2019屆上海市曹楊二中高三上學期期中數(shù)學試題(解析版)

1、第1 1頁共 1717 頁2019屆上海市曹楊二中高三上學期期中數(shù)學試題一、單選題1 1 函數(shù)f(x) =X2-1(X_1)的反函數(shù)為f(X)，則f(2)的值是()A.A.、,3B.fB.f3C.C.1x2D.D.1 2【答案】A A【解析】根據(jù)反函數(shù)的求法，先求得函數(shù)的反函數(shù)，再代入求值即可 【詳解】2因為函數(shù)f(x)=x-1(x_1)令y = x2-1則x =y2-1所以y二,X 1因為函數(shù)f(X)= x2-1中X -1根據(jù)反函數(shù)的性質可知其反函數(shù)的y -1所以反函數(shù)f，X x，1 x_-1所以f221-、3故選: :A A【點睛】本題考查了反函數(shù)的求法及求函數(shù)值，注意求得反函數(shù)的定義域、

2、值域與原函數(shù)互換的性質，屬于基礎題. ._ 12 2若函數(shù).-在0,上單調遞增，那么實數(shù)a的取值范圍是()JCA.A.a -0B.B.a 0C.C.a乞0D.D.a 0【答案】A Aax*1【解析】試題分析：函數(shù)=-在0,上單調遞增，所以X第2 2頁共 1717 頁f (x) =(ax與=型斧一二獎丿0在0,上恒成立，所以a-0. .XXX第3 3頁共 1717 頁【考點】本小題主要考查導數(shù)的計算和由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍，考查學生轉化問題的能力和運算求解能力 點評：注意到題目中應該是f(x)_O在0,=上恒成立，而不是f (x) . 0在0,:上恒成立，否則就漏解了 3 3如圖所示，點

3、P是函數(shù)y=2sin( )(xR R ,- 0)的圖像的最高點，M、N是該圖像與x軸的交點，若 PMNPMN 是等腰直角三角形，則：=()【答案】B B而求出周期后即可得的值. .【詳解】 因為函數(shù)y二2sin(x) 所以最大值為 2 2因為PMN是等腰直角三角形所以MN =2 2 =4由圖像可知，函數(shù)周期為T =2 4=82兀2兀 兀由周期公式可得 T 84故選: :B B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質 ，根據(jù)部分函數(shù)圖像求解析式問題 ，屬于基礎題 4 4 幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件 為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了 解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動 這款軟件

4、的激活碼為下面數(shù)學問題的答 案：已知數(shù)列 1 1, 1 1, 2 2, 1 1, 2 2, 4 4, 1 1, 2 2, 4 4, 8 8, 1 1, 2 2, 4 4, 8 8, 1616,，其中第一項是2 2,接下來的兩項是 2 2, 2 21 1,再接下來的三項是 2 2, 2 21 1, 2 22 2,依此類推. .求滿足如下條件的最小整數(shù) N N : N100N100 且該數(shù)列的前 N N 項和為 2 2 的整數(shù)幕. .那么該款軟件的激活碼是JIA.A.8兀B.B.4兀C.-C.-2D.D.【解析】 根據(jù) PMNPMN 是等腰直角三角形, ,結合三角函數(shù)的最大值, ,即可求得MN的長

5、，進第4 4頁共 1717 頁C C . 220220【答案】A A【解析】由題意得，數(shù)列如下：1,1,2,1,2,4,III1,2,4川|,2kIII則該數(shù)列的前1 2川k二世 衛(wèi)項和為2嚀 “wm” 2亠2要使100，有心4，此時k20，所以k 2是第k1組等比數(shù)列1,2,|(,2k的部分和，設k 2 =1 2川2tJ1= 2七-1，所以k =：2七_3 _14，則 t -5，此時k =25-3 =29，所以對應滿足條件的最小整數(shù)N二絲戲440，故選 A.2點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起， 首先需要讀懂題目 所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的 通

6、項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進 行判斷、填空題5 5.集合A =1,0,1,2，B =* lg xA。，則B =_【答案】2【解析】先求得集合B,再根據(jù)交集運算即可求得ACIB.【詳解】因為集合B=xlgxo, ,即B=(xx1B B. 330330D D. 110110第5 5頁共 1717 頁集合A =-1,0,1,22n+9n第 4 4 頁共 1717 頁對于lim5 5*,*,化簡后可得lim亠二Im亠2n廠2n亠9nn ?：2n亠9n【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算 ，屬于基礎題. .f

