概率論與數(shù)理統(tǒng)計魏宗舒第二章模版ppt課件

1、第二章第二章 離散型隨機變量離散型隨機變量例例1.1.察看一天中進入某商店的顧客人數(shù)。察看一天中進入某商店的顧客人數(shù)。= | 一天中進入一天中進入商店有商店有 個顧客個顧客R = 0,1,2,一、隨機變量一、隨機變量2.1 一維隨機變量及分布列一維隨機變量及分布列例例2.2.袋中有袋中有 3 3 只黑球，只黑球，2 2 只白球，從中恣意取出只白球，從中恣意取出 3 3 只球，觀只球，觀察取出的察取出的 3 3 只球中的黑球的個數(shù)。我們將只球中的黑球的個數(shù)。我們將 3 3 只黑球分別記只黑球分別記作作 1 1，2 2，3 3 號，號，2 2 只白球分別記作只白球分別記作 4 4，5 5 號，那么

2、該實驗的樣號，那么該實驗的樣本空間為本空間為543542532432541531431521421321， 我們記取出的黑球數(shù)為我們記取出的黑球數(shù)為，那么，那么的能夠取值為的能夠取值為 1，2，3因此，因此， 是一個變量。但是，是一個變量。但是， 取什么值依賴于實驗結果，取什么值依賴于實驗結果，即即 的取值帶有隨機性，所以，我們稱的取值帶有隨機性，所以，我們稱 為隨機變量。為隨機變量。 的取值情況可由下表給出：的取值情況可由下表給出： 由上表可以看出，該隨機實驗的每一個結果都對應著變量由上表可以看出，該隨機實驗的每一個結果都對應著變量 的一個確定的取值，因此變量的一個確定的取值，因此變量是樣本

3、空間是樣本空間 上的函數(shù)：上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件。例如劃隨機事件。例如 22|2 表示至少取出表示至少取出2個黑球這一事件，等等。個黑球這一事件，等等。 表示取出表示取出2個黑球這一事件；個黑球這一事件；隨機變量的定義： 設 (, F, P ) 是一個概率空間，對于, ( )是一個取實值的單值函數(shù), 那么稱( )為隨機變量。12R3說說 明：明：、文字母隨機變量常用大寫的英ZYX寫字母等來表示。而以英文小、或希臘字母常關心的是它的取值。對于隨機變量，我們常隨機事件。描述要用隨機變量的取值來我們

4、設立隨機變量，是、wzyx表示實數(shù)。表示實數(shù)。引入隨機變量的目的：引入隨機變量的目的： 普通地，假設普通地，假設 L 是一個實數(shù)集合，將是一個實數(shù)集合，將 在在 L 上的取值寫上的取值寫成成 L，用其表示事件，用其表示事件 B=|()L ，即，即 B 是是由由中使得中使得()L 的一切樣本點所組成的事件，此時有的一切樣本點所組成的事件，此時有.)(|)(LPBPLP隨機變量的取值具有一定的概率。隨機變量的取值具有一定的概率。具有隨機性具有隨機性: 在一次實驗之前不知道它取哪一個值，但在一次實驗之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部能夠的取值。事先知道它全部能夠的取值。 隨機變量的特點隨機變量

5、的特點:用隨機變量的取值表示隨機事件。用隨機變量的取值表示隨機事件。例例3. 擲一顆骰子，令：擲一顆骰子，令： ：出現(xiàn)的點數(shù)。：出現(xiàn)的點數(shù)。 那么那么就是一個隨機變量。它的取值為就是一個隨機變量。它的取值為 1，2，3，4，5，64 表示擲出的點數(shù)不超越表示擲出的點數(shù)不超越 4 這一隨機事件；這一隨機事件；取偶數(shù) 表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件。表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件。例例4. 一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品有 50 件，其中有件，其中有 8 件次品，件次品，42 件正品。現(xiàn)件正品?，F(xiàn)從中取出從中取出 6 件，令：件，令： X：取出：取出 6 件產(chǎn)品中的次品數(shù)。件產(chǎn)品中的次品數(shù)。那么那么 X

