隨機事件的概率 (2)ppt課件

1、 研討隨機景象，不僅關懷實驗中會出研討隨機景象，不僅關懷實驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的能夠性大小，也就是事件的概率的能夠性大小，也就是事件的概率. .1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率概率是隨機事件概率是隨機事件發(fā)生能夠性大小發(fā)生能夠性大小的度量的度量 事件發(fā)生的能夠性越大，概率就越大！ 了解事件發(fā)生的能夠性即概率的了解事件發(fā)生的能夠性即概率的大小非常有意義，大小非常有意義， 例如，了解發(fā)生不測人身事故的能例如，了解發(fā)生不測人身事故的能夠性大小，確定保險金額夠性大小，確定保險金額. 了解來商場購物的顧客人數的各種能了解來商場購物的顧客人數

2、的各種能夠性大小，合理配置效力人員夠性大小，合理配置效力人員. 了解每年最大洪水超警戒線能夠性大了解每年最大洪水超警戒線能夠性大小，合理確定堤壩高度等小，合理確定堤壩高度等.一概率的統(tǒng)計性定義一概率的統(tǒng)計性定義nmAf)(為事件為事件 A 在這在這n 次實驗中出現的頻率，次實驗中出現的頻率，m 稱為頻數稱為頻數易見，頻率具有如下的性質：易見，頻率具有如下的性質：)()( ,)3(; 1)()2( ; 1)(0)1(21niiniinAfAfAAAfAf則兩兩互斥若 雖然在一次實驗中能夠出現這種結果雖然在一次實驗中能夠出現這種結果,也能夠出現也能夠出現那種結果那種結果. 但在大量反復實驗中但在大

3、量反復實驗中, 一個事件的頻率將逐一個事件的頻率將逐漸穩(wěn)定于某個常數漸穩(wěn)定于某個常數p (0p1)，是一種客觀的內在屬性，是一種客觀的內在屬性，顯然顯然p越大越大, 事件發(fā)生的能夠性也越大事件發(fā)生的能夠性也越大; 反之亦然反之亦然p 以數量的方式反映了事件發(fā)生的能夠性的大小我們以數量的方式反映了事件發(fā)生的能夠性的大小我們把把p 叫做事件的概率叫做事件的概率(2)概率的統(tǒng)計性定義概率的統(tǒng)計性定義: 在大量反復實驗中，在大量反復實驗中，事件事件A頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數 p附近，附近，那么稱該常數那么稱該常數 p為事件為事件A的概率記為的概率記為: P(A)=p)()( ,)3

4、(; 1)()2( ; 1)(0) 1 (21niiniinAPAPAAAPAP則兩兩互斥若概率的統(tǒng)計性定義籠統(tǒng)，直觀，但缺乏數學定概率的統(tǒng)計性定義籠統(tǒng)，直觀，但缺乏數學定義的嚴密性，后面將概率的公理化定義義的嚴密性，后面將概率的公理化定義. 下面是古典概率的計算下面是古典概率的計算如：拋硬幣時，如：拋硬幣時，A=“正面向上，那么正面向上，那么P(A)0.51.古典概型定義古典概型定義: 假設隨機實驗滿足下述兩個條件：假設隨機實驗滿足下述兩個條件： (1) 它的樣本空間只需有限多個樣本點；它的樣本空間只需有限多個樣本點； (2) 每個樣本點出現的能夠性一樣每個樣本點出現的能夠性一樣. 稱這種實

5、驗為有窮等能夠隨機實驗稱這種實驗為有窮等能夠隨機實驗 或古典概型隨機實驗或古典概型隨機實驗, 簡稱古典概型簡稱古典概型.二、古典概型：二、古典概型：2、古典概型中事件概率的計算、古典概型中事件概率的計算定義定義2 設實驗設實驗E是古典概型是古典概型, 其樣本空其樣本空間間由由n個樣本點組成個樣本點組成 , 事件事件A由由k個樣本個樣本點組成點組成 . 那么定義事件那么定義事件A的概率為：的概率為：稱此概率為古典概率稱此概率為古典概率. 這種確定概率這種確定概率的方法稱為古典方法的方法稱為古典方法 . k A包含的樣本點數包含的樣本點數 P(A) n 中的樣本點總數中的樣本點總數下面經過例子來引

6、見如何計算古典概率下面經過例子來引見如何計算古典概率.乘法原理、陳列、組合常用工具：乘法原理、陳列、組合常用工具：根身手件思索順序時用乘法原理、陳列，根身手件思索順序時用乘法原理、陳列，不思索順序時用組合。不思索順序時用組合。1)( .21tmmmt乘法原理：乘法原理：一個過程分為一個過程分為 t 個階個階段段無反復陳列無反復陳列:組合組合:)!(!) 1() 1(rnnrnnnPArnrnrnnrnrArnCrnrn , !3、古典概率計算舉例、古典概率計算舉例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七個字七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒

7、中，現從盒中恣意一張卡片放入同一盒中，現從盒中恣意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設陳列結果恰好拼成一序排成一列，假設陳列結果恰好拼成一個英文單詞：個英文單詞：S C I E N C E問：出現這一結果的概率是多少？問：出現這一結果的概率是多少？拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數為的情況數為故該結果出現的概率為：故該結果出現的概率為： 這個概率很小，這里算出的概率有如這個概率很小，這里算出的概率有如下的實踐意義：假設多次反復這一抽卡實下的實踐意義：假設多次反復這一抽卡實驗，那么我們所關懷的事件在驗，那么我們所關懷的事件在126

8、0次實驗次實驗中大約出現中大約出現1次次 .42200079. 012601! 74p解：七個字母的陳列總數為解：七個字母的陳列總數為7！ 這樣小概率的事件在一次抽卡的實驗這樣小概率的事件在一次抽卡的實驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握疑心這中就發(fā)生了，人們有比較大的把握疑心這是魔術是魔術. 詳細地說，可以詳細地說，可以99.9%的把握疑心這的把握疑心這是魔術是魔術.解：解：=0.3024允許反復的陳列允許反復的陳列問：問：錯在何處？錯在何處？例例2 某城市的號碼由某城市的號碼由5個數字組成，每個個數字組成，每個數字能夠是從數字能夠是從0-9這十個數字中的任一個，這十個數字中的任一個，求號碼由五

9、個不同數字組成的概率求號碼由五個不同數字組成的概率.計算樣本空間樣本點總數和所求事件計算樣本空間樣本點總數和所求事件所含樣本點數計數方法不同所含樣本點數計數方法不同.從從10個不同數字中個不同數字中取取5個的陳列個的陳列551010Pp 551010Cp (1) 有放回抽樣有放回抽樣問問: A=“抽取抽取3只球全為紅球只球全為紅球 的概率的概率 P(A)是多少？是多少？例例3 袋中有袋中有100只球，其中只球，其中60只紅球只紅球,40只白球只白球,從中恣意抽取從中恣意抽取3只，抽法分別為：只，抽法分別為：(2) 無放回抽樣無放回抽樣(3) 一次取出一次取出解：解：216. 010060)(

10、) 1 (33Ap212. 0)( ) 2(3100360AAAp212. 0)( ) 3 (3100360CCAp例例 設有設有N件產品件產品,其中有其中有M件次品件次品,現從現從這這N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概件次品的概率率.這是一種無放回抽樣這是一種無放回抽樣.解：令解：令A=恰有恰有k件次品件次品 P(A)=？nNknMNkMAP)(次品次品正品正品M件件次品次品N-M件件正品正品解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法總數為的分法總數為而出現事件而出現事件A的分法數為的分法數為n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!

11、2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例5. n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機地分成只，隨機地分成n堆，堆，每堆每堆2只只 . 問問:“各堆都自成一雙鞋各堆都自成一雙鞋(事件事件A)的的概率是多少？概率是多少？(乘法原理乘法原理)(3) C=某指定的一間房中恰有某指定的一間房中恰有m人人(mn).例例6. 有有n個人，每個人都以一樣的個人，每個人都以一樣的概率概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每間房的每一間中，求以下事件的概率一間中，求以下事件的概率:(2) B=恰有恰有n間房中各有一人。間房中各有一人。(1) A=指定的指定的n間房中各有一人間房中各有一人.解：一個

12、人可進入任一房間，同解：一個人可進入任一房間，同一房間可進入多人一房間可進入多人. 由乘法原理由乘法原理n個人分配到個人分配到N個房間的分法總數個房間的分法總數為：為：nNnNnAP!)( )1()(!)( )2(nNNNNnBPnnnNCnmnmnNNCPC) 1()( ) 3(所以所以 我們引見了古典概型我們引見了古典概型. 古典概型古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的運用雖然比較簡單，但它有多方面的運用.是常見的幾種模型是常見的幾種模型 .箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱隨機取數隨機取數分組分配分組分配擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子, 求出現點數之和是求出現點數之和是8的概率的概率.答案：

13、答案：P=5/36 擲一顆骰子擲一顆骰子, 有有6個等能夠的結果個等能夠的結果, 擲兩顆骰子擲兩顆骰子,有有66=36個等能夠結果個等能夠結果. 設設X為第一顆骰子擲出的點數為第一顆骰子擲出的點數, Y為第二顆骰為第二顆骰子擲出的點數。子擲出的點數。A=X+Y=8, 只需只需 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)。取數問題取數問題:在用陳列組合公式計算古典概率時，必需留在用陳列組合公式計算古典概率時，必需留意不要反復計數，也不要脫漏意不要反復計數，也不要脫漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只鞋子中只鞋子中“至少有兩只配成一雙