7、 fW W=rr;=rr;6 6.已知函數(shù)J JW:，貝 y y : :二【答案】【解析】試題分析：因為【考點】分段函數(shù)求值. .2 27 7 .設人 E E R R，若 + =1=1 表示雙曲線，則 人的取值范圍是 _X2丸一3【答案】（2,3）【解析】 將雙曲線方程化簡，根據(jù)雙曲線解析式的特征，即可得的取值范圍【詳解】222 2因為X-1,即x_y=1根據(jù)雙曲線性質可知-2 3-0即-2 -3： ：0解不等式可得2：一：3,即的取值范圍是2,3故答案為：2,3【點8 8 .計算:5-321lim- =n_.2n【答案】-3【解析】根據(jù)指數(shù)幕的運算，化簡后即可求得極限值第7 7頁共 1717

8、 頁【答案】2828【解析】根據(jù)二項式定理可知其展開式的通項公式，即可求得X的一次項系數(shù)【詳解】r r n二項展開式的通項公式為Tr彳=Cna b所以二項式（VX-VX- -L L）8 8的展開式通項公式為Vxr r / / 1 1 Tr+1r+1 =C8 8x3丿丿分子分母同時除以9n則lim則n-29故答案為：_3【點本題考查了數(shù)列極限的求法，注意對數(shù)列進行適當?shù)淖冃危?屬于基礎題【答案】1x3【解析】設出幕函數(shù)的解析式，代入點坐標，即可求得解析式 設幕函數(shù)的解析式為y二X因為幕函數(shù)圖像過點8,21所以2=8,，解得二一3i所以y次一1故答案為：x3ZV【點睛】本題考查了幕函數(shù)的定義及解析

9、式求法，屬于基礎題1010二項式e x -的展開式中,x的一次項系數(shù)是_9 9 若幕函數(shù)的圖像過點（8,2），則此幕函數(shù)的解析式是y二【詳?shù)? 8頁共 1717 頁所以當r=6時為x的一次項第9 9頁共 1717 頁所以T7乂6X2X-1=C6X即X的一次項系數(shù)是C8=282故答案為：28【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項公式的應用，指定向系數(shù)的求法，屬于基礎題 1111在ABC中，ABAB= =3 3，AC =2，BC = ,10，則 7B7B ACAC = =_3【答案】32【解析】已知條件為三角形的三條邊，先根據(jù)余弦定理求得cos CAB, ,再根據(jù)向量數(shù)量積即可求得解. .【詳解】

10、在ABC中，ABAB =3=3 , ,AC = 2, ,BC=罰0由余弦定理可得邊CAB=AC：ACB2ABBC222+ 32(0 )1=3 21423故答案為：32【點睛】本題考查了余弦定理及向量數(shù)量積的綜合應用，先求得夾角是解決問題的關鍵 ，屬于基礎n nn:1212 .函數(shù)y =sin(x-一)sin( x +)的最大值為 _441【答案】2【解析】根據(jù)正弦的和角與差角公式，展開合并化簡，結合余弦的二倍角公式化簡即可求值 【詳解】 由正弦函數(shù)的和角與差角公式，化簡可得2 2 3由向量數(shù)量積為cos/CAB2第1010頁共 1717 頁y =sin(x )sin(x )441 .212二一

11、sin x一cos x2 221 - cos2 x21 cos2 x因為sin x,cos x二2 2所以原式=-cos2x2因為-1 _ cos2 x _ 1所以最大值為丄21故答案為：-2【點睛】本題考查了正弦函數(shù)和角與差角公式的化簡，余弦二倍角公式的應用，三角函數(shù)值的求法公式應用較為靈活，屬于中檔題 1313 設集合A=1,2，B =x|x2- ax-1，若A是B的充分條件，貝 U U 實數(shù)a的取值范圍是3【答案】2【解析】解不等式，求得集合 B,B,再根據(jù)充分必要條件可得不等式組，即可求得實數(shù)a的取 值范圍. .【詳解】因為集合B =x| x2-ax-1 _0所以解x2-ax-仁0可得

12、a_4乞x乞a公42 2因為集合A二1,2且A是B的充分條件a _ a24“12_ 解不等式組可得“一a + Ja2+42乞-=sin xcosI4-sin cosx I sin xcos sin cosx444J2cosxcosx所以第1111頁共 1717 頁33所以冬a, ,即實數(shù)a的取值范圍為,：)223故答案為：,亠)2【點睛】本題考查了充分必要條件的簡單應用，含參數(shù)一元二次不等式的解法，屬于中檔題1414.已知函數(shù)y = f(x)對任意實數(shù)x滿足f(4 “(x)，且當x(-：，-2時，有1f (x) =()x-5-5 ,若函數(shù) f f (x)(x)在區(qū)間(k，k 1)(k三 Z Z

