集合與函數(shù)知識點公式定理記憶口訣

1、集合與函數(shù)知識點公式定理記憶口訣 內(nèi)容子交并補集，還有冪指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。 復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。 指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。 函數(shù)定義域好求，分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對數(shù)； 正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實數(shù)集，多種情況求交集。 兩個互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對稱，YX是對稱軸； 求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。 冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)， 奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一

2、象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。 §1.2.1 函數(shù)的概念¤知識要點：1. 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作=，其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域，與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域.2. 設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b，則：x|axba,b 叫閉區(qū)間； x|a<x<b(a,b) 叫開區(qū)間；x|ax<b， x|a<xb，都叫半開半閉區(qū)間.符號：“”讀“無窮大”；“”讀“負(fù)無窮大”；“+”讀“正無窮大”. 則，

3、.3. 決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應(yīng)法則. 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)定義域、對應(yīng)法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù). ¤例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）.解：（1）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.（2）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.【例2】已知函數(shù). 求：（1）的值； （2）的表達(dá)式 解：（1）由，解得，所以.（2）設(shè)，解得，所以，即.點評：此題解法中突出了換元法的思想. 這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、特值代入、方程思想等.【例3】已知函數(shù).（1）求的值；（2）計算：.解：（1）由.（2）原式點評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實施

4、巧算. 正確探索出前一問的結(jié)論，是解答后一問的關(guān)鍵.§1.2.2 函數(shù)的表示法¤知識要點：1. 函數(shù)有三種表示方法：解析法（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：簡明，給自變量可求函數(shù)值）；圖象法（用圖象表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢）；列表法（列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值）.2. 分段函數(shù)的表示法與意義（一個函數(shù)，不同范圍的x，對應(yīng)法則不同）.3. 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A到

5、集合B的一個映射（mapping）記作“”. 判別一個對應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對應(yīng)法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_，這個函數(shù)的定義域為_ 解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V. 又由，解得. 所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域為.【例2】已知f(x)= ，求ff(0)的值.解： ， f(0)=. 又 >1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】畫出下列函數(shù)的圖象：（1）； （教材P26 練習(xí)題3）（2）

6、. 解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.（2），所以，函數(shù)的圖象如右圖所示. 點評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象. 解：. 函數(shù)圖象如右：點評：解題關(guān)鍵是理解符號的概念，抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式.§1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性¤知識要點：1. 增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f

7、(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）. 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖2）. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x給定區(qū)間，且x<x；計算f(x)f(x) 判斷符號下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)

8、在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù). 【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右. 由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).點評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù). 第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè)，得到的圖象. 由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例3】已知，指出的單調(diào)區(qū)間.解： ， 把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸

9、向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.點評：變形后結(jié)合平移知識，由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象. 需知平移變換規(guī)律. §1.3.1 函數(shù)最大（小）值¤知識要點：1. 定義最大值：設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，稱M是函數(shù)的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定義，可以給出最小值（Minimum Value）的定義.2. 配方法：研究二次函數(shù)的最大（?。┲?，先配方成后，當(dāng)時，函數(shù)取最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取最大值.3. 單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4. 圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例3】求函數(shù)的最小值. 解：此函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為2.點評：形如的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，所以，在時是增函數(shù)，當(dāng)時，故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函數(shù)的對稱軸為，即.畫出函數(shù)的圖象，由圖可