流體力學(xué)第五章5--1講

1、 流體力學(xué)教案流體力學(xué)教案(第五章第五章渦旋動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)渦旋動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) ) 第五章 渦旋動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 在自然界中流體的運(yùn)動(dòng)，大多數(shù)都是有旋的流動(dòng)。例如，在大氣中的龍卷風(fēng)、臺(tái)風(fēng)以及渦輪機(jī)內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)等其它方面。但是，渦旋的形成與變化對(duì)流體運(yùn)動(dòng)有著重要的影響。渦旋的產(chǎn)生對(duì)實(shí)際工程問題有利有弊。如飛機(jī)、汽車等交通工具在行駛中，尾部產(chǎn)生的旋渦消耗著動(dòng)能，從而形成了阻力。飛機(jī)在降落的過程中，又需要在飛機(jī)尾部形成渦旋，加大阻力使飛機(jī)減速，達(dá)到安全降落入的目的等等。 第一章己引入了渦度和速度環(huán)流的概念。實(shí)際上，流體渦度場(chǎng)是速度場(chǎng)的一個(gè)派生物理量場(chǎng)，它用于表示流動(dòng)中的旋轉(zhuǎn)特征。由流體渦度矢的定義式，有：V(5-1

2、) 其中 表示渦度矢。在矢量分析中，任一標(biāo)量函數(shù) 的梯度再取旋度恒為零，即0(5-2) 一般來講，流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)都包含兩部分的流動(dòng)狀態(tài)：有渦旋運(yùn)動(dòng)特征的變化速度場(chǎng) rV和無旋流動(dòng)的變化速度場(chǎng) V，即： VVVr(5-3) 其中： V(5-4) rV(5-5) 因此，凡是引起流場(chǎng)中 rV變化的作用，也就是 導(dǎo)致流體渦度或速度環(huán)流變化的原因，這也是本章討論渦動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的主要內(nèi)容。 第5-1 環(huán)流定理由式(1-42)可知，速度環(huán)流定義為：lldV(5-6) 這首先由湯普森提出的。雖是標(biāo)量，但是其值的正負(fù)且反映了一定的方向性。一般取定封閉曲線的方向，那么順封閉曲線方向的環(huán)流為正，反之，逆封閉曲線方向

3、的環(huán)流為負(fù)。應(yīng)用斯托克斯線面積分轉(zhuǎn)換公式，有： ddVnl dVnl(5-7) 其中式(5-7)也稱開爾文關(guān)系式，其微分形式為：ddn(5-8) 上述兩式建立了渦度與速度環(huán)流之間的關(guān)系。 一、開爾文定理 假設(shè)流體是理想的正壓的流體在有勢(shì)外力作用下，則沿任一封閉曲線的速度環(huán)流在運(yùn)動(dòng)過程中恒定不變。其證明如下： 對(duì)(5-6)式求微商得： llldtldVldtVdldVdtddtd(5-9) 首先考慮右邊積分的第二積分，由于積分路徑曲線為流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)線，所以流動(dòng)以前及以后仍構(gòu)成封閉曲線，僅其形狀和長(zhǎng)短變化。 Vdtlddtld(5-10) 022lllVVVdtldV(5-11) 再利用理想

4、流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程，即式(2-55)： pFdtVd1(5-12) 考慮到外力有勢(shì)，則有： FlllpldtVd1(5-13) 流體正壓，即pf(5-14) 則得: 01lllPlpldtVd(5-15) 其中 pfppP/0dtd或 =常數(shù) (5-16) 對(duì)于粘性可壓流體，納維斯托克斯方程(2-51)為：三、環(huán)流的起源VVgraddivpFdtVd2311(5-17)引入流體散度 VVdivD和渦度 V，于是 DVVV2(5-18) 則式(5-17)可改寫為： DpFdtVd341(5-19) 如果式(5-9)右端第一積分以(5-19)代入，則有l(wèi)llllplFdtd1(5-20)其中上式已

5、考慮到： llD034式(5-20)表明引起環(huán)流變化的作用有以下三類：1.非有勢(shì)力的作用；2.壓力密度力或壓力梯度力的作用；3.粘性渦度擴(kuò)散的影響。b.若流體是正壓的，則式(5-20)右端第二項(xiàng)積分為零。但是對(duì)于斜壓流體，則有:a.大氣科學(xué)中，科里奧利力就是一個(gè)非有勢(shì)力，且在氣象學(xué)中必須考慮的，不可以忽略。lppplp11/1(5-22) 考慮到任一物理量的梯度再取旋度為零，則上式右端第二項(xiàng)積分等于零。若流體理想，且外力有勢(shì)，則式(5-22)可改寫成為：pdtd1(5-23) 上式又稱作皮耶克尼斯定理，它表明壓力密度力引起的環(huán)流變化。 二、亥姆霍茲定理首先引入幾個(gè)概念：1.渦線的定義：在同一時(shí)

