第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列(教案)

1、第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列考情考向分析11 .等差、等比數(shù)列根本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn),經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2 .數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),考查分析問題、解決問題的綜合水平.H熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算1 .通項(xiàng)公式等差數(shù)列：an=ai+(n1)d;等比數(shù)列：an=aiqn1.2 .求和公式nai+annn-1等差數(shù)列：Sn=,"2=nai+七一d;n_aiiqaianq等比數(shù)列：Sn=(qwi).iqi-q3.性質(zhì)假設(shè)m+n=p+q,在等差數(shù)列中am+an=ap+aq；在等比數(shù)列中aman=apaq.例i(i)(20i7屆江西師大附中、

2、臨川一中聯(lián)考)數(shù)列an,bn滿足bn=log2an,neN,其中bn是等差數(shù)列,且a9a2009=4,那么bi+b2+b3+b2oi7等于()A.20i6B.20i7C.log220i7D.2y7答案B解析由題設(shè)可得10g2a9+log2a2009=2,即b9+b2009=2,由等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì),可得b9+b2009=bi+b20i7=2,2所以bi+bz+b3+b2017=一017bi+b2021匕2017,應(yīng)選B.(2)(2021屆四川省成都市診斷性檢測(cè))在等比數(shù)列an中,a3=6,83+85+87=78,那么a5等于()A.12B.18C.24D.36答案B解析由于a3+85+87=

3、83+a3q2+a3q4=6(q4+q2+1)=78,得q4+q212=0,得q2=3或q2=4(舍去),那么a5=a3q2=6x3=18,應(yīng)選B.思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),假設(shè)條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,那么均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量.跟蹤演練1(1)(2021河北省曲周縣第一中學(xué)模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S=4,4=6,那么S5等于()A.0B.-2C.4D.1答案A81=4,d=2,434a1+2d=4,解析由題設(shè)可得?6X56a1+-2-d=6那么S5=-4X5+5y4X2=0,應(yīng)選A.(2)(2021

4、屆長(zhǎng)沙一模)等比數(shù)列an的公比為一V2,那么ln(a2017)2ln(a2016)2=答案In2解析ln(a2017)21n(a2016)28201722=ln尸lnq=ln2.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證實(shí)數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證實(shí)方法(1)證實(shí)數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種根本方法：一.一.、.、一一*利用7E義,證實(shí)an+1an(nCN)為一常數(shù)；利用等差中項(xiàng),即證實(shí)2an=an1+an+1(n>2).2證實(shí)an是等比數(shù)列的兩種根本方法利用定義,證實(shí)史"(nCN*)為一常數(shù)；an利用等比中項(xiàng),即證實(shí)a2=anian+i(n>2).例2(2021屆東北三省三校

5、聯(lián)考)數(shù)列an滿足ai=3,an+i=2ann+1,數(shù)列bn滿足bi=2,bn+i=bn+ann.證實(shí)：ann為等比數(shù)列；(2)數(shù)列Cn滿足Cn=.,a7bn,i,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.(bn十(bn+i十)證實(shí)'''an+i=2ann+i,-an+i(n+i)=2(ann),又aii=2,ann是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)解由(i)知an-n=(ai-i)21=2、bn+i=bn+ann,bn+ibn=2,b2-bi=2b3-b2=22,-bnbni=2n-n_i累加彳#到bn=2+2(1-2L2n(n>2).i-2當(dāng)n=i時(shí))bi=2,bn=2

6、n,a.一nCni2n+i+i.(bn+ijbn+i+i)思維升華i判斷一個(gè)數(shù)列是等差比數(shù)列,也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,但不能作為證實(shí)方法.判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零.(2)=q和a2=an-ian+i(n>2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件,an跟蹤演練2(2021屆吉林省長(zhǎng)白山市模擬)在數(shù)列an中,設(shè)f(n)=an,且f(n)滿足f(n+1)-2f(n)=2n(nN*),且a1=1.(1)設(shè)bn=2a=,證實(shí)：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.證實(shí)由得an+1=2an+2n,nan+12an+2an2n1+1=bn+1,-bn+1bn=1,又a1=1,

