數(shù)字信號處理 第2章ppt課件

1、第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言 2.2時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號 傅里葉變換之間的關系 2.5序列的Z變換 2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性 習題與上機題第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言引言我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法。在模擬領域中，信號一般用連續(xù)變法。在模擬領域中，信號一般用連續(xù)變量時間的函數(shù)

2、表示，系統(tǒng)則用微分方程量時間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換換(Fourier Transform)或拉普拉斯變換或拉普拉斯變換表示。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信表示。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用時域離散信號序列表示，系統(tǒng)號用時域離散信號序列表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。在頻率域，則用信則用差分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換或號的傅里葉變換或Z變換表示。變換表示。本章學習序列的傅里葉變換和本章學習序列的傅里葉變換和Z變變換，以及利用換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。該章內(nèi)容是本書也是數(shù)字信

3、號域特性。該章內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號處理的理論基礎。處理的理論基礎。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.2時域離散信號的傅里葉變換時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì)的定義及性質(zhì)時域離散信號不同于模擬信號，因時域離散信號不同于模擬信號，因此它們的傅里葉變換不相同，但都是線此它們的傅里葉變換不相同，但都是線性變換，一些性質(zhì)是相同的。性變換，一些性質(zhì)是相同的。2.2.1時域離散信號傅里葉變換的定義時域離散信號傅里葉變換的定義序列序列x(n)的傅里葉變換定義為的傅里葉變換定義為（2.2.1） nnnxnxXjje )()(FT)e (第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析FT為Fourier Tran

4、sform的縮寫。FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：（2.2.2） X(ej)的傅里葉反變換為（2.2.3） | ( )|nx n d )e (21)e (IFT)(jjXXnx第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2.2.1和2.2.3式組成一對傅里葉變換公式。（2.2.2式是傅里葉變換存在的充分必要條件，有些函數(shù)例如周期序列并不滿足2.2.2式，說明它的傅里葉變換不存在，但如果引入沖激函數(shù)，其傅里葉變換也可以用沖激函數(shù)的形式表示出來，這部分內(nèi)容將在2.3節(jié)介紹。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.2.1】設x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里

5、葉變換。解 （2.2.4） 當N=4時，其幅度與相位隨頻率的變化曲線如圖2.2.1所示。 )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRxNNNNNnNnnN第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.2.2時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)1 FT的周期性的周期性在定義在定義2.2.1式中，式中，n取整數(shù)，因此下取整數(shù)，因此下式成立：式成立：(2.2.5) 觀察上式，得到傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，

6、周期是2。這一特點不同于模擬信號的傅里葉變換。)e (e )(e )()e ()2j()2j(jjMnnMnnXnxnxX為整數(shù)第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析由FT的周期性進一步分析得到，在=0和=2M附近的頻譜分布應是相同的M取整數(shù)），在=0，2, 4, 點上表示x(n)信號的直流分量；離開這些點愈遠，其頻率愈高，但又是以2為周期，那么最高的頻率應是=。另外要說明的是，所謂x(n)的直流分量，是指如圖2.2.2a所示的波形。例如，x(n)=cosm，當=2M, M取整數(shù)時，x(n)的序列值如圖2.2.2a所示，它代表一個不隨n變化的信號直流信號）；當=(2M+1)時，x(n)波形如圖2.

7、2.2b所示，它代表最高頻率信號，是一種變化最快的正弦信號。由于FT的周期是2，一般只分析之間或02范圍的FT就夠了。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.2cosm 的波形第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2 線性設X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么(2.2.6) 式中, a，b是常數(shù)。 jj1212FT( )( )(e )(e )ax nbx naXbX第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3時移與頻移設X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) 0jj0FT ()e(e )mx nnX 00jj()FTe( )(e)nx nX第2

8、章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4 FT的對稱性在學習FT的對稱性以前，先介紹什么是共軛對稱與共軛反對稱，以及它的性質(zhì)。設序列xe(n)滿足下式：（2.2.9） 則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實部與虛部表示： *ee( )()x nxneerei( )( )j( )x nxnxn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到：對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） *eerei()()j()xnxnxnerer( )()xnxneiei( )()xnxn 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

