題最優(yōu)捕魚策略

1、1996年A題最優(yōu)捕魚策略A題 最優(yōu)捕魚策略 為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度，一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益， 考慮對某種魚（魚題 魚）的最優(yōu)捕撈策略： 假設(shè)這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，,4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/年)，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105(個)，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1

2、齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比為1.22×1011/1.22×1011+n） 漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù)，通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1，漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1） 建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）2） 某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈

3、業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122 ,29.7 , 10.1 , 3.29(×109條)，如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。A題 最優(yōu)捕魚策略一、 假設(shè)1、 只考慮這一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入與遷出。2、 各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時間都會發(fā)生自然死亡。3、 所有的魚都在每年最后的四個月內(nèi)（后1/3年）完成產(chǎn)卵和孵化的過程，孵化成活的幼魚在下一年初成為一齡的魚進入一齡魚組。4、 產(chǎn)卵發(fā)生于后四個月之初，產(chǎn)卵期魚的自然死亡發(fā)生于產(chǎn)卵之后，5、 相齡兩個年齡組的魚群

4、在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)的，也就是說，第K年底第i年齡組的魚的條數(shù)等于第K+1年初第i+1年齡組魚的條數(shù)。6、 四齡以下的魚全部死亡7、 采用固定努力量捕撈意味著捕撈的速率正比于捕撈時各年齡組魚群中魚的條數(shù)，比例系數(shù)為捕撈強度系數(shù)。一、 模型1、 符號 xi(t)t時刻i年齡組的魚群的大小 r魚的平均自然死亡率 fii年齡組魚的產(chǎn)卵率 t時間（以年為單位） Wii年齡組魚的平均重量 Qii年齡組的捕撈強度系數(shù)2、 數(shù)據(jù) r=0.8 (f1,f2,f3,f4)=(0,0,0.5A,A), A=1.109×105 (W1,W2,W3,W4)=(5.07,11.55,17.86,22.9

5、9) (q1 ,q2 ,q3 ,q4)=(0,0,0.42E,E)，稱E為捕撈努力量 =2/3（產(chǎn)卵月份）。3、 模型1） 無捕撈時的魚群的增長dxi(t)/dt=-rxi(t)(假設(shè)1,2), ktk+1,i=1,k=0,1,2, ;xi(0)=xi,xi+1(k+1)=xi-(k+1)=lmttk+1 xj(t)(假設(shè)5，6)，x1(k+1)=1.22×1011x0(k+)/1.22×1011+x0(k+),x0(k+)=0.5Ax3(k+)+Ax4(k+)(假設(shè)3,4)2） 固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈量的模型由題設(shè)知捕撈期為ktk+故有模型dxi(t)/dt=-

6、rxi-qi(E)xi, ktk+ (1)dxi(t)/dt=-rxi k+tk+1 (2)xi(0)=xi,xi+1(k+1)=xi-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2; (3)x1(k+1)=1.22×1011x0(k+)/1.22×1011+x0(k+), (4)x0(k+)=0.5Ax3(k+)+Ax4(k+) (5)魚群的增長：求解方程組（1）（2），并注意到連續(xù)性條件（3）可得xi+1(k+1)=s li(E)xi(k),i=1,2,3 (6)x1(k+1)=b/(b+x0(k)x0(k) (7)x0(k+)=0.5As2/3 l3(E)x3(k+)

7、+ As2/3 l4(E)x4(k+) (8)其中s=e-r=0.4493 , l1(E)=l2(E)=1,l3(E)=e-0.42tE=pE3 ,l4(E)=e-tE=PE4P3= e-0.42= e-0.28=0.7558，p4=e -=e-2/3=0.5132A=1.109×105 b=1.22×1011 捕撈量單位時間第i年齡組魚的捕撈量（條數(shù)）yi(t)=qi(E)xi(t), ktk+第K年全年（八個月）第i年齡組魚的捕撈量（條數(shù)）Yi(k)= =qi(E)/(r+qi(E)(1-s piE)xi(k) 第K年總捕撈量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(

8、k) (9)3)可持續(xù)捕撈的模型 可持續(xù)捕撈的概念意味著，如果每年通過自然死亡，捕撈和產(chǎn)卵繁殖補充，使得魚群能夠在每年年初捕撈開始時保持平衡不變，那么這樣的捕撈策略就可以年復(fù)一年地一直持續(xù)下去，因此可持續(xù)捕撈的魚群應(yīng)該是模型（6）（7）（8）的平衡解，即模型不依賴于時間的解x*i由（6）（7）（8）有x*i+1=Sli(E) x*i i=1,2,3或x*2=sx*1,x*3=s x*2= s2sx*1 , x*4=sl3(E)x3*=s3pE3x*1 (10)x*0=0.5As2/3 l3(E)x*3+As2/3;l4(E)x*4 (11)X*1=b/(b+x*0)x*0 (12)利用迭代關(guān)系