7、b1=1,bn是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.解由知,bn=方",-Sn=1+221+322+n2n1,兩邊乘以2,得2Sn=121+222+(n-1)2n1+n2n,兩式相減得一Sn=1+21+22+2n1n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n1)2,+1.熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題,要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手,理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題,可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解.例3等差數(shù)列an的公差為一1,且a2+a7+a2=6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩

8、下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng),記bn的前n項(xiàng)和為Tn,假設(shè)存在mCN*,使對(duì)任意nCN*,總有Sn<Tm+入恒成立,求實(shí)數(shù)入的取值范圍.解(1)由a2+a7+a2=6,得a7=2,a1=4,n(9n)an=5n,從而Sn=2.(2)由題意知b1=4,b2=2,b3=1,一.,b21設(shè)等比數(shù)列加的公比為q,那么q=b1=2,2gm隨m增加而遞減,Tm為遞增數(shù)列,得4<Tm<8.n(9-ni2又Sn=2=-2(n-9n)1一9、2811=-2d-2廠4J故(Sn)max=S4=Ss=10,假設(shè)存在mCN*,使對(duì)任意nCN*總有Sn<Tm+N那么10<8+)

9、得Q2.即實(shí)數(shù)入的取值范圍為(2,+8).思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“根本量法求解,但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題.(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過別離參數(shù),通過求數(shù)列的值域求解.跟蹤演練3(2021北京)等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求和:b+b3+b5+b2n1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由于a2+a4=10,所以2a+4d=10,解得d=2,所以an=2n1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,由于b2

10、b4=a5,所以b2q4=9,解得q2=3,3n1所以b2n1=b1q2n2=3n1.從而b1+b3+b5+b2n1=1+3+32+3n/=真題押題精練【真題體驗(yàn)】1. 2021全國(guó)I改編記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.假設(shè)a4+a5=24,$6=48,那么a的公差為.答案4解析設(shè)an的公差為d,a4+a5=24,阿+3d計(jì)ai+4d戶24,由f得,6X5S6=48,6ai+-2-d=48,解得d=4.2. 2021浙江改編等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,那么“d>0是“S4+S6>2S5的條件.答案充要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,.0=4ai+6d,Ss=5a

11、i+10d,S6=6ai+15d,8+&=10ai+21d,2S5=10ai+20d.假設(shè)d>0,那么21d>20d,10ai+21d>10ai+20d,即S4+S6>2S5.假設(shè)S4+S6>2S5,那么10ai+21d>10ai+20d,即21d>20d,.d>0.-.“d>0是“S4+S6>2S5的充要條件.方法二-S4+S6>2S5?S4+S4+a5+a6>2S+a5?a6>a5?as+d>a5?d>0.“d>0是“S4+S6>2Ss的充要條件.3. 2021北京假設(shè)等差數(shù)列an

12、和等比數(shù)列bn滿足ai=bi=1,a4=b4=8,那么>.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,那么由a4=ai+3d,a4ai8一一1得d=2=3,33由b4=biq3,得q3=b=8,-q=-2.a2ai+d1+3=1.b2b1q-1x-24.2021江蘇等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,&=辛0=63,那么as=答案32解析設(shè)an的首項(xiàng)為ai,公比為q,3=1q46ai1-q63.=丁,1-q4所以a8=X27=25=32.解得1ai=4,lq=2,【押題預(yù)測(cè)】1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且ai>0,a3aiQ>0,a6

13、a7<0,那么滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A.6B.7C.12D.13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最根本的知識(shí)點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn),可以考查學(xué)生靈活變換的水平.答案C解析ai>0,a6a7<0,1-a6>0,a7<0,等差數(shù)列的公差小于零,又a3+aio=ai+ai2>0,ai+ai3=2a7<0,Si2>0,Si3<0,滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為i2.2. (20i7安慶模擬)等比數(shù)列an中,a33a2=2,且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng),那么an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6押題依據(jù)等