9、上面兩式表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的共軛反對稱序列： （2.2.12） 將xo(n)表示成實部與虛部，如下式：*oo( )()x nxn ooroi( )( )j( )x nxnxn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。 oror( )()xnxn oioi( )()xnxn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.2.2】試分析x(n)=ejm的對稱性。解因為x*(n)=ejm=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對稱序列，如展成實部與虛部，則得到

10、： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即 （2.2.15） 式中，xe(n)和xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將2.2.15式中的n用n代替，再取共軛, 得到：（2.2.16） eo( )( )( )x nx nx n*eo()( )( )xnx nx n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析利用2.2.15和2.2.16式，得到：（2.2.17） （2.2.18） 利用上面兩式，可以用x(n)分別求出xe(n)和xo(n)。 *e1( ) ( )()2x

11、nx nxn*o1( ) ( )()2x nx nxn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析對于頻域函數(shù)X(ej)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）式中，Xe(ej)與Xo(ej)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分，它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）j-jee(e)(e)XXjjoo(e)(e)XX 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析同樣有下面公式成立：有了上面的概念和結(jié)論，下面研究FT的對稱性。 （2.2.22）（2.2.23）jj*je1(e)(e)(e)2XXXjj*jo1(e)(e)(e)2XXX第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分

12、析 (1) 將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行傅里葉變換，得到:eo(e)(e)(e)jjjxxXjjeri(e )FT( )( )ennXx nx njjoii(e)FTj ( )j( )ennXx nx n式中第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列。容易證明：Xe(ej)滿足2.2.20式，具有共軛對稱性，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ej) 滿足2.2.21式，具有共軛反對稱性質(zhì)，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 最后得到結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應的傅里葉變換具有

13、共軛對稱性，虛部和j一起對應的傅里葉變換具有共軛反對稱性。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析(2) 將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)將2.2.17和2.2.18式重寫如下：*e1( ) ( )()2x nx nxn*o1( ) ( )()2x nx nxn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析將上面兩式分別進行傅里葉變換，得到：因而2.2.24式的FT為（2.2.25a） j*jjjeR1FT( )(e)(e)Re(e)(e)2x nXXXXj*jjjoI1FT( )(e)(e)jIm(e)j(e)2x nXXXXj

14、jjRI(e )(e )j(e )XXX（2.2.25b） （2.2.25c） 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2.2.25式表示：序列x(n)的共軛對稱部分xe(n)對應著X(ej)的實部XR(ej)，而序列x(n)的共軛反對稱部分xo(n)對應著X(ej)的虛部(包括j)。下面我們利用FT的對稱性，分析實因果序列h(n)的對稱性，并推導其偶函數(shù)he(n)和奇函數(shù)ho(n)與h(n)之間的關系。因為h(n)是實序列，其FT只有共軛對稱部分He(ej)，共軛反對稱部分為零。jje(e)(e)HHjj(e )(e)HH第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因此實序列的FT是共軛對稱函數(shù), 其實部

15、是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然， 其模的平方是偶函數(shù)，相位函數(shù)是奇函數(shù)，這和實模擬信號的FT有同樣的結(jié)論。jjRR(e)()HHejjII(e)(e)HH j22j2jRI|(e)|(e)(e)HHHjjjIRarg(e )argtan(e )/(e )HHH第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析依照2.2.17和2.2.18式得到：eo( )( )( )h nh nh ne1( ) ( )()2h nh nhno1( ) ( )()2h nh nhn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因為h(n)是實因果序列，按照上面兩式，he(n)和ho(n)可用下式表示： （2.2.26） （2.2

16、.27） e(0) 01( )( ) 021() 02hnh nh nnhnno001( )( )021() 02nh nh nnhnn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析按照上面兩式，實因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為 （2.2.28） （2.2.29） 式中 （2.2.30） e( )( )( )h nh n uno( )( )( )(0) ( )h nh n unhn2 0( )1 00 0nunnn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因為h(n)是實序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。依照2.2.28式，實因果序列完全由其偶序列恢復，但按照2.2.

