第六章+機械波

1、第六章 機械波振動在空間的傳播過程振動在空間的傳播過程波動波動。不同種類的波其產生和傳播的機制不同，但有著不同種類的波其產生和傳播的機制不同，但有著波動的共性：有相似的波動的共性：有相似的波動方程波動方程，有，有反射反射、折射折射、干涉干涉、衍射衍射等等波動性波動性。機械振動在介質中的傳播機械振動在介質中的傳播機械波機械波。電磁震蕩在空間的傳播電磁震蕩在空間的傳播電磁波電磁波。本章主要討論機械波。本章主要討論機械波。6-1 機械波的產生和傳播 波源（振源）波源（振源）：波動的形式和能量的來源。：波動的形式和能量的來源。一一、產生機械波的條件、產生機械波的條件 彈性介質彈性介質：機械波只能在介質

2、（氣體、液體、：機械波只能在介質（氣體、液體、固體）中傳播。介質內各質元間當有相對位移固體）中傳播。介質內各質元間當有相對位移時，能互相施以彈性恢復力，使各質元能在平時，能互相施以彈性恢復力，使各質元能在平衡位置附近按波源的形式振動，并將波源的振衡位置附近按波源的形式振動，并將波源的振動形式（和能量）傳播開去。動形式（和能量）傳播開去。二二、橫波和縱波、橫波和縱波橫波橫波介質中質元的振動方向垂直于波的傳播方向。介質中質元的振動方向垂直于波的傳播方向?？v波縱波介質中質元的振動方向平行于波的傳播方向。介質中質元的振動方向平行于波的傳播方向。如：繩波如：繩波如：聲波如：聲波橫波只能在固體中傳播。橫波

3、只能在固體中傳播?？v波可在任何介質中傳播?？v波可在任何介質中傳播。水面波水面波水表面因受重力和表面張力的作用而形成水表面因受重力和表面張力的作用而形成的橫波和縱波的疊加。的橫波和縱波的疊加。 波傳播的是振動的狀態(tài)和能量，而不是質量。波傳播的是振動的狀態(tài)和能量，而不是質量。橫波演示縱波演示三三、波動的幾何描述、波動的幾何描述波線波線沿波的傳播方向所畫的射線。沿波的傳播方向所畫的射線。在各向同性的均勻介質中，波線恒與波面垂直。在各向同性的均勻介質中，波線恒與波面垂直。波面波面介質中振動相位相同的點所構成的面介質中振動相位相同的點所構成的面。球面波傳到足夠遠時，在一小范圍內可看作平面波。球面波傳到足

4、夠遠時，在一小范圍內可看作平面波。（如：傳到地球上的太陽光波）（如：傳到地球上的太陽光波）波線波線波面（波陣面）波面（波陣面）波波前前波波前前波面（波陣面）波面（波陣面）波線波線平面波平面波球面波球面波6-2 波速波速 波長波長 波的周期和頻率波的周期和頻率一、波速一、波速波速（相速）波速（相速）c c 波在介質中的傳播速度。波在介質中的傳播速度。單位時間內，某振動狀態(tài)（相位）傳播的距離。單位時間內，某振動狀態(tài)（相位）傳播的距離。波速的大小決定于彈性介質的密度和彈性模量，波速的大小決定于彈性介質的密度和彈性模量，與波源無關。與波源無關。各向同性的均勻固體介質中：各向同性的均勻固體介質中： Gc

5、 橫G G：固體的固體的切變彈性模量切變彈性模量Y Y：固體的固體的楊氏彈性模量楊氏彈性模量 Yc 縱二、波長和頻率二、波長和頻率波長波長 同一波線上兩個相鄰的相位相同的質點之同一波線上兩個相鄰的相位相同的質點之間的距離，即一個完整波的長度。間的距離，即一個完整波的長度。周期周期T 波傳過一個波長的時間，或一個完整的波波傳過一個波長的時間，或一個完整的波通過波線上某點所需的時間，就是質點完成一次振通過波線上某點所需的時間，就是質點完成一次振動的時間。動的時間。頻率頻率 單位時間內質點完成振動的次數(shù)，或單位單位時間內質點完成振動的次數(shù)，或單位時間內在波動前進距離中完整波長的數(shù)目，或單位時間內在波

