題最優(yōu)捕魚策略

1、1996年A題最優(yōu)捕魚策略A題 最優(yōu)捕魚策略 為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度，一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益， 考慮對(duì)某種魚（魚題 魚）的最優(yōu)捕撈策略： 假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組，稱1齡魚，,4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/年)，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105(個(gè))，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1

2、齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比為1.22×1011/1.22×1011+n） 漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)，通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1，漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1） 建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）2） 某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈

3、業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122 ,29.7 , 10.1 , 3.29(×109條)，如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。A題 最優(yōu)捕魚策略一、 假設(shè)1、 只考慮這一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長(zhǎng)過(guò)程中不考慮魚的遷入與遷出。2、 各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時(shí)間都會(huì)發(fā)生自然死亡。3、 所有的魚都在每年最后的四個(gè)月內(nèi)（后1/3年）完成產(chǎn)卵和孵化的過(guò)程，孵化成活的幼魚在下一年初成為一齡的魚進(jìn)入一齡魚組。4、 產(chǎn)卵發(fā)生于后四個(gè)月之初，產(chǎn)卵期魚的自然死亡發(fā)生于產(chǎn)卵之后，5、 相齡兩個(gè)年齡組的魚群

4、在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)的，也就是說(shuō)，第K年底第i年齡組的魚的條數(shù)等于第K+1年初第i+1年齡組魚的條數(shù)。6、 四齡以下的魚全部死亡7、 采用固定努力量捕撈意味著捕撈的速率正比于捕撈時(shí)各年齡組魚群中魚的條數(shù)，比例系數(shù)為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。一、 模型1、 符號(hào) xi(t)t時(shí)刻i年齡組的魚群的大小 r魚的平均自然死亡率 fii年齡組魚的產(chǎn)卵率 t時(shí)間（以年為單位） Wii年齡組魚的平均重量 Qii年齡組的捕撈強(qiáng)度系數(shù)2、 數(shù)據(jù) r=0.8 (f1,f2,f3,f4)=(0,0,0.5A,A), A=1.109×105 (W1,W2,W3,W4)=(5.07,11.55,17.86,22.9

5、9) (q1 ,q2 ,q3 ,q4)=(0,0,0.42E,E)，稱E為捕撈努力量 =2/3（產(chǎn)卵月份）。3、 模型1） 無(wú)捕撈時(shí)的魚群的增長(zhǎng)dxi(t)/dt=-rxi(t)(假設(shè)1,2), ktk+1,i=1,k=0,1,2, ;xi(0)=xi,xi+1(k+1)=xi-(k+1)=lmttk+1 xj(t)(假設(shè)5，6)，x1(k+1)=1.22×1011x0(k+)/1.22×1011+x0(k+),x0(k+)=0.5Ax3(k+)+Ax4(k+)(假設(shè)3,4)2） 固定努力量捕撈下魚群的增長(zhǎng)和捕撈量的模型由題設(shè)知捕撈期為ktk+故有模型dxi(t)/dt=-

6、rxi-qi(E)xi, ktk+ (1)dxi(t)/dt=-rxi k+tk+1 (2)xi(0)=xi,xi+1(k+1)=xi-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2; (3)x1(k+1)=1.22×1011x0(k+)/1.22×1011+x0(k+), (4)x0(k+)=0.5Ax3(k+)+Ax4(k+) (5)魚群的增長(zhǎng)：求解方程組（1）（2），并注意到連續(xù)性條件（3）可得xi+1(k+1)=s li(E)xi(k),i=1,2,3 (6)x1(k+1)=b/(b+x0(k)x0(k) (7)x0(k+)=0.5As2/3 l3(E)x3(k+)

7、+ As2/3 l4(E)x4(k+) (8)其中s=e-r=0.4493 , l1(E)=l2(E)=1,l3(E)=e-0.42tE=pE3 ,l4(E)=e-tE=PE4P3= e-0.42= e-0.28=0.7558，p4=e -=e-2/3=0.5132A=1.109×105 b=1.22×1011 捕撈量單位時(shí)間第i年齡組魚的捕撈量（條數(shù)）yi(t)=qi(E)xi(t), ktk+第K年全年（八個(gè)月）第i年齡組魚的捕撈量（條數(shù)）Yi(k)= =qi(E)/(r+qi(E)(1-s piE)xi(k) 第K年總捕撈量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(

8、k) (9)3)可持續(xù)捕撈的模型 可持續(xù)捕撈的概念意味著，如果每年通過(guò)自然死亡，捕撈和產(chǎn)卵繁殖補(bǔ)充，使得魚群能夠在每年年初捕撈開始時(shí)保持平衡不變，那么這樣的捕撈策略就可以年復(fù)一年地一直持續(xù)下去，因此可持續(xù)捕撈的魚群應(yīng)該是模型（6）（7）（8）的平衡解，即模型不依賴于時(shí)間的解x*i由（6）（7）（8）有x*i+1=Sli(E) x*i i=1,2,3或x*2=sx*1,x*3=s x*2= s2sx*1 , x*4=sl3(E)x3*=s3pE3x*1 (10)x*0=0.5As2/3 l3(E)x*3+As2/3;l4(E)x*4 (11)X*1=b/(b+x*0)x*0 (12)利用迭代關(guān)系

