生活中的軸對稱知識點總結+基礎+變式+提高

1、生活中的軸對稱（知識點總結 + 基礎+變式+提高）作者: 日期:知識要點梳理?軸對稱圖形花壇，下列圖案中不符合設計要求的是()?軸對稱分?由對稱? ?角平分線戔段的垂直平分線碟由對稱實例 ？等腰三角形等邊三角形I?生活中的軸對稱'軸對稱的性質? ?軸對稱的性質? 鏡面對稱的性質?圖.案設計軸對稱的應用? ?篠邊與剪紙、軸對稱圖形1、如果一個圖形沿一條直線折疊后 ，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對 稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點(1)指一個圖形;(2)存在一條直線(對稱軸)； (3 )圖形被直線分成的兩部分互相重合;(4)軸對稱圖形的對稱軸有

2、的只有一條，有的則存在多條 (5 )線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形;【例1】要在一塊長方形的空地上修建一個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的B.二、軸對稱1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱,這條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關于某條直線對稱。2、理解軸對稱應注意：有兩個圖形;(2)沿某一條直線對折后能夠完全重合;(3 )軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形(4 )對稱軸是直線而不是線段；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關系對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條

3、共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱的兩個圖形看作.一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形分成兩部分(兩個圖形)，那么這兩部分關于這條對稱軸成軸對 稱?！纠?】下列四個判斷：成軸對稱的兩個三角形是全等三角形；兩個全等三角形一定成軸對稱；軸對稱的兩個圓的半徑相等；半徑相等的兩個圓成軸對稱，其中正確的有()1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。三、角平分線的性質2、性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。CF交于D,則以下結論：AB妾 ACF;【例3】如圖，AB= AC, BEL AC于E ,CF丄AB于F, BE, BD F CD E ;點D在/ BAC的平分線上.

4、B.C .D .正確的是（）-A. 四、線段的垂直平分線,又叫線段的中垂1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線線。2、性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等?！纠?】下 列各語句中不正確的是（）.AArf 、z、 :二 - : - -_ - -r - a.全等三角形的周長相等 - - I :匸 -= - 二：=n = - - - - _ I 丿B.全等三角形的對應角相等 AAtJ-I k>IB|D.線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的距離相等到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上!*_ .toAV,_kV_. 1 to . AAJ _ i&

5、quot;jr 一- - 五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形;2、相等的兩條邊叫做腰 另一邊叫做b底邊;3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角4、三條邊都相等的三角形也是 等腰三角形。5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。& “三線合一”是等腰三角形所特有的性質般三角形不具備這一重要r性質。9、“三線合一”是等

6、腰三角形特有的性質，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線并非其他。10、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角” 11、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法:(1) 兩條邊相等的三角形是等腰三角形,簡寫為“等角對等邊” 。(2 )如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等【例5】已 知如圖(a ) , B C = 3 ,/ ABC和/ A CB的平分線相交于點O , OE/ AB,OF/ AC ,則三角形OEF的周長為【變式5】如圖(b),在 ABC中，AB= A C, AD是高，AM是 ABC外角/ CAE的(1 )用尺規(guī)作圖方法，作/ ADC的平分線DN;(保留

7、作圖痕跡，不寫作法和證明) ? ( 2)設DN與AM交于點F ,判斷 A DF的形狀.(只寫結果)1、2、3、六、等邊三角形 等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質。等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。圖形定義性質等腰三角形厶4有兩 邊相 等的 三角 形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=1800-2 X 底角。底角=（18 0 0- 頂角” 2。3、頂角的平分線、底邊上的中線和高 “三線合一”。4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。等邊三 角 形 （又叫 正三

8、角 形）L三邊 都相 等的 三角 形1、三邊都相等，三內角相等，且每個內 角都等于6 00。2、具有等腰三角形的所有性質。3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。 <等邊三角形的三邊都相等，三個內角都是64、【例61下列三角形:00。 有兩個角等于60° 有一個角等于60°的 等腰三角形； 三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；？一腰上的中線也是 這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有（）【變式6】在 AB C中，AB = A C,將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD,旋轉角為a ,且0°< a < 18 0,連接AD BD.如圖1

9、 ,當/ B AC=100 , a=60° 時,求/ CBD的大小。C(3)已知/ BA C的大小為m ( 60° <m < 1 20° ),若/ CBD的大小與(2 )中的結i 果相同，請直接寫出a的大小.七、含有3 0°角的直角三角形性質:在一個直角三角形中，如果有一個角等于30,那么30°所對的角是斜邊的一半。【例7】若等腰三角形腰長為8,腰長上的高為4 ,則此三角形的頂角是()A. 30°B. 150°C. 30° 或 150°D. 30° 或 120°【變式下列說

