高等機(jī)構(gòu)學(xué)-01-螺旋理論基礎(chǔ)解析課件

1、高等機(jī)構(gòu)學(xué)高等機(jī)構(gòu)學(xué)YSU燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院n 螺旋理論基礎(chǔ)螺旋理論基礎(chǔ)n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理n 空間機(jī)構(gòu)的位置分析空間機(jī)構(gòu)的位置分析n 運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)原理運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)原理n 空間機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)空間機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)n 基于約束螺旋理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合基于約束螺旋理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合n 空間機(jī)構(gòu)的奇異分析空間機(jī)構(gòu)的奇異分析本門課程的主要本門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 空間直線的螺旋表示空間直線的螺旋表示 螺旋表示運(yùn)動(dòng)和作用力螺旋表示運(yùn)動(dòng)和作用力 螺旋的相關(guān)性螺旋的相關(guān)性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性螺旋理論基礎(chǔ)螺旋理論基礎(chǔ)直線的矢量方程直線的矢量方程)

2、();(22221111zyxzyxrr121212()()()xxyyzzLMNSijkijk兩個(gè)點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)：222NMLS兩點(diǎn)之間的距離或直線段的長(zhǎng)度為兩點(diǎn)之間的距離或直線段的長(zhǎng)度為1()0rrS0rSS假設(shè)：假設(shè)： lLmMnNSSS，L、M、N是有向線段是有向線段S的方向數(shù)，而的方向數(shù)，而l、m、n是是S的方向余弦的方向余弦，且滿足且滿足1222nml則直線方程可寫(xiě)為：則直線方程可寫(xiě)為：或或S0 稱為矢量稱為矢量 S 對(duì)原點(diǎn)的線矩對(duì)原點(diǎn)的線矩01rSS直線的矢量方程直線的矢量方程可寫(xiě)為行列式的形式可寫(xiě)為行列式的形式01rSSNMLzyx1110kjiS 展開(kāi)，有展開(kāi)，有kjiSRQP0

3、11Py Nz MNxLzQ11LyMxR11其中其中P、Q、R為為直線的矢量方程直線的矢量方程 若若S是單位矢量是單位矢量, ，則線矩則線矩S0的模表示直線的模表示直線到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離； 若若矢量矢量S過(guò)原點(diǎn)，其線矩為零過(guò)原點(diǎn)，其線矩為零： 當(dāng)當(dāng)S及及S0給定后，直線在空間的方向及位置都被確給定后，直線在空間的方向及位置都被確定，而且它們是一一對(duì)應(yīng)的定，而且它們是一一對(duì)應(yīng)的； 矢量矢量S與其對(duì)原點(diǎn)之線矩與其對(duì)原點(diǎn)之線矩S0是互為正交的是互為正交的：1SS00S00SS直線的矢量方程直線的矢量方程可知：可知： 決定直線的矢量方程中的兩個(gè)參數(shù)決定直線的矢量方程中的兩個(gè)參數(shù)S及及S0是齊次

4、坐標(biāo)是齊次坐標(biāo)，標(biāo)量標(biāo)量 構(gòu)成的構(gòu)成的 S 及及 S0 依然滿足直線方程依然滿足直線方程表示是同一條直線。表示是同一條直線。0rSS 這種滿足正交條件的齊次坐標(biāo)這種滿足正交條件的齊次坐標(biāo)( (S ; S0) ) 表示了直線在表示了直線在空間的位置及方向，空間的位置及方向，( (S ; S0) )稱為稱為直線的直線的 Plcker 坐標(biāo)坐標(biāo)。直線的直線的Plcker坐標(biāo)坐標(biāo) 直線的直線的 Plcker坐標(biāo)坐標(biāo)( (S ; S0) )中的兩個(gè)矢量中的兩個(gè)矢量S 和和S0 都可以都可以用直角坐標(biāo)系的三個(gè)分量表示，這樣用直角坐標(biāo)系的三個(gè)分量表示，這樣Plcker坐標(biāo)的標(biāo)量形式坐標(biāo)的標(biāo)量形式即為即為 (

5、L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向線段是有向線段S的方向數(shù)，的方向數(shù)，P、Q、R是該線段是該線段S對(duì)原點(diǎn)的線矩在對(duì)原點(diǎn)的線矩在X、Y、Z 三軸的分量三軸的分量。 這六個(gè)量這六個(gè)量L、M、N、P、Q、R 之間存在關(guān)系式之間存在關(guān)系式00 0LPMQNRS S（） 所以六個(gè)分量中只有五個(gè)是獨(dú)立的所以六個(gè)分量中只有五個(gè)是獨(dú)立的，在三維空間中就有在三維空間中就有5 條不同方向、位置和長(zhǎng)度的有向線段條不同方向、位置和長(zhǎng)度的有向線段。直線的直線的Plcker坐標(biāo)坐標(biāo)n 兩兩個(gè)矢量個(gè)矢量S和和S0決定了一條直線在決定了一條直線在空間的方向和空間的方向和位置位置（對(duì)偶矢量）（對(duì)偶矢量）n

6、 空間空間的一條的一條直線直線與與一一組對(duì)偶組對(duì)偶矢量矢量( (S ; S0) )有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 為過(guò)原點(diǎn)的直線，方向?yàn)闉橐粭l不過(guò)原點(diǎn)平行 X 軸的空間直線 且這是一條不過(guò)原點(diǎn)，方向?yàn)?的直線)(nml0nrmqlp)(nml直線的直線的Plcker坐標(biāo)坐標(biāo);lmnpqr;000lmn00;0lab直線的直線的Plcker坐標(biāo)坐標(biāo)直線到原點(diǎn)的直線到原點(diǎn)的距離距離 若有過(guò)原點(diǎn)的矢量若有過(guò)原點(diǎn)的矢量P垂直相交于直線垂直相交于直線( (S ; S0) )，則矢量則矢量OP的的模模|P|是從原點(diǎn)是從原點(diǎn)O到直線的距離，由于矢量到直線的距離，由于矢量P的端點(diǎn)在直線上的端點(diǎn)在直線上，

7、即有，即有0SSP將此等式兩邊左面叉乘將此等式兩邊左面叉乘S0)(SSSPS展開(kāi)左邊矢量的三重叉積展開(kāi)左邊矢量的三重叉積，有，有PSSSPSPSSSPS)()()()(即即0()S S PSS直線到原點(diǎn)的直線到原點(diǎn)的距離距離解出解出P這里這里e是單位矢量，其方向由是單位矢量，其方向由 決定，決定，這樣直線這樣直線S到原點(diǎn)的距離為到原點(diǎn)的距離為SSSSP0因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€S與線矩相互垂直，上式可寫(xiě)為與線矩相互垂直，上式可寫(xiě)為eSSeSSSSP00|0SSSSP0直線到原點(diǎn)的直線到原點(diǎn)的距離距離n 當(dāng)當(dāng)S0=0，則，則 ，直線到原點(diǎn)的距離為零，即，直線到原點(diǎn)的距離為零，即直線過(guò)原點(diǎn)，直線過(guò)原點(diǎn)，此

