華東師大版九年級數(shù)學(xué)上解直角三角形全章知識點精講與練習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載解直角三角形全章知識點精講與練習(xí)般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個銳角直角B2C2AC2【問題探索】BCB1cl_三形(如圖)，那么圖中：ACACl(1)當(dāng)/A變化時，上面等式仍然成立嗎?(2)上面等式的值隨/A的變化而變化嗎?【新課引入】由前面的探索可以看出：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。這個比值反映了斜邊相對于這角的鄰邊的傾斜程度，它與這個銳角的大小有著密切的關(guān)系。1、在直角三角形中，我們將/A的對邊與它的鄰邊的比稱為/A的正切，記作.二7暮tanA即：,A的鄰邊同理：當(dāng)直角三角形的一個銳角的大小

2、已確定時，它的對邊與斜邊的比值;它的鄰邊與斜邊的比值。2、如圖，在RtABC中，90°,我們把銳角/A的對邊a與斜邊c的比叫做/A的,i己作,艮P：sinA=.3、如圖，在RtABC中，/C=90°,我們把銳角/A的鄰邊b與斜邊c的比叫做/A的,I己作=,艮P:cosA=0(你能寫出/B的正弦、余弦的表達(dá)式嗎？)試試看.思考:學(xué)習(xí)必備歡迎下載你能分別說出30°、45°、60°角的三角函數(shù)值嗎？并填寫三角函數(shù)畬e二布函數(shù)'30045°60°sin0cos0tan0（根據(jù)一付三角板的三邊關(guān)系進(jìn)行計算）下表：【總結(jié)歸納】1

3、、牢記三角函數(shù)的概念，緊緊抓住直角三角形，勤快畫圖，是解答三角函數(shù)題的關(guān)鍵；2、特殊角的三角函數(shù)值，只要記住兩個三角板的各邊比值（如圖），嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義，即可心算推出?！揪x例題】（一）銳角三角函數(shù)的概念例1、（1）在RtABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則角A的三角函數(shù)值（）A.不變B.擴(kuò)大5倍C.縮小5倍D,不能確定3（2）RtABC中，/C=90,cosA=3,AC=6cm那么BC等于（）524cm18cm6cmA.8cmB.5C.5D.5A.（3）菱形ABCD勺對角線AC=10cmBC=6cm那么tana為（）2學(xué)習(xí)必備歡迎下載53A3B.4C.用D.用55解析：(1)角A的三角函數(shù)值

4、都是兩條邊的比值，根據(jù)分式的基本性質(zhì)一一分式的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)(或整式)，分式的值不變，而ABC#邊都擴(kuò)大5倍一一倍數(shù)一樣，因此兩邊比值也不變。故選A,AC6_3(2)畫直角三角形草圖，根據(jù)cosA=M可知，Q藍(lán)，可求AB=10再用勾股定理求得BC=8故選A;(3)畫菱形ABCD根據(jù)菱形“對角線互相垂直平分”、“每一條對角線平分一組對角”，可知兩對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，根據(jù)正切函數(shù)3的定義即可求出tanA=5。故選Ao2前思后想：解答銳角三角函數(shù)題時，要把握幾點：解題必畫圖，概念記心中，定要找直角,沒有就構(gòu)造。牛刀小試:1 .在RtABC中,如果各邊長度都

5、擴(kuò)大3倍，那么銳角A的各個三角函數(shù)值()1A.都縮小3B.都不變C.都擴(kuò)大3倍D.無法確定2 .如圖，在正方形網(wǎng)格中，直線AB.CD相交所成的銳角為a,則sina的值是()學(xué)習(xí)必備歡迎下載3A.4B.4343C.5D.53.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現(xiàn)將ABC如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE,則3"姓的值是（）24771A.7B.3C.五D.35.在ABC中，AB=AC=5BC=8貝UtanB=答案：3531.B;2.C;3.C;4.7；5.4（二）特殊角的三角函數(shù)值例2計算下面各式：解析：前思后想：關(guān)于三角函數(shù)的計算題，要先代入（代入特殊角的三角函數(shù)值），再

