第五屆卡西歐杯全國(guó)高中青年教師課觀摩與評(píng)比活動(dòng)楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1、“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)教學(xué)說(shuō)明1內(nèi)容和內(nèi)容解析“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)人教A版選修2-3第1章第3節(jié)第2課時(shí).教科書(shū)將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái)，是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，“楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，應(yīng)抓住這一題材，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感.本節(jié)內(nèi)容以前面學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理為基礎(chǔ)，由于二項(xiàng)式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個(gè)離散函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識(shí)的前后聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方法，可以畫(huà)出

2、它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考，這對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成證明思路等都有好處. 這一過(guò)程不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、理性精神和實(shí)踐能力；也有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).研究二項(xiàng)式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)，對(duì)鞏固二項(xiàng)式定理，建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)組合數(shù)、進(jìn)行組合數(shù)的計(jì)算和變形都有重要的作用，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)微分方程等也具有重要地位.根據(jù)以上對(duì)教材及學(xué)情的分析，特制定教學(xué)重點(diǎn)如下：體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方法，理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2教學(xué)目標(biāo)分析 “楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，了解我

3、國(guó)古代數(shù)學(xué)成就之一的“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)深化對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的理解，聯(lián)系函數(shù)圖象和性質(zhì)、賦值法、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理等知識(shí)探究證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進(jìn)行歸納等數(shù)學(xué)思想的滲透和運(yùn)用，體現(xiàn)教師引導(dǎo)、學(xué)生探究的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生理性精神.根據(jù)以上分析特制定教學(xué)目標(biāo)如下：1通過(guò)課前組織學(xué)生開(kāi)展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.2通過(guò)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識(shí)的前后聯(lián)系，體會(huì)用函數(shù)知識(shí)

4、研究問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力.3通過(guò)體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生掌握二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進(jìn)行歸納、賦值法等重要數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的“再創(chuàng)造”過(guò)程.4通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國(guó)古代數(shù)學(xué)的熱情.3教學(xué)問(wèn)題診斷分析教科書(shū)將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái)，不僅是因?yàn)椤皸钶x三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，對(duì)學(xué)生進(jìn)

5、行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感，而且“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)緊密相聯(lián)，由它可以直觀的看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)課程體系在本節(jié)課后編排了關(guān)于探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”中的奧妙的閱讀材料，為了凸現(xiàn)數(shù)學(xué)史教學(xué)，更好的掌握本節(jié)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，在高中學(xué)生學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域滲透研究性學(xué)習(xí)，因此對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了精心加工，合理調(diào)整，課前開(kāi)展了探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”的一些規(guī)律的學(xué)習(xí)活動(dòng)，課上進(jìn)行展示.學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)和概括二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和增減性與最大值，如何證明呢？這就需要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系函數(shù)知識(shí)，畫(huà)出和7的函數(shù)圖象，討論函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再提煉、深入探究的學(xué)習(xí)過(guò)程，培育理性思維.在證明各二

6、項(xiàng)式系數(shù)的和的過(guò)程中，教材中運(yùn)用賦值法，求證很簡(jiǎn)略，但是讓學(xué)生記住這個(gè)結(jié)論并不難，難的是在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中如何遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生的思維能力？基于此，讓學(xué)生自己歸納、猜想各二項(xiàng)式系數(shù)的和，運(yùn)用多種方法予以求證，如：（1）利用賦值法：在中，令可得；（2）利用模型化思想：引入元集合子集的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行說(shuō)明，很好的解決了上面的問(wèn)題.根據(jù)以上分析，制定教學(xué)難點(diǎn)如下：（1）結(jié)合函數(shù)圖象，理解二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值時(shí)，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；（2）利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).4、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的“告訴”，而應(yīng)是

7、學(xué)生個(gè)性化的“體驗(yàn)”.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，采用問(wèn)題引導(dǎo)、合作探究的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)六大教學(xué)環(huán)節(jié)：展示成果話(huà)楊輝、感知規(guī)律悟性質(zhì)、聯(lián)系舊知探新知、合作交流議方法、反饋升華撥思路、懸念小結(jié)再求索.倡導(dǎo)自主探索、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，為學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)體驗(yàn)，豐富學(xué)習(xí)方式，形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造了有利的條件和廣闊的空間.在探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)中，設(shè)計(jì)為探究“三部曲”：第一步是數(shù)形結(jié)合、概括性質(zhì). 通過(guò)學(xué)生畫(huà)出=6和=7時(shí)函數(shù)圖象，并觀察分析其對(duì)稱(chēng)性和增減性與最大值，引導(dǎo)學(xué)生概括性質(zhì)，學(xué)生有目的地動(dòng)手實(shí)踐，親身參與探究活動(dòng)遠(yuǎn)比目睹幻燈播放更能體驗(yàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的規(guī)律，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀生成.第二