8、時(shí)直線的此時(shí)直線的 Plcker 坐標(biāo)可寫(xiě)為坐標(biāo)可寫(xiě)為可知：可知：0P;0)(S000;nml或或n 反之，若反之，若S =0，而，而 為有限值，則為有限值，則 ，此時(shí)，此時(shí)直線位于距原點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)的平面上，寫(xiě)成直線位于距原點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)的平面上，寫(xiě)成Plcker 坐坐標(biāo)為標(biāo)為( (0 ; S0) )。n 此時(shí)對(duì)于任何選擇的原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)處的一個(gè)無(wú)窮此時(shí)對(duì)于任何選擇的原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)處的一個(gè)無(wú)窮小的矢量，它對(duì)原點(diǎn)的線矩皆為小的矢量，它對(duì)原點(diǎn)的線矩皆為 S0。S0與原點(diǎn)位與原點(diǎn)位置選擇無(wú)關(guān)，這說(shuō)明置選擇無(wú)關(guān)，這說(shuō)明( (0 ; S0) )為為自由矢量自由矢量。0SP兩直線的互矩兩直線的互矩設(shè)空間有相錯(cuò)的兩條直線

9、，它們?cè)O(shè)空間有相錯(cuò)的兩條直線，它們不平行也不相交不平行也不相交若它們的公垂線矢量為若它們的公垂線矢量為 ，其中，其中 為單位矢量，為單位矢量，而其系數(shù)而其系數(shù) 是兩線間的垂直距離是兩線間的垂直距離，兩線之間的扭向角記為兩線之間的扭向角記為A、B兩點(diǎn)是兩直線間公垂線的兩個(gè)垂足兩點(diǎn)是兩直線間公垂線的兩個(gè)垂足 11012202rSSrSS1212a a11212aa12a12a12兩直線的互矩兩直線的互矩直線直線S2對(duì)對(duì)S1線上垂足線上垂足A 點(diǎn)的線矩點(diǎn)的線矩 與與直線直線S1的點(diǎn)積，稱為直線的點(diǎn)積，稱為直線S2關(guān)于關(guān)于S1的矩的矩121212SSaa同樣，直線同樣，直線S1對(duì)直線對(duì)直線S2上垂足上

10、垂足B點(diǎn)的點(diǎn)的線矩線矩與與直線直線S2的點(diǎn)積，稱為直線的點(diǎn)積，稱為直線S1關(guān)于關(guān)于S2的矩的矩212112SSaa顯然此兩點(diǎn)積是相等的顯然此兩點(diǎn)積是相等的212112121212SSaSSaaa兩直線的互矩兩直線的互矩兩直線的互矩兩直線的互矩(mutual moment)，記以，記以Mm可以看可以看出：出：兩直線的互矩是由兩直線兩直線的互矩是由兩直線Plcker 坐標(biāo)的兩個(gè)矢坐標(biāo)的兩個(gè)矢量和兩線矩交換下標(biāo)后的點(diǎn)積之和量和兩線矩交換下標(biāo)后的點(diǎn)積之和121212mSSaM a展開(kāi)此式并考慮到展開(kāi)此式并考慮到121212rraa得到互矩的一般表達(dá)式為得到互矩的一般表達(dá)式為012021mSSSSM兩直

11、線的互矩兩直線的互矩當(dāng)當(dāng)S1和和S2都是單位矢量時(shí)都是單位矢量時(shí)其中其中S1與與S2間的扭向角間的扭向角 的值是以的值是以 為正向，按右手螺旋方為正向，按右手螺旋方向度量向度量互矩互矩Mm還可寫(xiě)為還可寫(xiě)為12211SSSS121212sinaSS則則1212am121221121212121212(sin)sinaaa MaSSaa兩直線的互矩兩直線的互矩若兩直線的若兩直線的S及及S0均以標(biāo)量表示均以標(biāo)量表示互矩還可以寫(xiě)成互矩還可以寫(xiě)成代數(shù)式代數(shù)式111101111222202222(,) , ( ,)(,) , (,)L MNP Q RL MNP Q RSSSSm10220112121212

12、1212L PM QN RPLQ MR NMSSSS互矩互矩的幾種表達(dá)形式的幾種表達(dá)形式m1212sina M121212mSSaM a兩直線的互矩兩直線的互矩n 互矩只與兩直線間的互矩只與兩直線間的距離距離及及扭向角扭向角有關(guān)，與原點(diǎn)位置的選有關(guān)，與原點(diǎn)位置的選擇無(wú)關(guān)，即互距與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。擇無(wú)關(guān)，即互距與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。n 如果如果兩直線平行兩直線平行，或者說(shuō)兩直線相交于無(wú)窮遠(yuǎn)處，或者說(shuō)兩直線相交于無(wú)窮遠(yuǎn)處， 則它們的互矩為零。則它們的互矩為零。n 如果如果兩直線相交兩直線相交，其垂直距離，其垂直距離 就等于零就等于零，它們的互矩，它們的互矩也為零也為零n 所以空間兩直線相交于有限遠(yuǎn)

13、處、無(wú)限遠(yuǎn)處，或說(shuō)所以空間兩直線相交于有限遠(yuǎn)處、無(wú)限遠(yuǎn)處，或說(shuō)兩直線兩直線共面共面，則則兩直線的互矩為零兩直線的互矩為零。由由互矩互矩表達(dá)式表達(dá)式 可以看出：可以看出：m1212sina M01212a1022010SSSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋線矢量：線矢量：如果空間一個(gè)單位矢量被約束在一如果空間一個(gè)單位矢量被約束在一條方向、位置固定的直線上，這個(gè)條方向、位置固定的直線上，這個(gè)被直線約束的矢量定義為線矢量，被直線約束的矢量定義為線矢量，簡(jiǎn)稱線矢，也記以簡(jiǎn)稱線矢，也記以 ( (S ; S0) ) 。在前面建立的空間直線矢量方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引申在前面建立的空間直線矢量方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引

14、申n 在表示線矢量的對(duì)偶矢量在表示線矢量的對(duì)偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是單位矢量，而是單位矢量，而 S0一一般不是單位矢量般不是單位矢量n 這個(gè)線矢量在空間的位置和方向，可由矢量這個(gè)線矢量在空間的位置和方向，可由矢量 S 和其上一點(diǎn)和其上一點(diǎn)矢徑矢徑 r 來(lái)決定。這里矢徑來(lái)決定。這里矢徑 r 反映在反映在“線矩線矩” S0中，即中，即 ，顯然顯然 S 與與 S0為正交，為正交，0SrS00S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 線矢量在幾何上反映了一直線在空間的方向和位置線矢量在幾何上反映了一直線在空間的方向和位置。n 矢量矢量 S 表示直線的方向，它與原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)；而線表示直線的方

15、向，它與原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)；而線矩矩S0 則與原點(diǎn)的位置有關(guān)。若原點(diǎn)的位置改變，由則與原點(diǎn)的位置有關(guān)。若原點(diǎn)的位置改變，由B點(diǎn)點(diǎn)移至移至A點(diǎn)點(diǎn)，而矢量而矢量 S 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn) A之線矩之線矩 SA則轉(zhuǎn)變?yōu)閯t轉(zhuǎn)變?yōu)?AABB0BSrSSrABrSABSSABS線矢量和螺旋線矢量和螺旋螺旋：螺旋：原部矢量和對(duì)偶部矢量點(diǎn)積不為零的對(duì)偶矢量原部矢量和對(duì)偶部矢量點(diǎn)積不為零的對(duì)偶矢量 在在數(shù)學(xué)上定義為螺旋，數(shù)學(xué)上定義為螺旋，（也稱也稱旋量旋量）。記為。記為 $當(dāng)當(dāng)對(duì)偶矢量對(duì)偶矢量( (S ; S0) )中的兩個(gè)矢量不滿足矢量的正交條件，中的兩個(gè)矢量不滿足矢量的正交條件，則可以得到更一般的情況則可以得到更一般的情況

