112余弦定理（約2課時））

1、主備人：羅瑜唐強主備人：羅瑜唐強 審核人：牟必繼審核人：牟必繼1.1.2 余弦定理書山有路勤為徑，書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。學(xué)海無涯苦作舟。千島湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景問題島嶼島嶼B島嶼島嶼A島嶼島嶼C? ?千島湖 千島湖 情景問題3.4km3.4km6km6km120120）島嶼島嶼B島嶼島嶼A島嶼島嶼C? ?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）1.1.

2、2余弦定理余弦定理CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè))()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bacCBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC為任意

3、三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由由向量減法的三角形法則向量減法的三角形法則得得Cbabacos222探探 究究： 若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)bac（向量法證明）（向量法證明）Cabbaccos

4、2222Abccbacos2222Baccabcos2222一一. .余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。C CB BA Ab ba ac c對余弦定理還對余弦定理還有其他證明方有其他證明方法嗎法嗎? ?C點的坐標為點的坐標為( )AbAbsin,cosxyB(c,0)Cbc如圖，以點A為原點，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標系A(chǔ))sin,cos(AbAba(0,0)由兩點距離公式知：AcbbcaaBCAbAbcBCcos2)sin0 ()cos(22

5、222（坐標法證明）（坐標法證明）二二. .余弦定理的推論余弦定理的推論 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論： 利用余弦定理可利用余弦定理可以解決什么類型以解決什么類型的三角形問題？的三角形問題？三、利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩邊和它們的夾角，

6、求）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；第三邊和其他兩個角；（2）已知三邊，求三個角。）已知三邊，求三個角。（1）若）若A為直角，則為直角，則a=b+c（2）若）若A為銳角，則為銳角，則ab+c由由a2=b2+c22bccosA可得可得CcBAbaCabCba由上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣。3.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C例例1、在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km， B=120B=120o o，求，求 ACAC四四. .解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：島嶼答：島嶼A A與島嶼與島嶼C

7、 C的距離為的距離為8.24 km.8.24 km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4 . 3624 . 3622o24. 8AC例2.已知b=8,c=3,A=600求a. a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 解：a=7變式練習(xí)：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,試判斷此三角形的形狀.例例3：在在ABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形解三角形（角度精確到（角度精確到1，邊長精確到，邊長精確到1cm）.解：根據(jù)余弦定理，解：根據(jù)余弦定理，a=b+c2bccosA=60

8、+3426034 cos411676.82所以所以 a41(cm)由正弦定理得，由正弦定理得，.5440. 041656. 0344141sin34sinsinaAcC因為因為c不是三角形中最大的邊，所以不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計算器得是銳角，利用計算器得C33B=180（A+C）=180（4133）106例例4，在在ABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形（角度精確到（角度精確到1）解：由余弦定理的推論得：解：由余弦定理的推論得：,5543. 07 .1618 .8726 .1347 .1618 .872cos22222

9、2bcacbAA5620;,8398. 07 .1616 .13428 .877 .1616 .1342cos222222cabacBB3253C= 180（A+B） 180（ 5620 3253 ）9047五五.四類解三角形問題：四類解三角形問題：（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角。和角。（3）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；兩個角；（4）已知三邊，求三個角。）已知三邊，求三個角。2.若若A,B,C是是ABCA

10、BC的三個內(nèi)角，則的三個內(nèi)角，則sinA+sinB_sinCsinA+sinB_sinC. .)(sin3sin,2. 3等于則中，在BBBCABCA.b/a B.a/b C.a/c D.c/a1.若三角形的三個角的比是若三角形的三個角的比是1：2：3，最大的邊是最大的邊是20，則最小的邊是，則最小的邊是_.六六.課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：4、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判斷ABC的形狀.A AD DC CB B) )30300 0) )45450 05、如圖所示，已知BD=3，DC=5，B=300，ADC=450，求AC的長。七七. .回顧與小結(jié)回顧與小結(jié): :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 3.3.余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題： （1 1）已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。）已知兩