17、27式，ho(n)中缺少n=0點h(n)的信息。因此由ho(n)恢復h(n)時，要補充一點h(h)(n)信息。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按2.2.26式，得到：e(0)01( )( )021() 02xnx nx nnxnn02102101nanannn第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析按2.2.27式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。 o001( )( )021() 02nx nx nnxnn001021 02nnnanan第

18、2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.3例2.2.3圖第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 5 時域卷積定理設 y(n)=x(n)*h(n)那么 Y(ej)=X(ej)Hej） （2.2.31）證明( )( ) ()my nx m h nmjj(e )FT ( )( ) ()ennmYy nx m h nm 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析令k=nm，那么jjj(e)( ) ( )eeknkmYh k x m jj( )e( )eknkmh kx mjj(e )(e )HX第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析該定理說明，兩序列卷積的FT服從相乘的關系。對于線性時不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信

19、號的FT乘以單位脈沖響應的FT。因而，在求系統(tǒng)的輸出信號時，可以在時域用卷積公式1.3.7計算，也可以在頻域按照2.2.31式，求出輸出的FT，再作逆FT，求出輸出信號y(n)。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析6 頻域卷積定理設y(n)=x(n)h(n) 那么(2.2.32) 證明 (2.2.33) jjjjj()11(e )(e )(e )(e )(e)d22YXHXH jj(e )( ) ( )ennYx n h njjj1( )(e )ede2nnnx nH第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析交換積分與求和的次序，得到：(2.2.34) 該定理表明，在時域兩序列相乘，轉(zhuǎn)移到頻域時服從卷積

20、關系。 jjj()1(e)(e )( )ed2nnYHx n jj()1(e )(e)d2HX jj1(e )(e )2XH第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析7 帕斯維爾帕斯維爾Parseval定理定理（2.2.35） 22j1( )(e ) d2nx nx第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析證明證明 2*jj1( )( )( )( )(e )ed2nnnnx nx n x nx nXjjj1(e)(e)( )ed2nnXXx n2jjj11(e)(e)d(e) d22XXX第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析帕斯維爾定理表明了信號時域的能量與頻域的能量關系。表2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)

21、在分析問題和實際應用中是很重要的。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式變換表示式因為周期序列不滿足因為周期序列不滿足2.2.2式絕對可式絕對可和的條件，因此它的和的條件，因此它的FT并不存在，但由于并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級數(shù)，引是周期性的，可以展成離散傅里葉級數(shù)，引入奇異函數(shù)入奇異函數(shù)()，其，其FT可以用公式表示出來?？梢杂霉奖硎境鰜怼５?章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散

22、傅里葉級數(shù)設設 是以是以N為周期的周期序列，可以展成為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級數(shù)。如下離散傅里葉級數(shù)。如下:(2.3.1)為求系數(shù)為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對，將上式兩邊乘以，并對n在一個周期在一個周期N中求和，即中求和，即)(nx102)(NkknNjkeanxmnNje2第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析式中(2.3.2) 21j()0 e0 Nk m nNnNkmkm 1010)(2102102102)(NkNnnmkNjkNnmnNjNkknNjkNnmnNjeaeeaenx第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析(2.3.2)式的證明作為練習請讀者自己證明。因而(2.3.

23、3)式中，k和n均取整數(shù)。因為，l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿足ak=ak+lN。22j()jeek lN nknNN2jeknN10 ,)(1102NkenxNaNnknNjk第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析令 , 并將(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4)式中， 也是以N為周期的周期序列, 稱為 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。kNakX)(kenxkXNnknNj,)()(102)(kX)(nx第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析用 (2.3.5) 將2.3.4式和2.3.5式重寫如下： (2

24、.3.6) (2.3.7) 21j01( )( )eNknNkx nX kN21j0( )DFS ( )( )eNknNnX kx nx n21j01( )IDFS( )( )eNknNkx nX kX kN)(1kXN替代(2.3.1)式中的ak,得到第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2.3.6式和2.3.7式稱為一對DFS。（2.3.5式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度為?；ǚ至康念l率是2/N，幅度是。一個周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周

25、期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。解依照2.3.6式, 有(1/)( )N X k(1/)(1)N X( )x k( )x n( )x n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。 273jj8400( )( )eeknknnnX kx nj44j41 e1 ekkjj22jj88j (ee)j2jj(ee)481 ee1 eekkkkkkk3j 8sin2esin8kkk( )X k第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.1例2.3.1圖 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式周期序列的

