高等機構學-01-螺旋理論基礎解析課件

1、高等機構學高等機構學YSU燕山大學機械工程學院燕山大學機械工程學院n 螺旋理論基礎螺旋理論基礎n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理n 空間機構的位置分析空間機構的位置分析n 運動影響系數(shù)原理運動影響系數(shù)原理n 空間機構動力學空間機構動力學n 基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構型綜合基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構型綜合n 空間機構的奇異分析空間機構的奇異分析本門課程的主要本門課程的主要學習內容學習內容 空間直線的螺旋表示空間直線的螺旋表示 螺旋表示運動和作用力螺旋表示運動和作用力 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性螺旋理論基礎螺旋理論基礎直線的矢量方程直線的矢量方程)

2、();(22221111zyxzyxrr121212()()()xxyyzzLMNSijkijk兩個點：兩個點：222NMLS兩點之間的距離或直線段的長度為兩點之間的距離或直線段的長度為1()0rrS0rSS假設：假設： lLmMnNSSS，L、M、N是有向線段是有向線段S的方向數(shù)，而的方向數(shù)，而l、m、n是是S的方向余弦的方向余弦，且滿足且滿足1222nml則直線方程可寫為：則直線方程可寫為：或或S0 稱為矢量稱為矢量 S 對原點的線矩對原點的線矩01rSS直線的矢量方程直線的矢量方程可寫為行列式的形式可寫為行列式的形式01rSSNMLzyx1110kjiS 展開，有展開，有kjiSRQP0

3、11Py Nz MNxLzQ11LyMxR11其中其中P、Q、R為為直線的矢量方程直線的矢量方程 若若S是單位矢量是單位矢量, ，則線矩則線矩S0的模表示直線的模表示直線到原點的距離到原點的距離； 若若矢量矢量S過原點，其線矩為零過原點，其線矩為零： 當當S及及S0給定后，直線在空間的方向及位置都被確給定后，直線在空間的方向及位置都被確定，而且它們是一一對應的定，而且它們是一一對應的； 矢量矢量S與其對原點之線矩與其對原點之線矩S0是互為正交的是互為正交的：1SS00S00SS直線的矢量方程直線的矢量方程可知：可知： 決定直線的矢量方程中的兩個參數(shù)決定直線的矢量方程中的兩個參數(shù)S及及S0是齊次

4、坐標是齊次坐標，標量標量 構成的構成的 S 及及 S0 依然滿足直線方程依然滿足直線方程表示是同一條直線。表示是同一條直線。0rSS 這種滿足正交條件的齊次坐標這種滿足正交條件的齊次坐標( (S ; S0) ) 表示了直線在表示了直線在空間的位置及方向，空間的位置及方向，( (S ; S0) )稱為稱為直線的直線的 Plcker 坐標坐標。直線的直線的Plcker坐標坐標 直線的直線的 Plcker坐標坐標( (S ; S0) )中的兩個矢量中的兩個矢量S 和和S0 都可以都可以用直角坐標系的三個分量表示，這樣用直角坐標系的三個分量表示，這樣Plcker坐標的標量形式坐標的標量形式即為即為 (

5、L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向線段是有向線段S的方向數(shù)，的方向數(shù)，P、Q、R是該線段是該線段S對原點的線矩在對原點的線矩在X、Y、Z 三軸的分量三軸的分量。 這六個量這六個量L、M、N、P、Q、R 之間存在關系式之間存在關系式00 0LPMQNRS S（） 所以六個分量中只有五個是獨立的所以六個分量中只有五個是獨立的，在三維空間中就有在三維空間中就有5 條不同方向、位置和長度的有向線段條不同方向、位置和長度的有向線段。直線的直線的Plcker坐標坐標n 兩兩個矢量個矢量S和和S0決定了一條直線在決定了一條直線在空間的方向和空間的方向和位置位置（對偶矢量）（對偶矢量）n

6、 空間空間的一條的一條直線直線與與一一組對偶組對偶矢量矢量( (S ; S0) )有著一一對應的關系有著一一對應的關系 為過原點的直線，方向為為一條不過原點平行 X 軸的空間直線 且這是一條不過原點，方向為 的直線)(nml0nrmqlp)(nml直線的直線的Plcker坐標坐標;lmnpqr;000lmn00;0lab直線的直線的Plcker坐標坐標直線到原點的直線到原點的距離距離 若有過原點的矢量若有過原點的矢量P垂直相交于直線垂直相交于直線( (S ; S0) )，則矢量則矢量OP的的模模|P|是從原點是從原點O到直線的距離，由于矢量到直線的距離，由于矢量P的端點在直線上的端點在直線上，

7、即有，即有0SSP將此等式兩邊左面叉乘將此等式兩邊左面叉乘S0)(SSSPS展開左邊矢量的三重叉積展開左邊矢量的三重叉積，有，有PSSSPSPSSSPS)()()()(即即0()S S PSS直線到原點的直線到原點的距離距離解出解出P這里這里e是單位矢量，其方向由是單位矢量，其方向由 決定，決定，這樣直線這樣直線S到原點的距離為到原點的距離為SSSSP0因為直線因為直線S與線矩相互垂直，上式可寫為與線矩相互垂直，上式可寫為eSSeSSSSP00|0SSSSP0直線到原點的直線到原點的距離距離n 當當S0=0，則，則 ，直線到原點的距離為零，即，直線到原點的距離為零，即直線過原點，直線過原點，此

8、時直線的此時直線的 Plcker 坐標可寫為坐標可寫為可知：可知：0P;0)(S000;nml或或n 反之，若反之，若S =0，而，而 為有限值，則為有限值，則 ，此時，此時直線位于距原點無窮遠的平面上，寫成直線位于距原點無窮遠的平面上，寫成Plcker 坐坐標為標為( (0 ; S0) )。n 此時對于任何選擇的原點，無窮遠處的一個無窮此時對于任何選擇的原點，無窮遠處的一個無窮小的矢量，它對原點的線矩皆為小的矢量，它對原點的線矩皆為 S0。S0與原點位與原點位置選擇無關，這說明置選擇無關，這說明( (0 ; S0) )為為自由矢量自由矢量。0SP兩直線的互矩兩直線的互矩設空間有相錯的兩條直線