10、法:如圖腰三角形. ABC中，AB= AC, / A=45 ° ,則 ABC能被一條直線分成兩個小等 ?如圖 2, A BC 中，A B=AC,/ A=3 6 °, BD ,CE 分別為/ ABC,/ACB的角平分線，且相交于點F ,則圖中等腰三角形有6個.1 如圖3, A BC是等邊三角形,C D丄AD,且A D/ E C ,則A D= AB2 如圖4 , ABC中，點E是A C上一點，且AE= AB,連接B E并延長至點 D,使AD=AC1/ DAC= / CA B, / DB C= / DAB,其中，正確的有2八、軸對稱的性質1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點

11、稱為對應點（對稱點），能夠重合的線段稱為對應線段，能夠重合的角稱為對應角。2、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。3、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。4、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應線段、對應角都相等。5、類似地，軸對稱圖形的性質有軸對稱圖形對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。（2）軸對稱圖形的對應線段、對應角相等。（3 ）根據軸對稱圖形的性質可求作軸對稱圖形的對應點、對應線段或對應角，并由此能補全軸對稱圖形。【例8】下列四個判斷：成軸對稱的兩個三角形是全等三角形;兩個全等三角形一定成軸對稱；軸對稱的兩個圓的半徑相等；半徑相等的兩個圓成軸對稱,其中

12、正確的有（）C. 2個【變式8】如圖，把一個邊長為7的正方形經過三次對折后沿圖（4）中平行于mN的虛線剪下，得圖（5），它展開后得到的圖形的面積為45,則AN的長為（右折右下方折V/ V 沿虎線尊開AqA/ -V上折(4)九、圖案設計1、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形，實際上是軸對稱圖形的性質的靈活運用。2、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形的步驟(1) 首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點(2) 然r后利用軸對稱的性質，作出其相應的對稱點(對應點所連的線段被對稱軸垂直平分)。(3) 分別連接其對稱點,則可得其對稱圖形。3、表達方式(以點M為例):(1)過點M作對稱軸I的垂線,垂足為A

13、;(2)延長血到M至U,使MA= MA則點M '就是點M關于直線|的對稱點。(3)在復雜的作圖中，也可以敘述為：作出點M關于直線I的對稱點M .昇、在運用軸對稱設計圖案時，就注意以下幾點:(1)要有明確的設計意圖;(2 )創(chuàng)意要新穎獨特；(3 )設計出的圖案要符合要求(4 )能清楚地表達自己的設計意圖和制作過程。5、圖案的設計除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉、倒置、重復等手段和形式。6、設計的圖案要美觀、大方,積極向上,反映時代特色。L【例9】按照軸對稱畫出圖形的另一半【變式9】如圖，草原上有兩個居民點 P, Q MM'是一條公路，NN'是一條河流.一汽車從P出發(fā)

14、，把一批參加社會實踐活動的學生送到公路上，再到河邊去加水，最后回到Q.問：怎樣安排兩個?？奎cR,S，可使行駛的路程最短？十、鏡面對稱1、鏡面對.稱的有關性質：(1 )任何一個平面圖形(物體)在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個軸對稱圖形在鏡子中的像仍是軸對稱圖形。(2)若一個平面圖形正對鏡面,則其左(右 )側在鏡中的像是其右(左)側;(3) 若一個平面圖形(物體)垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面;2、關于數字0、1、3、8在鏡面中像的兩個結論:0、1、3、8所成的像與原來的數(1)如果寫數字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的字完全一樣。(2 )如果紙條正對鏡面擺r放，則紙條

15、上寫的 0、1、8這三個數字在鏡中的像和原來的數字完全一樣。3、像與物體到鏡面的距離相等。4、像與物體的對應點連線被鏡面垂直平分。時間的表示有用一般數字表5、由鏡中的時間來判斷真實時間是近幾年來中考的一個熱點。示的，也有直接用鐘表來表示的。 在判斷時，大家要注意靈活利用鏡面對稱的知識來加以解 決?！纠?0】鏡子里看到的視力表如下所示，畫出其實際圖形【變式10】看鏡子，寫數字練習題一、選擇題1.下列說法中，不正確的是A. 等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線B. 等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分C. 一條線段可看作以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形D. 兩個三角形能夠重合，