6、動前進距離中完整波長的數(shù)目，或單位時間內通過波線上某點的完整波的數(shù)目。時間內通過波線上某點的完整波的數(shù)目。波速波速c c和波長和波長、周期、周期T T之間的關系：之間的關系：Tc 波速波速c c和波長和波長、頻率、頻率之間的關系：之間的關系： c例7-1例例6-1：聲波：聲波： = 3000Hz，c=1560m/s，沿一波線從沿一波線從A傳播到傳播到B。x=AB=0.13m。求：求：(1) 波的周期和波長；波的周期和波長；(2)B點振動比點振動比A點落后多少時間；點落后多少時間； (3) A、B兩點的相位差；兩點的相位差；(4)若若A=1mm,則波則波線上各質元振動速度的最大值為多少？線上各質

7、元振動速度的最大值為多少？ 波的傳播速度與介質中質元的振動速度是兩個波的傳播速度與介質中質元的振動速度是兩個(2)sTcxtBA51033. 84 (3)2x2 (4)smAAm8 .182 不相同的概念。不相同的概念。(1)sT300011 cmc52 6-3 波動方程 最簡單、最基本的波動形式稱為簡諧波。最簡單、最基本的波動形式稱為簡諧波。簡諧波簡諧波：波源作簡諧振動時，介質中各個質點也作簡：波源作簡諧振動時，介質中各個質點也作簡諧振動，其頻率與波源頻率相同，振幅與波源相關。諧振動，其頻率與波源頻率相同，振幅與波源相關。任意復雜的波總可以表示為若干簡諧波的疊加。任意復雜的波總可以表示為若干

8、簡諧波的疊加。波面為平面且向前傳播的簡諧波稱為平面簡諧波。波面為平面且向前傳播的簡諧波稱為平面簡諧波。本節(jié)討論平面簡諧波在本節(jié)討論平面簡諧波在無吸收、均勻無限大無吸收、均勻無限大介質中介質中傳播的波動方程傳播的波動方程yxo一一、簡諧波的波動方程、簡諧波的波動方程設平面簡諧波以波速設平面簡諧波以波速 c 沿波線沿波線 x 傳播。傳播。tAyo cos 波線上波線上o點的振動方程為：點的振動方程為：波從波從o點傳到點傳到 p 點需要時間：點需要時間：即即p點質元點質元t 時刻的振動狀態(tài)（相位）為時刻的振動狀態(tài)（相位）為o點質元點質元t-t時刻的振動狀態(tài)（相位）。時刻的振動狀態(tài)（相位）。)(cos

9、cxtAy p點質元的振動方程：點質元的振動方程：稱為（稱為（沿沿x正向傳播的正向傳播的）平面簡諧波方程平面簡諧波方程或或波函數(shù)波函數(shù)。cpxcxt 若波沿若波沿x軸負方向傳播，則波函數(shù)為：軸負方向傳播，則波函數(shù)為：)(coscxtAy 若若o點質元振動初相位點質元振動初相位0，則波函數(shù)為：則波函數(shù)為：)(cos cxtAy)xt (2cosAy )xTt(2cosAy 考慮到：考慮到：T22 和和Tc 波函數(shù)還可寫成：波函數(shù)還可寫成：二二、波動方程的意義、波動方程的意義1、 當當x一定時，波函數(shù)為一定時，波函數(shù)為x點處質元的振動方程：點處質元的振動方程：)x2(t2cosAy 式中：式中：x

10、2 為為x點處質元的振動初相位。點處質元的振動初相位。而：而：x2 為為x點處振動落后于點處振動落后于o點處振動的相位。點處振動的相位。位移位移時間圖上相鄰兩個同相點的間隔即為周期時間圖上相鄰兩個同相點的間隔即為周期T。ytoT2、 當當t一定時，波函數(shù)為一定時，波函數(shù)為t時刻各質元的位移分布情況：時刻各質元的位移分布情況：波形圖（照片）波形圖（照片）波形圖上相鄰同相位點的間隔為波長波形圖上相鄰同相位點的間隔為波長。同一時刻同一時刻t，同一波線上，同一波線上x1、x2兩點處振動的相位差：兩點處振動的相位差：)xt (2)xt (212 x2xx212 x = x2 - x1 稱為稱為波程差波程

