導(dǎo)數(shù)與優(yōu)化問(wèn)題.

1、1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題.1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例知識(shí)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問(wèn)題1.生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為通常稱為 .2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是.3.解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的 過(guò)程過(guò)程.優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題求函數(shù)最值求函數(shù)最值數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模類

2、型一面積、容積的最值問(wèn)題例1請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)設(shè)AEFBx cm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面若廣告商要求包裝盒側(cè)面積積S(cm2)最大，則最大，則

3、x應(yīng)取何值？應(yīng)取何值？當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x30 x，即，即x15時(shí)，等號(hào)成立，時(shí)，等號(hào)成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，則最大，則x15.(2)若廣告商要求包裝盒容積若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，則最大，則x應(yīng)取何值？應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.令令V0，得，得0 x20；令；令V0，得，得20 x30.1.這類問(wèn)題一般用面積公式，體積公式等作等量關(guān)系，求解時(shí)應(yīng)這類問(wèn)題一般用面積公式，體積公式等作等量關(guān)系，求解時(shí)應(yīng)選取合理的邊長(zhǎng)選取合理的邊長(zhǎng)x作自變量，并利用題目中量與量之間的關(guān)系表作

4、自變量，并利用題目中量與量之間的關(guān)系表示出其他有關(guān)邊長(zhǎng)，這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來(lái)了示出其他有關(guān)邊長(zhǎng)，這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來(lái)了.2.這類問(wèn)題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊這類問(wèn)題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段或線段)為正，建為正，建立立x的不等式的不等式(組組)求定義域求定義域.跟蹤訓(xùn)練1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng).如如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為，半徑為100 m，并與北京路一邊所在，并與北京路一邊所在直線直線l相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)M.點(diǎn)點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作作l的垂線，垂足的垂線，

5、垂足為點(diǎn)為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在市園林局計(jì)劃在ABM內(nèi)進(jìn)行綠化內(nèi)進(jìn)行綠化.設(shè)設(shè)ABM的面積為的面積為S(單位：?jiǎn)挝唬簃2)， AON(單位：弧度單位：弧度).(1)將將S表示為表示為的函數(shù)；的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，最大時(shí)，試確定點(diǎn)試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積的位置，并求最大面積.解S5 000(2cos2 cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1).類型二利潤(rùn)最大問(wèn)題例2已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，萬(wàn)元，每生產(chǎn)每生產(chǎn)1千件需另投入千件需另投入2.7萬(wàn)元萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝設(shè)該公司一年內(nèi)

6、生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，萬(wàn)元，且且R(x)(1)求年利潤(rùn)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量關(guān)于年產(chǎn)量x(千件千件)的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值.解當(dāng)年產(chǎn)量為當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn) 中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元萬(wàn)元.跟蹤訓(xùn)練2某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)

7、表明，該商品每日的銷售量某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單單位：千克位：千克)與銷售價(jià)格與銷售價(jià)格x(單位：元單位：元/千克千克)滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式y(tǒng) 10(x6)2，其，其中中3x6，a為常數(shù)為常數(shù).已知銷售價(jià)格為已知銷售價(jià)格為5元元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克時(shí)，每日可售出該商品11千克千克.(1)求求a的值；的值；所以所以a2.(2)若該商品的成本為若該商品的成本為3元元/千克，試確定銷售價(jià)格千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.解由由(1)可知，該商品每日的銷售量可知，該商品每日的銷售量所以商

8、場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)從而，從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).于是，當(dāng)于是，當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值極大值42單調(diào)遞減單調(diào)遞減由上表可得，由上表可得，x4是函數(shù)是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價(jià)格為當(dāng)銷售價(jià)格為4元元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所

9、獲得的利潤(rùn)最大千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.例3已知已知A、B兩地相距兩地相距200 km，一只船從，一只船從A地逆水行駛到地逆水行駛到B地，水速地，水速為為8 km/h，船在靜水中的速度為，船在靜水中的速度為v km/h(80)，則則y1kv2，當(dāng)，當(dāng)v12時(shí)，時(shí)，y1720，720k122，得，得k5.設(shè)全程燃料費(fèi)為設(shè)全程燃料費(fèi)為y，由題意，得，由題意，得令令y0，得，得v16，當(dāng)當(dāng)v016，即即v16 km/h時(shí)全程燃料費(fèi)最省，時(shí)全程燃料費(fèi)最省，ymin32 000(元元)；當(dāng)當(dāng)v016，即，即v(8，v0時(shí)，時(shí)，y0，即即y在在(8，v0上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，綜上，當(dāng)綜