26、傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中，其傅里在模擬系統(tǒng)中，其傅里葉變換是在葉變換是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度處的單位沖激函數(shù)，強度是是2，即，即（2.3.8） 對于時域離散信號，2/0為有理數(shù)，暫時假定其FT的形式與2.3.8式一樣，即是在0處的單位沖激函數(shù)，其強度為2。但由于n取整數(shù)，下式成立： 0ja( )etXt0j()aa(j)FT( )edtXx tt02 () 0j( )enx n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析r取整數(shù)因而 的FT為 (2.3.9)(2.3.9)式表示復指數(shù)序列的FT是在0+2r處的單位沖激函數(shù)，強度為2，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照2.2.4式

27、的逆變換必須存在，且唯一等于 ，下面進行驗證。按照逆變換定義，（2.2.4式右邊00jj(2 )eenr n0jen0jj0(e )FTe2 (2 )nrXr 0jen第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析觀察圖2.3.2，在區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù)(0)，等式右邊為，因此得到下式：證明了2.3.9式確實是的FT，前面的暫時假定是正確的。jjj011(e)ed2 (2 )ed22nnrXr 0jen00jjjj1e(e )edIFT(e)2nnXX0jen第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.2的FT 0jen第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析對于一般周期序列，按2.3.6式展成DFS，

28、第k次諧波為，類似于復指數(shù)序列的FT，其FT為因而的FT如下式：( )x n2j( )/)eknNX kN2 ( )22rX kkrNN ( )x n1j02 ( )2(e )FT ( )2NkrX kXx nkrNN 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析式中，k=0, 1, 2, , N1。如果讓k在區(qū)間變化，上式可簡化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里葉變換表示式。需要說明的是，上面公式中的()表示單位沖激函數(shù)，而(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同, 因而不會引起混淆。表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。j22(e)( )kXX kkNN 21j0(

29、 )( )eNknNnX kx n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析表2.3.2基本序列的傅里葉變換 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析表中u(n)序列的傅里葉變換推導如下：令(2.3.11)(2.3.12)對(2.3.12)式進行FT，得到: 1( )( )2x nu n1(1)(1)2x nu n( )(1)( )(1)( )x nx nu nu nnjj1(e )1 eX第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析對(2.3.11)式進行FT，得到：【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解將例2.3.1中得到的代入2.3.10式中，得到：其幅頻特性如圖2.3.3所示。jj(e )(e )

30、(2 )kXUk jj1(e )(2 )1 ekUk ( )X k3j j8sin( /2)(e )e4sin( /8)4kkkXkk 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.3例2.3.2圖第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析對比圖2.3.1，對于同一個周期信號，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示用帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時應注意單位沖激函數(shù)的畫法?！纠?.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。解將用歐拉公式展開：依照2.3.9式，其FT推導如下：00( )cos,2/x nn( )x n00jj1( )ee2

31、nnx n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 （2.3.13） (2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度為，且以2為周期進行延拓，如圖2.3.4所示。 j0(e)FTcosXn0012 (2 )(2 )2rrr 00 (2 )(2 )rrr 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖2.3.4cos0n的FT 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系傅里葉變換之間的關系時域離散信號與模擬信號是兩種不同的時域離散信號與模擬信號是兩種不同的信號，傅里葉變換也不同，如果時域離散信信號，傅

32、里葉變換也不同，如果時域離散信號是由某模擬信號采樣得來，那么時域離散號是由某模擬信號采樣得來，那么時域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關系。下面推導這一關系式。換之間有一定的關系。下面推導這一關系式。公式公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采表示了由采樣得到的時域離散信號和模擬信號的關系，樣得到的時域離散信號和模擬信號的關系，而理想采樣信號和模擬信號的關系用而理想采樣信號和模擬信號的關系用1.5.2式表示，重寫如下式表示，重寫如下:a ( )x taa ( )() ()nx tx nTtnT第2章時域離散信號和系

33、統(tǒng)的頻域分析對上式進行傅里葉變換, 得到:jaaja(j)( )ed() () edttnXx ttx nTtnTtjaj a()()ed()e()dtnnTnx nTtnTtx nTtnTtja ()enTnx nT第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者寫成： （2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3） ja(e)(j)TXXjas1(e)(jj)TkXXkTss22FTja12(e)(j)kkXXTT第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2.4.1）、（2.4.2和2.4.3式均表示時域離散信號的傅里葉變換和模擬信號

