材料力學-扭轉1

1、5-1 扭轉概念和工程實例扭轉概念和工程實例第五章第五章 扭扭 轉轉5-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖5-3 純剪切純剪切5-4 圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上的應力5-5 扭轉變形扭轉變形 扭轉強度和剛度計算扭轉強度和剛度計算5-6 5-6 扭轉靜不定問題扭轉靜不定問題5-7 矩形截面桿的自由扭轉矩形截面桿的自由扭轉5-1 5-1 扭轉概念和工程實例扭轉概念和工程實例1 1、螺絲刀桿工作時受扭、螺絲刀桿工作時受扭。 Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉的工程實例一、扭轉的工程實例2 2、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉動軸工作時受

2、扭。2 2、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。汽車傳動軸汽車傳動軸3 3、機器中的傳動軸工作時受扭。、機器中的傳動軸工作時受扭。4 4、汽車離合器連接時受扭。、汽車離合器連接時受扭。5 5、扳手卸輪胎、扳手卸輪胎二、扭轉的概念二、扭轉的概念受力特點：受力特點：桿兩端作用著大小相等、轉向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、轉向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。Am Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶em變形特點：變形特點：桿桿任意兩個橫截面將繞桿軸線作相對轉動而產(chǎn)生任意兩個橫截面將繞桿軸線作相對轉動而產(chǎn)生相對角位移。這種相對角位移稱

3、為相對角位移。這種相對角位移稱為扭轉角扭轉角，用，用 表示表示。 軸：軸：以扭轉變形為主的桿件。以扭轉變形為主的桿件。一、一、外力偶矩計算外力偶矩計算5-25-2外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算電機每秒輸入功：電機每秒輸入功：外力偶外力偶所做的功所做的功：N m1000() 1(s)sWP1260eenWMM 已知已知軸轉速軸轉速n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MePP已知軸所傳遞的功率和軸的轉速，則外力偶矩（Nm）nPm9549P功率，單位為千瓦（KW）n轉速，單位為rod/min P功率 ，

4、單位為馬力（PS）n轉速，單位為rod/minnPm70241PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PSmm0, 0mTmx T1 1、扭轉桿件的內力扭轉桿件的內力（截面法）（截面法）xmmmT Tx右段：右段：0, 0TmmxmT 內力偶矩內力偶矩扭矩扭矩T左段：左段：二、扭轉桿件的內力二、扭轉桿件的內力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖圓軸受扭時其橫截面上的內力偶矩稱為圓軸受扭時其橫截面上的內力偶矩稱為扭矩扭矩，用符號，用符號T 表示。表示。2 2、扭矩的符號規(guī)定、扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷。T+T-例題例題： 1、一傳動軸作200rmin的勻速轉動，軸上裝有五個輪

5、子。主動輪2輸入的功率為60kW，從動輪1、3、4、5依次輸出的功率為18kW、12kW、22kW和8kW。試作出該軸的扭矩圖。3 3、內力圖（扭矩圖）、內力圖（扭矩圖）扭矩圖扭矩圖作法：同軸力圖：作法：同軸力圖：解：解： （一）外力偶矩（一）外力偶矩 （二）求解各段內力（二）求解各段內力由平衡條件可解得各段內力為由平衡條件可解得各段內力為 ：負號說明與假設方向相反。負號說明與假設方向相反。 112123123450.862.011.4350.385nnnnMmKN mMmmKN mMmmmKN mMmKN m （三）繪扭矩圖。（三）繪扭矩圖。 扭矩圖扭矩圖1 1、實驗：、實驗：5-3 純剪切

6、純剪切一、一、薄壁圓筒橫截面上的應力薄壁圓筒橫截面上的應力 薄壁圓筒軸的扭轉薄壁圓筒軸的扭轉0101rt , r0：平均半徑）(壁厚壁厚2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。結論：結論：, 0000橫截面上橫截面上可認為剪應力沿壁厚均勻分布可認為剪應力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對稱性可知剪應力沿圓周均勻分布根據(jù)對稱性可知剪應力沿圓周均勻分布

