初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)做題技巧

1、 WORD 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)做題技巧I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：  y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2;+k 拋物線的頂點(diǎn)P（h，k） 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，

2、0）和 B（x2，0）的拋物線 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±b2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。  IV.拋物線的性質(zhì)  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P -b/2a ，(4

3、ac-b2;)/4a 。當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab0），對稱軸在y軸右。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于（0，c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) = b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 = b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1

4、個(gè)交點(diǎn)。 = b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。  V.二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2;+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 畫拋物線yax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。 二次函數(shù)解析式的幾種形式  (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c

5、為常數(shù)，a0). (2)頂點(diǎn)式：ya(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a0).  (3)兩根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c0的兩個(gè)根，a0.  說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h0時(shí)，拋物線yax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h0且k0時(shí)，拋物線yax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=a

6、x2+k 定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c （a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 x是自變量，y是x的函數(shù)  二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)  頂點(diǎn)式拋物線的頂點(diǎn) P(h，k) ：y=a(x-h)2+k 交點(diǎn)式僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x

7、1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化： 一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a  一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=-b±(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)中考數(shù)學(xué)精選例題解析：一次函數(shù)（1）知識考點(diǎn)：掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以與拋物線的平移規(guī)律；會確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸與最值等。精典例題：例1二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么、這四個(gè)代

8、數(shù)式中，值為正的有（ ）A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)解析：10答案：A評注：由拋物線開口方向判定的符號，由對稱軸的位置判定的符號，由拋物線與軸交點(diǎn)位置判定的符號。由拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定的符號，若軸標(biāo)出了1和1，則結(jié)合函數(shù)值可判定、的符號。例2已知，0，把拋物線向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（2，0），求原拋物線的解析式。分析：由可知：原拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；新拋物線向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即得原拋物線。解：可設(shè)新拋物線的解析式為，則原拋物線的解析式為，又易知原拋物線過點(diǎn)（1，0），解得原拋物線的解析式為：評注：解這類題的關(guān)鍵是深刻

9、理解平移前后兩拋物線間的關(guān)系，以與所對應(yīng)的解析式間的聯(lián)系，并注意逆向思維的應(yīng)用。另外，還可關(guān)注拋物線的頂點(diǎn)發(fā)生了怎樣的移動，常見的幾種變動方式有：開口反向（或旋轉(zhuǎn)1800），此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是反號；兩拋物線關(guān)于軸對稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱，反號；兩拋物線關(guān)于軸對稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱；探索與創(chuàng)新：問題已知，拋物線（、是常數(shù)且不等于零）的頂點(diǎn)是A，如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)是B。（1）判斷點(diǎn)A是否在拋物線上，為什么？（2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求的值；這條拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)A能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，請說明理由。解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)A（，），而當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)A在拋物

10、線上。（2）頂點(diǎn)B（1，0），；設(shè)拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，B（1，0），C（，0），由拋物線的對稱性可知，ABC為等腰直角三角形，過A作AD軸于D，則ADBD。當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí)，解得或（舍）；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)，解得或（舍）。故。評注：若拋物線的頂點(diǎn)與軸兩交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形時(shí)，它必是等腰直角三角形，常用其“斜邊上的中線（高）等于斜邊的一半”這一關(guān)系求解有關(guān)問題。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、二次函數(shù)的圖像如圖所示，OAOC，則下列結(jié)論：0；。其中正確的有（ ） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè) 2、二次函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，

11、則與分別等于（ ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、143、如圖，已知ABC中，BC8，BC邊上的高，D為BC上一點(diǎn)，EFBC交AB于E，交AC于F（EF不過A、B），設(shè)E到BC的距離為，DEF的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（ ） A B C D4、若拋物線與四條直線，圍成的正方形有公共點(diǎn)，則的取值圍是（ ） A、1 B、2 C、1 D、25、如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像是（ ） A B C D二、填空題：1、若拋物線的最低點(diǎn)在軸上，則的值為。2、二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大。則當(dāng)時(shí)，的值是。3、已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（0，3），圖像向左平移2個(gè)

12、單位后的對稱軸是軸，向下平移1個(gè)單位后與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則此二次函數(shù)的解析式為。4、已知拋物線的對稱軸是，且它的最高點(diǎn)在直線上，則它的頂點(diǎn)為，。三、解答題：1、已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)（1，15），設(shè)其圖像與軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在圖像上，且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。2、某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程。下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤S（萬元）與銷售時(shí)間（月）之間的關(guān)系（即前個(gè)月的利潤總和S與之間的關(guān)系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： （1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤S（萬元）與時(shí)間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司