6、就是一個隨機變量。它的取值為就是一個隨機變量。它的取值為 0，1，2，60X表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機事件；表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機事件；1X表示取出的產(chǎn)品至少有一件次品這一隨機事件。表示取出的產(chǎn)品至少有一件次品這一隨機事件。例例5. 上午上午 8:009:00 在某路口察看，令：在某路口察看，令： Y：該時間間隔內(nèi)經(jīng)過的汽車數(shù)。：該時間間隔內(nèi)經(jīng)過的汽車數(shù)。那么那么 Y 就是一個隨機變量。它的取值為就是一個隨機變量。它的取值為 0，1，100Y表示經(jīng)過的汽車數(shù)小于表示經(jīng)過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；輛這一隨機事件；10050Y表示經(jīng)過的汽車數(shù)大于表示經(jīng)過的汽車數(shù)大于 50 輛但

7、不超越輛但不超越 100 輛這一隨機事件。輛這一隨機事件。 留意：留意： Y 的取值是可列無窮個！的取值是可列無窮個！例例6. 察看某生物的壽命單位：小時，令：察看某生物的壽命單位：小時，令： Z：該生物的壽命。：該生物的壽命。那么那么 Z 就是一個隨機變量它的取值為一切非負實數(shù)。就是一個隨機變量它的取值為一切非負實數(shù)。1500Z3000Z表示該生物的壽命大于表示該生物的壽命大于 3000小時這一隨機事件。小時這一隨機事件。表示該生物的壽命不超越表示該生物的壽命不超越1500小時這一隨機事件。小時這一隨機事件。留意：留意： Z Z 的取值是不可列無窮個！的取值是不可列無窮個！例例7. 擲一枚硬

8、幣，令：擲一枚硬幣，令：擲硬幣出現(xiàn)反面，擲硬幣出現(xiàn)正面，01那么那么 是一個隨機變量。是一個隨機變量。例例8. 擲一枚骰子，在例擲一枚骰子，在例3中，我們定義了隨機變量中，我們定義了隨機變量 表示出現(xiàn)表示出現(xiàn)的點數(shù)。我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定的點數(shù)。我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：義：出現(xiàn)奇數(shù)點。出現(xiàn)偶數(shù)點，01。點數(shù)不為，點數(shù)為6061說說 明：在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量。明：在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量。隨隨機機變變量量離散型離散型延續(xù)型延續(xù)型有限個或可列個可有限個或可列個可能值能值全部能夠取值不僅無窮全部能夠取值不僅無窮多，而且

9、還不能一一列多，而且還不能一一列舉，而是充溢一個區(qū)間。舉，而是充溢一個區(qū)間。l隨機變量的分類隨機變量的分類非離散型非離散型其他其他二二 離散型隨機變量與分布列離散型隨機變量與分布列定義定義1：假設隨機變量：假設隨機變量的取值是有限個或可列無窮個，那么的取值是有限個或可列無窮個，那么稱稱為離散型隨機變量。為離散型隨機變量。顯然，要掌握一個離散型隨機變量顯然，要掌握一個離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，必需的統(tǒng)計規(guī)律性，必需且只需知道且只需知道的一切能夠取值以及每個能夠值的概率。的一切能夠取值以及每個能夠值的概率。 定義2.1 定義在樣本空間 上，取值于實數(shù)域 R，且只取有限個或可列個值的變量稱作一維實

10、值離散型隨機變量，簡稱為離散型隨機變量。( ) 定義定義2：設離散型隨機變量：設離散型隨機變量的一切能夠取值為的一切能夠取值為，nxxx21.,2, 1npxPnn，并設并設那么稱上式或那么稱上式或為離散型隨機變量為離散型隨機變量的分布列或概率函數(shù)、或分布。的分布列或概率函數(shù)、或分布。說說 明：離散型隨機變量可完全由其分布列來刻劃，即離散明：離散型隨機變量可完全由其分布列來刻劃，即離散型隨機變量可完全由其的能夠取值以及取這些值的概率獨一型隨機變量可完全由其的能夠取值以及取這些值的概率獨一確定。確定。離散型隨機變量分布列的性質(zhì)離散型隨機變量分布列的性質(zhì):；，有對任意的自然數(shù)0npn. 1nnp；