11、差。yxoux2tx1(3) 當當t、x都變化時，波函數(shù)表示波線上所有質元的都變化時，波函數(shù)表示波線上所有質元的位移隨時間的變化情況。位移隨時間的變化情況。（電影）（電影）實線：實線：t 時刻波形。時刻波形。虛線：虛線：時刻波形。時刻波形。4Tt 整個波形隨時間向整個波形隨時間向 x 正方向運動正方向運動 行波行波yxoutt+T/4例7-2例例6-2：頻率頻率=12.5kHz的平面余弦縱波沿細長的金屬棒傳播，的平面余弦縱波沿細長的金屬棒傳播，棒的楊氏彈性模量為棒的楊氏彈性模量為Y=1.91011N/m2，棒的密度為，棒的密度為=7.6103kg/m3，棒中彈性縱波的傳播速度公式為，棒中彈性縱

12、波的傳播速度公式為 。已。已知波源的振幅為知波源的振幅為A=0.01m。寫出（。寫出（1）波源的振動方程，（）波源的振動方程，（2）波動方程，（波動方程，（3）離波源）離波源0.1m處質點的振動方程，（處質點的振動方程，（4）在波）在波源振動源振動0.0021s時的波形。時的波形。 Yc 振動方程：振動方程：波動方程：波動方程：tAtAyo 2coscos )(coscxtAy Yc 6-4 波的能量和強度 波的吸收和散射一一、波的能量、波的能量設一列簡諧縱波沿均勻細桿傳播，波的表達式：設一列簡諧縱波沿均勻細桿傳播，波的表達式：)(coscxtAy 細桿上任取體積元細桿上任取體積元V=Sx，其

13、質量為其質量為m=V。動能：動能：勢能：勢能：)(sin21)(212222cxtAVtymEk )(sin21)(212222cxtAVxymEp 機械能（不守恒）：機械能（不守恒）：)(sin222cxtAVEEEpk 波的能量密度波的能量密度：介質中單位體積的波動能量。：介質中單位體積的波動能量。)(sin222cxtAVEw )mJ(3波的平均能量密度波的平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值。：能量密度在一個周期內的平均值。22T0A21dtwT1w Ek、Ep隨時間周期性變化且隨時間周期性變化且Ek=Ep。它們同時達到它們同時達到最大值最大值(過平衡位置時過平衡位置時) ；同時

14、為零；同時為零(最大位移時最大位移時)介質內任一體積元的機械能不守恒。介質內任一體積元的機械能不守恒。 E增大時，體積元從一側吸收能量；增大時，體積元從一側吸收能量； E減小時，從減小時，從另一側輸出能量，從而實現(xiàn)能量的傳遞。另一側輸出能量，從而實現(xiàn)能量的傳遞。二二、波的強度、波的強度Sc能流：能流：單位時間內通過某一面積的波的能量。單位時間內通過某一面積的波的能量。平均能流：平均能流：ScAScwE 2221能流密度（波的強度）：能流密度（波的強度）：通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能流。通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能流。cAcwSEI 2221cAcwI2221 單位：單位：)mW

15、(2或：或：三三、波的吸收、波的吸收平面行波在均勻介質中傳播時，介質總要吸收波平面行波在均勻介質中傳播時，介質總要吸收波的一部分能量，波的強度和振幅都將逐漸減小，的一部分能量，波的強度和振幅都將逐漸減小，所吸收的波動能量將轉換成其他形式的能量。所吸收的波動能量將轉換成其他形式的能量。平面波通過極薄的一層介質（厚度為平面波通過極薄的一層介質（厚度為dxdx）后，振）后，振幅的衰減（幅的衰減（-dA-dA）既正比于此處的振幅）既正比于此處的振幅A A，也正比，也正比于厚度于厚度dxdx，aAdxdA 經過積分可得經過積分可得：介介質質的的吸吸收收系系數(shù)數(shù)處處的的振振幅幅，：處處的的振振幅幅，axA

16、xA0:0 平面波強度衰減規(guī)律：平面波強度衰減規(guī)律：axeAA 0axeII20 處處的的波波的的強強度度：處處的的波波的的強強度度，xIxI0:0 四四、波的散射、波的散射如果介質中存在許多懸浮粒子，當波動傳到這些如果介質中存在許多懸浮粒子，當波動傳到這些粒子后，這些粒子將成為新的波源向四周發(fā)射次粒子后，這些粒子將成為新的波源向四周發(fā)射次級波。級波。強度衰減規(guī)律：強度衰減規(guī)律：振幅衰減規(guī)律：振幅衰減規(guī)律：axeAA 0axeII20 ：介介質質的的散散射射衰衰減減系系數(shù)數(shù)a如果粒子線度遠小于波長，散射不顯著；粒子愈如果粒子線度遠小于波長，散射不顯著；粒子愈大，散射愈甚，將使沿原來方向進行的波

