概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章測(cè)試題

1、第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征、選擇題1.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是(A) 8(B) 16(C) 28(D) 442.若隨機(jī)變量 X和Y的協(xié)方差Cov X,Y 0,則以下結(jié)論正確的是()(D) D(XY)=DXDY(A) X 與 Y 相互獨(dú)立 (B) D(X+Y尸DX+DY(C) D(X-Y尸DX-DY3 .設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立,12 ,Y: N2,2；,則 Z X 2Y :()(A) N 12, 12(B)N 12, 12(C) N 1 2 2,124(D)N 12 2, 124 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量E=X

2、+Y與刀=X-Y不相關(guān)的充要條件(A) EX=EY(B) E(X2)- (EX) 2= E(Y2)-(EY) 2(C) E(X 2)= E(Y 2)(D) E(X2)+(EX) 2= E(Y 2)+ (EY) 2的數(shù)學(xué)期望E Z)(A)(B)0(C)(D)12.5 .設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從于N 0,1 ,則Z max X,Y6 .設(shè)X、Y是相互獨(dú)立且在 0, 上服從于均勻分布的隨機(jī)變量，則EminX,Y ()(A) -(B)(C)-(D)-7 .設(shè)隨機(jī)變量 X和Y的方差存在且不等于 0,則D(X+Y尸DX+DY是*和Y ()(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件(B)獨(dú)立的充

3、分條件，但不是必要條件(C)不相關(guān)的充分必要條件(D)獨(dú)立的充分必要條件8 .若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為P X 1n 2n-1 n 1,2,L ，則E X ()2n(A) 2(B) 0(C) ln2 (D)不存在9 .將一枚硬幣重復(fù)擲 n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則 X和Y的相關(guān)系數(shù)等于(A) - 1(B) 0(C) 1(D) 1210 .設(shè)隨機(jī)變量 X和丫獨(dú)立同分布，具有方差2 >0,則隨機(jī)變量U=X+Y V=X-Y(A)獨(dú)立 (B) 不獨(dú)立(C) 相關(guān)(D) 不相關(guān)11 .隨機(jī)變量X的方差存在，且 E(X)=,則對(duì)于任意常數(shù) C,必有 。(A) E(X-C)

4、2=E(X2)-C2(B) E(X-C)2=E(X- )2(C) E(X-C) 2< E(X-)2(D) E(X-C)2 E(X- )212 .設(shè) XU(a,b), E(X)=3, D(X)=-,則 P(1<X<3)=()31 11(A) 0(B) (C) (D)432二、填空題1 .設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為，則E X22 .設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p ,進(jìn)行了 100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng) p 時(shí)，成功的次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為 1 X 03 .設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量Y 0 X 0,則Y的方差1 X 0DY

5、=4 . D X 4, D Y 9 , XY 0.5 ,則 D X Y , D X Y 5 .設(shè)隨機(jī)變量 X服從于參數(shù)為的泊松分布，且已知 E X 1 X 21,則6 .設(shè)(X,Y)的概率分布為:貝U cov(X2,Y2)= 。7 .已知 P(X k) a, (k 1,2,3),則 E(X尸。k8 . XN(,2), 丫N(,2), X與 丫相互獨(dú)立，則 Cov(X+Y, X-Y) =9 .隨機(jī)變量 Xi,X2,X3相互獨(dú)立，且都服從均勻分布 U(0,2), 令X=3Xi-X2+2X3，則E(X)=，D(X) =10 .設(shè)P XY=, Z=,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為11.設(shè)隨機(jī)變量Xj獨(dú)立同分布，

6、EX =2,則行列式X11X21X12X 22XmX2n的數(shù)學(xué)期望EY=XmXn2Xnn三、簡(jiǎn)答題1 .從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 2/5。設(shè)X為同種遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和 數(shù)學(xué)期望。2 .已知隨機(jī)變量X,Y服從二維正態(tài)分布，且 X與Y分別服從正態(tài)分布 N(1,32)與2 1_ X YN(0,4 2),它們的相關(guān)系數(shù)xy 一，令Z 一，求Z的數(shù)學(xué)期望EZ與方差DZ23 2(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)XZ °3 .已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有 3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3

7、件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求(1)乙箱中次品數(shù) X的數(shù)學(xué)期望；(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。4 .游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且 X在0,60上均勻分布，求該游客等彳II時(shí)間Y的數(shù)學(xué)期望。5 . 一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量X與顧客對(duì)某種商品的需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間10,20上的均勻分布。商店沒(méi)售出一單位商品可得利潤(rùn)1000元；若需500元，試計(jì)算求量超過(guò)了供貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品獲利潤(rùn)為此商店經(jīng)銷該種商品每周所得