9、，它們設空間有相錯的兩條直線，它們不平行也不相交不平行也不相交若它們的公垂線矢量為若它們的公垂線矢量為 ，其中，其中 為單位矢量，為單位矢量，而其系數(shù)而其系數(shù) 是兩線間的垂直距離是兩線間的垂直距離，兩線之間的扭向角記為兩線之間的扭向角記為A、B兩點是兩直線間公垂線的兩個垂足兩點是兩直線間公垂線的兩個垂足 11012202rSSrSS1212a a11212aa12a12a12兩直線的互矩兩直線的互矩直線直線S2對對S1線上垂足線上垂足A 點的線矩點的線矩 與與直線直線S1的點積，稱為直線的點積，稱為直線S2關于關于S1的矩的矩121212SSaa同樣，直線同樣，直線S1對直線對直線S2上垂足上

10、垂足B點的點的線矩線矩與與直線直線S2的點積，稱為直線的點積，稱為直線S1關于關于S2的矩的矩212112SSaa顯然此兩點積是相等的顯然此兩點積是相等的212112121212SSaSSaaa兩直線的互矩兩直線的互矩兩直線的互矩兩直線的互矩(mutual moment)，記以，記以Mm可以看可以看出：出：兩直線的互矩是由兩直線兩直線的互矩是由兩直線Plcker 坐標的兩個矢坐標的兩個矢量和兩線矩交換下標后的點積之和量和兩線矩交換下標后的點積之和121212mSSaM a展開此式并考慮到展開此式并考慮到121212rraa得到互矩的一般表達式為得到互矩的一般表達式為012021mSSSSM兩直

11、線的互矩兩直線的互矩當當S1和和S2都是單位矢量時都是單位矢量時其中其中S1與與S2間的扭向角間的扭向角 的值是以的值是以 為正向，按右手螺旋方為正向，按右手螺旋方向度量向度量互矩互矩Mm還可寫為還可寫為12211SSSS121212sinaSS則則1212am121221121212121212(sin)sinaaa MaSSaa兩直線的互矩兩直線的互矩若兩直線的若兩直線的S及及S0均以標量表示均以標量表示互矩還可以寫成互矩還可以寫成代數(shù)式代數(shù)式111101111222202222(,) , ( ,)(,) , (,)L MNP Q RL MNP Q RSSSSm10220112121212

12、1212L PM QN RPLQ MR NMSSSS互矩互矩的幾種表達形式的幾種表達形式m1212sina M121212mSSaM a兩直線的互矩兩直線的互矩n 互矩只與兩直線間的互矩只與兩直線間的距離距離及及扭向角扭向角有關，與原點位置的選有關，與原點位置的選擇無關，即互距與坐標系的選擇無關。擇無關，即互距與坐標系的選擇無關。n 如果如果兩直線平行兩直線平行，或者說兩直線相交于無窮遠處，或者說兩直線相交于無窮遠處， 則它們的互矩為零。則它們的互矩為零。n 如果如果兩直線相交兩直線相交，其垂直距離，其垂直距離 就等于零就等于零，它們的互矩，它們的互矩也為零也為零n 所以空間兩直線相交于有限遠

13、處、無限遠處，或說所以空間兩直線相交于有限遠處、無限遠處，或說兩直線兩直線共面共面，則則兩直線的互矩為零兩直線的互矩為零。由由互矩互矩表達式表達式 可以看出：可以看出：m1212sina M01212a1022010SSSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋線矢量：線矢量：如果空間一個單位矢量被約束在一如果空間一個單位矢量被約束在一條方向、位置固定的直線上，這個條方向、位置固定的直線上，這個被直線約束的矢量定義為線矢量，被直線約束的矢量定義為線矢量，簡稱線矢，也記以簡稱線矢，也記以 ( (S ; S0) ) 。在前面建立的空間直線矢量方程的基礎上，進一步引申在前面建立的空間直線矢量方程的基礎上，進一步引

14、申n 在表示線矢量的對偶矢量在表示線矢量的對偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是單位矢量，而是單位矢量，而 S0一一般不是單位矢量般不是單位矢量n 這個線矢量在空間的位置和方向，可由矢量這個線矢量在空間的位置和方向，可由矢量 S 和其上一點和其上一點矢徑矢徑 r 來決定。這里矢徑來決定。這里矢徑 r 反映在反映在“線矩線矩” S0中，即中，即 ，顯然顯然 S 與與 S0為正交，為正交，0SrS00S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 線矢量在幾何上反映了一直線在空間的方向和位置線矢量在幾何上反映了一直線在空間的方向和位置。n 矢量矢量 S 表示直線的方向，它與原點的位置無關；而線表示直線的方

15、向，它與原點的位置無關；而線矩矩S0 則與原點的位置有關。若原點的位置改變，由則與原點的位置有關。若原點的位置改變，由B點點移至移至A點點，而矢量而矢量 S 對點對點 A之線矩之線矩 SA則轉變?yōu)閯t轉變?yōu)?AABB0BSrSSrABrSABSSABS線矢量和螺旋線矢量和螺旋螺旋：螺旋：原部矢量和對偶部矢量點積不為零的對偶矢量原部矢量和對偶部矢量點積不為零的對偶矢量 在在數(shù)學上定義為螺旋，數(shù)學上定義為螺旋，（也稱也稱旋量旋量）。記為。記為 $當當對偶矢量對偶矢量( (S ; S0) )中的兩個矢量不滿足矢量的正交條件，中的兩個矢量不滿足矢量的正交條件，則可以得到更一般的情況則可以得到更一般的情況