16、00 , 0;$S SS Sn 在表示在表示螺旋螺旋的對(duì)偶矢量的對(duì)偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是單位矢量，而是單位矢量，而 S0一般一般不是單位矢量不是單位矢量n 這樣，線矢量就可看成是螺旋的特殊情況，當(dāng)組成螺旋的這樣，線矢量就可看成是螺旋的特殊情況，當(dāng)組成螺旋的兩對(duì)偶矢量的點(diǎn)積為零時(shí)，螺旋退化為線矢量。兩對(duì)偶矢量的點(diǎn)積為零時(shí)，螺旋退化為線矢量。n 為了能夠清楚地區(qū)分線矢量和螺旋，將為了能夠清楚地區(qū)分線矢量和螺旋，將 的螺旋的的螺旋的對(duì)偶部矢量以對(duì)偶部矢量以 S0 標(biāo)記，以表示與線矢量的區(qū)別標(biāo)記，以表示與線矢量的區(qū)別00S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 在螺旋的兩矢量中，在螺旋的兩

17、矢量中，S與原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，而矢量與原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，而矢量S0 卻卻是與原點(diǎn)的位置有關(guān)。是與原點(diǎn)的位置有關(guān)。n 當(dāng)當(dāng)將將原點(diǎn)由原點(diǎn)由 B 移至移至 A 時(shí)，時(shí)，螺旋螺旋 變?yōu)樽優(yōu)?，依然滿足依然滿足00ABSSABS將上式兩邊點(diǎn)乘將上式兩邊點(diǎn)乘 S，得到，得到0000ABBBS SSSABSS SS ABSS Sn 雖然雖然 S0 與原點(diǎn)位置有關(guān)，但與原點(diǎn)位置有關(guān)，但 與原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，與原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，是原點(diǎn)不變量。是原點(diǎn)不變量。0S S0;AS S0;AS S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 螺旋的節(jié)距螺旋的節(jié)距pitch（原點(diǎn)不變量）（原點(diǎn)不變量）n 如果某旋量的原級(jí)矢量如果某旋量的原級(jí)矢量S

18、為單位矢量，為單位矢量， ，這是單，這是單位旋量位旋量，此時(shí)，此時(shí) 0222lpmqnrhlmnS SS S1 SS0h S S線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 線矢量在空間對(duì)應(yīng)一條確定的直線；同樣，一個(gè)旋量，線矢量在空間對(duì)應(yīng)一條確定的直線；同樣，一個(gè)旋量， 在空間也對(duì)應(yīng)有一條確定的軸線在空間也對(duì)應(yīng)有一條確定的軸線00( ;) 0S SS Sn 將將S0 分解為垂直和平行于分解為垂直和平行于 S 的兩個(gè)的兩個(gè)分量，分量， hS 和和 S0 -hS)()(00SSSSSShh;線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 其中其中 S0 hS 是垂直于是垂直于S的，這是因?yàn)榈模@是因?yàn)閚 因此螺旋的軸線方程即是因此螺旋

19、的軸線方程即是000()0hS SSSSS SS SS Sn 由此由此00hSSS0hrSSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 影響螺旋的四個(gè)因素：影響螺旋的四個(gè)因素：（1）螺旋軸線螺旋軸線的位置的位置（2）螺旋的節(jié)距）螺旋的節(jié)距（3）螺旋的方向）螺旋的方向（4）螺旋的大?。┞菪拇笮 如果是單位螺旋，則只包含前三個(gè)因素如果是單位螺旋，則只包含前三個(gè)因素n 螺旋可以寫(xiě)為螺旋可以寫(xiě)為00( ;)( ;)( ;)hhhS SS SSSS rSS線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 對(duì)于螺旋對(duì)于螺旋 ，當(dāng)節(jié)距，當(dāng)節(jié)距 h 變化時(shí)變化時(shí) ( ;)hS rSS螺旋線矢量偶量零螺旋0( ; )S S00 0 0h SS

20、 S，00 =0 = 0hSS S，0( ; )S S(0; )S0 = hS，0=0 =0 hSS， 不定( ;)S rS( ;)=(;)=(0; )hhhS rSS rSSSS 若若 h=0 ，螺旋變?yōu)椋菪優(yōu)?若若 h=， 線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣表示什么樣的螺旋？的螺旋？0( ; );lmna la ma n$S S0222222a la ma nhalmnS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向lmnS222lmnS 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為 a，軸線過(guò)原點(diǎn)的，軸線過(guò)原點(diǎn)的螺旋螺旋線矢量和螺旋線矢量和螺旋

21、n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )100; 100$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向100S1S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為1，軸線過(guò)原點(diǎn)的，軸線過(guò)原點(diǎn)的單位螺旋單位螺旋線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )1 1 1; 1 1 1 /3$S S01hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 1 1S1S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 00hrSSS這也是一個(gè)軸線過(guò)原點(diǎn)沿方向這也是一個(gè)軸線過(guò)原點(diǎn)沿方向 節(jié)距為節(jié)距為1的單位螺旋的單位

22、螺旋1 1 1線矢量和螺旋線矢量和螺旋n 例：例： 表示什么樣的螺旋？表示什么樣的螺旋？0( ; )1 10; 100$S S01 2hS SS S 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向1 10S2221102S 螺旋節(jié)距螺旋節(jié)距 螺旋軸線螺旋軸線 T01 21 20hrSSS表示節(jié)距為表示節(jié)距為 1/2，不過(guò)原點(diǎn)的非單位螺旋不過(guò)原點(diǎn)的非單位螺旋螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算n 螺旋螺旋 可以用一對(duì)對(duì)偶矢量來(lái)表示可以用一對(duì)對(duì)偶矢量來(lái)表示0( ; )$S Sn 其中其中 被稱為對(duì)偶標(biāo)識(shí)符，且有被稱為對(duì)偶標(biāo)識(shí)符，且有 )(0SS 0320011111(; )$SSSS0022222(; )$SSSS螺

23、旋的對(duì)偶矢量表示螺旋的對(duì)偶矢量表示螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算 兩個(gè)螺旋的原部和對(duì)偶部分別求和，稱為兩螺旋的兩個(gè)螺旋的原部和對(duì)偶部分別求和，稱為兩螺旋的代數(shù)和。代數(shù)和。)(0201121SSSS$2)(n 兩個(gè)節(jié)距為非零有限值的螺旋之和一般仍然是節(jié)距為非兩個(gè)節(jié)距為非零有限值的螺旋之和一般仍然是節(jié)距為非零有限值的螺旋，但也可能出現(xiàn)節(jié)距為零的線矢量。零有限值的螺旋，但也可能出現(xiàn)節(jié)距為零的線矢量。n 不共面的兩線矢之和一般為節(jié)距不為零的螺旋，不共面的兩線矢之和一般為節(jié)距不為零的螺旋，螺旋的代數(shù)和螺旋的代數(shù)和螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算n 若兩線矢共面，且兩原部之和非零時(shí)，其和依然為線若兩線矢共面，且

