平穩(wěn)隨機(jī)信號處理20101016

1、平穩(wěn)隨機(jī)信號處理及其在醫(yī)學(xué)信號處理中的應(yīng)用 之前，我們所討論的信號都是確定性的信號，從現(xiàn)在開始，我們討論隨機(jī)信號。隨機(jī)信號和確定性信號不同，它不能通過一個確切的數(shù)學(xué)公式來描述，也不能準(zhǔn)確地予以預(yù)測，因此，對隨機(jī)信號一般只能在統(tǒng)計的意義上來研究。這就決定了其分析與處理的方法和確定性信號相比有著較大的差異。 在工程和生活實(shí)際中，隨機(jī)信號的例子很多，各種無線電系統(tǒng)及電子裝置中的噪聲與干擾，建筑物所承受的風(fēng)載，船在航行是所受到的波浪沖擊，許多生物醫(yī)學(xué)信號（如心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）、肌電圖（EMG）、心音圖（PCG）等，以及我們天天都在發(fā)出的語音信號等都是隨機(jī)的，因此，研究隨機(jī)信號的分析與處

2、理方法有著重要的理論意義與實(shí)際意義。 例：若隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為 則稱x在（a，b）區(qū)間呈均勻分布，區(qū)間（a，b）可以處在x軸上任意位置，求該均勻分布隨機(jī)變量的均值和方差1,( )0axbP xba其他解：1( )()2bxaxmxp x dxdxabba22222( )111()()212xxxbaExmxmp x dxxabdxbaba5.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 嚴(yán)格來說實(shí)際中的信號主要是隨機(jī)信號。表面看來，隨機(jī)信號似乎沒有規(guī)律，其實(shí)它還是有規(guī)律的，不過這種規(guī)律性是通過大量觀測實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計規(guī)律，因此對這類信號的處理需要揭示它們的統(tǒng)計特性，要用到不少概率統(tǒng)計的知識，這里簡要地介紹隨即

3、過程的一般概念極其統(tǒng)計特性。 一隨機(jī)變量、隨機(jī)過程與概率函數(shù) （一）隨機(jī)變量與隨機(jī)過程 隨機(jī)變量 x 表示一個變量能隨機(jī)的取種種數(shù)值，而對應(yīng)于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所取的每一數(shù)值或某一范圍內(nèi)的值，有相應(yīng)的概率，例如打靶，設(shè)表示射靶一次命中環(huán)數(shù)的結(jié)果，其相對應(yīng)的可能值有0，1，2，10等11個數(shù)，顯然，在打靶之前，這些數(shù)雖然是已知的，但我們無法準(zhǔn)確地預(yù)言隨機(jī)變量將取什么值，而只能知道它將以怎樣的概率分別取這些值。 隨機(jī)信號都是一次觀測的結(jié)果。莫爾斯電碼 實(shí)際上隨機(jī)過程的每一次觀測都是不一樣的。 隨機(jī)過程可定義為一個函數(shù)，它在每次觀測的結(jié)果中以一定的概率取某一確定的，但事先未知的時間函數(shù)。 （一）概率分布函數(shù)和

4、概率密度函數(shù) 研究隨機(jī)函數(shù)的統(tǒng)計特性不僅需要知道它的一切可能值，還必須找出與其相應(yīng)概率之間的對應(yīng)關(guān)系，概率函數(shù)從幅度域來描述隨機(jī)函數(shù)的有關(guān)統(tǒng)計規(guī)律性。 分布函數(shù)：以隨機(jī)變量X小于某個可能值x的概率P（X x）來建立隨機(jī)變量的幅度分布規(guī)律，顯然，P（X x）是x的一個函數(shù)，即 P(x)=P（X x） 所以P(x)稱為隨機(jī)變量概率累積分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。在任一區(qū)間(x 1, x 2 ) 范圍的概率為 ，可以表示為：12()P xXx1221()()()P xXxP XxP Xx為了描述連續(xù)型隨機(jī)變量取各個可能值的概率的大小，求落入x與x+x之間的概率更方便些： ()P xXxx 概率密度函數(shù)：

5、表示隨機(jī)變量落入極小區(qū)間x的平均概率簡稱概率密度。概率密度滿足三個特性 ： 0()( )( )limxP xXxxdP xP xxdx ( )0( )1( )( )( )baP xP x dxP bP aP x dx則概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系為：可得： ()( )xP XxP t dt1122()( )xxP xXxP x dxx2x1x0 p（x）P（X0.01，所以 、 不能完全分開，只能在波形的頂部能看出是兩個分量。 圖c是利用Welch平均法求出的周期圖，共分四段，每段32個點(diǎn)，沒有疊加，使用了漢明窗，這使譜密度變的較平滑，但分辨率降低。 圖d亦是用Welch方法求出的平均周期圖，每級