13、 )上有零點,2【答案】-3或6【解析】 先求得當(-：，-2時函數(shù)y = f(x)零點所在范圍，即可求得一個k的值; ;根據(jù)f (4 x)二f(-x)可求得函數(shù)y二f (x)對稱軸，結合對稱軸即可求得函數(shù)y二f (x)在x 12,+ 上的零點所在區(qū)間，進而求得k的值 【詳解】當x (：，-2時，根據(jù)零點定義可知f(x) =(-)5=02解得x= log15，即函數(shù)一個零點為X = log 52 2因為y=log1X是單調遞減函數(shù)，且log丄4=-2，log18 = -3，22 2所以log1log1log14即log1-22 2 2 2因為零點所在區(qū)間為(k,k 1)(kZ)所以此時k=3任

14、意實數(shù)x滿足f(4 x)二f (-x)，所以函數(shù)圖像關于x二2成軸對稱，所以若一個零點為xTogf則在2,+：時的一個零點為x=4-2log5, ,故答案為-3或6【點睛】本題考查了函數(shù)零點的求法 ，函數(shù)對稱性質的應用及對數(shù)的簡單應用，屬于中檔題1515 .在一個質地均勻的四面體中，一個面上標有數(shù)字1 1，一個面上標有數(shù)字 2 2,另外有兩個面上標有數(shù)字 3 3,將該正四面體拋擲三次，則向下一面的數(shù)字之和為7 7 的情況有則k的值為75，所以此時k = 6第1212頁共 1717 頁_ 種【答案】1818【解析】 根據(jù)排列組合的性質，分類、分步計數(shù)原理可解【詳解】因為四面體中，一個面上標有數(shù)字

15、 1,1,一個面上標有數(shù)字 2,2,另外有兩個面上標有數(shù)字3,3,當將該正四面體拋擲三次，則向下一面的數(shù)字之和為7 7 的情況有兩類：當組合為 2,2,32,2,3 時, ,可能有C3C；=6=6 種情況當組合為 1,3,31,3,3 時, ,可能有c3c；C； =12種情況綜上可知，所有出現(xiàn)向下一面的數(shù)字之和為7 7 的情況有6 12 = 18種故答案為：1818【點睛】本題考查了排列組合的應用，分類與分步計算原理的應用，屬于基礎題. .2爲1616 .正方體 ABCD-AABCD-AiB BiC CiD Di的棱長為 1 1,在正方體的表面上與點A A 距離為 的點3形成一條曲線，這條曲線

16、的長度為 _. .【答案】二6由題意，此問題的實質是以 A A 為球心、乙3為半徑的球在正方體 ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1各個3面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關系分成兩類：ABCDABCD、AAAA1DDDD1、AAAA1BBBB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，n各弧圓心角為 、A A1B B1C C1D D1、B B1BCCBCC1、D D1DCCDCC1為與球心距離為 1 1 的截面，【解第1313頁共 1717 頁6截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為 r r = =，故各段弧圓心角為 . .3 2這條曲線長度為3丄乙3.3上3二乞3二.63236第1

17、414頁共 1717 頁故答案為：51-.6點睛：在平面中，至U定點的距離等于定值的動點形成的軌跡為圓;在空間中，到定點的距離為定值的動點形成的軌跡為球 在圓中，弧長等于圓心角乘以半徑. .三、解答題1717 .如圖ABCD - A1B1C1D1是棱長為 2 2 的正方體，M、N分別是BBi、CD的中點. .n J.* _- B B(1)(1) 求三棱錐B -AMN的體積；(2)(2) 求異面直線MN與DDi所成角的大小. .(用反三角函數(shù)值表示)2【答案】(1) ; (2)arctan . 5 3【解析】(。根據(jù)等體積法，VB_AMN二 VM-ABN，根據(jù)底面積和高即可求得體積(2)因為異面

18、直線MN與DDi所成角等于MN與BBi所成角的大小，連接NB, ,解三角形即可求解，最后再轉化為反三角函數(shù)即可【詳解】(1)連接BN(2)異面直線MN與DD1所成角等于MN與BB1所成角因為VB-AMN=VM -ABN，SABNU 2 2=22所以VB_AMN=VM -ABN閃- 第1515頁共 1717 頁在Rt MBN中，NMB即為MN與BB1所成角BN = 2212= . 5, ,MN = 1所以tan NMB551所以 一NMB = arc tan、5【點睛】本題考查了等積法在立體幾何中的應用，異面直線夾角的求法，屬于基礎題2 21818 .已知橢圓C :x2y =1(a b 0)的焦