14、差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈活性,是高考出題的重點(diǎn).答案C解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng),可得10a4=12a3+2a5,10a3q=12a3+2a3q得10q=12+2q4mn14mn36喘+m+5產(chǎn)*7互m+5尸2,當(dāng)且僅當(dāng)誓弋,即n=2m=4時(shí)取得最小值3.,解得q=2或3.又a33a2=2,所以有a2q-3a2=2,所以有q=2,應(yīng)選C.3.各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列14,=ran滿足a7=a6+2a5,存在兩項(xiàng)am,an使得yaman=4ai,那么濡+、的取小值為()25C.不4D.3押題依據(jù)此題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題,綜合考查學(xué)生應(yīng)

15、用數(shù)學(xué)的水平,是高考命題的方向.答案A解析由a7=a6+2a5,得aiq6=aiq5+2aiq4.定義在(一8,0)U(0,+8)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an,f(an)仍是等比數(shù)歹U,整理得q2q2=0,解得q=2或q=1(不合題意,舍去),222又由Vaman=4ai,得aman=16ai,即ai2m+n2=16ai,即有m+n2=4,14114亦即m+n=6,那么m+k6(m+n(+n.J那么稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù).現(xiàn)有定義在(8,0)U(0,+OO)上的如下函數(shù)：f(x)=x2;f(x)=2x;f(x)=??；f(x)=ln|x|.那么其中是“保等比數(shù)列函數(shù)&q

16、uot;的f(x)的序號(hào)為()A.B.C.D.押題依據(jù)先定義一個(gè)新數(shù)列,然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題,這類問題一般形式新奇,難度不大,常給人耳目一新的感覺.答案C解析由等比數(shù)列性質(zhì)得,anan+2=a2+i.f(an)f(an+2)=anan+2=(an+l)=f(an+1)；f(an)f(an+2)=2an2a=2an書#22an+a一、=f(an+1);f(an)f(an+2)=Y|anan+2|='|an+1f2(an+i);f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2產(chǎn)(ln|an+

17、i|)2=f2(an+i).應(yīng)選C.專題強(qiáng)化練A組專題通關(guān)1. (2021河南省息縣第一高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試)等差數(shù)列an滿足ai+a2=1,ag=4,那么a4+as等于()A.17B.16C.15D.14答案A解析設(shè)等差數(shù)列公差為d,2ai+d=1,ai=2,那么有:解得1ai+2d=4,d=3,所以a4+a5=2ai+7d=2X(2)+7X3=17,應(yīng)選A.2. (2021河北省衡水中學(xué)三調(diào))an是等比數(shù)列,且82+36=3,36+310=12,那么ag+a等于()A.12/2B.24C.242D.48答案B36+310a2q4+a6q44122斛析=q=-3-=4,q=2,38+a12=36

18、q+310q=q(a6+310)=2X12=24,應(yīng)選B.3. 2021全國(guó)m等差數(shù)列3n的首項(xiàng)為1,公差不為0.假設(shè)32,33,36成等比數(shù)列,那么3n的前6項(xiàng)和為A.-24B.-3C.3D.8答案A解析由條件可得31=1,dw0,由32=3236,可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2.所以S6=6x1+6X5X(-2X=-24.應(yīng)選A.4. 2021屆三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為2,最后三項(xiàng)的積為4,且所有項(xiàng)的積為64,那么該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是A.13B.12C.11D.10答案B解析設(shè)等比數(shù)列為3n,其前n項(xiàng)積為Tn,由得313233=2,3n3n13n2

19、=4,可得313n3=2X4,313n=2,Tn=31323n,Tn=31323n=a13n323n13n31=313n=2=64=2,n=12.5. 2021屆福建省福州文博中學(xué)期中?九章算術(shù)?中的“兩鼠穿墻題是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚假設(shè)干尺,兩鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問何日相逢,各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半,如果墻足夠厚,1515A.31花B.3216151C.33D.262答案BSn為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和,那么S5等于151X1-2S5=+1215.=3

