三角形五心及其性質

1、三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形垂心的性質設ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、 C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的 垂心； 3、 垂心H關于三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上。 4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。 5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一

2、垂心組)。 6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。 7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。 9、 設O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。 11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。 12、西姆松定理（西姆松線）：從一

3、點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 13、 設銳角ABC內有一點T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向徑定義設點H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c， 則h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐標的解析解： 設三個頂點的坐標分別為(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐標x=x/2/，y=-y/2/。 其中， =det(x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2)

4、; x=det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2); y=det(x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3); 垂心的向量特征：三角形ABC內一點O，向量OAOB=OBOC=OCOA，則點O是三角形的垂心 證明由OAOB=OBOC，得 OAOB-OCOB=0 (OA-OC)OB=0 CAOB=0，即OB垂直于AC邊 同理由OBOC=OCOA，可得OC垂直于AB邊 由OAOB=OCOA，得OA垂直于BC邊

5、顯然點O是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。    三角形重心已知：ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。 證明：根據(jù)燕尾定理，SAOB=SAOC，又SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。 重心的幾條性質： 1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4.在平面直角坐標系中，重心的坐

6、標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 證明：剛才證明三線交一時已證。 6.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。 其它規(guī)則圖形的重心注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細棒，平面圖形指薄板。 三角形的重心就是三邊中線的交點。 線段的重心就是線段的中點。 平行四邊形的重心就是其兩條對角線的交點，也是兩對對邊中點連線的交點。 平行六面體的重心就是其四條對角線的交點，也是六對

7、對棱中點連線的交點，也是四對對面重心連線的交點。 圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。 錐體的重心是頂點與底面重心連線的四等分點上最接近底面的一個。 四面體的重心同時也是每個定點與對面重心連線的交點，也是每條棱與對棱中點確定平面的交點。    三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個三角形內角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等。如圖，點M就是ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。 若設O為ABC的旁心,用向量表示則有aOA=

8、bOB+cOC 1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。 2、每個三角形都有三個旁心。內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。    內心定理：三角形的三個內角的角平分線交于一點。該點叫做三角形的內心。 注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。 若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心坐標為(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的內心到邊的距離等于兩直

9、角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。 三角形內心的性質設ABC的內切圓為O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。 1、三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內心。 2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r。 3、r=S/p。 證明：SABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結論。 ABC中，C=90°，r=(a+b-c)/2。 5、BOC=90°+A/2。 6、點O是平面ABC上任意一點，點O是ABC內心的充要條件

10、是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。 7、點O是平面ABC上任意一點，點I是ABC內心的充要條件是： 向量OI=a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)/(a+b+c)。 8、ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC內心I的坐標是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。 9、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI2=R2-2Rr。 10、（內角平分線分三邊長度關系） 角

11、平分線分對邊與該角的兩邊成比例。 證明：ABC中，AD是A的角平分線，D在BC上，abc是角的對邊ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC，R1是ABD的外接圓半徑，R2是ACD的外接圓半徑，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,CAD=BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點,三角形的三個頂點就在這個外接圓上. 三角形外心的性質設ABC的外接圓為G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p

12、=(a+b+c)/2 1：（1）銳角三角形的外心在三角形內； （2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合； （3）鈍角三角形的外心在三角形外. 2：BGC=2A，（或BGC=2(180°-A). 3：點G是平面ABC上一點，那么點G是ABC外心的充要條件是： (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是ABC外心的充要條件是： （1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)