二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布ppt課件

1、3.4 3.4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念二、二、n n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念 它闡明，兩個(gè)隨它闡明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，結(jié)合分布函數(shù)等于結(jié)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積的乘積 則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和注注：,YX.,21212121也也相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與事事件件，對(duì)對(duì)任任意意yYyxXxyyxx一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念兩事件兩事件A,B獨(dú)立獨(dú)立 指指 P(AB)=P(A)P(B)定義定義 設(shè)設(shè)F(x, y), FX(

2、x), FY(y) F(x, y), FX(x), FY(y) 分別是二維隨機(jī)變量分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y) 結(jié)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)假設(shè)對(duì)一切結(jié)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)假設(shè)對(duì)一切 x, y x, y 有有 PYPXY,PXyxyx)(F)(F),(FYXyxyx即即那么稱(chēng)隨機(jī)變量那么稱(chēng)隨機(jī)變量X X與與Y Y是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. .,jijiyYPxXPyYxXP 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和 YX 闡明闡明 (1) (1) 假設(shè)離散型隨機(jī)變量假設(shè)離散型隨機(jī)變量 ( X, Y ) ( X, Y ) 的分布律為的分布律為.,2,1, jipjYiXPij.jiijppp即即則則有有

3、邊邊緣緣概概率率密密度度分分別別為為的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量, )(, )(,),(),()2(yfxfyxfYXYX相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和 YX).()(),(yfxfyxfYX處處的的一一切切連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在)y,x()(, )(,),(yfxfyxfYX教材上稱(chēng)為教材上稱(chēng)為“幾乎處處成立，含義是：在平面上除幾乎處處成立，含義是：在平面上除去面積為去面積為0 0的集合外，處處成立的集合外，處處成立. .(3)(3)定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X與與Y Y相互獨(dú)立，令相互獨(dú)立，令 其中其中 為延續(xù)函數(shù)，那么為延續(xù)函數(shù)，那么U U與與V V也相互獨(dú)也相互獨(dú)

4、立立)Y(V),X(Ugh)(),(ygxh(2)(2)二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量X X與與Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立0),(),(222121NYX0 2222212121212)()(2)()1(21221121 yyxxe證證: : 必要性必要性 對(duì)任何對(duì)任何 x,y 有有21,yx取取),(),(222121NYXX與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立附：附：212212121121故故0將將0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX222221212)(22)(12121 yxee所以所以X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立充分性充分性 2222,0 00;, 01, 01;(,), 0

5、1,1;, 1, 01;1, 1,1.PXYxyx yxyFx yxxyyxyxy例 已 知 二 維 隨 機(jī) 變 量的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為， 或 判 斷 隨 機(jī) 變 量 X與 Y是 否 獨(dú) 立 ？ （65）相 互 獨(dú) 立例例1 1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為 X X Y 0 1 Y 0 1 0 0.04 a 0 0.04 a 1 b 0.64 1 b 0.64假設(shè)假設(shè)X X 和和Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,那么那么 a=_ b=_ a=_ b=_0.16 0.160.16 0.16其其它它，97,0,21)( xxfX其其它

6、它，97,0,21)( yyfY GyxGyxyfxfyxfYX),(,0),( ,4/1)()(),(121P YX圖圖例例2 2 學(xué)生甲學(xué)生甲, ,乙到達(dá)教室的時(shí)間均勻分布在乙到達(dá)教室的時(shí)間均勻分布在7979時(shí)時(shí), ,設(shè)兩人設(shè)兩人到達(dá)的時(shí)辰相互獨(dú)立，求兩人到達(dá)教室的時(shí)間相差不超越到達(dá)的時(shí)辰相互獨(dú)立，求兩人到達(dá)教室的時(shí)間相差不超越5 5分鐘的概率分鐘的概率解解 設(shè)設(shè)X X，Y Y分別表示甲，乙到達(dá)教室的時(shí)辰分別表示甲，乙到達(dá)教室的時(shí)辰 由于由于X X與與Y Y相互獨(dú)立，故相互獨(dú)立，故(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為的的面面積積1GG41),(1 dxdyyxf57647 7979

7、GxOyG1144471212212221221）（的面積G前往0 2222212121212)()(2)()1(21221121 yyxxe證證: :對(duì)任何對(duì)任何 x,y 有有21,yx取取),(),(222121NYXX與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立例例3212212121121故故0將將0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX222221212)(22)(12121 yxee所以所以X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立n假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù)假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù) ，均有，均有那么稱(chēng)那么稱(chēng) X1, X2 , , Xn X1, X2 , , Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .12(,)nF xxx 1212()