34、傅里葉變換之間的關系。由這些關系式可以得出兩點結(jié)論。一點結(jié)論是時域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為，因此由模擬信號進行采樣得到時域離散信號時，同樣要滿足前面推導出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的2倍以上，否則也會差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在s/2附近最嚴重，在數(shù)字域則是在附近最嚴重。ss22FT第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析另一點結(jié)論是計算模擬信號的FT可以用計算相應的時域離散信號的FT得到，方法是: 首先按照采樣定理，以模擬信號最高頻率的兩倍以上頻率對模擬信號進行采樣得到時域離散信號，再通過計算機對該時域離散信號進行FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間

35、隔T便得到模擬信號的FT，注意關系式=T。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關系，在一些文獻中經(jīng)常使用歸一化頻率f=f/Fs或=/s, =/2, 因為f、和都是無量綱量，刻度是一樣的，將f、f、的定標值對應關系用圖2.4.1表示。圖2.4.1表明，模擬折疊頻率Fs/2對應數(shù)字頻率；如果采樣定理滿足，則要求模擬最高頻率fc不能超過Fs/2；如果不滿足采樣定理，則會在=附近，或者f=Fs/2附近引起頻率混疊。以上幾個頻率之間的定標關系很重要，尤其在模擬信號數(shù)字處理中，經(jīng)常需要了解它們的對應關系。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關

36、系第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.5序列的序列的Z變換變換在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進行頻域分析，拉普拉斯變換可作換進行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進行復為傅里葉變換的推廣，對信號進行復頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)中，頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進行頻域分析，用序列的傅里葉變換進行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對序列進變換則是其推廣，用以對序列進行復頻域分析。因此行復頻域分析。因此Z變換在數(shù)字信變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。號處理中同樣起著很重要的作用。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.5

37、.1Z變換的定義變換的定義序列序列x(n)的的Z變換定義為變換定義為 （2.5.1）式中式中z是一個復變量，它所在的復平面稱為是一個復變量，它所在的復平面稱為z平面。平面。注意在定義中，對注意在定義中，對n求和是在求和是在、之間求和，之間求和，可以稱為雙邊可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊變換。還有一種稱為單邊Z變換變換的定義，如下式：的定義，如下式： （2.5.2）( )( )nnX zx n zdef0( )( )nnX zx n zdef第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計算的結(jié)果是一樣的。本書中如不另外說明，均用

38、雙邊Z變換對信號進行分析和變換。（2.5.1式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和，即 （2.5.3）使2.5.3式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域為環(huán)狀域，即( )nnx n z |xxRzR第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析令z=rej，代入上式得到RxrRx，收斂域是分別以Rx和Rx為收斂半徑的兩個圓形成的環(huán)狀域(如圖 2.5.1 中所示的斜線部分)。 當然，Rx可以小到零，Rx可以大到無窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.1變換的收斂域第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比

39、表示：分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義2.2.1式，很容易得到傅里葉變換和Z變換ZT之間的關系，用下式表示：( )( )( )P zX zQ z第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2.5.4） 式中, z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。（2.5.4式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，就可用2.5.4式很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓?！纠?.5.1】x(n)=u(n), 求其Z變換。

40、解jje(e )( )|zXX z0( )( )nnnnX zu n zz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析X(z)存在的條件是|z1|1, 因而X(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用2.5.4式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進奇異函數(shù)()，其傅里葉變換則可以表示出來見表2.3.2）。該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。11( )| 11X zzz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.5.2序列特性對收斂域的影響序列特性對收斂域的影響序列的特性決定其序列的特性

41、決定其Z變換收斂域，了解序列變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一般關系，對使用特性與收斂域的一般關系，對使用Z變換是很有變換是很有幫助的。幫助的。1 有限長序列有限長序列如序列如序列x(n)滿足下式：滿足下式：即序列即序列x(n)從從n1到到n2的序列值不全為零，此范圍的序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。其其Z變換為變換為12( )( )0 x nnnnx n其它第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析設x(n)為有界序列，由于是有限項求和，除0與兩點是否收斂與n1、n2取值情況有關外，整個z平面均收斂。如果n10，則收斂域不包