8、步是分組討論、證明性質(zhì). 在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“楊輝三角”包含的規(guī)律及“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，在畫(huà)出=6和=7時(shí)函數(shù)圖象并觀察分析其對(duì)稱(chēng)性和增減性與最大值的情境下，采取分組討論、交流展示的學(xué)習(xí)方式，誘發(fā)學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生沉淀的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，讓知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程，體驗(yàn)到探究過(guò)程中涉及的思維策略，促進(jìn)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的深刻理解，把課堂教學(xué)的“話(huà)語(yǔ)權(quán)”、“生成權(quán)”、“展示權(quán)”、“交流權(quán)”交給學(xué)生，用學(xué)生的“亮點(diǎn)”，點(diǎn)亮學(xué)生的智慧.第三步是師生合作、再探性質(zhì). 在探究各二項(xiàng)式系數(shù)的和的教學(xué)中，設(shè)計(jì)探究性的問(wèn)題串，運(yùn)用特殊到一般的歸納思想，猜想結(jié)論，再運(yùn)用賦值

9、法證明這一性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性，引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題的本質(zhì)特征，同時(shí)呈現(xiàn)用分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理說(shuō)明的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，激發(fā)學(xué)生的探索興趣.學(xué)生經(jīng)歷課前初探、課中深探、變式細(xì)探的探究過(guò)程，對(duì)“楊輝三角”及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有比較深刻的認(rèn)識(shí)，不斷提高學(xué)生探究和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展.5教后反思通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)識(shí)到多一點(diǎn)精心設(shè)計(jì)，就能融一份直觀生成，體會(huì)到什么是由“關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生”.在教學(xué)過(guò)程中，注意到了由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引起活動(dòng)”，由“完成教學(xué)任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”，學(xué)生成為課堂上的真正主人.開(kāi)展

10、數(shù)學(xué)體驗(yàn)，豐富學(xué)習(xí)方式，師生會(huì)有共同的、積極的情感體驗(yàn).成功之處：一是教學(xué)設(shè)計(jì)獨(dú)到而又新穎，打破常規(guī)，不走尋常路，通過(guò)三步探究實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出以學(xué)生為主體，教師以引導(dǎo)者的身份參與其中；二是教態(tài)自然得體，親和力強(qiáng)，能很好的駕馭課堂，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生思考問(wèn)題，課堂氣氛活躍.改進(jìn)之處：一是可考慮通過(guò)網(wǎng)上鏈接搜集一些楊輝三角包含的規(guī)律，比較學(xué)生展示的結(jié)論，讓學(xué)生享受成功的喜悅，同時(shí)激發(fā)學(xué)生“再求索”的熱情；二是學(xué)生展示小組討論增減性與最大值時(shí)出現(xiàn)口誤，以及教師板書(shū)將“各二項(xiàng)式系數(shù)的和”寫(xiě)成“各二項(xiàng)式的系數(shù)和”，雖然課后通過(guò)師生溝通，學(xué)生說(shuō)不影響掌握本節(jié)知識(shí)，但是在以后的教學(xué)中一定要做得更好.楊輝

11、三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)教學(xué)點(diǎn)評(píng)本節(jié)課有以下幾點(diǎn)值得一提： 一、目標(biāo)定位準(zhǔn)確本節(jié)課，教師在充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，了解學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)，充分分析學(xué)情后，確定的教學(xué)目標(biāo)：理解、領(lǐng)悟二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)；滲透數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想；靈活有效地運(yùn)用賦值法.應(yīng)該說(shuō)具有具體而又準(zhǔn)確，科學(xué)而有效的特點(diǎn).隨著課堂的實(shí)踐得到了落實(shí)，并且將“知識(shí)目標(biāo)”、“能力目標(biāo)”、“情感目標(biāo)”融為一體.教學(xué)目標(biāo)完全符合學(xué)生“認(rèn)識(shí)規(guī)律”，以遞進(jìn)的形式呈現(xiàn)：觀察分析、歸納猜想、抽象概括，提煉上升；特殊一般特殊到一般，課堂實(shí)踐表明，這些目標(biāo)，在師生共同努力及合作下是完全可以達(dá)到的.二、突出主體地位1放手發(fā)動(dòng)學(xué)生把課堂還給學(xué)生，一直是課

