六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1、桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)、常值函數(shù)（也稱常數(shù)函數(shù)）y=C（其中C為常數(shù)）；第1頁(yè)常數(shù)曲數(shù)(yC)C0C0yyCyy0OxOx平彳"x軸的直線y軸本身定義域R定義域R14生化班桂林師范高等?？茖W(xué)校1）當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間為x（,）,他們的圖形都經(jīng)過原點(diǎn)，并當(dāng)a>1時(shí)在原點(diǎn)處與X軸相切。且a為奇數(shù)時(shí)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；a為偶數(shù)時(shí)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；2）當(dāng)a為負(fù)整數(shù)時(shí)。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0的所有實(shí)數(shù)；3）當(dāng)a為正有理數(shù)m時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,n為奇數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?noo,+oo）,函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點(diǎn)和（1,

2、1）；4）如果m>n圖形于x軸相切，如果m<n,圖形于y軸相切，且m為偶數(shù)時(shí)，還跟y軸對(duì)稱；m,n均為奇數(shù)時(shí)，跟原點(diǎn)對(duì)稱;n為奇數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槿?）當(dāng)“為負(fù)有理數(shù)時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)榇笥诹愕囊磺袑?shí)數(shù);除x=0以外的一切實(shí)數(shù)。三、指數(shù)函數(shù)yax（x是自變量，a是常數(shù)且a0,a無(wú)界函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的圖象2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；生質(zhì)一x，八一x，-函數(shù)'f_ya(a1)ya(0a1)定義域R值域(0,+00)奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過點(diǎn)（0,1）,即x0時(shí)，y1單調(diào)性在（，）是增函數(shù)在（，）是減函數(shù)1）當(dāng)a1時(shí)函數(shù)為單調(diào)增，當(dāng)0a1時(shí)函數(shù)為單調(diào)減；2）不論x為何值，y總是正的，

3、圖形在x軸上方；3）當(dāng)x0時(shí)，y1,所以它的圖形通過（0,1）點(diǎn)。第2頁(yè)桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班*3.（選，補(bǔ)充）指數(shù)函數(shù)值的大小比較aN；a.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)x1xf（x）ax,f（x）a的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。.xb.1.當(dāng)a1時(shí)，a值越大，ya的圖像越靠近y軸；xb.2.當(dāng)0a1時(shí)，a值越大，ya的圖像越遠(yuǎn)離y軸。xO(2)manmnaamnnmnmaaa(4)abnnnaba(a0)a(a0)*Z,n1)(2)4.指數(shù)的運(yùn)算法則（公式）；a.整數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)（a0,m,nQ）；mnmn（i）aaab.根式的性質(zhì);nVaa；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nanan:n當(dāng)n為偶數(shù)

4、時(shí)，Vaac.分?jǐn)?shù)指數(shù)哥；m(1) anVam(a0,m,n1 1*-m(aQm,nZ,n1)mnmcnaa14生化班桂林師范高等?？茖W(xué)校四、對(duì)數(shù)函數(shù)yiogax(a是常數(shù)且a0,a1),定義域x(0,)無(wú)界1 .對(duì)數(shù)的概念：如果a(a>0,aw1)的b次哥等于N,就是abN,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaNb,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對(duì)數(shù)式。對(duì)數(shù)函數(shù)ylogaX與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù)，所以ylogax的圖象與yax的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱。2 .常用對(duì)數(shù)：10g10N的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的常用對(duì)數(shù)記作lgN。3 .自然對(duì)數(shù)：使用以無(wú)

5、理數(shù)e2.7182為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作lnN。4 .對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象：yx1y1x1ylogax(a1)5 .對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)ylogax(a1)ylogax(0a1)定義域(0,+00)值域R奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過點(diǎn)(1,0),即x1時(shí)，y0單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形為于y軸的右方，并過點(diǎn)(1,0);2)當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間(0,1),y的值為負(fù)，圖形位于x的下方；在區(qū)間(1,+),y值為正，圖形位于x軸上方，在定義域是單調(diào)增函數(shù)。a1在實(shí)際中很少用到。a.如果a>0,awl,M>0,N&g

6、t;0,那么:c.換底公式:13logaMNlogaMlogaN(1)logbNlogaNlogab(a0,alogalogaMlogaN換為e或10為底的對(duì)數(shù)，即10gblogaMnnlogaMlnN或lnbb.對(duì)數(shù)恒等式:lgNlogbNy)lgbalogaN(a0且a1,N0)(2)由公式和運(yùn)算性質(zhì)推倒的結(jié)論:loganbnn.一logabmd.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)1的對(duì)數(shù)是零，即loga10；同理ln10或lg1(2)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即logaa1；同理lne1或lg10114生化班桂林師范高等?？茖W(xué)校五、三角函數(shù)1.正弦函數(shù)ysinx,有界函數(shù)，定義域x（,）,值域y1,1,3-,2圖象：