11、，使得必存在一個)(max)3(00nnnppn的最大可能值。為隨機變量，我們稱由于000nnnxpxp106551041，kCCkXPk例例1 從從 110 這這 10 個數(shù)字中隨機取出個數(shù)字中隨機取出 5 個數(shù)字，令：個數(shù)字，令： X：取出的：取出的 5 個數(shù)字中的最大值。個數(shù)字中的最大值。試求試求 X 的分布列。的分布列。解：解： X 的取值為的取值為 5，6，7，8，9，10并且并且詳細寫出，即可得詳細寫出，即可得 X 的分布列：的分布列：例例2 將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次，令：次，令： X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差。：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差。試求試求 X 的分布列。

12、的分布列。解：解： X 的取值為的取值為 -3，-1，1，3 并且并且.543167164163XPXPXP例例3 設離散型隨機變量設離散型隨機變量 X 的分布列為的分布列為X012345P161163161164163164那么那么.2102165161163161XPXPXPXP.2135 . 041161163XPXPXP例例4 設隨機變量設隨機變量 X 的分布列為的分布列為， 2141ncnXPn試求常數(shù)c解：由隨機變量的性質(zhì)，得解：由隨機變量的性質(zhì)，得11411nnncnXP該級數(shù)為等比級數(shù)，故有該級數(shù)為等比級數(shù)，故有11411nnncnXP.14141 c所以所以3c一些重要的離散

13、型隨機變量1) 退化分布或單點分布：退化分布或單點分布：1 cXP假設隨機變量假設隨機變量 X 的分布列為的分布列為單點分布的概率背景：單點分布的概率背景：隨機變量隨機變量 X 以概率以概率 1 取值取值 c。2) 兩點分布：兩點分布：pXPpXP110，為參數(shù)其中10 p (1,)Xbp記作兩點分布也稱作兩點分布也稱作 0-1分布或分布或Bernoulli分布。分布。假設隨機變量假設隨機變量 X 的分布列為的分布列為兩點分布的概率背景兩點分布的概率背景進展一次進展一次 Bernoulli實驗，設：實驗，設： .1qpAPpAP， 令令 X：在這次：在這次 Bernoulli實驗中事件實驗中事

14、件 A 發(fā)生的次數(shù)。發(fā)生的次數(shù)?；蛘哒f令或者說令不發(fā)生若事件發(fā)生若事件AAX011,.Xbp則.154115110XPXP，例例5 15 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 4 件次品，件次品，11 件正品。從中取出件正品。從中取出 1 件，件， 令令 X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)。：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)。那么那么 X 的取值為的取值為 0 或者或者 1，并且，并且，即：1541 bX3二二 項項 分分 布：布： 假設隨機變量假設隨機變量 X 的分布列為的分布列為10,1,n kkknP XkC ppkn為參數(shù)為自然數(shù)，其中10 pnpnbXpnX, 的二項分布，記作服從參數(shù)為則稱隨機變量顯然，當顯然，

15、當 n=1 時時分布。兩點服從此時，X1,Xbp一個特例。兩點分布是二項分布的這說明，; ,1(0,1, )n kkknb k n pP XkC ppkn又記：。二項分布的概率背景二項分布的概率背景 進展進展 n 重重 Bernoulli實驗，設在每次實驗中實驗，設在每次實驗中 .1qpAPpAP，令令 X：在這次：在這次Bernoulli實驗中事件實驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)。于是發(fā)生的次數(shù)。于是,.Xb n p則10,1,n kkknP XkC ppkn例例6 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個能夠答案，其中個能夠答案，其中只需一個答案是正確的某學生靠猜測