6、求值。記住三角函數(shù)值最關(guān)鍵。例3.已知/A是銳角，且sinA=2,那么/A等于A30°B.45°C.60°D.75解析:學(xué)習(xí)必備歡迎下載根據(jù)對特殊角的三角函數(shù)值的記憶一一sin600二2,進(jìn)行反推，可知/A=60°,故選C。前思后想：根于特殊角的三角函數(shù)值，要相當(dāng)熟練，做到“倒背如流”一一既能順推，又能倒推。牛刀小試：1計算，(1)4sin600+()一(。2009-2008)°(2)tan260+4sin30'；cos45,22 .已知口為銳角，當(dāng)1-tano(無意義時,求tan(a+15。)一tan(«-15°)

7、的值。3 .若亞an28=1,則8=,324 .在4ABC中，若"-T")"，則/C的度數(shù)為-,3、.5 .在4ABC中，若|sinA2|+(cosB)2=0,貝U/C=度.2答案:_3123(D4sin60口+(-2尸-(2009-2008)0=4"2"+21二亂.1222(2)tan60+4sin30cos45=(41,'而tan2日=1,，tan2e二可，,2日=30口，二日二15口。)+422=3+222.'T-tana無意義，-，tan«=1,，汽=45°.32.3,tan(+15°)ta

8、n(a-15°)=tan60°tan300=3二3學(xué)習(xí)必備歡迎下載3,3|tanA1|(cosB)=0cosB=一B=30°,4.2,二tanA：1,2，二/A=45,j./C=105。131_35, 1.1|sinA2|+(cosB)2=0,二sinA=2,cosB=2。2二NA=30°,/B=30°,，/C=120。(三)銳角三角函數(shù)的大小比較1、當(dāng)角度在0°90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）2、當(dāng)角度

9、在0°<a<900間變化時，0<sin<<1,1>cos>>0.當(dāng)角度在0°<a<900間變化時，tan>>0.例4.（1）化簡J（tan30口T）2=（）。A.13B.3TC.31D.1-3（2）當(dāng)銳角a>30°時，則cosa的值是（）1 2_3A.大于2B.小于2C.大于萬D.小于國解析：（1）（tan30-1）2=tan30-1學(xué)習(xí)必備歡迎下載，就要討論tan30°-1的正負(fù)性避.tan30°二3<1,.tan30°1<0,故選A,3（2）

10、因為cos30°二7,且當(dāng)0°<a<90。時，cosa隨著a的增大而減小，所以銳角a>30°時，cosa<20故選D前思后想：可以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，總結(jié)正弦、余弦和正切值隨角度的變化而變化情況，也可以總結(jié)在某個范圍內(nèi)正弦與余弦的大小情況，以及正切值與1的大小情況。牛刀小試：1.用不等號“>”或連接：sin50cos500。P、J（cos口-cosot）一cosP11-cosOt|3 .若太陽光線與地面成a角，300<a<45,一棵樹的影子長為10米，則樹高h(yuǎn)的范圍是（）（取石=7）A3Vh<5b、5Vh<

11、10C、10Vh<15D、h>154 .若0°<口<45°,則下列各式中正確的是（）A.sin?>cos?B.cos'>sin'C.tan;>1D.tan'>tan-1;答案：1 .因為sin450=cos45°,角度增加，正弦增大，而余弦減小，所以，填“>”號；學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 .因為“余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅鼻?0°<«<<90。，所以cos口一cosa<0,cos。一cos30°<0,1cosa&

12、gt;0,:史=cosacos。一（2cos。）+1cos3=121031.h：.103 .-h=10tan«,且30°<a<45，二3,故選b。4 .因為“正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅保摇皊in450=cos45°”，“0。<口<45°”，故選Bo（四）互余的兩個角的三角函數(shù)sin（900-a）=cosa,cos（900-a）=sina,例5.若sin280=cosa,貝Ua=.解析：因為“cos（90°-a尸sina"，所以a=90