6、32個點(diǎn)，疊合16點(diǎn)，使用了漢明窗。譜變得更加光滑，分辨能力和圖c大體一致。 圖e是用自相關(guān)法求出的功率譜，M=32，沒加窗。 圖f 是只用自相關(guān)法求出的功率譜，M=16，使用了漢明窗。顯然，自相關(guān)函數(shù)的延遲M越小，譜密度變得越平滑。 5.6 短時傅里葉變換短時傅里葉變換 前幾節(jié)討論了平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)和功率譜的估計。所謂平穩(wěn)信號，其主要特點(diǎn)是信號的均值，方差及均方差都不隨時間變換，其自相關(guān)函數(shù)僅和兩個觀察時間的差有關(guān)，而和觀察的具體位置無關(guān)。 平穩(wěn)信號是人們多數(shù)研究信號的一個簡化的、而且也是較為合理的假設(shè)，自然界中的大部分隨機(jī)信號都可以看作是平穩(wěn)的。 但是，在實(shí)際中的卻存在非平穩(wěn)信號，這

7、一類信號的均值及方差在隨時間而變化，其自相關(guān)函數(shù)也和觀察的具體時間位置有關(guān)，而且信號的頻率也會隨時間而變化。如語音、腦電及其它含有較多突變分量的信號。 非平穩(wěn)信號又稱為時變信號。對這一類信號，其一階、二階統(tǒng)計量和功率譜的估計顯然不能簡單地使用平穩(wěn)信號的估計方法，研究和處理中必須考慮它們的時變因素。 對平穩(wěn)信號，前述的經(jīng)典功率譜估計方法都是建立在傳統(tǒng)的傅里葉變換的基礎(chǔ)上的。估計中本省就存在著問題（如窗函數(shù)產(chǎn)生泄露問題）。其實(shí)，傅里葉變換在信號的分析中自身就存在著不足，即缺乏時頻定位功能。 傅里葉變換的表達(dá)式為：()( )( ), 5.6.111( )()(), 5.6.222j tj tj tj

8、 tX jx t edtx t ex tX jedX je 00()X j0( )x t()X j()X j()X j( )x t顯然，對給定的某一個頻率（如 ），為求得該頻率處的傅里葉變換 ，式對t的積分需要從 到 ，即需要整個 x(t) 的“知識”。反之，如果我們要求某一時刻如 ，由式，我們需要將 對 從 到 做積分，同時也需要 整個的“知識”。實(shí)際上，由式所得到的 是信號 在整個積分區(qū)間的時間范圍內(nèi)所具有的頻率特征的平均表示。因此，我們?nèi)绻胫涝谀骋粋€特定時間（如 ）所對應(yīng)的頻率是多少，或?qū)δ骋粋€特定頻率（如 ）所對應(yīng)的時間是多少，那么傅立葉變換則無能為力。也就是說，傅立葉變換不具有時

9、間和頻率的“定位”能力。傅立葉變換的這一缺點(diǎn)對統(tǒng)計特性不斷隨時間變化的非平穩(wěn)信號來說，使用起來更加困難。0t 0因此，對非平穩(wěn)信號，人們希望能有一種分析方法，把時域分析和頻域分析結(jié)合起來，即找到一個二維函數(shù)，它既能反映該信號的頻率內(nèi)容，也能反映出該頻率內(nèi)容隨時間變化的規(guī)律。研究這一問題的信號處理的理論稱為信號的聯(lián)合時頻分布。其中最重要的是以Cohen類為代表的雙線性時頻分布。()1( ,)()() ( , )222jtuxC tx ux ugedud d N2N1，321 。x(n)的波形如圖a所示，x(n)的傅立葉變換的幅頻特性 如圖b所示。 ()jX e從圖中我們只能看到在1，2，3處有三

10、個頻率分量，并知道這三個頻率分量的大小，但看不出x(n)在何時有1，何時有2，3，即傅立葉變換無時間定位功能。 (a) (b)0100200300400500600-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810102030405060708090100020406080100120圖c是用STFT求出的x(n)的聯(lián)合時頻分布后，再求幅平方得到的譜圖。該圖是三維圖形的二維投影，一個軸是時間，一個軸是頻率。由該圖可以清楚地看到x(n)的時間與頻率的關(guān)系。 TimeFrequency02040608010012014016018000.050.10.150.20.25(c)2(

11、)exp()exp()x nj njn n 例2、令該信號稱作線性調(diào)頻信號，也稱作Chirp信號，其頻率與時間n成正比，00.511.522.5x 105-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t無論從時域還是頻域，都很難看出該信號的調(diào)制類型及其他特點(diǎn)。050010001500200025003000350040004500020406080100120140160180200從x(n)的時頻分布圖上，我們可以看出，該信號的頻率與時間成正比，而且信號的能量主要集中在時間-頻率平面的一條曲線上。TimeFrequencyQuadractic Chip: start at

12、100Hz and cross 200Hz at t=1sec00.511.522.533.5050100150200250300350400450500Matlab的specgram.m文件可用來求出一個信號的頻譜，并繪出其三維圖形。t=-2:0.001:2; % +/-2 secs 1kHz sample ratey=chirp(t,100,1,200,q); % Start 100Hz, cross 200Hz at t=1sec specgram(y,128,1E3,128,120); % Display the spectrogramhelp specgramSPECGRAM Spectrogram using a Short-Time Fourier Transform (STFT).B = SPECGRAM(A) ca