16、至少能答對只需一個答案是正確的某學生靠猜測至少能答對4道題的概道題的概率是多少？率是多少？解：每答一道題相當于做一次解：每答一道題相當于做一次Bernoulli實驗，設實驗，設的題數(shù)，：該學生靠猜測能答對設：X .41APA，則答對一道題那么答那么答5道題相當于做道題相當于做5重重Bernoulli實驗。實驗。)., 5(41bX則5444XPXPXPP道題至少能答對所以，.)()(6415414344145 C二項分布的分布形狀二項分布的分布形狀由此可知，二項分布的分布：由此可知，二項分布的分布：,Xb n p若， 則.1111pqkqkpnkXPkXP，其中先是隨著先是隨著 k 的增大而增

17、大，到達其最大值后再隨著的增大而增大，到達其最大值后再隨著 k 的增的增大大而減少這個使得而減少這個使得kXP能出現(xiàn)次數(shù)。稱為該二項分布的最可達到其最大值的m；不是整數(shù)，則如果pnmpn11.1111pnpnmpn或是整數(shù)，則如果例例7 對同一目的進展對同一目的進展400次獨立射擊，設每次射擊時的命中次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為率均為0.02，試求，試求400次射擊最能夠命中幾次？其相應的概次射擊最能夠命中幾次？其相應的概率是多少？率是多少？解：對目的進展解：對目的進展400 次射擊相當于做次射擊相當于做400重重Bernoulli實驗。實驗。 令：令：射擊中命中目標的次數(shù)： 400X

18、 那么由題意那么由題意400, 0.02Xb其概率為次數(shù)為所以最有可能命中，它不是整數(shù)由于. 802. 8,02. 802. 01400m.98. 002. 0839288400CXP4 4Poisson Poisson 分布分布假設隨機變量假設隨機變量 X 的分布列為的分布列為0,1, 2,!kP Xkekk.0為常數(shù)其中那么稱隨機變量那么稱隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 Poisson 分布。并記作分布。并記作 ,PX;(0,1,)!kP kekk又記：。分布列性質(zhì)的驗證分布列性質(zhì)的驗證 由于由于可知對恣意的自然數(shù)可知對恣意的自然數(shù) k，有，有. 0!ekk 又由冪級數(shù)的展開式，

19、可知又由冪級數(shù)的展開式，可知00!kkkkkeek所以所以ee. 10,1, 2,!kP Xkekk滿足分布列性質(zhì)。滿足分布列性質(zhì)。, 0Poisson分布的運用分布的運用 Poisson分布是概率論中重要的分布之一。自然界及工程技術中的許多隨機目的都服從Poisson分布。 例如，可以證明，總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某效力臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的。例例8 設隨機變量設隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的Poisson分布，且知分布，且知.21XPXP解

20、：隨機變量解：隨機變量 X 的分布列為的分布列為試求4XP0,1, 2,!kP Xkekk由知由知 得得 ,21XPXP,!2! 121ee由此解得由此解得=2. 從而從而24! 424eXP232e.09022. 0效顯著”的概率。“療次感冒，試求此藥對他中，他得了用此藥一年，在這一年現(xiàn)某人服的人來講，則是無效的余（療效一般）；而對其降為的人來講，可將參數(shù)（療效顯著）；對另為降數(shù)的人來講，可將上述參，它對現(xiàn)有一種預防感冒的藥分布，的冒次數(shù)服從參數(shù)設一個人在一年內(nèi)的感3%254%451%305Poisson例例9解：設解：設 B= 此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 ,，該藥療效顯著1A，該藥療效一般2A，該藥無效3A那么由那么由Bayes公式，得公式，得332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP53431313! 3525. 0! 3445. 0! 3130. 0! 3130. 0eeee.1301. 0,01 (1,2,)lim0nnnnppnnp設有一串正數(shù)且，。若，則).;(1lim),;(limkPekppCpnkbkknnknknnnn！PoissonP