16、它們一定是軸對稱的2. 下列推理中，錯誤的是A. / A=/ B=/BC是等邊三角形B . AB= AC,且/ B=/ C, ABC是等邊三角形C. / A=6 0° , / B= 60° , ABC是等邊三角形D. / AB =AC , / B=60°,.A ABC是 等邊三角形3. 在等邊三角形A BC中,CD是/ ACB的平分線，過D作DE/B C交AC于E,若 ABC的邊長為a,則 ADE的周長為()A.2 aB. -a34.等腰三角形兩邊的長分別為C. 1.5 aQ.a2 c m和5cm ,則這個三角形的周長是A.9cm B . 12cm C.9c m和

17、D.在9cm與1 2 cm之間5 .觀察圖7 108中的汽車商標，其中是軸對稱圖形的個數為()圖 7-108A.26 .對于下列命題:(1)關于某一直線成軸對稱的兩個三角形全等;(2 )等腰三角形的對C. 4D.5稱軸是頂角的平分線;(3)一條線段的兩個端點一定是關于經過該線段中點的直線的對稱點;(4)如果兩個三角形全等，那么它們關于某直線成軸對稱 .其中真命題的個數為()A .0C.2 Q.37. A ABC中，AB= AC,點D與頂點A在直線BC同側，且B D= AD.貝U BD與CD的大小關系為 (A. B D>CD B.BD=C DC. BD< CDD. BD與 CD大小關

18、系無法確定8. 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是(A.互相垂直的兩條直線構成的圖形B. 一條直線和直線外一點構成的圖形C.有一個內角為30 ° ,另一個內角為120的三角形D.有一個內角為60°的三角形9.在等腰A BC中,A B =AC, O為不同于A的一點，且OB=OC則直線A O與底邊 BC的關系為A平行B .垂直且平分C .斜交？D.垂直不平分10 .三角形的三個頂點的外角平分線所在的直線兩兩相交,所圍成的三角形- 1定是A .銳角三角形 B.鈍角三角形C .等腰三角形D.直角三角形二、填空題1.正五角星形共有條對稱軸.2.黑板上寫著I日5口5在正對著黑板的鏡子里的像

19、是3. 已知等腰三角形的腰長是底邊長的1, 一邊長為11cm,則它的周長為 _34 . (1)等腰三角形，(2)正方形，(3 )正七邊形，(4)平行四邊形,(5 )梯形，(6)菱形中,一定是軸對稱圖形的是,那么這個圖形叫5.如果一個圖形沿某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠做軸對稱圖形，這條直線叫做6 .如圖 7 109,在 AC D中，A D=B D=BC 若/C =5°,則/ ADB =ABl 7dll則/E.已知：如圖 711 0 , AB C 中，AB=A C, BE/A C, / BDE =10 0/BAD = 7 0.如圖7 111,在Rt ABC中，B為直角，DE是AC

20、的垂直平分線,E 在 BC上,B AE:/B AC = 1 :5，則/ C=9.如圖 7 112,/B AC =30°, AM是/ BAC的平分線,過 M作M E/ BA交AC于E,作 MDL BA,垂足為 D,ME= 10cm,貝U MD=1 0.如圖7 1 1 3,OE是/AOB的平分線，BDI OA于D, A C丄BC于 C ,則關于直線 OE對稱的三角形有對.三、解答題1.如圖7 114, / XOf內有一點 P,在射線 0X上找出一點M,在射線O 丫上找出一點N ,使PM+ MN + NP最短.Yffl7dl42 .如圖7 115，圖中的圖形是軸對稱圖形嗎 ？如果是軸對稱圖

21、形，請作出它們的對稱軸.a 沁圖 7U153. 已知/A 0B = 3 0。，點P在0A上,且0P =2，點P關于直線 0B的對稱點是 Q,求PQ之長.4. 如圖 7116,在A BC 中,C 為直角，/A =3 0 ° , CDLAB 于D ,若 1，求 AB之長.5. 如圖7 117,在 ABC中，C為直角， AB上的高CD及中線CE恰好把/ AC B三等分,若AB=2 0,求 ABC的兩銳角及 AD、DE、EB各為多少？6 .如圖7118 ,AD、BE分別是等邊延長線上,/ CBMM ACN求證:AM=B NABC中 BC、AC上的高. M N分別在 AD、BE的ra7-ii87.如圖7119，點G在CA的延長線上,A F=AG, / ADC2GE C.求證