6、刻，渦旋場(chǎng)中存在這樣的曲線，其曲線上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的渦旋方向重合。2.渦面的定義：在渦旋場(chǎng)內(nèi)取一非渦線的曲線，過曲線的每一點(diǎn)作渦線，則這些渦線將組成一曲面稱渦面。 3.渦管的定義：在渦旋場(chǎng)內(nèi)取一曲線L是封閉的且不自相交的曲線，過曲線的每一點(diǎn)作渦線，則這些渦線將組成一封閉曲面稱渦管。a.渦面保持定理：假如流體是理想正壓的，且外力有勢(shì)，則在某一時(shí)刻組成的渦面的流體質(zhì)點(diǎn)在以前或以后任一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦面。 證明如下：初始時(shí)刻 0tt 時(shí)，流體中有一渦面，則根據(jù)渦面的定義， 渦面上的渦旋矢量 在渦面法線單位矢量 n上的投影 n等于零，即0n(5-16-1) 今在渦面上任取一封閉曲線L，由L所包

7、圍渦面的面積為，則根據(jù)斯托克斯定理：Lndl dV(5-16-2) 因式(5-16-1)可知，推出在初始時(shí)刻 0tt ，沿面上任一 封閉曲線L的速度環(huán)量為零。 LldV0(5-16-3) 設(shè)在初始時(shí)刻以前或以后的某一時(shí)刻，組成渦面的流體質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到新的位置并組成新的曲面，而封閉曲線L上的流體質(zhì)點(diǎn)則移動(dòng)到面的封閉曲線L上。茲證亦為一渦面。 因流體是理想正壓的，且外力有勢(shì)，則根據(jù)開爾文定理推出0LLldVldV(5-16-4) 再利用斯托克斯定理：0LsnldVds(5-16-5) 其中s是面上曲線L所包圍的面積。因s是任取的，則由此推出： 0n根據(jù)定義s是一渦面。證畢。 渦管是渦面的一個(gè)特例，因此

8、由渦面的保持定理立即可推出渦管保持定理。b. 渦管保持定理: 假如流體是理想正壓的，且外力有勢(shì)，則在某時(shí)刻組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)在以前或以后任一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦管。c.渦線保持定理(亥姆霍茲第一定理): 假如流體是理想正壓的，且外力有勢(shì)，則在某時(shí)刻組成渦線的流體質(zhì)點(diǎn)在以前或以后任一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦線。 證明： 設(shè)初始時(shí)刻 0tt 時(shí)，流體中有一條渦線L，通過L可以作 兩個(gè)不同的渦面S，T (因?yàn)檫^L可作兩條不是渦線的曲線，過這兩條曲線的每一點(diǎn)作渦線即得兩個(gè)渦面)。設(shè)在初始時(shí)刻以前或以后的某一時(shí)刻，S，T上的流體質(zhì)點(diǎn)組成新的曲面S，T。根據(jù)渦面保持定理推出，S，T必為渦面。設(shè)S，T的交線為L(zhǎng)，顯然，組成L的流體質(zhì)點(diǎn)既要在S上又要在T上故一定組成L，現(xiàn)證L是渦線。亦即欲證曲線L上各點(diǎn)的渦旋矢量與該點(diǎn)的切線方向重合。 又因?yàn)镾， T都是渦面，所以L點(diǎn)上的渦旋矢量即在S的切平面上又在T的切平面上。亦即在兩個(gè)切平面的交線上。而兩個(gè)切平面的交線就是L的切線。于是L上各點(diǎn)的旋渦矢量 的確 與該點(diǎn)的切線方向重合。根據(jù)定義，L為渦線。定理證畢。 d.渦管強(qiáng)度保持定理(亥姆霍茲第二定理)： 假如流體是理想正壓的，且外力有勢(shì)，則渦管的強(qiáng)度在運(yùn)動(dòng)過程中不變。證明： 渦管強(qiáng)度等于沿包圍渦管且在渦管上的封閉曲線L的速度環(huán)量： lldV而速度環(huán)量在定理?xiàng)l件成立的前提下，根