chenpc文件下載數(shù)理方法定解問題PPT課件

1、 第七章第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題 7.1 7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1 1、橫振動方程：、橫振動方程：均勻均勻柔軟柔軟輕弦的輕弦的微小橫振動微小橫振動張力沿切向cos11sintan 傾角很小，即:x 振動質(zhì)點的平衡位置,:u x tx平衡位置為 的振動質(zhì)點在t時刻離開平衡位置的位移,:F x t作用在單位長度弦上的外力:單位長度弦的質(zhì)量11T2T,u x tx,F x t0 xxdx2一、振動方程：一、振動方程：第1頁/共50頁一、振動方程一、振動方程根據(jù)牛頓第二定律，有：根據(jù)牛頓第二定律，有：22112211coscos0sinsin,ttTTTTF x

2、t dxdx ux t 微小振動cos1,sintan2121tantan,ttTTTTF x t dxdx ux t12tan,tan,xxux tuxdx t,xxttTuxdx tux tF x t dxdx ux t第2頁/共50頁一、振動方程一、振動方程,xxttT ux tdxF x tdxdx ux t2,ttxxux taux tf x tT其中，波速a=,:F x tf x t作用在單位質(zhì)量弦上的外力。,0,=0f x tf x t受迫振動方程弦的自由振動方程,xxxxuxdx tux tux tdxtandydx,xy xdx ty x tyx tdxdxxydyxxdx振

3、動方程第3頁/共50頁2 2、縱振動方程：、縱振動方程：均勻細桿均勻細桿的的微小縱振動微小縱振動=consts constY const質(zhì)量體密度橫截面積楊氏模量胡克定律成立：應(yīng)力相對形變=uYx:應(yīng)力 單位橫截面上的彈力。楊 氏 彈性 模 量相對形變一、振動方程一、振動方程第4頁/共50頁一、振動方程一、振動方程0 xxdxx,u x t,u xdx tF2f1f,duu xdx tu x t絕對伸長量：,u x tdudxx相對伸長量：,u x tx：平衡位置 處的質(zhì)點離開平衡位置的位移。21,tts dx ux tffF x ts dx 其中， ：質(zhì)量體密度s：橫截面積dx：微元的長度F

4、 x,t外力體密度：作用在單位體積上的外力。22=,xfs Y uxdx ts11=,xfs Y ux ts,ttxxs dx ux tY ux tdx sF x ts dx 第5頁/共50頁,ttxxF x tYux tux t2,ttxxux taux tf x tYa其中，波速,F x tf x t作用在單位質(zhì)量上的外力。二、熱傳導(dǎo)方程：二、熱傳導(dǎo)方程：c比熱容：單位質(zhì)量物質(zhì)在溫度變化一度時所傳遞的熱量。, , ,q x y z t熱流強度：單位時間內(nèi)，垂直穿過單位面積的熱量。, , ,F x y z t熱源強度：單位時間內(nèi)，單位體積熱源產(chǎn)生的熱量。質(zhì)量體密度：單位體積內(nèi)的質(zhì)量。, ,

5、,u x y z t空間點 x,y,z 在t時刻的溫度。一、振動方程一、振動方程第6頁/共50頁二、熱傳導(dǎo)方程：二、熱傳導(dǎo)方程：xqx dxqz dzqzqy dyqyqdxdydz=+ 吸收的熱量 從邊界面凈流入的熱量熱源產(chǎn)生的熱量tu cdxdydz xx dxyy dyqqdydzqqdzdx, , ,zz dzqqdxdyF x y z t dxdydz:qk uk 熱傳導(dǎo)定律：熱傳導(dǎo)系數(shù), , , , , , ,xx dxxxxxqqkux y z tkuxdx y z tkux y z t dx , , , , , ,yy dyyyyyqqkux y z tkux ydy z tk