24、兩原部之和非零時(shí)，其和依然為線矢量。矢量。對(duì)于線矢量對(duì)于線矢量(S1; S01)和和(S2; S02) ，由于由于原部和對(duì)偶部矢量原部和對(duì)偶部矢量滿足滿足正交性正交性，有，有0011 SS0022 SS又已知兩直線共面，則其互矩為零又已知兩直線共面，則其互矩為零0120201SSSS則兩線矢之和滿足則兩線矢之和滿足0)()(020121 SSSS證明：證明：證畢證畢螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算n 對(duì)于共面的兩線矢量，和線矢過(guò)兩線矢的交點(diǎn)對(duì)于共面的兩線矢量，和線矢過(guò)兩線矢的交點(diǎn)由于由于共面兩線矢的和仍為線矢量，其矢量方程為共面兩線矢的和仍為線矢量，其矢量方程為若以若以 r1 表示兩線矢交點(diǎn)的矢徑

25、。表示兩線矢交點(diǎn)的矢徑。 r1 應(yīng)分別在兩線矢上，應(yīng)分別在兩線矢上，即即同時(shí)滿足兩線矢方程同時(shí)滿足兩線矢方程將兩式相加有將兩式相加有證明：證明：020121)(SSSSr 11011202 , rSSrSS0201211)(SSSSr 此式表明兩線矢的交點(diǎn)此式表明兩線矢的交點(diǎn) 滿足和線矢作用線方程，所以和線滿足和線矢作用線方程，所以和線矢過(guò)兩線矢的交點(diǎn)矢過(guò)兩線矢的交點(diǎn)。證畢。證畢螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算 兩兩螺旋螺旋的原部矢量與對(duì)偶矢量下標(biāo)交換后做點(diǎn)積之的原部矢量與對(duì)偶矢量下標(biāo)交換后做點(diǎn)積之和和稱為兩螺旋的互易積稱為兩螺旋的互易積n 互易積是螺旋理論中最有意義的一種運(yùn)算。若互易積是螺旋理論

26、中最有意義的一種運(yùn)算。若$1及及$2 是是兩線矢量?jī)删€矢量，則，則n 可以看出，可以看出，兩線矢兩線矢的互易積就是兩直線的互矩。的互易積就是兩直線的互矩。兩線矢兩線矢共面的充要條件就是其互易積為零共面的充要條件就是其互易積為零01202121SSSS$01202121SSSS$螺旋的互易積螺旋的互易積螺旋的代數(shù)運(yùn)算螺旋的代數(shù)運(yùn)算n 兩個(gè)螺旋兩個(gè)螺旋 ，它們的互易積它們的互易積與與原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)這兩個(gè)新的螺旋的互易積為這兩個(gè)新的螺旋的互易積為00111222(;) , (;)$ S S$ SS當(dāng)原點(diǎn)從點(diǎn)當(dāng)原點(diǎn)從點(diǎn) O移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) A，這兩個(gè)螺旋變成，這兩個(gè)螺旋變成AA01111

27、11AA0222222(;)(;)(;)(;)$S SS SAOS$SSSSAOSAA0012122211001212212100122112()()$SSAOSSSAOSSSSAOSSSSAOSSSSS$證明：證明：證畢證畢剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 在三維空間里剛體最一般的運(yùn)動(dòng)形式為螺旋運(yùn)動(dòng)，即同在三維空間里剛體最一般的運(yùn)動(dòng)形式為螺旋運(yùn)動(dòng)，即同時(shí)存在剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與沿同軸方向的移動(dòng)。剛體的純時(shí)存在剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與沿同軸方向的移動(dòng)。剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)和純移動(dòng)都只是螺旋運(yùn)動(dòng)的特殊情況。轉(zhuǎn)動(dòng)和純移動(dòng)都只是螺旋運(yùn)動(dòng)的特殊情況。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 若剛體若剛體 2 相對(duì)剛體

28、相對(duì)剛體 1做繞做繞 S 軸的瞬軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為為 剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)Sn 但轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的空間位置還并不明確。但轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的空間位置還并不明確。所以應(yīng)采用角速度所以應(yīng)采用角速度線矢量來(lái)表示物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，即角速度的大小與一個(gè)線矢量來(lái)表示物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，即角速度的大小與一個(gè)表示旋轉(zhuǎn)軸作用線的單位線矢之積表示旋轉(zhuǎn)軸作用線的單位線矢之積00)(SSSS$;其中其中 為標(biāo)量，為標(biāo)量，S 為單位矢量。為單位矢量。其中其中 S0為為 S 對(duì)原點(diǎn)的線矩，與對(duì)原點(diǎn)的線矩，與 S 正交。正交。剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方程可寫(xiě)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方程可寫(xiě)為n 可以看

29、出，可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)線矢量的第二項(xiàng)是剛體上與原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)線矢量的第二項(xiàng)是剛體上與原點(diǎn)O重合重合的點(diǎn)的速度，也即是做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物體上產(chǎn)生的原點(diǎn)重的點(diǎn)的速度，也即是做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物體上產(chǎn)生的原點(diǎn)重合點(diǎn)的切向速度合點(diǎn)的切向速度0SSrn 角速度線矢的第二項(xiàng)可以展開(kāi)為角速度線矢的第二項(xiàng)可以展開(kāi)為00vrSrS)(00vv$;剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 構(gòu)成剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)線矢的對(duì)偶矢量是包括角速度矢量構(gòu)成剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)線矢的對(duì)偶矢量是包括角速度矢量 和剛體上與坐標(biāo)原點(diǎn)重合點(diǎn)的線速度和剛體上與坐標(biāo)原點(diǎn)重合點(diǎn)的線速度矢量矢量 v0n 當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸重合當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，時(shí)， ，轉(zhuǎn)動(dòng)線矢變?yōu)椋D(zhuǎn)動(dòng)線矢

30、變?yōu)閚 剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的Plcker坐標(biāo)為坐標(biāo)為 00( ;) ( ;)或S S v00v0( ;0)$剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 若剛體若剛體 2 相對(duì)剛體相對(duì)剛體 1做做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，速，速度度v 沿單位矢量沿單位矢量 S方向方向，速度矢量可，速度矢量可以表示為以表示為剛體的瞬時(shí)移動(dòng)剛體的瞬時(shí)移動(dòng)n 此單位矢量此單位矢量 S 通常是選在移動(dòng)副導(dǎo)路的中心方向通常是選在移動(dòng)副導(dǎo)路的中心方向。n 當(dāng)當(dāng)S 平行移動(dòng)后，不會(huì)改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此這樣平行移動(dòng)后，不會(huì)改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此這樣的移動(dòng)速度矢量是自由矢量。的移動(dòng)速度矢量是自由矢量。Svv剛體的瞬

31、時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 剛體的瞬時(shí)移動(dòng)也可以看作是剛體的瞬時(shí)移動(dòng)也可以看作是繞一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的軸線的繞一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的軸線的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)n 由于無(wú)窮遠(yuǎn)處的軸線與由于無(wú)窮遠(yuǎn)處的軸線與 S 正交，且位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，則此正交，且位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，則此軸線的軸線的Plcker坐標(biāo)為坐標(biāo)為 (0;S)，繞此軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，就可，繞此軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以表示為以表示為 v(0;S) 或或(0; v)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 若若剛體剛體 2 相對(duì)剛體相對(duì)剛體 1 既有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)又有相對(duì)移動(dòng)既有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)又有相對(duì)移動(dòng)n 剛體通過(guò)回轉(zhuǎn)副剛體通過(guò)回轉(zhuǎn)副 1 繞軸繞軸S1 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn))(0111SS ;n