10、上，當(dāng)v016時(shí)，時(shí)，v16 km/h全程燃料費(fèi)最省，為全程燃料費(fèi)最省，為32 000元；元；1.用料最省、成本最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類用料最省、成本最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類問(wèn)題要問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象.正正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答.2.利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使使f(x)0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小小)值，那么不值，那么不與端點(diǎn)值

11、比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小小)值值.跟蹤訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使某幢建筑物要建造可使用用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元萬(wàn)元.該建該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度與隔熱層厚度x(單單位：位：cm)滿足關(guān)系：滿足關(guān)系：C(x) (0 x10)，若不建隔熱，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為層，每年能源

12、消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元萬(wàn)元.設(shè)設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求求k的值及的值及f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值達(dá)到最小，并求最小值.解設(shè)隔熱層厚度為設(shè)隔熱層厚度為x cm，而建造費(fèi)用為而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為年的能源消耗費(fèi)用之和為(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值達(dá)到最小，并求最小值.當(dāng)當(dāng)0 x5時(shí)，時(shí)，f(x)0，當(dāng)，當(dāng)5x0，當(dāng)隔熱

13、層修建當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元萬(wàn)元.跟蹤訓(xùn)練3某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度不計(jì)厚度).設(shè)該設(shè)該蓄水池的底面半徑為蓄水池的底面半徑為r米，高為米，高為h米，體積為米，體積為V立方米立方米.假設(shè)建造成本僅假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元元/平方米，底面的建造成本平方米，底面的建造成本為為160元元/平方米，該蓄水池的總建造成本為平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元元(為圓周率為圓周率).(1)將將V表示成表示成r的函數(shù)的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)

14、的定義域；，并求該函數(shù)的定義域；解析答案解析答案解因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh 元，底面的總成本為元，底面的總成本為160r2 元元.所以蓄水池的總成本為所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元元.又根據(jù)題意得又根據(jù)題意得200rh160r212 000，(2)討論函數(shù)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定的單調(diào)性，并確定r和和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.令令V(r)0，解得，解得r15，r25(因?yàn)橐驗(yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)當(dāng)r(0,5)時(shí)，時(shí)，V(r)0，故，故V(r)在在(0,5)上為增函數(shù)；

15、上為增函數(shù)；由此可知，由此可知，V(r)在在r5處取得最大值，此時(shí)處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大時(shí)，該蓄水池的體積最大.類型三生活中的優(yōu)化問(wèn)題例3某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)，可增加銷售額約為，可增加銷售額約為t25t(百萬(wàn)百萬(wàn)元元)(0t3).(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司獲得的收益最大？才能使該公司獲得

16、的收益最大？解設(shè)投入設(shè)投入t(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)，則有則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以當(dāng)所以當(dāng)t2時(shí)，時(shí)，f(t)取得最大值取得最大值4，即投入即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大.解析答案解析答案(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)，可增加的銷售額為，可增加的銷售額為 x3x23x(百百萬(wàn)元萬(wàn)元).請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資

17、金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大.解析答案解析答案反思與感悟反思與感悟解設(shè)用于技術(shù)改造的資金為設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷的資金為，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬(wàn)元百萬(wàn)元).所以所以g(x)x24.令令g(x)0，解得，解得x2(舍去舍去)或或x2.又當(dāng)又當(dāng)0 x0；當(dāng)；當(dāng)2x3時(shí)，時(shí)，g(x)0.由此獲得的收益是由此獲得的收益是g(x)(百萬(wàn)元百萬(wàn)元)，解析答案解析答案反思與感悟反思與感悟故故g(x)在在0,2)上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(2,3上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，所以當(dāng)所以當(dāng)x2時(shí)，時(shí)，g(x)取得最大值，即將取得最大值，即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元百萬(wàn)元用于廣告促銷，可使該公司由此獲得的收益最大用于廣告促銷，可使該公司由此獲得的收益最大.反思與感悟反思與感悟解決優(yōu)化問(wèn)題的步驟：解決優(yōu)化問(wèn)題的步驟：(1)要分析問(wèn)題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確要分析問(wèn)題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域定函數(shù)的定義域.(2)要通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化要通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)