8、()()nXXXnFxFxFx 設(shè)設(shè)(X1, X2 , , Xn)(X1, X2 , , Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(X1, X2 , , F(X1, X2 , , Xn).Xn).12,nxxxn延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù), , 那么那么h(X1,X2 ,Xm)h(X1,X2 ,Xm)與與g(Y1,Y2 ,Yn)g(Y1,Y2 ,Yn)相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .n 假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù)假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù) x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn yn 均有均有那么稱(chēng)那么稱(chēng) X1, X2 , ,Xn X1, X2 , ,Xn與與Y1, Y2

9、 , , YnY1, Y2 , , Yn相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .F(x1,xm , y1,yn)=F1 (x1,xm )F2(y1,yn)二、二、n n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念3.5 3.5 二維隨機(jī)變量的函數(shù)二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布三、最大值、最小值的分布三、最大值、最小值的分布例例1 1 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的分布律為的分布律為XY 0 1 2-1 -1 2 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2解解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3

10、 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2 -2 -1 0 2 4求求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律的分布律. .Z= max(X,Y) 0 1 2 2 2 2X與與Y獨(dú)立，獨(dú)立，X,Y取取0,1,2，那么，那么Z=X+Y Z=max(X,Y)的分布律的分布律設(shè)設(shè)X與與Y獨(dú)立，分別服從參數(shù)為獨(dú)立，分別服從參數(shù)為 ， 的泊松分布，的泊松分布，證明證明Z=X+Y服

11、從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布。的泊松分布。1212【注】分布具有可加性【注】分布具有可加性二項(xiàng)分布的可加性二項(xiàng)分布的可加性P89設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為f (x, y), f (x, y), 求求Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分的分布布. .普通方法：分布函數(shù)法普通方法：分布函數(shù)法 )(zZPzFZ ),(zYXgP ),(ZDYXP )()()(zHzFzfZZ zDdxdyyxf),(),(),( | ),(zyxgyxyxDZ zduuH)(10202,( ,)40,Z=X-YZPxyfx y設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 （ x,y） 服 從 二 維 均 勻

12、分 布 ，聯(lián) 合 概 率 密 度 為， 其 它 .令， 求的 概 率 密 度 函 數(shù) 。 （90）設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為f (x, y), Z=X+Yf (x, y), Z=X+Y的分布函的分布函數(shù)為數(shù)為 )(zZPzFZ zyxdxdyyxf),( xzdyyxfdx),(udxuxfdxz ),(duxdxuxfz),( x+y =zx+y =zyxoyux dxxzxfzfZ),()( zD Z=X+Y Z=X+Y 的概率密度的概率密度: : dxxzxfzfZ),()( dyyyzfzfZ),()( dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYX

13、Z)()()( XYff 當(dāng)當(dāng)X,Y X,Y 相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí), ,YXff (2)0,0,2,( ,)0,Z=X+YZPxyxyefx y設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其它.令，求的概率密度函數(shù)。（92）例例1 1 設(shè)設(shè) XN(0, 1), YN(0, 1) XN(0, 1), YN(0, 1)且且X X與與Y Y相互獨(dú)立，求相互獨(dú)立，求 Z=X+Y Z=X+Y的概率密度。的概率密度。222211( ),( ),(,)22yxXYfxefyex y 22()221122zxxeedx )2(2zxtZ=X+YN(0,2).( )( )()ZXYfzfx fzx dx 22(

14、)2412zxzeedx 解解241()2 2zez dteezftzZ2224221)( (2) (2) 假設(shè)假設(shè)2(,),(1, 2,)iiiXNin 2111(,)nnniiiiiiXN (1) 假設(shè)假設(shè) 且相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立， 那么那么 X+Y 仍服從正態(tài)分布，且仍服從正態(tài)分布，且221122(,),(,)XNYN ),(22212,1 NYX且相互獨(dú)立，那么且相互獨(dú)立，那么 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依然服從正態(tài)分布依然服從正態(tài)分布.例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X和和Y都是都是0，a上的均勻分布，求上

15、的均勻分布，求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。例例2 2 在一簡(jiǎn)單電路中，兩電阻在一簡(jiǎn)單電路中，兩電阻R1R1和和R2R2串聯(lián)聯(lián)接，設(shè)串聯(lián)聯(lián)接，設(shè) R1, R2 R1, R2相互獨(dú)立，它們的概率密度均為相互獨(dú)立，它們的概率密度均為 . ,0,100,5010)(其其它它xxxf求總電阻求總電阻R=R1+R2的概率密度的概率密度.( )()()ZXYfzfx fzx dx 010,010 xzx 解解xzz=xz=x+10例例3 3 設(shè)設(shè)X1, X2X1, X2相互獨(dú)立分別服從參數(shù)為相互獨(dú)立分別服從參數(shù)為1, 1, ; ; 2, 2, 的的分布分布, , 即即X1, X2X1, X2的概率密度