32、 剛體同時(shí)又通過(guò)移動(dòng)副剛體同時(shí)又通過(guò)移動(dòng)副 2 沿沿S2 做相對(duì)移動(dòng)做相對(duì)移動(dòng)); 0(22Sv剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)和瞬時(shí)移動(dòng)的合成剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)和瞬時(shí)移動(dòng)的合成n 剛體的絕對(duì)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)應(yīng)是此剛體的絕對(duì)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)應(yīng)是此兩個(gè)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，按的合成，按螺旋螺旋代代數(shù)和計(jì)算數(shù)和計(jì)算0iiiiiiSS$剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 其中下角標(biāo)其中下角標(biāo) i 表示合成的絕對(duì)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，其原部及對(duì)偶表示合成的絕對(duì)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，其原部及對(duì)偶部分別是部分別是11SSii220110SSSviin 可以可以看看出出1i1SS i021121ivSrSSn 與與 一般不滿足正交的條件一般不滿足正交的條件，為一般螺

33、旋運(yùn)動(dòng)，為一般螺旋運(yùn)動(dòng)iS0iS剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 則合成運(yùn)動(dòng)的節(jié)距為則合成運(yùn)動(dòng)的節(jié)距為021112122121211()cosiiivhvvSSSrSSSSn 可以可以看看出若轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的夾角出若轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的夾角 ，則合運(yùn)動(dòng)螺旋的，則合運(yùn)動(dòng)螺旋的節(jié)距為零，說(shuō)明合成后依然是一個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線節(jié)距為零，說(shuō)明合成后依然是一個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線發(fā)生偏移，偏移量大小與發(fā)生偏移，偏移量大小與 v2 大小有關(guān)大小有關(guān) 。1290n 合成運(yùn)動(dòng)的軸線為合成運(yùn)動(dòng)的軸線為 ， 將前面得到的將前面得到的 、hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosivvrS

34、rSSS0iS剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 此時(shí)合成運(yùn)動(dòng)可表示為如下兩項(xiàng)此時(shí)合成運(yùn)動(dòng)可表示為如下兩項(xiàng)); 0();();(00iiiiiiiiiiihhSSSSSSn 右側(cè)右側(cè)第一項(xiàng)第一項(xiàng)：是繞軸線是繞軸線 Si 的純轉(zhuǎn)動(dòng)的純轉(zhuǎn)動(dòng)括號(hào)中的對(duì)偶矢量部分只表示原點(diǎn)括號(hào)中的對(duì)偶矢量部分只表示原點(diǎn)重合點(diǎn)的切向速度分量重合點(diǎn)的切向速度分量n 則合成運(yùn)動(dòng)的軸線方程為則合成運(yùn)動(dòng)的軸線方程為iiiih SSSr0n 右側(cè)右側(cè)第二項(xiàng)第二項(xiàng) ：是純移動(dòng)分量是純移動(dòng)分量，移動(dòng)速度大小為移動(dòng)速度大小為 而移動(dòng)速度的方向也是沿而移動(dòng)速度的方向也是沿 Si 方向方向iiihv 剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)

35、動(dòng)n 總之，剛體最一般的運(yùn)動(dòng)形式為螺旋運(yùn)動(dòng)，表示螺旋運(yùn)總之，剛體最一般的運(yùn)動(dòng)形式為螺旋運(yùn)動(dòng)，表示螺旋運(yùn)動(dòng)的物理量是動(dòng)的物理量是運(yùn)動(dòng)螺旋（運(yùn)動(dòng)螺旋（twist），記為，記為n 螺旋的螺旋的節(jié)矩節(jié)矩還可還可表示為表示為n 螺旋軸線為螺旋軸線為0iiiiv$n 這樣合成運(yùn)動(dòng)的對(duì)偶矢量部分仍表示物體上原點(diǎn)重合點(diǎn)這樣合成運(yùn)動(dòng)的對(duì)偶矢量部分仍表示物體上原點(diǎn)重合點(diǎn)的速度的速度 （轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)切向速度切向速度+沿螺旋軸移動(dòng)速度）沿螺旋軸移動(dòng)速度）)(0iiihviiiiiihvr0iiiiiSSrSSSiiiiiiiihh00剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 對(duì)偶對(duì)偶部部矢量矢量表示表示剛體上原點(diǎn)重合點(diǎn)的線

36、速度矢量剛體上原點(diǎn)重合點(diǎn)的線速度矢量，既包，既包含由轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的線速度也包含沿軸線的線速度，假設(shè)沿含由轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的線速度也包含沿軸線的線速度，假設(shè)沿軸線移動(dòng)速度為軸線移動(dòng)速度為 vi ，是與繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)的量。，是與繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)的量。n 由于存在關(guān)系式由于存在關(guān)系式 ，可知，可知 ，即，即運(yùn)動(dòng)螺運(yùn)動(dòng)螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的速度旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的速度 vi 除以角速度除以角速度 i = iiivhiiihvn 當(dāng)當(dāng) i 為零時(shí)，為零時(shí)， ，運(yùn)動(dòng)螺旋變?yōu)椋\(yùn)動(dòng)螺旋變?yōu)閕iihv 0 (;)(;)=(;)=(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiihvvS SS rSSS

37、rSSSn 可見(jiàn)可見(jiàn)純移動(dòng)也可看作節(jié)距無(wú)窮大的螺旋運(yùn)動(dòng)純移動(dòng)也可看作節(jié)距無(wú)窮大的螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)n 例：例：已知一剛體的角速度矢為已知一剛體的角速度矢為 ，其上一點(diǎn)的線速度矢，其上一點(diǎn)的線速度矢為為 vP，兩者方向不同。試求螺旋運(yùn)動(dòng)的節(jié)距及軸線。，兩者方向不同。試求螺旋運(yùn)動(dòng)的節(jié)距及軸線。與與 共軸的線速度共軸的線速度分量分量為為則螺旋軸線為則螺旋軸線為將將線速度為線速度為 vP 的的點(diǎn)選做坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)選做坐標(biāo)原點(diǎn)，則則 vP 即是物體即是物體上原點(diǎn)上原點(diǎn)重合點(diǎn)重合點(diǎn)的線速度的線速度，則螺旋節(jié)距為，則螺旋節(jié)距為)(vphh由于由于0PhhvSrPhrv力螺旋力螺旋n

38、與表示剛體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)相似，剛體上與表示剛體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)相似，剛體上的作用力也可以用螺旋來(lái)表示。的作用力也可以用螺旋來(lái)表示。剛體上的作用力剛體上的作用力n 此力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)之矩此力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)之矩C0可表示為，標(biāo)量可表示為，標(biāo)量 f 與單矢量與單矢量 S 的的線矩線矩 S0 之積之積，n 如剛體上有一作用力如剛體上有一作用力 f，它可寫(xiě)為，它可寫(xiě)為標(biāo)量標(biāo)量 f 與單位矢量與單位矢量 S 之積之積fS00SCf力螺旋力螺旋n C0 是力是力 f 對(duì)原點(diǎn)之矩，即對(duì)原點(diǎn)之矩，即n 此時(shí)表示此力的此時(shí)表示此力的 Plcker 坐標(biāo)為坐標(biāo)為n 當(dāng)力當(dāng)力 f 過(guò)原點(diǎn)時(shí)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，力對(duì)原點(diǎn)之矩為零，力對(duì)原點(diǎn)之矩為零，00