17、的振幅大，散射愈甚，將使沿原來方向進行的波的振幅和強度有所衰減。和強度有所衰減。6-5 波的疊加原理 波的干涉一一、波的疊加原理、波的疊加原理1、 波動傳播的獨立性：波動傳播的獨立性：幾個波源發(fā)射的波在同一幾個波源發(fā)射的波在同一介質中傳播，在空間某點處相遇時，每個波仍將保介質中傳播，在空間某點處相遇時，每個波仍將保持各自原有特性（頻率、波長、振幅、振動方向持各自原有特性（頻率、波長、振幅、振動方向等），按原來的傳播方向繼續(xù)向前傳播。等），按原來的傳播方向繼續(xù)向前傳播。2、 波的疊加原理：波的疊加原理：在任一時刻質點振動的位移是在任一時刻質點振動的位移是各列波單獨存在時在該點引起振動的分位移的矢

18、量各列波單獨存在時在該點引起振動的分位移的矢量和。和。波的疊加原理二二、波的干涉、波的干涉任意兩列波在空間的疊加情況是很復雜的，但當兩任意兩列波在空間的疊加情況是很復雜的，但當兩列簡諧波滿足列簡諧波滿足相干條件相干條件時，可在波場中得到穩(wěn)定的時，可在波場中得到穩(wěn)定的干涉圖樣干涉圖樣。相干條件：相干條件：(1) 兩列波具有兩列波具有相同的頻率相同的頻率；(2) 兩列波具有兩列波具有相同的振動方向相同的振動方向；(3) 兩列波的兩列波的相位相同相位相同或或相位差保持恒定相位差保持恒定。滿足相干條件的兩列波稱為滿足相干條件的兩列波稱為相干波相干波，它們的波源，它們的波源稱為稱為相干波源相干波源。定量

19、分析：定量分析：設產生簡諧波的兩波源設產生簡諧波的兩波源S1、S2的振動方程為：的振動方程為：)tcos(Ay11010 )tcos(Ay22020 兩列波在波場中兩列波在波場中P點引起的振動為：點引起的振動為：)r2tcos(Ay1111 )r2tcos(Ay2222 這是兩個同方向、同頻率的簡諧振動，相位差為：這是兩個同方向、同頻率的簡諧振動，相位差為：rr2)(1212 波源相位波源相位差差波程差引起波程差引起的相位差的相位差S1S2r1r2P由簡諧振動的合成規(guī)律：由簡諧振動的合成規(guī)律：P點的振動仍為簡諧振動。點的振動仍為簡諧振動。)tcos(Ay 其振幅和初相位為：其振幅和初相位為：c

20、osAA2AAA212221 )r2cos(A)r2cos(A)r2sin(A)r2sin(Atan222111222111 兩列相干波在空間疊加時，波場中各質元的振幅兩列相干波在空間疊加時，波場中各質元的振幅A保保持不變，有些點處振動始終被加強（持不變，有些點處振動始終被加強（相長干涉相長干涉）、）、有些點處始終被減弱（有些點處始終被減弱（相消干涉相消干涉），得到穩(wěn)定的），得到穩(wěn)定的干干涉圖樣涉圖樣，稱為，稱為干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象。討論：討論：(1)即：即： = r2 - r1 = k 時時 相長干涉相長干涉k2rr221 當當時：時：即：即：= r2 -r1 =(2k+1)/2 時時 相消干涉

21、相消干涉當當時：時：)1k2(rr221 不滿足相干條件的兩列波不能產生干涉現(xiàn)象。不滿足相干條件的兩列波不能產生干涉現(xiàn)象。cosAA2AAA212221 當當 時時，A=A1+A2 相長干涉相長干涉 k2 當當 時時，A= A1A2 相消干涉相消干涉 12 k(2) 時：時：12 波 的 干 涉6-6 波的反射 駐 波0t 8Tt yxxxxxx4Tt 8T3t 2Tt 一一、駐波、駐波/2/2兩列反向傳播的相干兩列反向傳播的相干波形成波形成駐波駐波。(1) 波節(jié)波節(jié)振幅為零；振幅為零；(2) 波腹波腹振幅最大；振幅最大；(3) 波節(jié)、波腹位置波節(jié)、波腹位置(5) 相鄰波節(jié)間相鄰波節(jié)間(6)

