爾夫球的雙側(cè)檢驗(yàn)的例子： H0： = 280 H1: 280根據(jù)樣本數(shù)據(jù)我們已經(jīng)計(jì)算得到：對(duì)于給定的置信

20、水平可以得到總體均值的95%的置信區(qū)間為： 278.5,12xs2195%,1.96Z2sxZn12278.5 1.9636即274.58282.42總體均值的假設(shè)值 在這個(gè)區(qū)間，所以我們不能拒絕零假設(shè)。028036STAT 在小樣本情況下，且總體方差未知時(shí)，此時(shí)只能使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本統(tǒng)計(jì)量服從t分布，這時(shí)對(duì)總體均值的檢驗(yàn)就應(yīng)該采用t統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行。例：如果機(jī)場(chǎng)的總體平均質(zhì)量等級(jí)得分大于或等于7分，那么就可以認(rèn)為該機(jī)場(chǎng)提供的服務(wù)質(zhì)量為優(yōu)良?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了12個(gè)乘客作為樣本，得到倫敦某機(jī)場(chǎng)的質(zhì)量等級(jí)分?jǐn)?shù)如下：7、8、10、8、6、9、6、7、7、8、9、8。假定總體的等級(jí)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，在0

21、.05的顯著性水平下可以認(rèn)為該機(jī)場(chǎng)服務(wù)質(zhì)量?jī)?yōu)良嗎？ (1)/xtt nsn 第四節(jié)第四節(jié) 小樣本情況下總體均值檢驗(yàn)小樣本情況下總體均值檢驗(yàn)37STAT 1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè) 2.選擇統(tǒng)計(jì)量t，并計(jì)算 3. 4.7.7572.14/1.125/ 12xtsn7.75,1.215xs依題可計(jì)算0.05,(11)1.796可查t分布表得t0.0502.141.796,Htt落入拒絕域，拒絕。即可以認(rèn)為該機(jī)場(chǎng)提供了優(yōu)良的服務(wù)。H0： 7 H1: 738STAT 注意：小樣本的情況下的檢驗(yàn)步驟與判斷準(zhǔn)則與大樣本情況下的基本相同，唯一的不同是小樣本對(duì)應(yīng)t分布，而大樣本對(duì)應(yīng)正態(tài)分布。 另外，小樣本下也可

22、以運(yùn)用P值來判斷，但是由于t分布的表編制不很詳細(xì)，不能通過查表來準(zhǔn)確計(jì)算P值，但是判斷的原則依然與前相同， ,P如果拒絕零假設(shè)。39STAT 0用p表示總體比例，p 表示總體比例的某一特定假設(shè)值，總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)有如下形式：第五節(jié) 總體比例的檢驗(yàn)0100:pPHpPH左側(cè)檢驗(yàn)0100:pPHpPH右側(cè)檢驗(yàn)0100:pPHpPH雙側(cè)檢驗(yàn)40STAT 我們只考慮 的情況下，樣本比例服從正態(tài)分布下的總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)。 由于比例是特殊的均值，因此對(duì)比例進(jìn)行檢驗(yàn)的步驟及判斷準(zhǔn)則與對(duì)均值的檢驗(yàn)相同，只需要檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中的均值換成比例對(duì)應(yīng)的指標(biāo)就可。 例：在過去的幾個(gè)月中，在松樹溪打高爾夫球的人中有20%是女性。為了提高女性高爾夫球手的比例，球場(chǎng)采取了一項(xiàng)特殊的激勵(lì)措施來吸引女性。一周以后，隨機(jī)抽取了400名球手作為一個(gè)樣本，結(jié)果有300名男性和100名女性。課程經(jīng)理想知道這些數(shù)據(jù)是否支持他們的結(jié)論：松樹溪的女性高爾夫球手的比例有所增加。30,5, (1)5nnpnp41STAT解：已知1.建立零假設(shè)和備擇假設(shè)2.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算