13、累積利潤可達(dá)到30萬元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤是多少萬元？3、拋物線，和直線（0）分別交于A、B兩點(diǎn)，已知AOB900。（1）求過原點(diǎn)O，把AOB面積兩等分的直線解析式；（2）為使直線與線段AB相交，那么值應(yīng)是怎樣的圍才適合？4、如圖，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）。（1）求拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）D是拋物線與軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限到軸、軸的距離的比為52的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)。問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使APE的周長最?。咳舸嬖?/p>

14、，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案一、選擇題：BCDDC二、填空題：1、2；2、7；3、；4、（2，2），；三、解答題：1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）10月；（3）5.5萬元3、（1）；（2）304、（1）B（3，0）；（2）或； （3）在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（2，），使APE的周長最小。中考數(shù)學(xué)精選例題解析函數(shù)與一元二次方程知識考點(diǎn)：1、理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；2、會結(jié)合方程根的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式，判定拋物線與軸的交點(diǎn)情況；3、會利用韋達(dá)定理解決有關(guān)二次函數(shù)的問題。精典例題：例1已拋物線（為實(shí)數(shù)）。（1）為何值時(shí)，拋物線與軸有

15、兩個(gè)交點(diǎn)？（2）如果拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。分析：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根應(yīng)滿足的條件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又或或例2已知拋物線。（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)都在軸的正半軸上；（2）設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)ABC的面積為48平方單位時(shí)，求的值。（3）在（2）的條件下，以BC為直徑作M，問M是否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)P？解析：（1），由，可得證。（2）又 解得或（舍去）（

16、3），頂點(diǎn)（5，9），M不經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)P。評注：二次函數(shù)與二次方程有著深刻的在聯(lián)系，因此，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題的相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問題的常用技巧。探索與創(chuàng)新：問題如圖，拋物線，其中、分別是ABC的A、B、C的對邊。（1）求證：該拋物線與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)有直線與拋物線交于點(diǎn)E、F，與軸交于點(diǎn)M，拋物線與軸交于點(diǎn)N，若拋物線的對稱軸為，MNE與MNF的面積之比為51，求證：ABC是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)P、Q，問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與軸相切的圓？若存在這樣的圓，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1），（2）由得 由得： 設(shè)E（，），F(xiàn)（，

17、），那么：， 由51得：或 由知應(yīng)舍去。 由解得，即或（舍去）ABC是等邊三角形。（3），即或（舍去），此時(shí)拋物線的對稱軸是，與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為P（，0），Q（，0）設(shè)過P、Q兩點(diǎn)的圓與軸的切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），由切割線定理有： 故所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，1）或（2，1）評注：本題（1）（2）問與函數(shù)圖像無關(guān)，而第（3）問需要用前兩問的結(jié)論，解題時(shí)千萬要認(rèn)真分析前因后果。同時(shí)，如果后一問的解答需要前一問的結(jié)論時(shí)，盡管前一問沒有解答出來，倘能會用前一題的結(jié)論來解答后一問題，也是得分的一種策略。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、已知拋物線與軸兩交點(diǎn)在軸同側(cè)，它們的距離的平方等于，則的值為（ ） A、2 B、

18、12 C、24 D、2或242、已知二次函數(shù)（0）與一次函數(shù)（0）的圖像交于點(diǎn)A（2，4），B（8，2），如圖所示，則能使成立的的取值圍是（ ） A、 B、 C、 D、或3、如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，則下列關(guān)系：；其中正確的有（ ） A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)4、設(shè)函數(shù)的圖像如圖所示，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，線段OA與OB的比為13，則的值為（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空題：1、已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)A（，0），B（，0），且，則。2、拋物線與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（，0），B（，0），且，則的值為。3、若拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且ACB900，則。4、已知二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，則對于下列結(jié)論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；方程0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是（只填寫順號）。三、解答題：1、已知二次函數(shù)（0）的圖像過點(diǎn)E（2，3），對稱軸為，它的圖像與軸交于兩點(diǎn)A（，0），B（，0），且，。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)P，使POA的面積等于EOB的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2、已知拋物線與軸交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且，若點(diǎn)A關(guān)于軸的對