39、0SrSCff00C)( ;0f或或;000abcn 所以作用在剛體上的力如以單位線矢所以作用在剛體上的力如以單位線矢量量表示表示00000( ;)=(;)=( ;)ffffff$f S SSSf C$SSfC力螺旋力螺旋n 在剛體上作用兩個(gè)大小相等方向相在剛體上作用兩個(gè)大小相等方向相反的平行力反的平行力 f1、 f2 剛體上的作用力偶剛體上的作用力偶n 自由矢量的齊次坐標(biāo)為自由矢量的齊次坐標(biāo)為( (0 ; S) )，因此力偶可表示為，因此力偶可表示為n 顯然此力偶矢量顯然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的是沿力偶平面的法線方向。法線方向。121212)()(frrfrrCn 力偶是自由矢量，它在

40、剛體內(nèi)自由地平行移動(dòng)而不會(huì)改力偶是自由矢量，它在剛體內(nèi)自由地平行移動(dòng)而不會(huì)改變它對(duì)剛體作用的效果。變它對(duì)剛體作用的效果。(0;)CC$S力螺旋力螺旋n 這樣力偶旋量這樣力偶旋量 C$ 也可以認(rèn)為是一個(gè)作用在剛體上的也可以認(rèn)為是一個(gè)作用在剛體上的 “無(wú)限無(wú)限遠(yuǎn)處的遠(yuǎn)處的”“”“無(wú)限小的力無(wú)限小的力”引起對(duì)原點(diǎn)的矩，該引起對(duì)原點(diǎn)的矩，該力的作用線與力的作用線與力矩的方向力矩的方向 S 正交正交。n 此此無(wú)限遠(yuǎn)處的力所在軸線的無(wú)限遠(yuǎn)處的力所在軸線的 Plcker 坐標(biāo)為坐標(biāo)為( (0 ; S) )n 所以所以由這個(gè)力產(chǎn)生的由這個(gè)力產(chǎn)生的力偶旋量可表示為力偶旋量可表示為)(0;)0;()0;(CSS$

41、CCC力螺旋力螺旋n 一般情況下作用于一個(gè)剛體上的空間力系都可以簡(jiǎn)化為一般情況下作用于一個(gè)剛體上的空間力系都可以簡(jiǎn)化為一個(gè)力一個(gè)力 和一個(gè)力偶和一個(gè)力偶剛體上的作用力和作用力偶的合成剛體上的作用力和作用力偶的合成n 此力線矢及力偶螺旋又可按旋此力線矢及力偶螺旋又可按旋量代數(shù)和結(jié)合為一個(gè)和旋量量代數(shù)和結(jié)合為一個(gè)和旋量);(011SSf22; 0 SCn 這里這里S1及及S2都是單位矢量。此力都是單位矢量。此力和力偶可能有不同的方向和力偶可能有不同的方向0iiiiiifffSS$n 式中式中 Si 為單位矢量，為單位矢量，1iiSS力螺旋力螺旋n 根據(jù)螺旋代數(shù)和根據(jù)螺旋代數(shù)和的規(guī)則，的規(guī)則，合成力

42、的合成力的原部和對(duì)偶部分別為原部和對(duì)偶部分別為n 可以可以看看出出11SSffii22110SSrSCffii1ffi1SS i021121iCfSrSSn 與與 一般不滿足正交的條件一般不滿足正交的條件，則為一個(gè)力螺旋，則為一個(gè)力螺旋iS0iS力螺旋力螺旋n 力螺旋的節(jié)距力螺旋的節(jié)距 hi 為為n 可以可以看看出若力和力偶的夾角出若力和力偶的夾角 ，則合力螺旋的節(jié)，則合力螺旋的節(jié)距為零，說(shuō)明合成后依然是一個(gè)作用力，但力的作用線距為零，說(shuō)明合成后依然是一個(gè)作用力，但力的作用線發(fā)生偏移，偏移量大小與發(fā)生偏移，偏移量大小與 C2 大小有關(guān)大小有關(guān) 。021112122121211()cosiiiC

43、hfCCffSSSrSSSS1290n 合力螺旋的軸線為合力螺旋的軸線為 ，將前面得到的，將前面得到的 、 hi 代入可得代入可得0iiiiihrSSS11111222121cosiffCCrSrSSS0iS力螺旋力螺旋n 此時(shí)合力螺旋可表示為如下兩項(xiàng)此時(shí)合力螺旋可表示為如下兩項(xiàng)0011111(;)(;)(0;)iiiiiiffhfhS SS SSSn 右側(cè)右側(cè)第一項(xiàng)第一項(xiàng)：是是一個(gè)純作用力，沿一個(gè)純作用力，沿軸線軸線 S1方向方向 ， 表示表示 對(duì)原點(diǎn)之矩。對(duì)原點(diǎn)之矩。n 合成后作用力的作用軸線為合成后作用力的作用軸線為iiiih SSSr0n 右側(cè)右側(cè)第二項(xiàng)第二項(xiàng) ：是純是純力偶，力偶大小

44、為力偶，力偶大小為 而而力偶的作用力偶的作用方向也是沿方向也是沿 S1 方向方向iiiCf h)(101SSiihf11Sf力螺旋力螺旋n 剛體上作用的空間任意力系，最后可以合成為一個(gè)有確剛體上作用的空間任意力系，最后可以合成為一個(gè)有確定位置的定位置的力螺旋力螺旋（wrench），即一個(gè)力線矢，即一個(gè)力線矢 和與其共線的力偶矢和與其共線的力偶矢 之和之和n 力螺旋的力螺旋的節(jié)矩節(jié)矩還可還可表示為表示為n 螺旋軸線為螺旋軸線為n 力螺旋力螺旋的對(duì)偶矢量部分表示的對(duì)偶矢量部分表示或者說(shuō)是整個(gè)力系對(duì)原點(diǎn)之或者說(shuō)是整個(gè)力系對(duì)原點(diǎn)之矩（線矢力產(chǎn)生的矩矩（線矢力產(chǎn)生的矩+沿線矢力方向力偶矩）沿線矢力方向力

45、偶矩）0iiiihrfCf(;)iiiifS rS)0;(iiihfS0Cf$iiif0()iiiiih fCff力螺旋力螺旋n 假設(shè)力螺旋的對(duì)偶部矢量中沿線矢力軸線方向的力偶分假設(shè)力螺旋的對(duì)偶部矢量中沿線矢力軸線方向的力偶分量為量為 Ci ，這是線矢力大小，這是線矢力大小 fi 無(wú)關(guān)的量。無(wú)關(guān)的量。n 由于存在關(guān)系式由于存在關(guān)系式 ，可知，可知 ，即，即力螺旋力螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的力偶的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的力偶Ci 除以力的大小除以力的大小 fi = iiiCf hiiihCfn 當(dāng)當(dāng) fi 為零時(shí)，為零時(shí)， ，力螺旋變?yōu)?，力螺旋變?yōu)閕iihCf 0 (;)(;)=(;)=