16、00 , 0;$S SS Sn 在表示在表示螺旋螺旋的對偶矢量的對偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是單位矢量，而是單位矢量，而 S0一般一般不是單位矢量不是單位矢量n 這樣，線矢量就可看成是螺旋的特殊情況，當組成螺旋的這樣，線矢量就可看成是螺旋的特殊情況，當組成螺旋的兩對偶矢量的點積為零時，螺旋退化為線矢量。兩對偶矢量的點積為零時，螺旋退化為線矢量。n 為了能夠清楚地區(qū)分線矢量和螺旋，將為了能夠清楚地區(qū)分線矢量和螺旋，將 的螺旋的的螺旋的對偶部矢量以對偶部矢量以 S0 標記，以表示與線矢量的區(qū)別標記，以表示與線矢量的區(qū)別00S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 在螺旋的兩矢量中，在螺旋的兩

17、矢量中，S與原點的選擇無關，而矢量與原點的選擇無關，而矢量S0 卻卻是與原點的位置有關。是與原點的位置有關。n 當當將將原點由原點由 B 移至移至 A 時，時，螺旋螺旋 變?yōu)樽優(yōu)?，依然滿足依然滿足00ABSSABS將上式兩邊點乘將上式兩邊點乘 S，得到，得到0000ABBBS SSSABSS SS ABSS Sn 雖然雖然 S0 與原點位置有關，但與原點位置有關，但 與原點的位置無關，與原點的位置無關，是原點不變量。是原點不變量。0S S0;AS S0;AS S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 螺旋的節(jié)距螺旋的節(jié)距pitch（原點不變量）（原點不變量）n 如果某旋量的原級矢量如果某旋量的原級矢量S

18、為單位矢量，為單位矢量， ，這是單，這是單位旋量位旋量，此時，此時 0222lpmqnrhlmnS SS S1 SS0h S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 線矢量在空間對應一條確定的直線；同樣，一個旋量，線矢量在空間對應一條確定的直線；同樣，一個旋量， 在空間也對應有一條確定的軸線在空間也對應有一條確定的軸線00( ;) 0S SS Sn 將將S0 分解為垂直和平行于分解為垂直和平行于 S 的兩個的兩個分量，分量， hS 和和 S0 -hS)()(00SSSSSShh;線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 其中其中 S0 hS 是垂直于是垂直于S的，這是因為的，這是因為n 因此螺旋的軸線方程即是因此螺旋

19、的軸線方程即是000()0hS SSSSS SS SS Sn 由此由此00hSSS0hrSSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 影響螺旋的四個因素：影響螺旋的四個因素：（1）螺旋軸線螺旋軸線的位置的位置（2）螺旋的節(jié)距）螺旋的節(jié)距（3）螺旋的方向）螺旋的方向（4）螺旋的大?。┞菪拇笮 如果是單位螺旋，則只包含前三個因素如果是單位螺旋，則只包含前三個因素n 螺旋可以寫為螺旋可以寫為00( ;)( ;)( ;)hhhS SS SSSS rSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 對于螺旋對于螺旋 ，當節(jié)距，當節(jié)距 h 變化時變化時 ( ;)hS rSS螺旋線矢量偶量零螺旋0( ; )S S00 0 0h SS

20、 S，00 =0 = 0hSS S，0( ; )S S(0; )S0 = hS，0=0 =0 hSS， 不定( ;)S rS( ;)=(;)=(0; )hhhS rSS rSSSS 若若 h=0 ，螺旋變?yōu)?，螺旋變?yōu)?若若 h=， 線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣表示什么樣的螺旋？的螺旋？0( ; );lmna la ma n$S S0222222a la ma nhalmnS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向lmnS222lmnS 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為 a，軸線過原點的，軸線過原點的螺旋螺旋線矢量和螺旋線矢量和螺旋

21、n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )100; 100$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向100S1S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為1，軸線過原點的，軸線過原點的單位螺旋單位螺旋線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )1 1 1; 1 1 1 /3$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 1 1S1S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS這也是一個軸線過原點沿方向這也是一個軸線過原點沿方向 節(jié)距為節(jié)距為1的單位螺旋的單位

22、螺旋1 1 1線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )1 10; 100$S S01 2hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 10S2221102S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 T01 21 20hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為 1/2，不過原點的非單位螺旋不過原點的非單位螺旋螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算n 螺旋螺旋 可以用一對對偶矢量來表示可以用一對對偶矢量來表示0( ; )$S Sn 其中其中 被稱為對偶標識符，且有被稱為對偶標識符，且有 )(0SS 0320011111(; )$SSSS0022222(; )$SSSS螺

23、旋的對偶矢量表示螺旋的對偶矢量表示螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算 兩個螺旋的原部和對偶部分別求和，稱為兩螺旋的兩個螺旋的原部和對偶部分別求和，稱為兩螺旋的代數(shù)和。代數(shù)和。)(0201121SSSS$2)(n 兩個節(jié)距為非零有限值的螺旋之和一般仍然是節(jié)距為非兩個節(jié)距為非零有限值的螺旋之和一般仍然是節(jié)距為非零有限值的螺旋，但也可能出現(xiàn)節(jié)距為零的線矢量。零有限值的螺旋，但也可能出現(xiàn)節(jié)距為零的線矢量。n 不共面的兩線矢之和一般為節(jié)距不為零的螺旋，不共面的兩線矢之和一般為節(jié)距不為零的螺旋，螺旋的代數(shù)和螺旋的代數(shù)和螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算n 若兩線矢共面，且兩原部之和非零時，其和依然為線若兩線矢共面，且