12、改的大方向，也是新課標(biāo)的原動(dòng)力之一. 還給學(xué)生什么呢？教師作了很好的詮釋?zhuān)阂皇墙o“問(wèn)題”，當(dāng)然問(wèn)題有預(yù)設(shè)的，也有生成的，符合從學(xué)生“思維最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)這一根本教學(xué)原則.二是給“時(shí)間”，這體現(xiàn)了教師的先進(jìn)教學(xué)理念，即便是教學(xué)難點(diǎn)“中間項(xiàng)系數(shù)最大”這一組合數(shù)計(jì)算討論過(guò)程仍由學(xué)生嘗試. 當(dāng)然，n=6，7時(shí)，離散型函數(shù)的圖象起了直觀引領(lǐng)，奠基的重要作用. 不為完成任務(wù)所累，不為主宰課堂所困.三是給“機(jī)會(huì)”，讓學(xué)生展示自主探索，合作交流的成果，極大地保護(hù)和激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，參與程度和激情得到了空前的提高.2彰顯理性數(shù)學(xué)本節(jié)課，無(wú)論是對(duì)稱(chēng)性，增減性（最大值），及二項(xiàng)式系數(shù)和的逐步生成，學(xué)生都

13、能從“特殊到一般”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，歸納猜想到結(jié)論. 但數(shù)形結(jié)合的函數(shù)思想，組合數(shù)兩個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的巧妙“會(huì)師”，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，反饋升華例示中賦值法再現(xiàn). 這正是“數(shù)學(xué)演繹”、“理性數(shù)學(xué)”的精華，讓學(xué)生找到內(nèi)化和建構(gòu)的多種途徑.這不僅會(huì)自然增強(qiáng)或輻射到學(xué)生的解題能力和理性思維，更能影響和滲透到他們的終身學(xué)習(xí)和今后從事的工作中去.3呈現(xiàn)合作交流本節(jié)課每個(gè)問(wèn)題的波浪式出現(xiàn)，我們不僅發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生動(dòng)手做、動(dòng)眼看、動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)筆寫(xiě)、動(dòng)腦想，全身心投入到學(xué)習(xí)過(guò)程中去，真正地讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，讓課堂活起來(lái)，更令人吃驚的是“合作交流”發(fā)揮得淋漓盡致.于“師生合作”的源頭. 教師始終

14、把自己放在和學(xué)生平等的位置上，“同歡樂(lè)，共困苦”，讓學(xué)生心情愉悅地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，這些話(huà)成果、說(shuō)思路、講道理、議方法、談感悟等系列活動(dòng)，既寄托了老師的殷切希望和拳拳愛(ài)生之心，又破除了傳統(tǒng)的學(xué)生躡手躡腳演板，膽怯地來(lái)回張望，等待老師去評(píng)點(diǎn)乃至訓(xùn)斥的那種尷尬局面，展現(xiàn)了一種興趣盎然、生動(dòng)活潑的自主、合作、交流的課堂活動(dòng)場(chǎng)景.三、主導(dǎo)水到渠成綜觀整節(jié)課三個(gè)性質(zhì)的呈現(xiàn)（教師板書(shū)的主題）毫無(wú)生澀造作，支離隔閡的痕跡. 卻是分塊搭建，彼此銜接，宛若于活動(dòng)中生成，從過(guò)程中體驗(yàn)，在操作中建構(gòu)，水到渠成之感，這得益于教師充分挖掘和把握教材內(nèi)在聯(lián)系之功力和涵養(yǎng)，也借助于教師過(guò)渡銜接之妙：和藹微笑的教態(tài)，激勵(lì)動(dòng)情的語(yǔ)言，豁達(dá)激情的風(fēng)貌，使得課堂情境天人合一.四、增色情感價(jià)值教材的主干內(nèi)容之一“楊輝三角”就蘊(yùn)含較豐富的文化價(jià)值（包括數(shù)字演變），我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就和愛(ài)國(guó)主義情結(jié).教學(xué)過(guò)程中，由于提及到與“帕斯卡三角”的比照，涉及到與“斐波那契數(shù)列”的