46、(0; )iiiiiiiiiiii iiiiiiffhffCCS SS rSSSrSSSn 可見(jiàn)可見(jiàn)純力偶也可看作節(jié)距無(wú)窮大的力螺旋純力偶也可看作節(jié)距無(wú)窮大的力螺旋運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的對(duì)比運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的對(duì)比n 比較運(yùn)動(dòng)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)螺旋及靜力學(xué)中的力螺旋，看到兩比較運(yùn)動(dòng)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)螺旋及靜力學(xué)中的力螺旋，看到兩者都可以用一個(gè)數(shù)量與一個(gè)單位旋量的乘積表示，有相者都可以用一個(gè)數(shù)量與一個(gè)單位旋量的乘積表示，有相似的數(shù)學(xué)關(guān)系。似的數(shù)學(xué)關(guān)系。n 運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的節(jié)矩都是原點(diǎn)不變量運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的節(jié)矩都是原點(diǎn)不變量，都是沿螺旋都是沿螺旋方向的兩個(gè)量之比方向的兩個(gè)量之比。iih0iifChffCf0運(yùn)動(dòng)螺旋

47、的節(jié)矩運(yùn)動(dòng)螺旋的節(jié)矩力力螺旋的節(jié)矩螺旋的節(jié)矩運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的對(duì)比運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋的對(duì)比 節(jié)距運(yùn)動(dòng)學(xué)靜力學(xué)螺旋運(yùn)動(dòng)螺旋 力螺旋 線矢量角速度線矢 力線矢 自由矢量移動(dòng)速度 力偶矢 0h)(SSrSh;)(SSrSh;)(rh;( ;)f rf0h)(r;)(ffrfh;h);(v0);(C0n 運(yùn)動(dòng)學(xué)及靜力學(xué)中的物理量運(yùn)動(dòng)學(xué)及靜力學(xué)中的物理量對(duì)比對(duì)比螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 螺旋系螺旋系（screw system）的概念可以從運(yùn)動(dòng)學(xué)引出的概念可以從運(yùn)動(dòng)學(xué)引出螺旋系螺旋系n 因此，因此，決定剛體運(yùn)動(dòng)的所有螺旋所決定剛體運(yùn)動(dòng)的所有螺旋所組成的集合就是螺旋系組成的集合就是螺旋系。n 對(duì)于一

48、個(gè)開(kāi)鏈機(jī)構(gòu)，或開(kāi)鏈機(jī)器人，末端剛體的運(yùn)動(dòng)可對(duì)于一個(gè)開(kāi)鏈機(jī)構(gòu)，或開(kāi)鏈機(jī)器人，末端剛體的運(yùn)動(dòng)可以表示為諸構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的疊加；當(dāng)每個(gè)運(yùn)動(dòng)表示為螺旋時(shí)以表示為諸構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的疊加；當(dāng)每個(gè)運(yùn)動(dòng)表示為螺旋時(shí)，末端的運(yùn)動(dòng)就是諸螺旋的線性組合。，末端的運(yùn)動(dòng)就是諸螺旋的線性組合。n 適合線性組合規(guī)則的諸螺旋構(gòu)成一適合線性組合規(guī)則的諸螺旋構(gòu)成一個(gè)螺旋系個(gè)螺旋系。螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 線性無(wú)關(guān)的螺旋最多只有六個(gè)線性無(wú)關(guān)的螺旋最多只有六個(gè)。n 按螺旋的數(shù)目螺旋系可分為按螺旋的數(shù)目螺旋系可分為：僅含一個(gè)螺旋的單螺旋系僅含一個(gè)螺旋的單螺旋系，含兩個(gè)線性無(wú)關(guān)螺旋的雙螺旋系，也稱螺旋，含兩個(gè)線性無(wú)關(guān)螺旋的雙螺旋系，也稱

49、螺旋2系或系或2系系螺旋；含螺旋；含3個(gè)線性無(wú)關(guān)螺旋的個(gè)線性無(wú)關(guān)螺旋的3系螺旋，以及系螺旋，以及4系螺旋，系螺旋，5系螺旋和系螺旋和6系螺旋等等系螺旋等等;LMNPQR$n 在這些螺旋系中在這些螺旋系中螺旋螺旋2系系及及螺旋螺旋3系系是最重要又是最基本是最重要又是最基本的，研究的也比較充分的，研究的也比較充分螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 例：例：一個(gè)串聯(lián)機(jī)械臂的螺旋系一個(gè)串聯(lián)機(jī)械臂的螺旋系 當(dāng)所有運(yùn)動(dòng)副都表示為螺旋時(shí)，按理論力學(xué)，其末端當(dāng)所有運(yùn)動(dòng)副都表示為螺旋時(shí)，按理論力學(xué)，其末端件的運(yùn)動(dòng)是所有連接構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的疊加，在這里也就是所有件的運(yùn)動(dòng)是所有連接構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的疊加，在這里也就是所有螺旋的線

50、性組合，這些螺旋就構(gòu)成一個(gè)典型的螺旋系。螺旋的線性組合，這些螺旋就構(gòu)成一個(gè)典型的螺旋系。 由于每個(gè)由于每個(gè)運(yùn)運(yùn)動(dòng)副有一個(gè)相對(duì)動(dòng)副有一個(gè)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 i，運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)可以用一個(gè)可以用一個(gè)螺旋螺旋$i 表示，那么這個(gè)表示，那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副的副的相對(duì)運(yùn)動(dòng)就可以表示為相對(duì)運(yùn)動(dòng)就可以表示為 i$i。螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 例：例：一個(gè)串聯(lián)機(jī)械臂的螺旋系一個(gè)串聯(lián)機(jī)械臂的螺旋系末端件的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可以由下面的螺旋方程求得末端件的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可以由下面的螺旋方程求得這里的這里的 n 個(gè)螺旋，個(gè)螺旋，$1 , $2 , , $n，就，就構(gòu)成了一個(gè)螺旋系。當(dāng)構(gòu)成了一個(gè)螺旋系。當(dāng) n 6 時(shí)時(shí)，它，它

51、們線性們線性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，構(gòu)成一個(gè)，構(gòu)成一個(gè) n 系螺旋。系螺旋。11221 , (1,2, )niinnjjjjn$其中其中0010(;)(;)iiiiiiiiii$S SS ;S v螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 對(duì)于對(duì)于 n 個(gè)螺旋個(gè)螺旋 ， ， 若可以若可以找到一找到一組不全為零的實(shí)數(shù)組不全為零的實(shí)數(shù) i ，使得和螺旋為零，使得和螺旋為零， ，則這則這 n 個(gè)螺旋為線性相關(guān)個(gè)螺旋為線性相關(guān)螺旋的相關(guān)性螺旋的相關(guān)性);(oiiiSS$ ni1,20nii$n 按螺旋的加法規(guī)則，則按螺旋的加法規(guī)則，則這些螺旋的原部和對(duì)偶部的和分這些螺旋的原部和對(duì)偶部的和分別為零，即別為零，即nii0Sni

52、i0oS螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 螺旋系的線性相關(guān)可以由用螺旋系的線性相關(guān)可以由用Plcker坐標(biāo)所表示的螺旋坐標(biāo)所表示的螺旋矩陣的秩來(lái)判斷。矩陣的秩來(lái)判斷。如前所述螺旋的如前所述螺旋的Plcker坐標(biāo)可以表示為這樣的坐標(biāo)可以表示為這樣的6個(gè)元個(gè)元素（素（l m n; p q r）。）。n個(gè)螺旋系的相關(guān)性，就可以由螺個(gè)螺旋系的相關(guān)性，就可以由螺旋系的旋系的Plcker坐標(biāo)表示的矩陣的秩來(lái)判斷坐標(biāo)表示的矩陣的秩來(lái)判斷111111222222nnnnnnlmnpqrlmnpqrlmnpqrn 螺旋的螺旋的Plcker坐標(biāo)有坐標(biāo)有6個(gè)分量，顯然三維空間中線性無(wú)個(gè)分量，顯然三維空間中線性無(wú)關(guān)