24、兩原部之和非零時，其和依然為線矢量。矢量。對于線矢量對于線矢量(S1; S01)和和(S2; S02) ，由于由于原部和對偶部矢量原部和對偶部矢量滿足滿足正交性正交性，有，有0011 SS0022 SS又已知兩直線共面，則其互矩為零又已知兩直線共面，則其互矩為零0120201SSSS則兩線矢之和滿足則兩線矢之和滿足0)()(020121 SSSS證明：證明：證畢證畢螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算n 對于共面的兩線矢量，和線矢過兩線矢的交點對于共面的兩線矢量，和線矢過兩線矢的交點由于由于共面兩線矢的和仍為線矢量，其矢量方程為共面兩線矢的和仍為線矢量，其矢量方程為若以若以 r1 表示兩線矢交點的矢徑

25、。表示兩線矢交點的矢徑。 r1 應分別在兩線矢上，應分別在兩線矢上，即即同時滿足兩線矢方程同時滿足兩線矢方程將兩式相加有將兩式相加有證明：證明：020121)(SSSSr 11011202 , rSSrSS0201211)(SSSSr 此式表明兩線矢的交點此式表明兩線矢的交點 滿足和線矢作用線方程，所以和線滿足和線矢作用線方程，所以和線矢過兩線矢的交點矢過兩線矢的交點。證畢。證畢螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算 兩兩螺旋螺旋的原部矢量與對偶矢量下標交換后做點積之的原部矢量與對偶矢量下標交換后做點積之和和稱為兩螺旋的互易積稱為兩螺旋的互易積n 互易積是螺旋理論中最有意義的一種運算。若互易積是螺旋理論

26、中最有意義的一種運算。若$1及及$2 是是兩線矢量兩線矢量，則，則n 可以看出，可以看出，兩線矢兩線矢的互易積就是兩直線的互矩。的互易積就是兩直線的互矩。兩線矢兩線矢共面的充要條件就是其互易積為零共面的充要條件就是其互易積為零01202121SSSS$01202121SSSS$螺旋的互易積螺旋的互易積螺旋的代數(shù)運算螺旋的代數(shù)運算n 兩個螺旋兩個螺旋 ，它們的互易積它們的互易積與與原點的選擇無關原點的選擇無關這兩個新的螺旋的互易積為這兩個新的螺旋的互易積為00111222(;) , (;)$ S S$ SS當原點從點當原點從點 O移動到點移動到點 A，這兩個螺旋變成，這兩個螺旋變成AA01111

27、11AA0222222(;)(;)(;)(;)$S SS SAOS$SSSSAOSAA0012122211001212212100122112()()$SSAOSSSAOSSSSAOSSSSAOSSSSS$證明：證明：證畢證畢剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 在三維空間里剛體最一般的運動形式為螺旋運動，即同在三維空間里剛體最一般的運動形式為螺旋運動，即同時存在剛體繞軸的轉動與沿同軸方向的移動。剛體的純時存在剛體繞軸的轉動與沿同軸方向的移動。剛體的純轉動和純移動都只是螺旋運動的特殊情況。轉動和純移動都只是螺旋運動的特殊情況。剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 若剛體若剛體 2 相對剛體

28、相對剛體 1做繞做繞 S 軸的瞬軸的瞬時轉動，轉動角速度時轉動，轉動角速度為為 剛體的瞬時轉動剛體的瞬時轉動Sn 但轉動軸線的空間位置還并不明確。但轉動軸線的空間位置還并不明確。所以應采用角速度所以應采用角速度線矢量來表示物體的轉動運動，即角速度的大小與一個線矢量來表示物體的轉動運動，即角速度的大小與一個表示旋轉軸作用線的單位線矢之積表示旋轉軸作用線的單位線矢之積00)(SSSS$;其中其中 為標量，為標量，S 為單位矢量。為單位矢量。其中其中 S0為為 S 對原點的線矩，與對原點的線矩，與 S 正交。正交。剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 轉動軸線方程可寫為轉動軸線方程可寫為n 可以看

29、出，可以看出，轉動線矢量的第二項是剛體上與原點轉動線矢量的第二項是剛體上與原點O重合重合的點的速度，也即是做旋轉運動的物體上產生的原點重的點的速度，也即是做旋轉運動的物體上產生的原點重合點的切向速度合點的切向速度0SSrn 角速度線矢的第二項可以展開為角速度線矢的第二項可以展開為00vrSrS)(00vv$;剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 構成剛體的轉動線矢的對偶矢量是包括角速度矢量構成剛體的轉動線矢的對偶矢量是包括角速度矢量 和剛體上與坐標原點重合點的線速度和剛體上與坐標原點重合點的線速度矢量矢量 v0n 當坐標系原點與轉軸重合當坐標系原點與轉軸重合時，時， ，轉動線矢變?yōu)?，轉動線矢

30、變?yōu)閚 剛體的瞬時轉動運動的剛體的瞬時轉動運動的Plcker坐標為坐標為 00( ;) ( ;)或S S v00v0( ;0)$剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 若剛體若剛體 2 相對剛體相對剛體 1做做移動運動移動運動，速，速度度v 沿單位矢量沿單位矢量 S方向方向，速度矢量可，速度矢量可以表示為以表示為剛體的瞬時移動剛體的瞬時移動n 此單位矢量此單位矢量 S 通常是選在移動副導路的中心方向通常是選在移動副導路的中心方向。n 當當S 平行移動后，不會改變剛體的運動狀態(tài)，因此這樣平行移動后，不會改變剛體的運動狀態(tài)，因此這樣的移動速度矢量是自由矢量。的移動速度矢量是自由矢量。Svv剛體的瞬

31、時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 剛體的瞬時移動也可以看作是剛體的瞬時移動也可以看作是繞一個無窮遠處的軸線的繞一個無窮遠處的軸線的瞬時轉動瞬時轉動n 由于無窮遠處的軸線與由于無窮遠處的軸線與 S 正交，且位于無窮遠處，則此正交，且位于無窮遠處，則此軸線的軸線的Plcker坐標為坐標為 (0;S)，繞此軸的瞬時轉動，就可，繞此軸的瞬時轉動，就可以表示為以表示為 v(0;S) 或或(0; v)剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 若若剛體剛體 2 相對剛體相對剛體 1 既有相對轉動又有相對移動既有相對轉動又有相對移動n 剛體通過回轉副剛體通過回轉副 1 繞軸繞軸S1 旋轉旋轉)(0111SS ;n