13、6;-28=62°.前思后想：sin（900-a）=cosa,cos（900-a）=sina這兩個公式可記可不記，直接用公式計算比較方便，也可以根據(jù)概念在直角三角形中求它互余的角的三角函數(shù)。牛刀小試：1 .sin600=cos=;cos600=sin=.2 .已知tan"=1（00<a<90°）則cos（900-a）=。學(xué)習(xí)必備歡迎下載1sin(90°_«)=_,則cos(900-a)3 .若24 .在RtABC中，/C=90,/A,/B,/C的對邊分別為a,b,c,?根據(jù)勾股定理有公式a2+b2=c2,根據(jù)三角函數(shù)的概念有sinA

14、=-,cosA=-,cc2.22,2abab/sinAaba.sin2A+cos2A=十丁=2-=1,=+-=一=tanA,?其中ccccosAccbsin2A+cos2A=1,sinA=tanA可作為公式來用.例如，ABC中，/C=9(J,cosAsinA=4,求cosA,tanA的值.5解法一：sin2A+cos2A=1;cos2A=1sin2A=1(f)2=.525cosA=3,tanA=snA=-3=4.5cosA5534解法一：ZC=9(J,sinA=-.5可設(shè)BC=4KAB=5k由勾股定理，得AC=3k根據(jù)三角函數(shù)概念，得cosA=-,tanA=.53運(yùn)用上述方法解答下列問題:(1

15、)RQABC中，/C=90,sinA=-,求cosA,tanA的值;5(2)RtABC中，/C=90,-2.5cosA=,求sinA,tanA的值;學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3) RtABC中，/C=90,tanA=1,求sinA,cosA的值;2(4) /A是銳角，已知cosA=15,求sin(90°A)的值.17答案:311. cos30°,2；sin300,2;20.、2. ,tan«=1(00汽090),，a=45口，cos(90-«)=2n1n3sin(90-：)cos(90一)=cos30=32,90°-a=30°234. (1)

16、/C=90,sinA=5.可設(shè)BC=3kAB=5k由勾股定理，得AC=4k43根據(jù)三角函數(shù)概念，得cosA=5,tanA=4.2.5(2) '/C=90,cosA=5.可設(shè)AC=2行k,AB=5k51由勾股定理，得BC5k.根據(jù)三角函數(shù)概念，得sinA=",tanA=2.1(3) ''/C=90,tanA=2.可設(shè)BC=kAC=2k52.5由勾股定理，得AB=J5k.根據(jù)三角函數(shù)概念，得sinA=%",cosA="15第10頁O(4) sin(90°A)=cosA=17.學(xué)習(xí)必備歡迎下載(五)三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用例6.

17、如圖，角1a的頂點在直角坐標(biāo)系的原點，一邊在x軸上，？另一邊經(jīng)過點P(2,273),求角口的三個三角函數(shù)值.解析：32P(2,2展),二OP=4sina=2,cos«=2,tana=%；3。前思后想：在平面直角坐標(biāo)系中，求直線與x軸夾角的三角函數(shù)值，過直線上的點作x軸的垂線段，與x軸和直線一起構(gòu)成直角三角形，根據(jù)該點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)可以求出該三角形的三邊長度，從而求出三角函數(shù)值。牛刀小試：1 .點M(Tin60,COS60O)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是2 .已知銳角1a的終邊經(jīng)過點P(x,2),點P到坐標(biāo)原點的距離r=53,則sin=,cos儀=3 .(此題為補(bǔ)充題，用到一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系)如圖，點A(tana,0),B(tanB,0)在x軸的正半軸上，點A在點B的左邊，a、0是以線段AB為斜邊、頂點C在x軸上方的RtABC的兩個銳角;(1)若二次函數(shù)y=-x2-2kx+(2+2kk2)的圖象經(jīng)過A、B兩點，求它的解析式。A(2)點C在(1)中求出的二次函數(shù)的圖象上嗎？請說明理由答案:第11頁學(xué)習(xí)必備歡迎下載31311.-M(一三，)，二它關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(至，3);2.133132 .根據(jù)畫圖，由勾股定理可求x=3,所以sin=13,cosu=13；3 .(1)在直角三角形ABC中，由于/a+/0=90°