7、五點(diǎn)作圖法：0,2.余弦函數(shù)ycosx,有界函數(shù)，定義域x（,），值域y1,1圖象：五點(diǎn)作圖法:,2223.正、余弦函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)ysinx(kz)ycosx(kz)定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性T2T2對(duì)稱中心(k,0)(k-,0)2對(duì)稱軸xk2(k-，0)2單調(diào)性在x2k,2k上是增函數(shù)22在x2k,2k上是減函數(shù)22在x2k,2k上是增函數(shù)在x2k,2k上是減函數(shù)最值x2k二時(shí)，ymax12x2k二時(shí)，ymin12x2k時(shí)，ymax1x2k時(shí)，ymin1第6頁(yè)桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班6.正、余切函數(shù)的性質(zhì);、一.“性質(zhì)函數(shù)、ytanx(kZ)ycotx(

8、kz)定義域xk2xk值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性TT單調(diào)性在（一k,k）上都是增函數(shù)22在（k,（k1）上都是減函數(shù)對(duì)稱中心kc、丁k(2,0)零點(diǎn)(k,0)(k-,0)2第7頁(yè)桂林師范高等專科學(xué)校14生化班8.余割函數(shù)ycscx1ysecx的圖像二,無(wú)界函數(shù)，定義域xxk,(kZ),值域cscx1sinxyycscx的圖像9.正、余割函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)ysecx(kZ)ycscx(kZ)定義域xxk2Xxk值域(,11,)(,11,)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T2T2單調(diào)性3(2k-,2k)(2k,2k)22減(2k,2k)(2k,2k)增223(2k,2k-)(2k,2k2)減223

9、(2k-,2k)(2k,2k)22增第8頁(yè)生質(zhì)函數(shù)ysecx(kZ)ycscx(kZ)對(duì)稱中心(k一，0)2(k,0)對(duì)稱軸xkxk2漸近線xk2xk桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班續(xù)表:六、反三角函數(shù)1 .反正弦函數(shù)yarcsinx,無(wú)界函數(shù)，定義域卜i,i，值域0,-上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為22a.反正弦函數(shù)的概念：正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間yarcsinx2 .反余弦弦函數(shù)yarccosx,無(wú)界函數(shù)，定義域-i,i，值域0,cosx在區(qū)間yarcsinx的圖像yarccosx的圖像3.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);'7生質(zhì)函數(shù).、.、yarcsinxyarccosx定義域-1,1-1,

10、1值域0,0,奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)第9頁(yè)14生化班桂林師范高等專科學(xué)校4 .反正切函數(shù)yarctanx,有界函數(shù)，定義域x（,），值域22c.反正切函數(shù)的概念：正切函數(shù)ytanx在區(qū)間,上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為22yarctanx5 .反余切函數(shù)yarccotx,有界函數(shù)，定義域x（,），值域0,d.反余切函數(shù)的概念：余切函數(shù)ycotx在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為6.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)性質(zhì)'yarctanxyarccotx定義域R值域2,20,奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)第io頁(yè)桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班三角函數(shù)公式匯總一、

11、任意角的三角函數(shù)在角的終邊上任*一點(diǎn)P(x,y),記：rJxsin2,1cos2sin2,tan2sin21cos2第11頁(yè)y2正弦：siny余弦：cosxrr正切：tany余切：cotxxy正割：sec-余割：cscxy二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：sin商數(shù)關(guān)系：tan平方關(guān)系：sin2三、誘導(dǎo)公式csc1,cossecsin,cos,cotcossin22cos1,1tan1,tancot122sec,1cot2cscx軸上的角，口訣：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限;y軸上的角，口訣：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限,四、和角公式和差角公式sin()sincoscossintan()tantans

12、in()sincoscossin1tantancos()coscossinsintan()tantancos()coscossinsin1tantan五、二倍角公式sin22sincostan22tan1tan2cos22cos2sin2cos2112sin2二倍角的余弦公式常用變形：(規(guī)律：降幕擴(kuò)角，開幕縮角)21cos22cos21sin2(sincos)1cos22sin221sin2(sincos)21cos2.2cos,sin2桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班六、三倍角公式sin33sin4sin34sinsin(3)sin(3cos34cos33cos4coscos(3)cos(3tan33tan,3tan213tan2tantan七、和差化積公式sinsin2sincos22coscos2coscos22sinsin2cossin22coscos2sinsin22八、輔助角公式'2.2.,asinxbcosx,absin(