14、事至少有兩只配成一雙事件件A的概率是多少？的概率是多少？ 下面的算法錯在哪里？下面的算法錯在哪里？4102815)(CCCAP錯在同樣的錯在同樣的“4只配成兩雙只配成兩雙算了兩次算了兩次.97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只2113218121)(1)()(410445410252815CCAPAPCCCCAP或或應為應為:“分球入箱問題分球入箱問題(分房問題、生日問分房問題、生日問題題)設有設有n個球，每個都以一樣的概率個球，每個都以一樣的概率1/N(Nn)落入落入N個箱子中的每一個中。根據以下條件，求個箱子中的每一個中。根據以下條件，求:

15、事件事件A=某預先指定的某預先指定的n個箱子中各有一球個箱子中各有一球 的概的概率率 p.生日問題：生日問題： 有有n個人，設每個人的生日是任一天的概個人，設每個人的生日是任一天的概率為率為1/365. 求這求這n (n 365)個人的生日互不一個人的生日互不一樣的概率樣的概率. 早在概率論開展初期，人們就認識到，早在概率論開展初期，人們就認識到，只思索有限個等能夠樣本點的古典方法是不只思索有限個等能夠樣本點的古典方法是不夠的夠的. 把等能夠推行到無限個樣本點場所把等能夠推行到無限個樣本點場所,人們人們引入了幾何概型引入了幾何概型. 由此構成了確定概率的另由此構成了確定概率的另一方法一方法幾何

16、方法幾何方法.三幾何概型三幾何概型設事件設事件A是是的某個區(qū)域，它的面積為的某個區(qū)域，它的面積為 (A)，那么向區(qū)域，那么向區(qū)域上隨機投擲一點，該上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域點落在區(qū)域A的概率為的概率為)()()(AAP(*)假設樣本空間假設樣本空間可用一線段，或空間中某可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向個區(qū)域表示，并且向上隨機投擲一點的含上隨機投擲一點的含義如前述，那么事件義如前述，那么事件A的概率仍可用的概率仍可用(*)式確式確定定, 只不過把只不過把()了解為長度或體積即可了解為長度或體積即可.例例: 會面問題。會面問題。 甲乙欲在某一長度為甲乙欲在某一長度為 T 的時間段內會面，

17、的時間段內會面，二人在該時間段內任何時辰到達的能夠性二人在該時間段內任何時辰到達的能夠性一樣，商定某人到達后最多等待時間為一樣，商定某人到達后最多等待時間為 t 求：求：A=“二人能會面的概率二人能會面的概率解：設解：設 x, y 表示甲乙到達的時辰瞬間表示甲乙到達的時辰瞬間, 那么那么TttyxyxATyTxyx0 , ),(0 ,0 ),(x,y) 落在落在 內任一區(qū)域內的內任一區(qū)域內的概率與面積成正比概率與面積成正比, 所以所以2222)1 (1)()(TtTtTTAP四概率的公理化定義四概率的公理化定義公理公理2 P()=1 (2)公理公理3 假設事件假設事件A1, A2 , 兩兩互不

18、相容，兩兩互不相容，那么有那么有 P(A1+A2 + )=P(A1)+P(A2)+ (3) 這里事件個數可以是有限或無限的這里事件個數可以是有限或無限的 .公理公理1 0P(A)1 (1) 設設E是隨機實驗是隨機實驗, 是它的樣本空間，對于是它的樣本空間，對于中的中的每一個事件每一個事件A，賦予一個實數，記為，賦予一個實數，記為P(A) ，稱為事，稱為事件件A的概率，假設函數的概率，假設函數 P(A) 滿足下述三條公理滿足下述三條公理:A 性質性質1. 對任一事件對任一事件A ，有，有)(1)(APAP互互斥斥與與因因為為AAAA )()()( APAPP所以 由概率的三條公理由概率的三條公理, 可以推導出概率的假設干可以推導出概率的假設干性質性質. 下面我們就來討論概率的一些簡單性質下面我們就來討論概率的一些簡單性質. 性質性質2P()=0 A即不能夠事件的概率為即不能夠事件的概率為0 .由于由于AA ,再利用性質再利用性質1及公理及公理2即得即得.)()(ABAPBP移項得移項得 (1),再由再由 P(B-A)0 便得便得 (2) .)(ABA)()(ABPAP由可加性由可加性 性質性質3 設、設、B是兩個事件，假設是兩個事件，假設 , 那那么么 有有 (1) )()()(APBPABP)()(APBPBA(2)BA)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又