16、分別為的概率密度分別為0,0.,0 ,0,)()()(11111 其其它它xexxfxX ,0,0.,0,0,)()()(21222 其其它它yeyyfyX試證：試證：X1 + X2服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1+2, 的的 分分布布. 注注 函數(shù)函數(shù): :10(). (0)xtxtedtx u 分布：假設(shè)隨機(jī)變量分布：假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為1(),0,()()0,0.0, xxexfx 其其 它它 分布的性質(zhì)：假設(shè)分布的性質(zhì)：假設(shè)X1 ( 1, )， X2 ( 2, )，且相互獨(dú)立，那么且相互獨(dú)立，那么 X1 + X2 ( 1+ 2, ). 注注 函數(shù)函數(shù): :10(). (0)x

17、txtedtx 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為, 的的分布分布.記為記為 X(, ). 假設(shè)假設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且Xi 服從參服從參數(shù)為數(shù)為i , (i=1,2,n)的的 的分布，那么的分布，那么X1+X2+Xn服從參數(shù)為服從參數(shù)為1+2+.+n, 的的 分分布布.0,( )0.Zzfz ( )()()ZXYfzfx fzx dx 1211()012 ()()()()zxzxxezxedx 當(dāng)當(dāng) z 0 時(shí)時(shí),1121211012()(1)()()zzzettdt 121211012(),()()zzexzxdxxzt 令令，A11212()()zze 亦即亦即Z=X

18、1+X2服從參數(shù)為服從參數(shù)為1+2, 的的 分布分布1( )Zfz dz 12()A 12111012(1)()()Attdt A A的計(jì)算：的計(jì)算： 注注 函數(shù)函數(shù): :10(). (0)xtxtedtx 假設(shè)假設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且Xi服從參服從參數(shù)為數(shù)為i, (i=1,2,n)的的 的分布，那么的分布，那么X1+X2+Xn服從參數(shù)為服從參數(shù)為1+2+.+n, 的的 分分布布.1210()()zAzedz 12()A 設(shè)設(shè)X,YX,Y是二維延續(xù)型隨機(jī)變量是二維延續(xù)型隨機(jī)變量, ,其概率密度為其概率密度為f(x,y),f(x,y),那么那么Z=Y/X Z=Y/X 、Z=X

19、YZ=XY仍為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度仍為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分別為分別為dxzxxfxzfXY),(|)(/ dxxzxfxzfXY),(|1)( 當(dāng)當(dāng)X,Y X,Y 相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí), ,dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/ dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)( 證證: : xuy 令令 zxyXYdxdyyxfzXYPzF/),(/)( 21),(),(GGdxdyyxfdxdyyxf 0),(dxdyyxfzxy=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 0),(dxdyyxfzx (z0) 0),(dxduxuxxfz 0),(dxduxuxxf

20、z 0),(dxduxuxxfz 0),(dxduxuxxfz dxduxuxfxz),(| zdudxxuxfx),(|例例3 3 設(shè)設(shè)X X和和Y Y分別表示兩個(gè)不同電子元件的壽命，且分別表示兩個(gè)不同電子元件的壽命，且相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 服從同一分布，其概率密度為服從同一分布，其概率密度為 . ,0,1000,1000)(2其其它它xxxf求求Z=Y/X的概率密度的概率密度.解解xzxz=1000dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/ .1000,1000: zxxD0 z ,21 221z 10001被積函數(shù)的非零區(qū)域被積函數(shù)的非零區(qū)域 )(10001000|/100022dx

21、xzxxz )(10001000|221000 xzxx 0，, 10 z.1 z三、最大值、最小值的分布三、最大值、最小值的分布 設(shè)設(shè)X,YX,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, ,它們的分布函它們的分布函數(shù)分別為數(shù)分別為FX(x),FY(y). FX(x),FY(y). 求求 M=maxX,Y M=maxX,Y及及N=minX,YN=minX,Y的分布函數(shù)的分布函數(shù). .max( )( )( )XYFzFzFz 1,P Xz Yz min( )11( ) 1( )XYFzFzFz 對(duì)恣意實(shí)數(shù)對(duì)恣意實(shí)數(shù)z,max( )Fzmax,PX Yz ,P Xz Yz P Xz P Yz min( )Fzmin,PX Yz 1 P Xz P Yz Y)Pmin(X,1z 設(shè)設(shè)X1,X2,XnX1,X2,Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為FXi(xi)FXi(xi)，那么那么M=maxX1,X2,XnM=maxX1,X2,Xn