9、（10），（11）中的x*0可以寫為x*0=0.5Asl3(E)x*3+ Asl4(E)x*4=(0.5+spE4)As8/3pE3x*1代入（12）式可得X*1=b/(b+x*0)x*0=b/(b+（0.5+spE4）As8/3 pE3 x*1)(0.5+spE) As8/3 pE3 x*1。關(guān)于x*1求解這個非線性方程，有x*1=b1-1/(0.5+ spE4) As8/3pE3=b1-1/B(E)其中B（E）=(0.5+ spE4) As8/3pE3，當(dāng)B（E）1時有X10，這意味著捕撈的強度過高致使魚群不復(fù)存在。滿足這個條件的努力量E0將稱為過度捕撈努力量。我們將在E<E0的范圍

10、內(nèi)討論最優(yōu)捕撈的問題，其中E0=31.4是方程B（E）=1的解?？沙掷m(xù)捕撈量 在可持續(xù)捕撈的條件下，第i年齡組的捕撈量（條數(shù)）是Yi=qi(E)/(r+qi(E)(1-spEi)x*1整個魚群的年捕撈量（重量）是Y（E）=w3Y3+w4Y4=w3q3(E)/(r+q3(E)(1- spE3)x*3+ w4q4(E)/(r+q4(E)(1- spE4)x*4= w30.42E/(r+0.42E)(1- spE3)s2+w4 E/(r+E) (1- spE4)S3 pE3X*1= w30.42E/(r+0.42E)(1- spE3)+ w4 E/(r+E) (1- spE4)S pE3E s2b1

11、-1/B(E)式（13）給出了年捕獲量Y和捕撈努力量E之間的關(guān)系，它是Y與E之間的一個非線性關(guān)系，用計算機可以搜尋到使得捕獲量達到最大的努力量E*。這就是最優(yōu)可持續(xù)捕撈的努力量。由此可以求得，最大捕撈量（重量） Y*=Y（E*）可持續(xù)捕撈魚群的大?。l數(shù)） x*1 x*2 x* 3 x*4各年齡組魚群的捕撈率 C1=C2=0Ci=Yi/x*i=qi(E)/(r+qi(E) (1- spEi) i=3,4三、可持續(xù)捕撈的數(shù)值結(jié)果最優(yōu)可持續(xù)捕撈的努力量 E*=17.36最大年捕撈量（重量） Y*=38.87萬噸可持續(xù)捕撈魚群的大?。l數(shù)）x*1 =119,601,343,172(條) x*2 =5

12、3，740，347，635（ 條）x* 3=24，147，094，734（條） x*4=84，025，418（條）各年齡組魚群的捕撈率C1=C2=0 C3=89.70%， C4=95.59%四，定期（五年）承包的最優(yōu)收獲 由于承包時魚群的年齡組成尚未處于可持續(xù)捕撈的狀態(tài)，因此不能簡單地采用前面所得到的最優(yōu)可持續(xù)捕撈的結(jié)果。問題中尋求收獲量最高的捕撈策略的條件是魚群的生產(chǎn)力不能受到太大的破壞。我們可以把這個條件理解為捕撈五年后魚群的年齡組成盡量接近于可持續(xù)捕撈魚群的年齡結(jié)構(gòu)。這時最優(yōu)收獲的問題就化為尋找一個收獲的策略使得五年的魚產(chǎn)量盡量高，而且五年后魚群的年齡結(jié)構(gòu)與可持續(xù)捕撈的年齡構(gòu)成盡量接近，

13、這是一個多目標(biāo)規(guī)劃的問題。 如果該公司在五年的捕撈作業(yè)中捕撈的努力量是固定不變的，利用前面得到的模型（6）（7）（8），并注意到初始魚群為X1（0）=122×109(條) x2(0)=29.7×109(條)X3(0)=10.1×109(條) x4(0)=3.29×109(條)就可以描述被捕撈的魚群在五年中的動態(tài)變化。 第K年的魚產(chǎn)量由（9）式給出，則五年的總魚產(chǎn)量為Y（E）=Y（1）+Y5 五年后魚群的年齡組成，與可持續(xù)捕撈魚群的年齡組成的差異可由這兩個群體各年齡組差異之間的歐幾里得距離來描述：D（E）=綜合這兩個指標(biāo)，令J（E）=Y（E）-D（E）則問題就歸結(jié)為求E，以優(yōu)化目