53、的螺旋的數(shù)目最多關(guān)的螺旋的數(shù)目最多6個(gè)個(gè)。螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 螺旋的相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)螺旋的相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)設(shè)有設(shè)有n個(gè)螺旋，其原部和對(duì)偶部對(duì)于坐標(biāo)系個(gè)螺旋，其原部和對(duì)偶部對(duì)于坐標(biāo)系O表示為表示為(;)OOiii$S Sn,.,i21已知這已知這n個(gè)螺旋是線性相關(guān)的，按螺旋線性相關(guān)的定義個(gè)螺旋是線性相關(guān)的，按螺旋線性相關(guān)的定義，必可找到一組不全為零的數(shù)，必可找到一組不全為零的數(shù) i ，使得和螺旋為零，使得和螺旋為零0 ( 0, 0 )OOiiiiiinnn$SS當(dāng)坐標(biāo)系由當(dāng)坐標(biāo)系由O點(diǎn)移至點(diǎn)移至A點(diǎn)后，各螺旋相應(yīng)地表示為點(diǎn)后，各螺旋相應(yīng)地表示為);(AiiAiSS

54、$證明：證明：螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 螺旋的相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)螺旋的相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)按螺旋做和原理和螺旋為按螺旋做和原理和螺旋為證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：;AAiiiiiinnnOiiiiiinnnAO$SSSSS和螺旋原部及對(duì)偶部三項(xiàng)均為零，所以仍保持有和螺旋原部及對(duì)偶部三項(xiàng)均為零，所以仍保持有nii0A$證畢證畢螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 將空間直線的相關(guān)性按其表達(dá)螺旋的秩來(lái)分類將空間直線的相關(guān)性按其表達(dá)螺旋的秩來(lái)分類Grassmann線幾何原理（線矢量的相關(guān)性）線幾何原理（線矢量的相關(guān)性）n 線簇秩為線簇秩為 1 時(shí)，在時(shí)，在3維空間僅有一條直線。維空間僅

55、有一條直線。n 線簇秩為線簇秩為 2 時(shí)，有兩種情況：時(shí)，有兩種情況： (a) 空間相錯(cuò)的兩條直線空間相錯(cuò)的兩條直線 (b) 平面匯交的線束平面匯交的線束螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 線簇秩為線簇秩為 3 時(shí)，常見(jiàn)有四種情況。時(shí)，常見(jiàn)有四種情況。 (a) 空間不平行不相交的三條直線（單葉雙曲面）空間不平行不相交的三條直線（單葉雙曲面） (b) 匯交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上的兩個(gè)平面線束匯交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上的兩個(gè)平面線束 (c) 空間共點(diǎn)線束空間共點(diǎn)線束 (d) 共面線束共面線束螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 線簇秩為線簇秩為 4 時(shí)，也稱為線匯，常見(jiàn)有四種情況。時(shí)，也稱為線匯，常見(jiàn)有

56、四種情況。 (4a) 四條相互在空間不平行不相交的直線四條相互在空間不平行不相交的直線 (4b) 能同時(shí)與另兩條直線相交的能同時(shí)與另兩條直線相交的若干若干條直線條直線 (4c) 有有1條公共交線的條公共交線的3個(gè)平面線束個(gè)平面線束 (4d) 包括共點(diǎn)包括共點(diǎn)及及共面的直線簇，而且匯交點(diǎn)在其平面上共面的直線簇，而且匯交點(diǎn)在其平面上螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性n 線簇秩為線簇秩為 5 時(shí)，也稱為線性叢，常見(jiàn)有兩種情況。時(shí)，也稱為線性叢，常見(jiàn)有兩種情況。 (5a) 一般線性叢，線性無(wú)關(guān)的空間五條不相交的直線一般線性叢，線性無(wú)關(guān)的空間五條不相交的直線 (5b) 特殊線性叢，所有直線能與一條直線相交

57、（特殊線性叢，所有直線能與一條直線相交（因?yàn)檫x因?yàn)檫x該公共該公共交交線為線為Z軸時(shí)，軸時(shí)，所有直線所有直線對(duì)對(duì)Z軸軸的線矩為零的線矩為零）螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性偶量的相關(guān)性偶量的相關(guān)性n 偶量的情況比較簡(jiǎn)單，由于偶量為自由矢量，方向相同偶量的情況比較簡(jiǎn)單，由于偶量為自由矢量，方向相同的偶量都是線性相關(guān)的，因此只有如下三種情況：的偶量都是線性相關(guān)的，因此只有如下三種情況： (a) 相同方向的偶量只有一個(gè)是獨(dú)立的相同方向的偶量只有一個(gè)是獨(dú)立的 (b) 平面中存在兩個(gè)獨(dú)立的偶量平面中存在兩個(gè)獨(dú)立的偶量 (c) 三維空間中存在三個(gè)獨(dú)立的偶量三維空間中存在三個(gè)獨(dú)立的偶量螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及

58、其相關(guān)性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 兩平行線矢和一法向偶量?jī)善叫芯€矢和一法向偶量 如果某物體承受了如果某物體承受了 3 個(gè)螺旋，個(gè)螺旋，$1， $2 和和$3 。前。前2個(gè)是個(gè)是節(jié)距為零的線矢量，第節(jié)距為零的線矢量，第 3 個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶量，而且個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶量，而且后者與前后者與前2個(gè)螺旋軸線組成的平面相垂直個(gè)螺旋軸線組成的平面相垂直001; 00000; 010000; 010321$d可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有兩個(gè)可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有兩個(gè)螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 共面三線矢和一法向偶量共面三線

59、矢和一法向偶量 如果如果空間有四個(gè)螺旋空間有四個(gè)螺旋，$1， $2 ，$3和和$4 。前。前3個(gè)是節(jié)個(gè)是節(jié)距為零的線矢量距為零的線矢量且它們共面且它們共面，第，第 4 個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶量，而且與前量，而且與前3個(gè)螺旋軸線個(gè)螺旋軸線所在所在的平面相垂直的平面相垂直11112222333340;000;000;00000;001lmrlmrlmr$可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有三個(gè)可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有三個(gè)螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性線矢量和偶量的混合螺旋系線矢量和偶量的混合螺旋系n 空間平行三線矢及一個(gè)相垂直的偶量空間平行三線矢及一個(gè)相垂直的偶量 這四這四個(gè)螺旋個(gè)螺旋，$

60、1， $2 ，$3和和$4 中，中，前前3個(gè)是節(jié)距為個(gè)是節(jié)距為零零且相互平行且相互平行的線矢量，的線矢量，它們分布在空間不同的平行平面上它們分布在空間不同的平行平面上，第第 4 個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶量，個(gè)是節(jié)距為無(wú)窮大的偶量，而且而且后者后者與與前前3個(gè)螺旋個(gè)螺旋軸線軸線相相垂直垂直。12223334100;000100;0100;0000;010qrqr$可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有三個(gè)可以看出：線性無(wú)關(guān)的只有三個(gè)螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相關(guān)性序號(hào)序號(hào)幾何特點(diǎn)幾何特點(diǎn)圖示圖示線矢線矢偶量偶量1共軸112平面平行213平面匯交224空間平行315共面326空間共點(diǎn)33螺旋系及其相關(guān)性螺旋系及其相