7、；,Dt Dt3 3、剪應力的計算公式：、剪應力的計算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圓筒橫截面上的剪應力計算薄壁圓筒橫截面上的剪應力計算式式從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體0zMyzxxzydddddd得得1 1、剪應力互等定理剪應力互等定理 Lmrtm二、關于剪應力的若干重要性質二、關于剪應力的若干重要性質 在相互垂直在相互垂直的兩個平面上，的兩個平面上，剪應力剪應力必然成對必然成對存在，且數(shù)值相存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直等；兩者都垂直于兩個平面的交于兩個平面的交線，方向則共同線，方向則共同指向

8、或共同背離指向或共同背離這一交線。這一交線。純剪切純剪切 各個截面上只有各個截面上只有剪剪應應力沒有正應力的情況稱為力沒有正應力的情況稱為純剪切純剪切剪剪應力互等定理：應力互等定理：2 2、剪切虎克定律、剪切虎克定律 在在剪剪應力的作用下，應力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個改變量的改變，這個改變量 稱稱為為剪剪應變。應變。 當當剪應力剪應力不超過材料不超過材料的剪切比例極限時，的剪切比例極限時，剪剪應應變變 與與剪應力剪應力成正比，成正比，這個關系稱為這個關系稱為剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切彈性模量剪切彈性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性

9、材料，三個彈性常數(shù)之間的三個彈性常數(shù)之間的關系：關系：2(1)EG一、圓軸扭轉時橫截面上的應力一、圓軸扭轉時橫截面上的應力一）、幾何關系一）、幾何關系：1 1、實驗：、實驗：5-4 圓軸扭轉時橫截面上的應力圓軸扭轉時橫截面上的應力觀察變形規(guī)律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉平面假設扭轉平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大

10、小、大小 以及間距不變，半徑仍為直線。以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應力定性分析橫截面上的應力00（1）00（2）因為同一圓周上剪應變相同，所以同因為同一圓周上剪應變相同，所以同一圓周上剪應力大小相等，并且方向一圓周上剪應力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。 取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對象研究對象微段扭轉微段扭轉變形變形 d dxRddxBBtgtgxbbdxdddxd二）物理關系二）物理關系：PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉角變化率扭轉角變化率彈性范圍內彈性范圍內三）靜力關系：三）靜力關系：ATdA

11、2AATdAdGdAdxdAIAp2橫截面對形心的極慣性矩橫截面對形心的極慣性矩pIdGdxpdTGIdxpTI橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內工作。、彈性范圍內工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44, mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PW四、圓截面的極慣性矩四、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAA

12、Id2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd1 1、強度條件、強度條件：2 2、強度條件應用、強度條件應用：1 1）校核強度）校核強度: : .)1 (16,16433空心空心實心實心DDWP5-5 5-5 扭轉變形扭轉變形 扭轉強度和剛度計算扭轉強度和剛度計算PWTmaxmax PWmaxT2 2）設計截面尺寸）設計截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPW一、一、 扭轉強度計算扭

13、轉強度計算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，外徑外徑D=89mm、壁厚壁厚 =2.5mm，材材料為料為2020號鋼，使用時的號鋼，使用時的最大扭矩最大扭矩T=1930Nm, =70MPa. .校核此軸的校核此軸的強度。強度。34340.9450.2(1)0.2 8.9 (1 0.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW例例 如把上例中的傳動軸改為實心如把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強

14、度相軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直徑。并比較實心軸同，試確定其直徑。并比較實心軸和空心軸的重量。和空心軸的重量。解：解：當實心軸和空心軸的最大應力同當實心軸和空心軸的最大應力同 為為 時，兩軸的許可扭矩分別為時，兩軸的許可扭矩分別為311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TDT T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm224211(0.0531)22.2 1044DAm223232422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在兩軸長度相等，材料

15、相同的情況下，兩軸重量之比等于橫在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。截面面積之比。42416.87 100.3122.2 10AA可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實心軸的可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實心軸的3131% % 。實心軸和空心軸橫截面面積為實心軸和空心軸橫截面面積為例例 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用剪應力 = 80MPa ，試校核該軸的強度。解解： 1、求內力，作出軸的扭矩圖、求內力，作出軸的扭矩圖