6、ux y z t dy , , , , , ,zz dzzzzzqqkux y z tkux y zdz tkux y z t dz 0 xyz第7頁/共50頁二、熱傳導(dǎo)方程：二、熱傳導(dǎo)方程：, , , , ,txxyyzzux y z tcdxdydzk uuudxdydzF x y z t dxdydz , , , , ,txxyyzzF x y z tkux y z tuuucc22, , , , ,tux y z tauf x y z t熱傳導(dǎo)方程, , , , ,F x y z tkaf x y z tcc其中，三、靜電場方程：三、靜電場方程：2=-, , , ,=, ,u x y

7、zx y zx y zu x y z 00靜電場為保守場：E 0E靜電場為有源場：E, ,0, ,=0 x y zx y z泊松方程拉普拉斯方程第8頁/共50頁說明：（1）靜電場為保守場：xyzijkExyzEEExzyzxyyzxyijkxzEEEEEEzyxzyxiEEjEEkEEyzzxxy四、靜電場方程四、靜電場方程第9頁/共50頁Eu ,xyzuuuEEExyz 四、靜電場方程四、靜電場方程uuuuEijyzzyzxxzuukxyyx 0單位面積上的環(huán)流正法向的旋度分量如：zyxEEEyz表示垂直于x軸的單位面積上的環(huán)流第10頁/共50頁xyz,x yydyzdzyEzEyEzE四、

8、靜電場方程四、靜電場方程|yzyz dzlzyzy dyE dlEdyEdyEdzEdzyzE dz dyE dy dzzy zyEEdy dzyzlzyxE dlEEEdy dzyz 垂直于x軸的單位面積上的環(huán)流等于旋度沿x坐標軸的分量。第11頁/共50頁四、靜電場方程四、靜電場方程（2）靜電場為有源場：xyzEijkE iE jE kxyzyxzEEExyzuuuxxyyzz222222uuuxyz 第12頁/共50頁單位體積上的電通量散度2u 0E20u 四、靜電場方程四、靜電場方程第13頁/共50頁xyz, ,x y zx dxy dyz dzxExEyEyEzEzE|xx dxxxs

9、E dsEdydzEdydz|yy dyyyEdzdxEdzdx|zz dzzzEdxdyEdxdyxyzEdxdydzEdxdydzxyEdxdydzzysxzE dsEEEEdxdydzxyz 單位體積上的電通量等于散度四、靜電場方程四、靜電場方程第14頁/共50頁 7.2 7.2 定解問題定解問題方程：描述了函數(shù)在相鄰點、相鄰時刻之間的聯(lián)系。初始條件：t=0時刻的場量及其變化率。第一類邊界條件：邊界上的場量值定解問題定解條件邊界條件 第二類邊界條件：邊界上的法向?qū)?shù)值第三類邊界條件：邊界上的場量及其法向?qū)?shù)值的線性組合一、振動定解問題：一、振動定解問題：1 1、兩端固定：、兩端固定： 2

10、,0,00,0,0,0,0ttxxtux ta ux tf x txl tutu l tu xxuxx方程第一類邊界條件初始條件（初位移和初速）第15頁/共50頁 2,0,00,0,0,0ttxxxtux ta ux tf x txl ttutul tY Su xxuxx方程邊界條件 左端為第一類，右端為第二類初始條件（初位移和初速）一、振動定解問題：一、振動定解問題：二、熱傳導(dǎo)定解問題：二、熱傳導(dǎo)定解問題： 212,0,00,0txxux ta ux tf x txl tutf tu l tftu xx方程第一類邊界條件初始條件（初溫）2 2、左端固定，右端已知相對形變：、左端固定，右端已知

11、相對形變：1 1、兩端溫度已知：、兩端溫度已知：思考：左端自由、右端固定的邊界條件如何表示？思考：左端自由、右端固定的邊界條件如何表示？第16頁/共50頁 200,00,0txxxxux ta ux tf x txlqqutul tkku xx 0方程第二類邊界條件 熱流q 從兩端流入初始條件（初溫）0lx0q0q二、熱傳導(dǎo)定解問題：二、熱傳導(dǎo)定解問題：說明：qk u 000,xxqkut 處，0,xxlqkul t 處，-00,xqutk 0,xqul tk2 2、兩端定常熱流流入：、兩端定常熱流流入：第17頁/共50頁二、熱傳導(dǎo)定解問題：二、熱傳導(dǎo)定解問題： 200,00,0,0txxxx