42、括z=0點；如果是因果序列，收斂域包括z=點。具體有限長序列的收斂域表示如下：n10, n20時，0|z|n10時，0|z|0時，0|z|21( )( )nnn nX zx n z第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解 這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0z。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極、零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ej代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果2.2.5式是相同的。1101( )( )1NNnnNnnzX

43、 zRn zzz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2 右序列右序列是指在nn1時，序列值不全為零，而在nn1時，序列值全為零的序列。 右序列的Z變換表示為第一項為有限長序列，設n11，其收斂域為0|z|。第二項為因果序列，其收斂域為Rx|z|，Rx是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為Rx|z|。如果是因果序列，收斂域為Rx|z|。 110( )( )( )nnnn nn nnXx n zx n zx n z1( z) =第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解 在收斂域中必須滿足|az1|a|。101( )( )1nnnnn

44、nX za u n za zaz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3 左序列左序列是指在nn2時，序列值不全為零，而在nn2時，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為如果n20, z=0點收斂，z=點不收斂，其收斂域是在某一圓半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域為0|z|Rx+。如果n20，則收斂域為0|z|Rx，則其收斂域為Rx|z|Rx+，是一個環(huán)狀域；如果Rx+Rx，兩個收斂域沒有交集，X(z)則沒有收斂域，因此X(z)不存在。12( )( )( )( )nnX zx n zXzXz111( )( )0 |nxnX zx n zzR20( )( ) |nxnXzx n zRz 第2章時域離散信

45、號和系統(tǒng)的頻域分析【例2.5.5】x(n)=a|n|, a為實數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解:第一部分收斂域為|az|1，得|z|a|1; 第二部分收斂域為|az1|a|。假如|a|1, 兩部分的公共收斂域為|a|z|a|1, 其Z變換如下式:假如|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當0aa；又例如在例2.5.4中，其極點為z=a，但x(n)是一個左序列，收斂域一定在某個圓內(nèi)，即|z|a|。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.5.3逆逆Z變換變換已知序列的已知序列的Z變換變換X(z)及其收斂域，求原及其收斂域，求原序列序列x(n)的過程稱為求逆的過程稱為求逆Z變換。計算逆變

46、換。計算逆Z變變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開法和冪級換的方法有留數(shù)法、部分分式展開法和冪級數(shù)法長除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分數(shù)法長除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開法，重點放在留數(shù)法。分式展開法，重點放在留數(shù)法。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析式中, c是X(z)收斂域中一條包圍原點的逆時針的閉合曲線，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時，直接計算圍線積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡單，用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn1。 1 用留數(shù)定理求逆Z變換序列的Z變換及其逆Z變換表示如下：（2.5.5） ( )( )|nxxnX zx n zRzR11( )( )

47、d2ncx nX z zzj c第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.3圍線積分路徑 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有（2.5.6） 式中, ResF(z), zk表示被積函數(shù)F(z)在極點z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。如果zk是單階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有（2.5.7）11( )dRes ( ),2nkckX z zzF z zj Res( ),()( )kkkz zF zzzzF zc第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析如果zk是N階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有（2.5.8）（2.5.8式表明，對于N階極點，需要

48、求N1次導數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和，使問題簡單化。111dRes ( ),()( )(1)!dkNNkkz zNF z zzzF zNz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析如果F(z)在z平面上有N個極點，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點，設有N1個極點，用z1k表示；另一部分是c外極點，有N2個，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：（2.5.9） 121211Res ( ),Res ( ),NNkkkkF z zF z z 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分

49、析注意：（2.5.9式成立的條件是F(z)的分母階次應比分子階次高二階以上。設X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分別是M與N階多項式。（2.5.9式成立的條件是NMn+12因此要求na, 求其逆Z變換x(n)。解為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點。顯然，F(xiàn)(z)的極點與n的取值有關。111c1( ) (1)dz2nx nazzj111( )1nF zzaznzza第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析極點有兩個：z=a；當n0時，其中z=0的極點和n的取值有關。n0時，z=0不是極點；n0時，z=0是一個n階極點。因而，分成n0和n0兩種情況求x(n)。n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)

