概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4-2 方差PPT精選文檔

1、1第二節(jié)第二節(jié) 方差方差教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 1 方差的定義與計(jì)算方差的定義與計(jì)算 2 2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 3 3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 4 4 常見(jiàn)分布的方差常見(jiàn)分布的方差教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 方差的計(jì)算與性質(zhì)方差的計(jì)算與性質(zhì)2 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.3 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)

2、儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近4 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn),研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的分必要的.、那么、那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?當(dāng)

3、當(dāng)然可能首先想到的是用然可能首先想到的是用 ，但他有正有負(fù)，因而，但他有正有負(fù)，因而會(huì)互相抵消而使會(huì)互相抵消而使 ，容易看到，容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差方差)(XEXE 能度量隨機(jī)變量與其均值能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度. 但由于但由于上式帶有絕對(duì)值上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便運(yùn)算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 來(lái)度量隨機(jī)變量來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度.XEX()0E XEX5一、方差的定義一、方差的定義 設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若是一個(gè)隨機(jī)變量，若E(X-E(X)2存在存在 ,

4、稱稱E(X-E(X)2為為 X 的方差的方差. 記為記為D(X)或或Var(X)，即，即具具有有相相同同的的量量綱綱。，它它與與記記為為的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差或或均均方方差差稱稱為為方方差差的的算算術(shù)術(shù)平平方方根根XXXXD)()( D(X)=Var(X)=EX-E(X)26若若X的取值比較分散，則方差的取值比較分散，則方差D(X)較大較大. 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度離散程度 .若若X的取值比較集中，則方差的取值比較集中，則方差D(X)較??；較?。灰虼?，因此，D（X）是刻畫(huà)）是刻畫(huà)X取值分散程度的一個(gè)量，它取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量

5、是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。取值分散程度的一個(gè)尺度。7X為離散型，為離散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的計(jì)算二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，為連續(xù)型，X概率密度概率密度f(wàn)(x)定義法定義法1( ) ()()kkkE YE g Xg xp( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx8計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開(kāi)展開(kāi)證：證：D(X)=EX-

6、E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)9Y8910P0.20.40.4：的射擊水平由下表給出的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們甲、乙兩人射擊，他們例例1：乙擊中的環(huán)數(shù)；：乙擊中的環(huán)數(shù)；：甲擊中的環(huán)數(shù)；：甲擊中的環(huán)數(shù)；YX平較高？平較高？試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水10環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)解解：比比較較兩兩個(gè)個(gè)人人的的平平均均 環(huán)環(huán)甲的平均環(huán)數(shù)為甲的平均環(huán)數(shù)為2 . 95 . 0102 . 093 . 08 EX 環(huán)環(huán)乙乙的的平平均均環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)為為2 . 94 . 0104 . 092 . 08 EY

7、的方差分別為的方差分別為的，但兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的，但兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)是一樣是一樣，甲乙兩人的射擊水平，甲乙兩人的射擊水平因此，從平均環(huán)數(shù)上看因此，從平均環(huán)數(shù)上看 72. 05 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98222 DX 624. 04 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98222 DY比比甲甲穩(wěn)穩(wěn)定定，這這表表明明乙乙的的射射擊擊水水平平由由于于DXDY 11二二 常見(jiàn)分布的方差常見(jiàn)分布的方差2*1 ()()0, , (),()XE XXD XXE XD X例題設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望，方差記求。*1()()()0XE XEE X*2*2

8、()( ) ()D XEXE X2() XE解221() EX21()1D X為為X的的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化變量變量注注 任何存在數(shù)學(xué)期望和方差（不為任何存在數(shù)學(xué)期望和方差（不為0）的隨機(jī)變量都）的隨機(jī)變量都可以標(biāo)準(zhǔn)化?？梢詷?biāo)準(zhǔn)化。12例例2設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有具有(01）分布，其分布率為）分布，其分布率為pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE 2221)1(0)(由公式由公式)1()()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 13例例3。，求求設(shè)設(shè))()(XDX 解解X的分布率為的分布率為0, 2 ,

9、1 , 0,! kkekXPk上節(jié)已算得上節(jié)已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee14.,泊松分布就被確定了泊松分布就被確定了只要知道只要知道分布率中只含一個(gè)參數(shù)分布率中只含一個(gè)參數(shù)。泊松分布的。泊松分布的等于等于數(shù)學(xué)期望與方差相等，數(shù)學(xué)期望與方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布(),()E XD X15例例4。，求求設(shè)設(shè))(),(XDbaUX解解 的概率密度為的概率密度為X 其它其它01)(bxaabxf。方方差差為為上上節(jié)節(jié)已已求求得

10、得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均勻分布均勻分布2( ), ( )212b aa bE XD X16例例5設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指數(shù)分布指數(shù)分布2E XD X（ ），（ ）17例6 2( ,),()XXND X 設(shè) 服從求22()221()2xD Xxedx（22222tt edt22222|2

11、ttteedt2注意 對(duì)于任何一個(gè)正態(tài)分布中的參數(shù)都有其自身的意義18三、方差的性質(zhì)三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則是兩個(gè)隨機(jī)變量，則 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)若若 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則有則有()()( )D XYD XD Y此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況的情況.19下面我們證明性質(zhì)下面我們證明性質(zhì)3證明證明)()(2)()()

12、()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 201212211 (1,2,. )(.)()().()()()innnniiiiiiX inD XXXD XD XD XDC XC D X若相互獨(dú)立，則有：進(jìn)一步有： 4. D(X)=0 PX= C=1 ,這里這里C=E(X)推論21例例7 設(shè)設(shè)XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若設(shè)若設(shè)次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXi01i=1,2，n 則則 是是n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1下面我們的舉例說(shuō)明方差性質(zhì)應(yīng)用下面我們的舉例說(shuō)明

13、方差性質(zhì)應(yīng)用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 則則X表示表示n重努里試驗(yàn)中的重努里試驗(yàn)中的22于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互獨(dú)立獨(dú)立niiXDXD1)()(= np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分分布布，所所以以是是可可知知10 iXnpXEXEnii 1)()(則則若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 23且且它它們們相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍仍然然服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布的的常常數(shù)數(shù)是是不不全全為為它它們們的的線線性性組組合合nn

14、nCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且24例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且XN(1,2),YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.解解:=42+1=21-0+3(E(Z), D(Z)Z N(5, 32)且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,YN(0,1)，XN(1,2),則則 ZNE(Z)=2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)= D(2X-Y+3) =4D(X)+D(Y)=92(5)181( ).3 2zZfze25四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪

15、夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)| 的概率越大，即的概率越大，即隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.2 221| )(| XEXP22| )(| XEXP，有不等式則對(duì)于任意正數(shù)方差具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量定理,)(,)(2XDXEX26例例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率之間的概率 .解：解：D(X)=7002P5200 X 9400設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，依題意，E(X)=7300,設(shè)設(shè)A= 每毫升白細(xì)胞數(shù)在每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200940