32、 剛體同時又通過移動副剛體同時又通過移動副 2 沿沿S2 做相對移動做相對移動); 0(22Sv剛體的瞬時轉動和瞬時移動的合成剛體的瞬時轉動和瞬時移動的合成n 剛體的絕對瞬時運動應是此剛體的絕對瞬時運動應是此兩個兩個運動運動的合成，按的合成，按螺旋螺旋代代數(shù)和計算數(shù)和計算0iiiiiiSS$剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 其中下角標其中下角標 i 表示合成的絕對瞬時運動，其原部及對偶表示合成的絕對瞬時運動，其原部及對偶部分別是部分別是11SSii220110SSSviin 可以可以看看出出1i1SS i021121ivSrSSn 與與 一般不滿足正交的條件一般不滿足正交的條件，為一般螺

33、旋運動，為一般螺旋運動iS0iS剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 則合成運動的節(jié)距為則合成運動的節(jié)距為021112122121211()cosiiivhvvSSSrSSSSn 可以可以看看出若轉動和移動的夾角出若轉動和移動的夾角 ，則合運動螺旋的，則合運動螺旋的節(jié)距為零，說明合成后依然是一個純轉動，但轉動的軸線節(jié)距為零，說明合成后依然是一個純轉動，但轉動的軸線發(fā)生偏移，偏移量大小與發(fā)生偏移，偏移量大小與 v2 大小有關大小有關 。1290n 合成運動的軸線為合成運動的軸線為 ， 將前面得到的將前面得到的 、hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosivvrS

34、rSSS0iS剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 此時合成運動可表示為如下兩項此時合成運動可表示為如下兩項); 0();();(00iiiiiiiiiiihhSSSSSSn 右側右側第一項第一項：是繞軸線是繞軸線 Si 的純轉動的純轉動括號中的對偶矢量部分只表示原點括號中的對偶矢量部分只表示原點重合點的切向速度分量重合點的切向速度分量n 則合成運動的軸線方程為則合成運動的軸線方程為iiiih SSSr0n 右側右側第二項第二項 ：是純移動分量是純移動分量，移動速度大小為移動速度大小為 而移動速度的方向也是沿而移動速度的方向也是沿 Si 方向方向iiihv 剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運

35、動n 總之，剛體最一般的運動形式為螺旋運動，表示螺旋運總之，剛體最一般的運動形式為螺旋運動，表示螺旋運動的物理量是動的物理量是運動螺旋（運動螺旋（twist），記為，記為n 螺旋的螺旋的節(jié)矩節(jié)矩還可還可表示為表示為n 螺旋軸線為螺旋軸線為0iiiiv$n 這樣合成運動的對偶矢量部分仍表示物體上原點重合點這樣合成運動的對偶矢量部分仍表示物體上原點重合點的速度的速度 （轉動轉動切向速度切向速度+沿螺旋軸移動速度）沿螺旋軸移動速度）)(0iiihviiiiiihvr0iiiiiSSrSSSiiiiiiiihh00剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 對偶對偶部部矢量矢量表示表示剛體上原點重合點的線

36、速度矢量剛體上原點重合點的線速度矢量，既包，既包含由轉動產生的線速度也包含沿軸線的線速度，假設沿含由轉動產生的線速度也包含沿軸線的線速度，假設沿軸線移動速度為軸線移動速度為 vi ，是與繞軸線的轉動無關的量。，是與繞軸線的轉動無關的量。n 由于存在關系式由于存在關系式 ，可知，可知 ，即，即運動螺運動螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的速度旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的速度 vi 除以角速度除以角速度 i = iiivhiiihvn 當當 i 為零時，為零時， ，運動螺旋變?yōu)?，運動螺旋變?yōu)閕iihv 0 (;)(;)=(;)=(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiihvvS SS rSSS

37、rSSSn 可見可見純移動也可看作節(jié)距無窮大的螺旋運動純移動也可看作節(jié)距無窮大的螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動剛體的瞬時螺旋運動n 例：例：已知一剛體的角速度矢為已知一剛體的角速度矢為 ，其上一點的線速度矢，其上一點的線速度矢為為 vP，兩者方向不同。試求螺旋運動的節(jié)距及軸線。，兩者方向不同。試求螺旋運動的節(jié)距及軸線。與與 共軸的線速度共軸的線速度分量分量為為則螺旋軸線為則螺旋軸線為將將線速度為線速度為 vP 的的點選做坐標原點，點選做坐標原點，則則 vP 即是物體即是物體上原點上原點重合點重合點的線速度的線速度，則螺旋節(jié)距為，則螺旋節(jié)距為)(vphh由于由于0PhhvSrPhrv力螺旋力螺旋n

38、與表示剛體瞬時運動相似，剛體上與表示剛體瞬時運動相似，剛體上的作用力也可以用螺旋來表示。的作用力也可以用螺旋來表示。剛體上的作用力剛體上的作用力n 此力對坐標原點之矩此力對坐標原點之矩C0可表示為，標量可表示為，標量 f 與單矢量與單矢量 S 的的線矩線矩 S0 之積之積，n 如剛體上有一作用力如剛體上有一作用力 f，它可寫為，它可寫為標量標量 f 與單位矢量與單位矢量 S 之積之積fS00SCf力螺旋力螺旋n C0 是力是力 f 對原點之矩，即對原點之矩，即n 此時表示此力的此時表示此力的 Plcker 坐標為坐標為n 當力當力 f 過原點時過原點時，力對原點之矩為零，力對原點之矩為零，00