8、利潤(rùn)的期望值。5的指數(shù)分布；首先開(kāi)動(dòng)其中一6 .兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開(kāi)動(dòng)。試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度f(wàn)、數(shù)學(xué)期望和方差。7 .某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p（0<p<1）,各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格品時(shí)即停機(jī)檢修。設(shè)開(kāi)機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差。1 x 八8 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）2 cos2， 0 x ;對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察 4次，用Y0, 其他，表示觀察值大于 的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望。39 .設(shè)隨機(jī)變量 X, Y相互獨(dú)立，且都服從

9、均值為0,方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X-Y|的方差。10 .假設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)在矩形 G=(x,y)|0<x< 1,0 wyw 1上服從均勻分布。記0,XY;0,X2Y;UV1,XY,1,X2Y,（1）求（U, V）的概率分布；（2）求U和V的相關(guān)系數(shù)r。1,U1;1,U1,11.假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間-2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量1,U1;XY1,U1試求（1） X和Y的聯(lián)合概率分布;D(X+Y)。若B出現(xiàn)；若於出現(xiàn),12.設(shè)A, B是兩個(gè)隨機(jī)事件；隨機(jī)變量X 1,若A出現(xiàn)；Y 1,1,若A不出現(xiàn)，1,試證明隨機(jī)變量 X和Y不相關(guān)的充要條件是 A與B相互獨(dú)立。

10、、選擇題二、填空題1.2.1/2,8/9 4參考答案6.C 7.C 8.D 9. A 10. D18/11 8. 09. 4, 14/3 1011三、簡(jiǎn)答題1.解：X服從二項(xiàng)分布其分布函數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望為EXEZ1EX 31EY 2covX,YDZX0123P27/12554/12536/1258/125其分布律為2、B(3,/,5F(x)0,27/125,81/125,117/125,1,x 0,DX , DYY 1) DX 29XY1,2,3,3.N(1,32),Y:N(0,4 2), xy(2) cov X,Z cov(X, X Y3211cov(X,Y) DY2411-DX cov(X

11、,Y)32326)426)0,XZ(2)又全概率公式，可得4.解：有題意，Y g(X)EY Eg(X)g(x) f (x)dx160 g(x)dx60 01605(0 (5 x)dx255 (25 x)dx5525 (55 x)dx60(65 x)dx) 11.67。55 '3 33.解：(1)由題意知，X服從超幾何分布，故 EX 3 ;6 2C33 C32 c3 2 c£ c311C 6 c66 c66 45 X, 0X5,25 X, 5 X 25,55 X, 25 X 55,60 X 5, 55 X 60.因此5.解：設(shè)Z表示商店每周所得的利潤(rùn)，則Z g(X,Y)1000

12、X1000Y,500(Y X) 500(X Y), YX,X,所以 EZ Eg(X,Y) g(x, y) f (x, y)dxdy2010201000y y-dxdy 10020 y1500(x y)dxdy10 1010014166.67 。6.解：以X和Y表示先后開(kāi)動(dòng)的記錄儀無(wú)故障工作的時(shí)間，則T=X+Y從而有f(t)fX(x)fy(t x)dx25t 5x e05(t x) dx 25te5t由已知,1 EX EY -, DX 5DY125從而有:ET EX EY -, DT5DX7.解:X服從幾何分布,P(X=i)=q i-1EX i 1iqp (qi)i 1p( qi 1EX2P(

13、i(ii 11)qiDXEX2 (EX)2 1p8.解：設(shè)A表示X的觀察值大于0,0,0,DY2o25p, i=1,2, -唱)iqi1)1pq( qi)i 22P2p，故 P(A)P(X 3)1 x ,1一 cos dx 一/3 222由題意可知,5。YB(4,1/2);故 EY2 DY (EY)2 4 19.解：有獨(dú)立正態(tài)分布的性質(zhì),X-YN(0,1)先求E|X Y|z|e2z2萬(wàn)dz2.2 0z2ze 2 dz再求 E | X Y |2 11；所以D|XY|10.解：(1) p(u 0,V0)P(X Y)1； 4P(U0,V1)0；P(U1,V0) P(Y(2)EU3 一,EV412Y) 一 ； P(U4EUV -，可計(jì)算21,V 1)cov(U,V)DU316DV1,最后得到4cov(X,Y)DX DY11.解：(1)P(X1,Y1)P(U1)P(XP(X1,Y1)P( 1U 1)P(X1,Y1)(2)P(X12) - , P(X Y410), P(X所以E(X+Y)=0 ,D(X+Y)=2。12.證明：EX=P(A)-1-P(A)=2P(A)-1,EY=2P(B)-1 ,E(XY) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB)P(A