泰勒公式和泰勒級數(shù)ppt課件

1、一一 冪級數(shù)冪級數(shù) nnnxxa)(00 nnnxa 0laannn 1limnnnxa 0定理定理1 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)的系數(shù)滿足條件的系數(shù)滿足條件| |那么那么 (1)當(dāng)當(dāng)0 l 0和和R20 , 那么那么= f(x) g(x).的收斂半徑的收斂半徑 R minR1, R2. 0nnnxa2 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑R0, 則在收斂區(qū)則在收斂區(qū)間間(R, R)內(nèi)內(nèi), 其和函數(shù)其和函數(shù)S(x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù). 0nnnxa若級數(shù)若級數(shù) 在端點收斂在端點收斂, 則則S(x)在端點單側(cè)連續(xù)在端點單側(cè)連續(xù). 1nnxna 0n xnnndtta00)()(0 nnnxa 0n

2、nnxa3 冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可以逐項求導(dǎo)任意次并可以逐項求導(dǎo)任意次, 且求導(dǎo)后級數(shù)的收且求導(dǎo)后級數(shù)的收斂半徑不變斂半徑不變.即即 f(x) =x (R, R) 0nnnxa4 冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)內(nèi)可積可積, 并可逐項求積分并可逐項求積分, 且積分后級數(shù)的收斂半徑不變且積分后級數(shù)的收斂半徑不變. xdttS0)(dttaxnn 0.110 nnnxnax (R, R) 即即n=1 0n(an xn) 注注 : 常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);110 xxnn

3、 ;11)1(202xxnnn 2111)1 (1)(xxnxnnnn 31111)1 (2)() 1(xxxnnnnnn ;11)(0 xxnn (1)(1x1)(2)(3)(4)(5)二、麥克勞林二、麥克勞林(Maclaurin)公式公式三、泰勒級數(shù)三、泰勒級數(shù)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立7.6 泰勒泰勒(Taylor)公式與泰勒級數(shù)公式與泰勒級數(shù)一次多項式一次多項式在微分的應(yīng)用中有近似計算公式在微分的應(yīng)用中有近似計算公式:假設(shè)假設(shè) f (x0)存在存在, 則在則在 x0點附點附近有近有f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)f (x) f(x0) + f (x0)

4、 (xx0)+ o(x x0)需要解決的問題需要解決的問題如何提高精度如何提高精度?如何估計誤差如何估計誤差?缺乏缺乏: 1. 精確度不高精確度不高;2. 誤差不能定量的估計誤差不能定量的估計.希望希望: 在在x0點附近點附近, 用適當(dāng)?shù)母叽味囗検接眠m當(dāng)?shù)母叽味囗検絇n(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f (x) 一、泰勒公式一、泰勒公式猜測猜測2 若有相同的切線若有相同的切線3 若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好 n次多項式系數(shù)的確定次多項式系數(shù)的確定 1 若在若在x0點相交點相交Pn(x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x

5、0)Pn (x0)= f (x0)y=f(x)假設(shè)假設(shè) Pn(k)(x0)= f (k)(x0)y=Pn (x)xoyx0!)(0)(nxfann 即有即有Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假設(shè)假設(shè) Pn(k)(x0)= f (k)(x0)Pn (n) (x) =n! an Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0), k=0, 1, 2, 3, , n令令x = x0得得a1=f

6、(x0),! 2)(02xfa a0 = f(x0),a1=f(x0),!)(0)(kxfakk ! 2)(0 xf !)(0)(nxfnk=0, 1, 2, 3, , n代入代入Pn(x)中得中得Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + + (x x0)nPn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)在在x0處的泰勒多項式處的泰勒多項式.k=0, 1, 2, 3, , n稱為泰勒系數(shù)稱為泰勒系數(shù)!)(0)(kxfakk f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .200)(! 2)(xxxf 10)1()()

7、!1()()( nnnxxnfxR nnxxnxf)(!)(00)( 其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x0點的某鄰點的某鄰域域UR (x0)內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)則當(dāng)x取取UR (x0)內(nèi)任何值時內(nèi)任何值時, f (x)可按可按(xx0)的方冪展開的方冪展開為為f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+( 在在x0與與x之間之間)+Rn(x) 公式公式(1)稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)在在x0處的泰勒公式處的泰勒公式.(1) Rn(x)稱為拉格朗日稱為拉格朗日(Lagrange)余項余項.泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)!)(0)

8、(kxfakk k=0, 1, 2, , n 是唯一的是唯一的.10)()!1( nxxnnnxxnxf)(!)(00)( 200)(!2)(xxxf 設(shè)設(shè) f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+k 證證由于由于f(x)在在UR (x0)內(nèi)具有內(nèi)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)數(shù),作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) (t)=f(x) f(t)+f (t)(x t)+2)(!2)(txtf )()!1()(!)(1)( nnntxnktxntf (x)=0= (x0), 不妨設(shè)不妨設(shè) x0 x時同理可證時同理可證,10)1()()!1()()( nnnxxnfxR nnxnfxf!) 0(! 2) 0