39、0SrSCff00C)( ;0f或或;000abcn 所以作用在剛體上的力如以單位線矢所以作用在剛體上的力如以單位線矢量量表示表示00000( ;)=(;)=( ;)ffffff$f S SSSf C$SSfC力螺旋力螺旋n 在剛體上作用兩個大小相等方向相在剛體上作用兩個大小相等方向相反的平行力反的平行力 f1、 f2 剛體上的作用力偶剛體上的作用力偶n 自由矢量的齊次坐標為自由矢量的齊次坐標為( (0 ; S) )，因此力偶可表示為，因此力偶可表示為n 顯然此力偶矢量顯然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的是沿力偶平面的法線方向。法線方向。121212)()(frrfrrCn 力偶是自由矢量，它在

40、剛體內自由地平行移動而不會改力偶是自由矢量，它在剛體內自由地平行移動而不會改變它對剛體作用的效果。變它對剛體作用的效果。(0;)CC$S力螺旋力螺旋n 這樣力偶旋量這樣力偶旋量 C$ 也可以認為是一個作用在剛體上的也可以認為是一個作用在剛體上的 “無限無限遠處的遠處的”“”“無限小的力無限小的力”引起對原點的矩，該引起對原點的矩，該力的作用線與力的作用線與力矩的方向力矩的方向 S 正交正交。n 此此無限遠處的力所在軸線的無限遠處的力所在軸線的 Plcker 坐標為坐標為( (0 ; S) )n 所以所以由這個力產生的由這個力產生的力偶旋量可表示為力偶旋量可表示為)(0;)0;()0;(CSS$

41、CCC力螺旋力螺旋n 一般情況下作用于一個剛體上的空間力系都可以簡化為一般情況下作用于一個剛體上的空間力系都可以簡化為一個力一個力 和一個力偶和一個力偶剛體上的作用力和作用力偶的合成剛體上的作用力和作用力偶的合成n 此力線矢及力偶螺旋又可按旋此力線矢及力偶螺旋又可按旋量代數(shù)和結合為一個和旋量量代數(shù)和結合為一個和旋量);(011SSf22; 0 SCn 這里這里S1及及S2都是單位矢量。此力都是單位矢量。此力和力偶可能有不同的方向和力偶可能有不同的方向0iiiiiifffSS$n 式中式中 Si 為單位矢量，為單位矢量，1iiSS力螺旋力螺旋n 根據(jù)螺旋代數(shù)和根據(jù)螺旋代數(shù)和的規(guī)則，的規(guī)則，合成力

42、的合成力的原部和對偶部分別為原部和對偶部分別為n 可以可以看看出出11SSffii22110SSrSCffii1ffi1SS i021121iCfSrSSn 與與 一般不滿足正交的條件一般不滿足正交的條件，則為一個力螺旋，則為一個力螺旋iS0iS力螺旋力螺旋n 力螺旋的節(jié)距力螺旋的節(jié)距 hi 為為n 可以可以看看出若力和力偶的夾角出若力和力偶的夾角 ，則合力螺旋的節(jié)，則合力螺旋的節(jié)距為零，說明合成后依然是一個作用力，但力的作用線距為零，說明合成后依然是一個作用力，但力的作用線發(fā)生偏移，偏移量大小與發(fā)生偏移，偏移量大小與 C2 大小有關大小有關 。021112122121211()cosiiiC

43、hfCCffSSSrSSSS1290n 合力螺旋的軸線為合力螺旋的軸線為 ，將前面得到的，將前面得到的 、 hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosiffCCrSrSSS0iS力螺旋力螺旋n 此時合力螺旋可表示為如下兩項此時合力螺旋可表示為如下兩項0011111(;)(;)(0;)iiiiiiffhfhS SS SSSn 右側右側第一項第一項：是是一個純作用力，沿一個純作用力，沿軸線軸線 S1方向方向 ， 表示表示 對原點之矩。對原點之矩。n 合成后作用力的作用軸線為合成后作用力的作用軸線為iiiih SSSr0n 右側右側第二項第二項 ：是純是純力偶，力偶大小

44、為力偶，力偶大小為 而而力偶的作用力偶的作用方向也是沿方向也是沿 S1 方向方向iiiCf h)(101SSiihf11Sf力螺旋力螺旋n 剛體上作用的空間任意力系，最后可以合成為一個有確剛體上作用的空間任意力系，最后可以合成為一個有確定位置的定位置的力螺旋力螺旋（wrench），即一個力線矢，即一個力線矢 和與其共線的力偶矢和與其共線的力偶矢 之和之和n 力螺旋的力螺旋的節(jié)矩節(jié)矩還可還可表示為表示為n 螺旋軸線為螺旋軸線為n 力螺旋力螺旋的對偶矢量部分表示的對偶矢量部分表示或者說是整個力系對原點之或者說是整個力系對原點之矩（線矢力產生的矩矩（線矢力產生的矩+沿線矢力方向力偶矩）沿線矢力方向力

45、偶矩）0iiiihrfCf(;)iiiifS rS)0;(iiihfS0Cf$iiif0()iiiiih fCff力螺旋力螺旋n 假設力螺旋的對偶部矢量中沿線矢力軸線方向的力偶分假設力螺旋的對偶部矢量中沿線矢力軸線方向的力偶分量為量為 Ci ，這是線矢力大小，這是線矢力大小 fi 無關的量。無關的量。n 由于存在關系式由于存在關系式 ，可知，可知 ，即，即力螺旋力螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的力偶的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的力偶Ci 除以力的大小除以力的大小 fi = iiiCf hiiihCfn 當當 fi 為零時，為零時， ，力螺旋變?yōu)?，力螺旋變?yōu)閕iihCf 0 (;)(;)=(;)=