9、（10），（11）中的x*0可以寫為x*0=0.5Asl3(E)x*3+ Asl4(E)x*4=(0.5+spE4)As8/3pE3x*1代入（12）式可得X*1=b/(b+x*0)x*0=b/(b+（0.5+spE4）As8/3 pE3 x*1)(0.5+spE) As8/3 pE3 x*1。關(guān)于x*1求解這個(gè)非線性方程，有x*1=b1-1/(0.5+ spE4) As8/3pE3=b1-1/B(E)其中B（E）=(0.5+ spE4) As8/3pE3，當(dāng)B（E）1時(shí)有X10，這意味著捕撈的強(qiáng)度過(guò)高致使魚群不復(fù)存在。滿足這個(gè)條件的努力量E0將稱為過(guò)度捕撈努力量。我們將在E<E0的范圍

10、內(nèi)討論最優(yōu)捕撈的問(wèn)題，其中E0=31.4是方程B（E）=1的解?？沙掷m(xù)捕撈量 在可持續(xù)捕撈的條件下，第i年齡組的捕撈量（條數(shù)）是Yi=qi(E)/(r+qi(E)(1-spEi)x*1整個(gè)魚群的年捕撈量（重量）是Y（E）=w3Y3+w4Y4=w3q3(E)/(r+q3(E)(1- spE3)x*3+ w4q4(E)/(r+q4(E)(1- spE4)x*4= w30.42E/(r+0.42E)(1- spE3)s2+w4 E/(r+E) (1- spE4)S3 pE3X*1= w30.42E/(r+0.42E)(1- spE3)+ w4 E/(r+E) (1- spE4)S pE3E s2b1

11、-1/B(E)式（13）給出了年捕獲量Y和捕撈努力量E之間的關(guān)系，它是Y與E之間的一個(gè)非線性關(guān)系，用計(jì)算機(jī)可以搜尋到使得捕獲量達(dá)到最大的努力量E*。這就是最優(yōu)可持續(xù)捕撈的努力量。由此可以求得，最大捕撈量（重量） Y*=Y（E*）可持續(xù)捕撈魚群的大?。l數(shù)） x*1 x*2 x* 3 x*4各年齡組魚群的捕撈率 C1=C2=0Ci=Yi/x*i=qi(E)/(r+qi(E) (1- spEi) i=3,4三、可持續(xù)捕撈的數(shù)值結(jié)果最優(yōu)可持續(xù)捕撈的努力量 E*=17.36最大年捕撈量（重量） Y*=38.87萬(wàn)噸可持續(xù)捕撈魚群的大小（條數(shù)）x*1 =119,601,343,172(條) x*2 =5

12、3，740，347，635（ 條）x* 3=24，147，094，734（條） x*4=84，025，418（條）各年齡組魚群的捕撈率C1=C2=0 C3=89.70%， C4=95.59%四，定期（五年）承包的最優(yōu)收獲 由于承包時(shí)魚群的年齡組成尚未處于可持續(xù)捕撈的狀態(tài)，因此不能簡(jiǎn)單地采用前面所得到的最優(yōu)可持續(xù)捕撈的結(jié)果。問(wèn)題中尋求收獲量最高的捕撈策略的條件是魚群的生產(chǎn)力不能受到太大的破壞。我們可以把這個(gè)條件理解為捕撈五年后魚群的年齡組成盡量接近于可持續(xù)捕撈魚群的年齡結(jié)構(gòu)。這時(shí)最優(yōu)收獲的問(wèn)題就化為尋找一個(gè)收獲的策略使得五年的魚產(chǎn)量盡量高，而且五年后魚群的年齡結(jié)構(gòu)與可持續(xù)捕撈的年齡構(gòu)成盡量接近，

13、這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃的問(wèn)題。 如果該公司在五年的捕撈作業(yè)中捕撈的努力量是固定不變的，利用前面得到的模型（6）（7）（8），并注意到初始魚群為X1（0）=122×109(條) x2(0)=29.7×109(條)X3(0)=10.1×109(條) x4(0)=3.29×109(條)就可以描述被捕撈的魚群在五年中的動(dòng)態(tài)變化。 第K年的魚產(chǎn)量由（9）式給出，則五年的總魚產(chǎn)量為Y（E）=Y（1）+Y5 五年后魚群的年齡組成，與可持續(xù)捕撈魚群的年齡組成的差異可由這兩個(gè)群體各年齡組差異之間的歐幾里得距離來(lái)描述：D（E）=綜合這兩個(gè)指標(biāo)，令J（E）=Y（E）-D（E）則問(wèn)題就歸結(jié)為求E，以優(yōu)化目