20、2元.應(yīng)選B.解析大老鼠、小老鼠每天打侗進(jìn)度分別構(gòu)成等比數(shù)列an,bn,公比分別為2,2,首項(xiàng)都為1,所以6. 2021屆河南省高中畢業(yè)年級(jí)考前預(yù)測(cè)在等差數(shù)列an中,d>0,Sn是它的前n項(xiàng)和,假設(shè)為+22=,且a2與a6的等比中項(xiàng)為4,那么&=答案46a1+3d解析由題意,得22a1+d=2'1a1=2,解得d=2q(a1+dja1+5d戶16,18X7、,3貝USb=8X-+-2-><2=46.7. 2021屆三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,6.=40,那么a3a8的最大值為答案1610a1+a10j解析S10=2=40?a+a0=a

21、3+a8=8,a3agW當(dāng)且僅當(dāng)a3=a8=4時(shí)="成立.an+1.一一解析8. 2021屆內(nèi)蒙古包頭十校聯(lián)考設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=141=&,那么Sn=Sn?an+1=SnSn+1?Sn+1Sn=SnSn+1,整理為了一=1,即=1,即數(shù)列三謔Sn+1SnSn+1Sn+1Sn以一1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,11所以1+(n1)(j1)=n,即Sn=一二.Snn9. (2021北京市石景山區(qū)月考)在數(shù)列an中,a1=1,anan+1=-2(n=1,2,3,),那么a8=.答案2,n為奇數(shù),解析由數(shù)列的遞推公式,可得an=5|-2,n為偶數(shù),據(jù)此可得as=-2.

22、10. (2021全國(guó)I)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.S2=2,83=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得a1(1+q尸2,回.+q+q尸6,解得q=-2,a1=-2.故an的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.n+1(2)由(1)可得a11q)2n2Sn=-=-Z+(-1)-1- q3由于Sn+2+Sn+1=q+(1)o33故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.4n2n+3_2n+2B組水平提升11. (2021安徽省蚌埠市教學(xué)質(zhì)量檢查)數(shù)列an是以a為首項(xiàng),b為公比的等比數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=1+a+a

23、2+an(n=1,2,),數(shù)列,滿足cn=2+b+b2+bn(n=1,2,),假設(shè)cn為等比數(shù)列,那么a+b等于()A.&B.3C.5D,6答案B解析由題意知,當(dāng)b=1時(shí),Cn不是等比數(shù)列,所以bw1.由an=abn1,那么bn=1+=1+a-ab-,得Cn=2+1+1-b1-b1-b_a_ab1-b1hA=21b1-b1-b八ab-ab1b+aabn+1(1-b21-bn+(1-bf2一2=0,1ba+b=3,b=2,要使Cn為等比數(shù)列,必有一1b+a=0,1b應(yīng)選B.12. (2021屆吉林省吉林市普通中學(xué)調(diào)研)艾薩克牛頓(1643年1月4日1727年3月31日)英國(guó)皇家學(xué)會(huì)f(x

24、)的零點(diǎn)會(huì)長(zhǎng),英國(guó)著名物理學(xué)家,同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出奉獻(xiàn),牛頓用“作切線的方法求函數(shù)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列xn滿足xn+1=xn-fxn),我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)fxn有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,數(shù)列xn為牛頓數(shù)列,設(shè)an=ln£2一7,a=2,xn>2,那么an的通項(xiàng)公式an-I答案2n解析函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,a+b+c=0,c=2a,1解得1|4a+2b+c=0,b=-3a.2一一.f(x)=ax3ax+2a,貝Uf'(x)=2ax3a.2axn3axn+2a貝Uxn+1=xn-2axn3ax2-22xn3xn2=Xn一二Z一2xn32xn3x2-2一2xn+122xn-37=2cxn+11xn2-12xn3xn一2一2(2xn3)I那么數(shù)列