2615用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

1、26.1.526.1.5用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式1.1.求一次函數(shù)解析式的方法是什么求一次函數(shù)解析式的方法是什么? ? 復(fù)習(xí)提問：復(fù)習(xí)提問：待定系數(shù)法待定系數(shù)法2. 2. 二次函數(shù)的一般形式是什么二次函數(shù)的一般形式是什么? ?它有幾個(gè)待定系數(shù)它有幾個(gè)待定系數(shù)? ?y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0)a0)，有，有3 3個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù)a a、b b、c c3. 3. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是什么二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是什么? ?它有幾個(gè)待定系數(shù)它有幾個(gè)待定系數(shù)? ?y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k +k （a0)a0)，有，有3 3個(gè)待定系數(shù)

2、個(gè)待定系數(shù)a a、h h、k k 一般地，函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2bxc0的解x1 ，x2 ,所以，已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（ x1 ，0）， （ x2 ，0）時(shí)，二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxc又可以寫為ya(x x1)(x x2)，其中x1 ，x2 為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。4 4 、二次函數(shù)的交點(diǎn)式（兩根式）：、二次函數(shù)的交點(diǎn)式（兩根式）：ya(xx1)(xx2)，其中x1 ，x2 為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，它有3個(gè)待定系數(shù)a、 x1 、x2 今天學(xué)習(xí)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式例例1 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,10）、（）、（1

3、,4）、）、（2,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程組得：解方程組得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是： y=2x2-3x+5待定系數(shù)法待定系數(shù)法練習(xí)練習(xí):已知關(guān)于已知關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為10,當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為4,當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析試求這個(gè)二次函數(shù)的解析試.由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù),2cbxaxy72

4、4410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函數(shù)是已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為一般式通常設(shè)為一般式 例2：已知拋物線的頂點(diǎn)是（1，2）且過點(diǎn)（2，3)，求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式練習(xí)： 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4，求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；又過點(diǎn)（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k頂點(diǎn)是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點(diǎn)與已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式通常設(shè)為

5、頂點(diǎn)式已知條件中的當(dāng)已知條件中的當(dāng)x=3x=3時(shí)有最大值時(shí)有最大值4 4也就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（也就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,43,4），），所以設(shè)為頂點(diǎn)式較方便所以設(shè)為頂點(diǎn)式較方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59例例3 3：已知拋物線與：已知拋物線與x x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1 1，3 3且圖像過（且圖像過（0 0，-3-3），求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。），求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)已知已知拋物線與拋物線與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為交點(diǎn)式（兩根式）設(shè)為交點(diǎn)式（兩根式

6、）由拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，3，y=a(x-1)(x-3),又過（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3練習(xí)：已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象過A(0，5)，B(5，0)兩點(diǎn)，它的對稱軸為直線x2，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是_ _。 分析：因?yàn)閽佄锞€與分析：因?yàn)閽佄锞€與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，又又B(5B(5，0)0)關(guān)于直線關(guān)于直線x x2 2的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0-1,0），所以可以設(shè)為

7、交），所以可以設(shè)為交點(diǎn)式，類似例點(diǎn)式，類似例3 3求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5練習(xí)：如圖，已知二次函數(shù)練習(xí)：如圖，已知二次函數(shù) 的圖像經(jīng)過點(diǎn)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A A和和點(diǎn)點(diǎn)B B（1 1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2 2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3 3）點(diǎn)）點(diǎn)P P（m m，m m）與點(diǎn)）與點(diǎn)Q Q均在該函數(shù)圖像上（其中均在該函數(shù)圖像上（其中m m0 0），且這兩），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求點(diǎn)關(guān)于拋物

8、線的對稱軸對稱，求m m的值及點(diǎn)的值及點(diǎn)Q Q 到到x x軸的距離軸的距離24y axx c xyO3911AB圖13解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入 得cxaxy42.3439,) 1(4) 1(122caca解得.6,1ca二次函數(shù)的表達(dá)式為642xxy（2）對稱軸為直線x2 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-10）（3）將（m，m）代入 ，得 ，642xxy642mmm解得 ，121,6mmm0， 不合題意，舍去11m m=6點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸 x2 對稱，點(diǎn)Q到x軸的距離為6練習(xí)：已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-2，0），B（1，0）且經(jīng)過點(diǎn)C（2，8）（1）求該拋物線的解析

9、式 （2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)解：設(shè)這個(gè)拋物線的表達(dá)式為Y=ax2+bx+c分析：由已知，拋物線過點(diǎn)（-2，0），B（1，0），C（2，8）三點(diǎn)，因此可以設(shè)一般式求解析式 4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解這個(gè)方程組得，a=2b=2C=-4所以該拋物線的表達(dá)式為y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1/2，-9/2）課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值，已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值， 通常選擇一般式通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸和最值）已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸和最值） 通常選擇頂點(diǎn)式通常選擇頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，已知圖象與已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫x1、x2， 通常選擇交點(diǎn)式（兩根式）通常選擇交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。yxo確定