22、同一波節(jié)兩側同一波節(jié)兩側不變；不變；同相位；同相位；反相位；反相位；(4) 相鄰波節(jié)（波腹）相鄰波節(jié)（波腹）相距相距/2；駐波方程：駐波方程：,)xt (2cosAy1 )xt (2cosAy2 駐波方程：駐波方程：tcosx2cosA2t2cosx2cosA2yyy21 x2cosA2(1) 駐波的振幅：駐波的振幅：波節(jié)處：波節(jié)處：2)1k2(x2 4)1k2(x 波腹處：波腹處：kx2 2kx 測得波節(jié)、波腹位置可求出波長。測得波節(jié)、波腹位置可求出波長。兩行波方程：兩行波方程：(2) 駐波的相位：駐波的相位：tcosx2cosA2y 同一時刻同一時刻 t ，相鄰相鄰波節(jié)間波節(jié)間x2cos符

23、號符號相同相同，所以：所以：相鄰波節(jié)間所有質元相位相同相鄰波節(jié)間所有質元相位相同； 同一時刻同一時刻 t ，同一同一波節(jié)兩側波節(jié)兩側x2cos符號符號相反相反，所以：所以：同一波節(jié)兩側的質元相位相反同一波節(jié)兩側的質元相位相反。 形成駐波的兩列行波能流密度等值、反向，所以：形成駐波的兩列行波能流密度等值、反向，所以：駐波不傳播能量駐波不傳播能量，只是介質的一種特殊振動形式。，只是介質的一種特殊振動形式。二二、半波損失、半波損失一列行波遇到兩種介質的分界面時，會發(fā)生反射。一列行波遇到兩種介質的分界面時，會發(fā)生反射。入射波與反射波疊加可形成駐波。入射波與反射波疊加可形成駐波。定義：介質密度與波速的乘

24、積定義：介質密度與波速的乘積 c 稱為稱為波阻波阻。 c大稱為大稱為波密介質波密介質； c小稱為小稱為波疏介質波疏介質。 波從波從波密波密介質射到介質射到波疏波疏介質表面時，入射波與反射波介質表面時，入射波與反射波在反射點處在反射點處相位相同相位相同，形成，形成波腹波腹。稱為。稱為全波反射全波反射。 波從波從波疏波疏介質射到介質射到波密波密介質表面時，入射波與反射波介質表面時，入射波與反射波在反射點處在反射點處相位相反相位相反，形成，形成波節(jié)波節(jié)。稱為。稱為半波反射。半波反射。在在反射點處反射波相位突變反射點處反射波相位突變 的現(xiàn)象稱為的現(xiàn)象稱為半波損失。半波損失。6-7 聲一一、聲波、次聲波

25、和超聲波、聲波、次聲波和超聲波1、 聲波：聲波：頻率范圍在頻率范圍在20Hz20000Hz之間的振動叫之間的振動叫聲振動，由聲振動所激起的波叫聲波。聲振動，由聲振動所激起的波叫聲波。2、 次聲波：次聲波：頻率低于頻率低于20Hz的機械波。的機械波。3、 超聲波：超聲波：頻率高于頻率高于20000Hz的機械波。的機械波。二二、聲壓、聲強和聲強級：、聲壓、聲強和聲強級：介質中有聲波傳播時的壓強與無聲波傳播時的靜壓介質中有聲波傳播時的壓強與無聲波傳播時的靜壓強之間的差額稱為強之間的差額稱為聲強。聲強。正常聽覺反應的聲強范圍正常聽覺反應的聲強范圍（ = 10000 Hz ）：最低（最低（聞域聞域）：）

26、：)m/W(10212 最高（最高（痛感域痛感域）：）：)m/W(12聲波的能流密度稱為聲波的能流密度稱為聲強。聲強。聲壓振幅：聲壓振幅：聲強：聲強：cAPm 2221 cAI 聲強級：聲強級：按對數(shù)標度的聲強。按對數(shù)標度的聲強。0IIlgL （單位：貝爾）（單位：貝爾）0IIlg10L （單位：（單位：分貝分貝 dB）式中式中I0為聞域的聲強為聞域的聲強（ I0 = 10-12 W/m2） 。 聲強增大聲強增大 10 倍，聲強級增加倍，聲強級增加 10 dB 。 聲強增大聲強增大 1 倍，聲強級增加倍，聲強級增加 3 dB 。6-8 多 普 勒 效 應波源與觀察者相對靜止時，觀察者測得的頻率與波波源與觀察者相對靜止時，觀察者測得的頻率與波源相同；但當波源和觀察者相對介質運動時，觀察源相