16、2214T圖（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、計算軸橫截面上的最大剪應力并校核強度、計算軸橫截面上的最大剪應力并校核強度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強度條件。即該軸滿足強度條件。2214T圖（kNm）1 1、扭轉變形：（相對扭轉角）、扭轉變形：（相對扭轉角）PGITdxddxGITLP扭轉角單位：弧度（扭轉角單位：弧度（radrad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITl二、二、 扭轉桿的變形計算扭轉桿的變形計算扭轉變形與內力計算

17、式扭轉變形與內力計算式1) 1) 扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸piiiGIlT單位長度的扭轉角單位長度的扭轉角mradPGITdxd2)2)各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸3)3)變截面軸變截面軸dxxGIxTpl)()(x( )pIx)(xT2 2、單位長度扭轉角：、單位長度扭轉角：3 3、剛度條件：、剛度條件：maxmaxpGITrad/m0/m 許用單位長度扭轉角180maxmaxpGIT4 4、剛度條件應用：、剛度條件應用：1)1)、校核剛度、校核剛度: : max pGTI 3)3)、確定外荷載、確定外荷載: :2)2)、設計截面尺寸、設計截面尺寸: : maxp

18、GIT max 例題例題：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各輪的間距為l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的=80GPa， =0.3/m，G=80GPa.(1)設計軸的直徑D；(2)若軸的直徑D0=105mm，試計算全軸的相對扭轉角D-A解：1）作扭矩圖 mKNT5 . 4max2）設計軸的直徑取 d 102 mmmmTd66163max由剛度條件：mmGTd0211803242max由強度條件：180maxmaxpGITPWTmaxmax 3）計算全軸的相對扭轉角D-A。163. 0123pABpBCpCDABBCCDADG

19、IlTGIlTGIlT例題例題：一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪。軸的直徑分別為d1=40mm，d2=70mm，已知輪3輸入的功率為N3=30kW，輪1輸出的功率為N1=13kW。軸作勻速轉動，轉速n=200rmin。若材料的容許剪應力=60MPa，G=8104MPa，軸的容許單位長度扭轉角為=2m，試校核該軸的強度和剛度。 4)1 (42221dD2221)1 (dD例題： 已知：空心軸和實心軸材料相同，面積相同,= 0.5。試比較空心軸和實心軸的強度和剛度情況。解：2）比較強度341113342132(1)1616(1)111pxxpDWMdMWDd空心軸強度實心軸強度dd1D1面積相同1

20、）確定兩軸尺寸關系441114442142(1)3232(1)111ppppDGIIdGIIDd空心軸剛度實心軸剛度3）比較剛度44. 15015 . 0111度心軸2222實心軸強度強空67. 15 . 015 . 0111心軸2222實心軸剛度剛度空0.5由，有dd1D1例題例題：有一外徑為100mm、內徑為80mm的空心圓軸，與一直徑為80mm的實心圓軸用鍵相連接。在A輪處由電動機帶動，輸入功率N1=150kW；在B、C輪處分別負載N2=75kW，N3=75kW。若已知軸的轉速為n=300rmin，容許剪應力=45MPa；鍵的尺寸為10mml0mm30mm，其容許應力為=100MPa和c

21、=280MPa。(1)校核空心軸及實心軸的強度（不考慮鍵槽的影響）；(2)求所需鍵數(shù)n。 P5-6 5-6 扭轉靜不定問題已知:AB 階梯軸兩端固定,C 處作用外力偶矩Me, AC抗扭剛度為G1Ip1, CB抗扭剛度為G2Ip2 。求:軸的扭矩。解:1）靜力學關系0MMM,0mBAex2）變形幾何關系0BACABC扭轉靜不定問題ABCeMMBACBMAxeMACBabeM3）物理關系1xAMM12120ABppM aM bG IG I2xBMM 解出:1121112pxeppG I bMMG I bG I a2122212pxeppG I aMMG I bG I aMBACBMAxeMACBabeM11 pACAIGaM2