概率論第二章內容總結與案例課件

1、概率論第二章內容總結與案例第二章 內容回顧概率論第二章內容總結與案例分布函數的性質q F ( x ) 單調不減，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右連續(xù)，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt概率論第二章內容總結與案例)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP用分布函數表示概率用分布函數表示概率)()(aFbF （ )(bXaPa ab b)()()(1kkkkxFxFxXPp概率論第二章內容總結與案例p.d.f.p.d.f. 連續(xù)隨機變量密度函數連續(xù)隨機變量密度函數f f ( ( x x )

2、 )的性質的性質1 0)(xf21)(d)(Fxxf常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續(xù)性 r.v.的 d.f.3在 f ( x ) 的連續(xù)點處，)()(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的區(qū)間內取值的概率概率論第二章內容總結與案例數學期望的性質(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)概率論第二章內容總結與案例2.3.2 方差的性質(1) Var(c)=0. 性質 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性質 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)

3、2. 性質 2.3.1概率論第二章內容總結與案例 )(XE)(XE（ ）. )(XE2.3.3 切比雪夫不等式.)()(,),(),(2成立成立不等式不等式則對于任意正數則對于任意正數方差方差具有數學期望具有數學期望設隨機變量設隨機變量定理定理XDXEXPXDXEX 切比雪夫不等式2)()(XDXEXP 2)(1)(XDXEXP 注：易知 越大的取值越分散)(XD切比雪夫概率論第二章內容總結與案例, 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk(),0,1, 2,!kP Xkekk(),MNMknkP XkNn1()(1),1, 2,kP Xkppk1()(1),1,1kk r rP

4、Xkppkr rr概率論第二章內容總結與案例定理(泊松定理) 在n重伯努利試驗中, 事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗次數n有關), 如果n時, npn(0為常數). 則對于任意給定的k, 有l(wèi)im ( , ,)lim(1)!kkkn knnnnnnb k n pC ppek概率論第二章內容總結與案例超幾何、二項、泊松分布之間的近似關系超幾何、二項、泊松分布之間的近似關系定理定理 超幾何分布的極限分布是二項分布超幾何分布的極限分布是二項分布即，在超幾何分布中對于固定的即，在超幾何分布中對于固定的 n，k ，如果，如果 lim N+ = p 則有極限關系：則有極限關系： lim N

5、+ = Cnk pk (1 p )n k 對所有的對所有的 0 k n 都成立。都成立。一般當一般當 n 0.1 N 時可以用這個近似的計算公式時可以用這個近似的計算公式 M N CMk CN M n k CNn概率論第二章內容總結與案例常用離散分布的數學期望 幾何分布Ge(p) 的數學期望 = 1/p 0-1 分布的數學期望 = p 二項分布 b(n, p)的數學期望 = np 泊松分布 P() 的數學期望 = 概率論第二章內容總結與案例常用離散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二項分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 幾何分布Ge(p) 的

6、方差 = (1p)/p2概率論第二章內容總結與案例其他,0,1)(bxaabxfxexfx222)(21)(0,0,0)(tettft1( ), 0()xf xxex111( )(1), 01( , )abf xxxxB a b( / )1( )( ), 0ax baa xf xexb b22(ln)1( )exp,0.22yf xyy概率論第二章內容總結與案例 P( X m+n | X m ) = P( X n )()(tXPsXtsXP幾何分布的無記憶性指數分布的無記憶性概率論第二章內容總結與案例常用連續(xù)分布的數學期望 均勻分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指數分布

7、Exp() : E(X) = 1/ 正態(tài)分布 N(, 2) : E(X) = 伽瑪分布 Ga(, ) : E(X) = / 貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)概率論第二章內容總結與案例常用連續(xù)分布的方差 均勻分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指數分布 Exp() 的方差= 1/2 正態(tài)分布 N(, 2) 的方差= 2 伽瑪分布 Ga(, ) : Var(X) = /2 貝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1)概率論第二章內容總結與案例(x) 的計算(1) x 0 時, 查標準正態(tài)分布函數表.(2) x a)

8、 =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1 概率論第二章內容總結與案例一般正態(tài)分布的標準化定理2.5.1 設 X N(, 2),XY則 Y N(0, 1).推論: 若 X N(, 2), 則( )xF x概率論第二章內容總結與案例正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2 設 X N (, 2)，則當a 0 時， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 則 Y = (X )/ N(0, 1).概率論第二章內容總結與案例正態(tài)分布的 3

9、 原則設 X N(, 2), 則 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 0 時， Y = kX Ga (, /k). 定理2.6.5 設 X FX (x)，若FX (x)為嚴格單調增的連 續(xù)函數，則Y = FX (X) U(0, 1).均勻分布的有用結論概率論第二章內容總結與案例分布從哪里來？為什么事件發(fā)生的次數常使用泊松分布？伽馬、貝塔、威布爾分布看起來冗長難懂，又會有什么作用？分布來源于問題的提出。心理學家認為: 一個正常人, 在整個睡眠時間中, 異相睡眠所占的比例服從B( 12, 48)非壽險精算：常用的損失分布為對數正

10、態(tài)、伽馬分布、貝塔分布、帕累托分布索賠次數分布：泊松分布、二項分布、負二項分布概率論第二章內容總結與案例可靠性問題可靠性問題可靠度：測量儀器在規(guī)定的條件下，在規(guī)定的時間內完成規(guī)定功能的概率。它是時間的函數，記作R(t)。R(t) = p(T t) 式中：T 為測量儀器壽命，t為規(guī)定時間，當t = 0 時，R(0) = 1；當t = 時，R()=00tNn(t)概率論第二章內容總結與案例失效分布函數( )( )( )11( )Nn tn tR tF tNN 0tNn(t)t+ t n(t)產品工作到時間t時刻后，每單位時間內發(fā)生失效的頻率為：00(|)( )lim()( )1lim1( )( )

11、/( )ttP tTtt TtttF ttF ttF tn tNn tt ( )( )( )( )e( )tF ttR tR tt當約為常數時概率論第二章內容總結與案例威布爾分布環(huán)斷裂概率ntt0()(t)=P(Tt)=1-P(Tt)t(t)=0t0,b0，為常數，且有a+b=1。證明H(x)=a F(x)+b G(x)為分布函數，并對H(x)的離散與連續(xù)性展開討論概率論第二章內容總結與案例奇異型隨機變量F(X)00.5概率論第二章內容總結與案例問題1242435( )1( )10.491436P BP B 解：記 B = “至少出現一次雙6點”， 則所求概率為 兩顆骰子擲 24 次， 求至少

12、出現一次 雙6點 的概率.概率論第二章內容總結與案例問題問題2 2 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張, 將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現是假鈔. 求2 張都是假鈔的概率.概率論第二章內容總結與案例 令 A 表示“抽到2 張都是假鈔”.B表示“2 張中至少有1張假鈔”BAP AP則所求概率是 （而不是 ！）.BA)(APABP22025/CC 2112551520()/P BCC CC)(/ )(BPABPBAP所以 118. 085/10)/(1151522025CCCC概率論第二章內容總結與案例1551151511519C C125115215115概率論第二章內容總結與案例問題問題3 3 盒中裝有5個產品, 其中3個一等品，2個二等品, 從中不放回地取產品, 每次1個, 求（3）取三次，第三次才取得一等品的概率; 213121321)(AAAPAAPAPAAAP概率論第二章內容總結與案例問題4某人有2盒火柴，吸煙時從任意盒中取1根，經過若干時間，發(fā)現一盒火柴已用完，假設每盒火柴在未啟用時各有n根，求另外一