19、距為 4 4,其短軸的兩個端點與長軸的a b一個端點構成正三角形. .(1) 求橢圓C的標準方程；(2)設F為橢圓C的左焦點，直線丨：x = -3,P為橢圓上任意一點， 證明：點P到F的距離是點P到丨距離的_ _6 6倍. .32 2【答案】(1 1)H 1； (2 2)見解析6 2【解析】(1 1)根據(jù)焦距及短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形，結合橢圓中a、b、c的關系，即可求得a、b、c的值，即可得橢圓方程 (2 2)設出點P的坐標，根據(jù)兩點間距離公式，結合橢圓的方程即可證明. .【詳解】2 2(J J 因為橢圓C:篤爲=1=1 (a b 0)的焦距為 4,4,其短軸的兩個端點與長

20、軸的一a b個端點構成正三角形 2c = 4a = . 6所以2b =a2 b2，解方程組可得b =2a2= b2c2c = 22 2所以橢圓的方程為 =1=16 2(2(2)證明：設P Xo，yo，勺 -32 2因為F為橢圓C的左焦點，直線丨:x x = =-3, ,橢圓的方程為 =1=1第1616頁共 1717 頁6 22 2 2所以X .=1,即y。2=2-顯623則點 P P 到直線丨的距離為d x03點 P P 到F的距離為d2= xo22y2第1717頁共 1717 頁Xo24xo4 2 -；Xo23xo2 6xo9因為xo占一3得證 【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求法，橢圓第二

21、定義的證明過程，屬于基礎題. .佃九章算術是我國古代數(shù)學成就的杰出代表其中方田章給出計算弧田面積所1 2用的經驗公式為：弧田面積= =（弦 矢+ +矢2）. .弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，2公式中 弦”指圓弧所對弦長，矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差. .2 2 開 按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差 現(xiàn)有圓心角為一，3弦長等于 9 9 米的弧田. .（1 1）計算弧田的實際面積；（2 2）按照九章算術中弧田面積的經驗公式計算所得結果與（1 1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（結果保留兩位小數(shù)）【答案】（1）9黒-27 3（m2）；少1.52 m2.4【

22、解析】【詳解】試題分析：（1 1）本題比較簡單，就是利用扇形面積公式 S-S-1 1-1 1：22 2來計算弧田面積，弧田面積等于扇形面積-對應三角形面積.（2 2）由弧田面積的經驗計算 公式計算面積與實際面積相減即得.試題解析：（1 1）扇形半徑，八幾所以原式xo3所以d2，即點P到F的距離是點P到I距離的第1818頁共 1717 頁扇形面積等于 宀 :亠-223弧田面積=”-嚴”(m)2234(2 2)圓心到弦的距離等于/，所以矢長為; 按照上述弧田面積經驗公式計算得2 2(弦矢+矢勺=二二亍汰三手三辭兀7 7 平方米按照弧田面積經驗公式計算結果比實際少1.521.52 平米. .【考點】

23、(1)(1)扇形面積公式；(2)(2)弧田面積的經驗計算公式.2020 .已知數(shù)列an中，a5=9，且點P(an,an 1)(n N*)在直線2=0上. .(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意的kN*，將數(shù)列an落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內的項的個數(shù)記為bk，求=的通項公式；(3(3)對于(2 2)中bk，記C2；k2k，數(shù)列Ck前k項和為Tk，求使等式2-bkTk i-mCm1【答案】(1an=2n-1,nN; (2 2)bk-； (3 3)k = m = 3. .【解析】(1 1)根據(jù)P(an,an 1)在直線上可知數(shù)列an為等差數(shù)列，結合a 9即可求得 通項公式 (2)根據(jù)等差數(shù)列的

24、通項公式 ，代入?yún)^(qū)間即可求得中間的項數(shù) ，即可求得bk的通項公 式；(3)將bk的通項公式代入，求得數(shù)列Ck的通項公式，根據(jù)數(shù)列Ck為等比數(shù)列可求得Tk，代入等式即可求得正整數(shù)k、m的值. .【詳解】(1 1)因為點P(an,an 1)在直線x- y 2 = 0上所以a*-a* 1 2 = 0即an1-an二2m的值. .第1919頁共 1717 頁所以數(shù)列an為等差數(shù)列，且公差d = 2又因為a5 =9即a-i4d =9所以a(=9 -4 2 =1所以數(shù)列an的通項公式為and n-1 d所以a. =2n -1(2)因為an= 2n -1數(shù)列an落入?yún)^(qū)間（2k,22k）內的項的個數(shù)記為2n12k 0時f t的極限值；結合不等式12丿則前k項和因為等式所以12丿Tk2Tk 1-mCm1成立第2121頁共 1717 頁f(0)乞f (t)，f (1)乞f (t)即可求得f (1)的值進而利用賦值法求得0,1上的解析式【詳解】(1 1)證明：對任意實數(shù) 為、X2(為=X2) ，a 0,1有f(ax1(1-a)X2)-af(xJ (1-a)f(