46、(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiiffhffCCS SS rSSSrSSSn 可見可見純力偶也可看作節(jié)距無窮大的力螺旋純力偶也可看作節(jié)距無窮大的力螺旋運動螺旋和力螺旋的對比運動螺旋和力螺旋的對比n 比較運動學中的運動螺旋及靜力學中的力螺旋，看到兩比較運動學中的運動螺旋及靜力學中的力螺旋，看到兩者都可以用一個數(shù)量與一個單位旋量的乘積表示，有相者都可以用一個數(shù)量與一個單位旋量的乘積表示，有相似的數(shù)學關系。似的數(shù)學關系。n 運動螺旋和力螺旋的節(jié)矩都是原點不變量運動螺旋和力螺旋的節(jié)矩都是原點不變量，都是沿螺旋都是沿螺旋方向的兩個量之比方向的兩個量之比。iih0iifChffCf0運動螺旋

47、的節(jié)矩運動螺旋的節(jié)矩力力螺旋的節(jié)矩螺旋的節(jié)矩運動螺旋和力螺旋的對比運動螺旋和力螺旋的對比 節(jié)距運動學靜力學螺旋運動螺旋 力螺旋 線矢量角速度線矢 力線矢 自由矢量移動速度 力偶矢 0h)(SSrSh;)(SSrSh;)(rh;( ;)f rf0h)(r;)(ffrfh;h);(v0);(C0n 運動學及靜力學中的物理量運動學及靜力學中的物理量對比對比螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 螺旋系螺旋系（screw system）的概念可以從運動學引出的概念可以從運動學引出螺旋系螺旋系n 因此，因此，決定剛體運動的所有螺旋所決定剛體運動的所有螺旋所組成的集合就是螺旋系組成的集合就是螺旋系。n 對于一

48、個開鏈機構，或開鏈機器人，末端剛體的運動可對于一個開鏈機構，或開鏈機器人，末端剛體的運動可以表示為諸構件運動的疊加；當每個運動表示為螺旋時以表示為諸構件運動的疊加；當每個運動表示為螺旋時，末端的運動就是諸螺旋的線性組合。，末端的運動就是諸螺旋的線性組合。n 適合線性組合規(guī)則的諸螺旋構成一適合線性組合規(guī)則的諸螺旋構成一個螺旋系個螺旋系。螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 線性無關的螺旋最多只有六個線性無關的螺旋最多只有六個。n 按螺旋的數(shù)目螺旋系可分為按螺旋的數(shù)目螺旋系可分為：僅含一個螺旋的單螺旋系僅含一個螺旋的單螺旋系，含兩個線性無關螺旋的雙螺旋系，也稱螺旋，含兩個線性無關螺旋的雙螺旋系，也稱

49、螺旋2系或系或2系系螺旋；含螺旋；含3個線性無關螺旋的個線性無關螺旋的3系螺旋，以及系螺旋，以及4系螺旋，系螺旋，5系螺旋和系螺旋和6系螺旋等等系螺旋等等;LMNPQR$n 在這些螺旋系中在這些螺旋系中螺旋螺旋2系系及及螺旋螺旋3系系是最重要又是最基本是最重要又是最基本的，研究的也比較充分的，研究的也比較充分螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 例：例：一個串聯(lián)機械臂的螺旋系一個串聯(lián)機械臂的螺旋系 當所有運動副都表示為螺旋時，按理論力學，其末端當所有運動副都表示為螺旋時，按理論力學，其末端件的運動是所有連接構件運動的疊加，在這里也就是所有件的運動是所有連接構件運動的疊加，在這里也就是所有螺旋的線

50、性組合，這些螺旋就構成一個典型的螺旋系。螺旋的線性組合，這些螺旋就構成一個典型的螺旋系。 由于每個由于每個運運動副有一個相對動副有一個相對轉動角速度轉動角速度 i，運運動動可以用一個可以用一個螺旋螺旋$i 表示，那么這個表示，那么這個運動運動副的副的相對運動就可以表示為相對運動就可以表示為 i$i。螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 例：例：一個串聯(lián)機械臂的螺旋系一個串聯(lián)機械臂的螺旋系末端件的瞬時運動可以由下面的螺旋方程求得末端件的瞬時運動可以由下面的螺旋方程求得這里的這里的 n 個螺旋，個螺旋，$1 , $2 , , $n，就，就構成了一個螺旋系。當構成了一個螺旋系。當 n 6 時時，它，它

51、們線性們線性無無關關，構成一個，構成一個 n 系螺旋。系螺旋。11221 , (1,2, )niinnjjjjn$其中其中0010(;)(;)iiiiiiiiii$S SS ;S v螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 對于對于 n 個螺旋個螺旋 ， ， 若可以若可以找到一找到一組不全為零的實數(shù)組不全為零的實數(shù) i ，使得和螺旋為零，使得和螺旋為零， ，則這則這 n 個螺旋為線性相關個螺旋為線性相關螺旋的相關性螺旋的相關性);(oiiiSS$ ni1,20nii$n 按螺旋的加法規(guī)則，則按螺旋的加法規(guī)則，則這些螺旋的原部和對偶部的和分這些螺旋的原部和對偶部的和分別為零，即別為零，即nii0Sni

52、i0oS螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 螺旋系的線性相關可以由用螺旋系的線性相關可以由用Plcker坐標所表示的螺旋坐標所表示的螺旋矩陣的秩來判斷。矩陣的秩來判斷。如前所述螺旋的如前所述螺旋的Plcker坐標可以表示為這樣的坐標可以表示為這樣的6個元個元素（素（l m n; p q r）。）。n個螺旋系的相關性，就可以由螺個螺旋系的相關性，就可以由螺旋系的旋系的Plcker坐標表示的矩陣的秩來判斷坐標表示的矩陣的秩來判斷111111222222nnnnnnlmnpqrlmnpqrlmnpqrn 螺旋的螺旋的Plcker坐標有坐標有6個分量，顯然三維空間中線性無個分量，顯然三維空間中線性無關