12、ux ta ux tfx txluthuth uul thu l th uu xx 方程第三類邊界條件初始條件（初溫）3 3、兩端按牛頓冷卻定律冷卻：、兩端按牛頓冷卻定律冷卻：說明：表面熱流強度表面與周圍環(huán)境的溫差0lxqqnnqk u nnqk u 0|nsqbuu 牛頓冷卻定律：0|nsnsqbuuku 0|nsbuhuhuhk000-0,0,xxxuthuthuxlul thu l thu處，處，第18頁/共50頁在MATLAB中設(shè)置邊界條件的步驟： pdetool %運行偏微分方程工具箱點擊左上角工具欄中的圖標 ，在相應(yīng)位置拖拉鼠標左鍵畫矩形邊界，點擊菜單BoundaryBoundar

13、y Mode進入邊界條件設(shè)置環(huán)境，雙擊邊界進入設(shè)置邊界條件界面三、在三、在MATLABMATLAB中設(shè)置邊界條件：中設(shè)置邊界條件：第19頁/共50頁選“Dirichlet”單選按鈕，設(shè)置第一類邊界條件：*h ur第20頁/共50頁選“Neumann”單選按鈕，設(shè)置第二類或第三類邊界條件：* *( )*n c grad uq ug00qq第二類第三類第21頁/共50頁 7.3 7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類一、二階線性偏微分方程的變量代換：一、二階線性偏微分方程的變量代換：1112221220 xxxyyyxya ua ua ubub ucuf=, x,y令則：=x,y=xxxyy

14、yuuuuuxxuuuuuyy=xxxxxuuu=xxxxxxxxuuuu=xxxxxxxxxxuuuuuu22=2xxxxxxxxuuuuu 一般形式的二階線性偏微分方程第22頁/共50頁=xyxxyuuu=yxxyyxxyuuuu=yyxxyyyxxyuuuuuu=xyxyyxxyxyxyuuuuu =yyyyyuuu=yyyyyyyyuuuu=yyyyyyyyyyuuuuuu22=2yyyyyyyyuuuuu 2211122211122222xxyyxxxyyxyyuaaauaaa 221112221112221222xxyyxxxyyyxyuaaauaaabb 1112221220 x

15、xxyyyxyuaaabbcuf一、二階線性偏微分方程的變量代換：一、二階線性偏微分方程的變量代換：第23頁/共50頁2, ,0uuuu u u 22111222=2xxyyaaa 其中，111222=xxxyyxyyaaa 22111222=2xxyyaaa 11122212=2xxxyyyxyuaaabb11122212+2xxxyyyxyuaaabbcuf一、二階線性偏微分方程的變量代換：一、二階線性偏微分方程的變量代換：二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：1 1、特征方程：、特征方程：第24頁/共50頁,v x yc通解:0 xyv dxv dy211122220dydyaaa

16、dxdxxyvdydxv 211122220 xxyyvvaaavv2211122220 xxyya va v va v 以特征方程的通解作為變換變量 和 ，可使變換方程的某些系數(shù) 如 或為零，從而達到簡化偏微分方程的目的。一、二階線性偏微分方程的變量代換：一、二階線性偏微分方程的變量代換：第25頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：2 2、分類：、分類：(1)(1)雙曲型方程：雙曲型方程：2121122-0aa a211122220dydyaaadxdx特征方程：22121211221212112211112442aaa aaaa adycddxaaco0dycdxynst

17、xydx通解： c+dc+d0dycdcd xyconstcd xydx通解：第26頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類： 二階偏微分方程化簡為：2, ,0uu u u 11, ,0=2uu u u =+= += -=- 12作代換：， 則：12uuuuuuuuuu第27頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：uuuuuuu uuuuuu1, ,0uuu uu 雙曲型方程 Hyperbolic Equation 的標準形式第28頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：2,ttxxua uf x t如：振動方程：21112221,0,aaaa 2

