第05章剛體定軸轉(zhuǎn)動

1、第五章第五章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動5-1 5-1 剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動5-2 5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5-3 5-3 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 5-5 5-5 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能5-4 5-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的 角動量守恒定律角動量守恒定律1.1.剛體剛體 內(nèi)部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，內(nèi)部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。即運動過程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實際物體的一種理想的模型剛體是實際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無限多個彼此間距離保持

2、不變的質(zhì)元組成的剛體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點系。質(zhì)點系。5-1 5-1 剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動2.2.剛體的運動剛體的運動 剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通過該點的軸線過該點的軸線( (瞬時轉(zhuǎn)軸瞬時轉(zhuǎn)軸) )的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動2.1 2.1 平動：平動：運動過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運動過程中運動過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。始終保持方向不變。 特點：特點：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。剛剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。剛體上任一點的運動都可代表整個剛體的運動

3、。可用質(zhì)點模型。體上任一點的運動都可代表整個剛體的運動?？捎觅|(zhì)點模型。2.2 2.2 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：剛體上所有質(zhì)點都繞同一軸線作圓周運動。剛體上所有質(zhì)點都繞同一軸線作圓周運動。若轉(zhuǎn)軸若轉(zhuǎn)軸固定不變固定不變，則稱為，則稱為定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動。2.3 2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點： 1. 1.剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，剛體內(nèi)所有點剛體內(nèi)所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。具有相同的角位移、角速度和角加速度。 但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相等。但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相等。 2. 2.各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸各質(zhì)點圓周運動

4、的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸線上，這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面。線上，這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面。適合角量描述適合角量描述. .若轉(zhuǎn)軸若轉(zhuǎn)軸固定不變固定不變，則稱為，則稱為定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動。3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 角位置：角位置： 3.1 3.1 定軸轉(zhuǎn)動的角量描述定軸轉(zhuǎn)動的角量描述 ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv定軸轉(zhuǎn)動中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。角速度和角加速度均為矢量3.2 3.2 角量和線量的關(guān)系角量和線量的關(guān)系 rv2tnarar矢量表示：矢量表示： 2 tnrrrvvx

5、OP rv1.1.力對轉(zhuǎn)軸的力矩力對轉(zhuǎn)軸的力矩 力對轉(zhuǎn)軸上任一參考點的力矩矢量沿轉(zhuǎn)軸方向的分量為力對轉(zhuǎn)軸上任一參考點的力矩矢量沿轉(zhuǎn)軸方向的分量為力對轉(zhuǎn)軸的力矩力對轉(zhuǎn)軸的力矩: : () ()zzzzzzMrFrrFFrFrFrFrF :O:O:O0zzzzrFzrFzrFzrF 沿垂直垂直zdPOrFFzFO rzr5-2 5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 FrMz結(jié)論：結(jié)論：zdPOrFFzF O rzr2 2剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量2.1 2.1 質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量：質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量： 質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸上任一參考點的角動量矢量沿轉(zhuǎn)軸質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸上任一參考點的角動量矢量沿轉(zhuǎn)軸方

6、向的分量為質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量方向的分量為質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量: : () ()zzzzzzLrprrpprprprprp :O:O:O0zzzzrpzrpzrpzrp沿垂直垂直zdmOrppzpO rzrzLrp結(jié)論：結(jié)論：zdmOrppzpO rzr2.2 2.2 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量 組成剛體的所有質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量的和組成剛體的所有質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量的和: :2izii ii iLmvrmr ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量：剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量： zzLJzOriimiv 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動

7、定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，則，則zzJM簡寫為：簡寫為：JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 2iirmJ連續(xù)體：連續(xù)體：dmrJ24.2 4.2 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)動軸有關(guān)。 4 4轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量4.1 4.1 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性大小剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性大小 的量度。的量度。 例例5-15-1 計算下列剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：計算下列剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1 1）均勻細(xì)棒對與過細(xì)棒端點且細(xì)棒垂直的轉(zhuǎn)軸；）均勻細(xì)棒對與過細(xì)棒端點且細(xì)棒垂直的轉(zhuǎn)軸；（2

8、 2）均勻圓盤對垂直于圓平面并過圓心的軸；）均勻圓盤對垂直于圓平面并過圓心的軸；（3 3）均勻球體對通過球心的軸。）均勻球體對通過球心的軸。ROzORzOzl（1）（2）（3）OzdxdmxdmxdJ2解：解：mdmdxdxl22013lmJxdxmll（1）（2）rdrdm2dmrdJ2340212212RJr drRmRrROzdr（3）dmrdJ221，sinRr ，2233( sin )( cos )sindmdVr dyRd RRd 550521(sin)282155JRdRmRROryz4.3 4.3 平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：平行軸定理：2zCJJm

9、diririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd垂直軸定理垂直軸定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJmRzJCJOzxy例：例：212CJmR2221mRmRJz（1）212zJmR241mRJJyx2212mRJJJxyx（2）解題要點解題要點:5-3 5-3 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2aOCOmg1.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定

10、理和角動量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL簡寫為簡寫為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理0M 000LLJJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律5-4 5-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律2 2含質(zhì)點和剛體的系統(tǒng)的角動量定理和角動量守含質(zhì)點和剛體的系統(tǒng)的角動量定理和角動量守恒定律恒定律00ttMdtLL0M 0LLML:質(zhì)點剛體mvdLJ系統(tǒng)所受的合外力矩系統(tǒng)所受的合外力矩系統(tǒng)總角動量：系統(tǒng)總角動量： 角動量守恒現(xiàn)象舉例演示演示演示演示 m2 m1RmF例例5-75-7 如圖，長為如圖，長為l l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M M的均勻細(xì)棒可饒過的均勻細(xì)棒可饒過

11、O O點的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為點的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m m的質(zhì)的質(zhì)點以初速點以初速v v0 0沿水平方向運動，與靜止在豎直位置沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求一起上擺。求（1 1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 ；（2 2）兩者一起上擺的最大角度）兩者一起上擺的最大角度 。Olmv01.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功idOizP0PFiridli cos sin sin iiiiiiiiii iiidAF

12、dlFdlFrdFrdM d0AMdiidAM dMd5-5 5-5 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能2.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 合外力矩做功：合外力矩做功：iiiAMdM dM dA一對力的力矩一對力的力矩: :0MM0AA2 2剛體的轉(zhuǎn)動動能與重力勢能剛體的轉(zhuǎn)動動能與重力勢能 22221()21()212kiiii iiEmmrJv221JEk2.1 2.1 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能 O zrimivi2.2 2.2 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定

13、理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA 對含有剛體和質(zhì)點復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，對含有剛體和質(zhì)點復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機械能守恒，即且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機械能守恒，即 CEEEpk4.4.含剛體系統(tǒng)的機械能守恒定律含剛體系統(tǒng)的機械能守恒定律 O解：解：MmkRl m1 Om2v課本例題課本例題5.16 5.16 如圖，均質(zhì)木棒長如圖，均質(zhì)木棒長l ,質(zhì)量質(zhì)量m1,可繞一可繞一端的水平軸端的水平軸O 在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。初始時刻，自然在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。初始時刻，自然懸垂，子彈懸垂，子彈m2以速度以速度 水平射入棒下端，求棒獲得的水平射入棒下端，求棒獲得的角速度和最大上擺角度。角速度和最大上擺角度。解：解：木棒和子彈組成的系統(tǒng)，子彈射入過程，外力木棒和子彈組成的系統(tǒng)，子彈射入過程，外力包括軸的支撐力和重力力矩都為零。包括軸的支撐力和重力力矩都為零。角動量守恒：角動量守恒：02Lmlv22