9、()(2 1)1()!1()()( nnnxnfxR 其中其中f (x)=f(0)+f (0) x+1 當(dāng)當(dāng)x0=0時時, ( 在在0與與x之間之間)或令或令 = x, 0 1, 那么那么+Rn(x) .1)1()!1()()( nnnxnxfxR 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)的麥克勞林的麥克勞林(Maclaurin)公式公式.200)(! 2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 2 f (x) f(x0)+f (x0)(xx0)+其誤差為其誤差為: Rn(x) 解解)(!0 xRkxnnkk 1)!1()( nxnxnexR 例例1* 求求f(x)=e x 在在x=0的的n階泰勒公

10、式階泰勒公式.因為因為 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, 所以所以 f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的n階泰勒公式為階泰勒公式為:)(!1! 2112xRxnxxennx 其中其中0 1. 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)在在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階的某鄰域內(nèi)是存在任意階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),則冪級數(shù)則冪級數(shù)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)在在x0處的泰勒級數(shù)處的泰勒級數(shù).200)(! 2)(xxxf = f(x0) + f (x0)(x x0) nnxxnxf)(!)(00)(二、泰勒級數(shù)二、泰勒級數(shù) 000)()(!)(nn

11、nxxnxf稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)的麥克勞林級數(shù)的麥克勞林級數(shù). nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0() 0() 0()(2 0)(!)0(nnnxnf問題問題: 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定不一定.解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn2 例例2* 求求 f(x)=sinx 在在x=0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù).當(dāng)當(dāng)n=2k時時, f (2k)(0)=sin(k )=0, k=0,1,2,當(dāng)當(dāng)n=2k+1時時, f (2k+1)(0)=sin (k + ) = (1)k , 得得因因)!12(|)!32(|lim

12、|)()(|lim12321 nxnxxuxunnnnnn=0, 于是于是 R=+ , 0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(kkkkx)22)(32(lim2 nnxn 012)!12()1(nnnnx定理定理2 f(x)在在x0點的泰勒級數(shù)在點的泰勒級數(shù)在UR (x0)內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于f (x) 在在UR (x0) 內(nèi)內(nèi), Rn(x)0. )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn|)!32()(|lim| )(|lim32)32( nnnnnxnfxR )!32(|lim32 nxnn=0,所以所以 sin x = 0 0)(lim xRnn 0)(!)0(nnn

13、xnf 012)!12()1(nnnnx 012)!12()1(nnnnx其中其中收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: (, +). x(, +).|)!32(sin|lim32)32( nnnxn 即即xyO麥克勞林多項式逼近麥克勞林多項式逼近sin x! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy )!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnny=sinxy=x7.7 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、直接法一、直接法(泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法)二、間接法二、間接法三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式三、常見函數(shù)的冪級數(shù)

14、展開式步驟步驟:0)(lim xRnn(1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (4) 討論討論?并求出其收斂區(qū)間并求出其收斂區(qū)間.(3) 寫出冪級數(shù)寫出冪級數(shù)利用泰勒公式或麥克勞林公式將利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級數(shù)展開為冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(010)( 若為若為0, 則冪級數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù)則冪級數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù) f(x); 若不為若不為0, 則冪級數(shù)雖然收斂則冪級數(shù)雖然收斂, 但它的和不是但它的和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法)(2) 計算計算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, 解解 0!nnn

15、x1)!1( nxxne 例例1 將將 f(x)=e x 在展開成在展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的麥克勞林級數(shù)為的麥克勞林級數(shù)為: nxnxx!1! 2112其中其中1)1()!1()()( nnnxnxfxR 0 1|)!1(|lim| )(|lim1 nxnnnxnexR )!1(|lim1 nxennx =0, 所以所以 e x =1+x+ 0!nnnxx+ . nxnx!1! 2120)(lim xRnn收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: (, +)nnkknnnnnb

16、nabbakknnnbannbnaaba 1221!) 1() 1(! 2) 1()(二項展開式二項展開式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!) 1() 1(! 2) 1(2 (1+x) = 1+x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 ?解解|lim1 nnnaaR例例2 將將 f(x)=(1+x ) 展開成展開成 x的冪級數(shù)的冪級數(shù).n=0,1,2, f (n)(0)= (1)(2) (n+1)=1, 0)(!)0(nnnxnf得得(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) , 0!) 1() 1(nnxnn |1|limnnn 注意注意: 當(dāng)當(dāng)x=1時時, 級數(shù)的收斂性與級數(shù)的收斂性與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). 1, 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為: ( 1, 1). 1 0, 收