18、21211220aa aa雙曲型方程反映了波動性第29頁/共50頁點擊菜單pdePde Mode,雙擊方程對應(yīng)的區(qū)域，選擇方程的類型。第30頁/共50頁(2)(2)拋物型方程：拋物型方程：2121122-=0aa a211122220dydyaaadxdx特征方程：1222222211111111=- =-0aaaadyx y constx ydxaaaa通解:第31頁/共50頁111222=xxxyyxyyaaa 二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：11112222=xxxyyxyyaa aa 11221122=xyxyaaaa2222112211221111=,1xyxyaaaaa

19、aaa 0, ,0uu u u 二階偏微分方程化簡為：33, ,0uu u u Parabolic Equation 的拋物型方程標準形式反映了不可逆的輸運過程第32頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：2,xxa uf x tt如：u2111222,0,0aaaa21211220aa a第33頁/共50頁(3)(3)橢圓型方程：橢圓型方程：2121122-0aa a211122220dydyaaadxdx特征方程：二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：21211221211ai a aadyciddxa0dycidcidxyconstcidxydx 通解:0dycid

20、cidxyconstcidxydx 通解:第34頁/共50頁 二階偏微分方程化簡為：1, ,0uu u u 二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：1=+i= +2=-1=-i2 令， 則：-iuuuuiuuuuuiuuuiuuiuuiu第35頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：1, ,0uuu uu 橢圓型方程 Eliptic Equation 的標準形式uiui uiuuu0 xxyyuu如：靜電場方程：1112221,0,1aaa212112210aa a 橢圓型方程反映了場的穩(wěn)定分布第36頁/共50頁二、偏微分方程的分類：二、偏微分方程的分類：第37頁/共50頁

21、 7.4 7.4 達朗貝爾公式達朗貝爾公式一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：1 1、達朗貝爾公式：、達朗貝爾公式：柔軟柔軟的的輕長輕長弦作弦作自由振動自由振動張力沿張力沿切向切向忽略忽略重力重力不考慮邊不考慮邊界反射界反射不考慮外不考慮外力作用力作用第38頁/共50頁一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：一、一維無界區(qū)域的自由振動問題： 2,0,0ttxxtua uxu xxuxx 22dxadt特征方程：00dxaxatdtdxaxatdt 0u 12,uff 12,u x tfxatfxat第39頁/共50頁一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：一、一維無界區(qū)域的自由振動

22、問題： 1212,0,0tu xfxfxxuxafxafxx 012120112xxfxfxxfxfxdCa 0 xx為 軸上的一個固定點01020Cfxfx 0001021-2221+222xxxxxCfxdaxCfxda 122 122 1,+22x atx atxatxatu x tda ,xatxattxu x t和點的初位移在時刻 傳播到 點，對的貢獻,xatxatu x t，內(nèi)的所有點的初速度對的貢獻達朗貝爾公式達朗貝爾公式xatxatxtaa0t 0t 第40頁/共50頁一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：一、一維無界區(qū)域的自由振動問題：2 2、解的物理意義：、解的物理意義： 0,2

23、xatxatxu x t若，則：constconsttx+xxatxat波沿向傳播+const+consttx-xx atx at波沿向傳播x x /2xx2xat2xat00,u x t第41頁/共50頁二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題：二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題：1 1、x=0 x=0為固定端：為固定端： 2,0,0,000,0ttxxtux ta ux txu xxuxxxut 2,-00,0,000ttxxtux ta ux txxxxxu xxuxxxxxx 奇延拓：第42頁/共50頁 1,+22x atx atxatxatu x tda二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題：二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題： 1+221+22x atx atx atat xxatxatdxataxatatxdxata 00111+222x atx atx atx atdddaaa 0011-+22x atat xddaa 0011+22x atat xddaa 說明： 12x atat xda 第43頁/共50頁二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題：二、一維半無界區(qū)域的自由振動問題：注： 10,0ut 1,+22x