53、的螺旋的數(shù)目最多關的螺旋的數(shù)目最多6個個。螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 螺旋的相關性與坐標系的選擇無關螺旋的相關性與坐標系的選擇無關設有設有n個螺旋，其原部和對偶部對于坐標系個螺旋，其原部和對偶部對于坐標系O表示為表示為(;)OOiii$S Sn,.,i21已知這已知這n個螺旋是線性相關的，按螺旋線性相關的定義個螺旋是線性相關的，按螺旋線性相關的定義，必可找到一組不全為零的數(shù)，必可找到一組不全為零的數(shù) i ，使得和螺旋為零，使得和螺旋為零0 ( 0, 0 )OOiiiiiinnn$SS當坐標系由當坐標系由O點移至點移至A點后，各螺旋相應地表示為點后，各螺旋相應地表示為);(AiiAiSS

54、$證明：證明：螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 螺旋的相關性與坐標系的選擇無關螺旋的相關性與坐標系的選擇無關按螺旋做和原理和螺旋為按螺旋做和原理和螺旋為證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：;AAiiiiiinnnOiiiiiinnnAO$SSSSS和螺旋原部及對偶部三項均為零，所以仍保持有和螺旋原部及對偶部三項均為零，所以仍保持有nii0A$證畢證畢螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 將空間直線的相關性按其表達螺旋的秩來分類將空間直線的相關性按其表達螺旋的秩來分類Grassmann線幾何原理（線矢量的相關性）線幾何原理（線矢量的相關性）n 線簇秩為線簇秩為 1 時，在時，在3維空間僅有一條直線。維空間僅

55、有一條直線。n 線簇秩為線簇秩為 2 時，有兩種情況：時，有兩種情況： (a) 空間相錯的兩條直線空間相錯的兩條直線 (b) 平面匯交的線束平面匯交的線束螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 線簇秩為線簇秩為 3 時，常見有四種情況。時，常見有四種情況。 (a) 空間不平行不相交的三條直線（單葉雙曲面）空間不平行不相交的三條直線（單葉雙曲面） (b) 匯交點在兩個平面的交線上的兩個平面線束匯交點在兩個平面的交線上的兩個平面線束 (c) 空間共點線束空間共點線束 (d) 共面線束共面線束螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 線簇秩為線簇秩為 4 時，也稱為線匯，常見有四種情況。時，也稱為線匯，常見有

56、四種情況。 (4a) 四條相互在空間不平行不相交的直線四條相互在空間不平行不相交的直線 (4b) 能同時與另兩條直線相交的能同時與另兩條直線相交的若干若干條直線條直線 (4c) 有有1條公共交線的條公共交線的3個平面線束個平面線束 (4d) 包括共點包括共點及及共面的直線簇，而且匯交點在其平面上共面的直線簇，而且匯交點在其平面上螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性n 線簇秩為線簇秩為 5 時，也稱為線性叢，常見有兩種情況。時，也稱為線性叢，常見有兩種情況。 (5a) 一般線性叢，線性無關的空間五條不相交的直線一般線性叢，線性無關的空間五條不相交的直線 (5b) 特殊線性叢，所有直線能與一條直線相交

57、（特殊線性叢，所有直線能與一條直線相交（因為選因為選該公共該公共交交線為線為Z軸時，軸時，所有直線所有直線對對Z軸軸的線矩為零的線矩為零）螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性偶量的相關性偶量的相關性n 偶量的情況比較簡單，由于偶量為自由矢量，方向相同偶量的情況比較簡單，由于偶量為自由矢量，方向相同的偶量都是線性相關的，因此只有如下三種情況：的偶量都是線性相關的，因此只有如下三種情況： (a) 相同方向的偶量只有一個是獨立的相同方向的偶量只有一個是獨立的 (b) 平面中存在兩個獨立的偶量平面中存在兩個獨立的偶量 (c) 三維空間中存在三個獨立的偶量三維空間中存在三個獨立的偶量螺旋系及其相關性螺旋系及

58、其相關性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 兩平行線矢和一法向偶量兩平行線矢和一法向偶量 如果某物體承受了如果某物體承受了 3 個螺旋，個螺旋，$1， $2 和和$3 。前。前2個是個是節(jié)距為零的線矢量，第節(jié)距為零的線矢量，第 3 個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且后者與前后者與前2個螺旋軸線組成的平面相垂直個螺旋軸線組成的平面相垂直001; 00000; 010000; 010321$d可以看出：線性無關的只有兩個可以看出：線性無關的只有兩個螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 共面三線矢和一法向偶量共面三線

59、矢和一法向偶量 如果如果空間有四個螺旋空間有四個螺旋，$1， $2 ，$3和和$4 。前。前3個是節(jié)個是節(jié)距為零的線矢量距為零的線矢量且它們共面且它們共面，第，第 4 個是節(jié)距為無窮大的偶個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且與前量，而且與前3個螺旋軸線個螺旋軸線所在所在的平面相垂直的平面相垂直11112222333340;000;000;00000;001lmrlmrlmr$可以看出：線性無關的只有三個可以看出：線性無關的只有三個螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 空間平行三線矢及一個相垂直的偶量空間平行三線矢及一個相垂直的偶量 這四這四個螺旋個螺旋，$

60、1， $2 ，$3和和$4 中，中，前前3個是節(jié)距為個是節(jié)距為零零且相互平行且相互平行的線矢量，的線矢量，它們分布在空間不同的平行平面上它們分布在空間不同的平行平面上，第第 4 個是節(jié)距為無窮大的偶量，個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且而且后者后者與與前前3個螺旋個螺旋軸線軸線相相垂直垂直。12223334100;000100;0100;0000;010qrqr$可以看出：線性無關的只有三個可以看出：線性無關的只有三個螺旋系及其相關性螺旋系及其相關性序號序號幾何特點幾何特點圖示圖示線矢線矢偶量偶量1共軸112平面平行213平面匯交224空間平行315共面326空間共點33螺旋系及其相關性螺旋系及其相