50、只有1個極點：z1=a；n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個極點：z1=a, a2=0n階）；所以，應當分段計算x(n)。n0 時，( )Res( ), x nF z a()nz azzazana第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0時，z=0是n階極點，不易求留數(shù)。 采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查2.5.10式是否滿足。 該例題中N=M=1，NM=0, 所以n0時， 滿足2.5.10式，可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點留數(shù)，但對于F(z)，該例題中圓外沒有極點見圖2.5.4），故na，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n0部分一定為零，無需再求。本例如此求解是

51、為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.4例2.5.6中n|a1|，對應的x(n)是因果序列；（2） |z|a|，對應的x(n)是左序列；（3） |a|z|a1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n0時的x(n)。當n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a1，因而2111( )(1)(1)naF zzazaz211()()naza za za第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a12211(1)(1)()()()(1)()()nnz

52、az aazazzazazaaza za zannaa第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2） 收斂域為|z|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算n0情況。實際上，當n0時，圍線積分c內(nèi)沒有極點，因此x(n)=0。n0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。n0時, 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收

53、斂域為|a|z|a1|:這種情況對應的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。n0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a, x(n)=ResF(z), a=an第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a1， 因而x(n)=ResF(z), a1=an最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2 部分分式展開法對于大多數(shù)單階極點的序列，常常也用部分分式展開法求逆Z變換。設x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階，分子多項式是

54、M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表參考表2.5.1求得各部分的逆變換，再相加便得到原序列x(n)。設X(z)只有N個一階極點，可展成下式:（2.5.11） （2.5.12） 01( )NmmmA zX zAzz01( )NmmmAAX zzzzz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。（2.5.13） （2.5.14）求出Am系數(shù)(m=0, 1, 2, , N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。0( )Res,0X zAz( )Res,mmX zAzz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

55、1125( ),2|316zX zzzz【例2.5.8】知, 2|z|3，求逆Z變換。解 212122( )555166(2)(3)23AAX zzzzzzzzzzz12( )( )Res,2(2)1zX zX zAzzz23( )( )Res, 3(3)1zX zX zAzzz ( )1123X zzzz1111( )123X zzzz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因為收斂域為2|z|2。第二部分極點是z=-3，收斂域應取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在進行部分分式展開時，也用到求留數(shù)問題；求各部分分式對應的原序列時，還要確定它的收斂域在

56、哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析表2.5.1常見序列的Z變換 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理下面介紹下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。變換重要的性質(zhì)和定理。1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)設設m(n)=ax(n)+by(n)a, b為常數(shù)為常數(shù) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+那么那么 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry時，則M(z)不存在。第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2 序列的移位性質(zhì)

57、設X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+那么 （2.5.16）00ZT ()( ),|nxxx nnzX zRz R第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3 序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)設 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a為常數(shù)那么 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因為Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z證明證明（2.5.17）第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4 序列乘以n的ZT設 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+那么 （2.5

58、.18）證明d ( )ZT( )|dxxX znx nzRzRz 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因而 d ( )dd( )( )dddnnnnX zx n zx nzzzz11( )( )nnnnnx n zznx n z 1ZT( )znx n d( )ZT( )X znx nzz 第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析5 復共軛序列的ZT性質(zhì)設 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+那么ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）證明*ZT( )( ) ( )()nnx nx n zx n zn*( )()()nnx n zXz第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析6 初值定

59、理設x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 那么（2.5.20）證明 因而(0)lim( )zxX z120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析7 終值定理若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內(nèi)，那么（2.5.21）證明因為x(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z(1)( ) (1)( )nnzX zx nx n z第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因為(z1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩

60、端對z=1取極限：10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z110lim(1)( )lim(1)( )nnznmmzX zx mx mlim (0)(1)(1)nxxx n(0)(1)(2)( )xxxx nlim (1)lim ( )nnx nx n第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析終值定理也可用X(z)在z=1點的留數(shù)表示，因為因而 x()=ResX(z), 1（2.5.22）如果在單位圓上X(z)無極點，則x()=0。1lim(1)( )Res( ),1zzX zX z第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析8 時域卷積定理 設w(n)=x(n)*y(n)X(z