函數(shù)的求導(dǎo)法則90792PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則90792一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則定理1處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在點在點與與設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxvxu)()(則函數(shù)則函數(shù)，處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在點在點xvvuuvvu)0(, 并且有;)()2(vuvuuv ;)()1(vuvu . )0()()3(2 vvvuvuvu證明：下面只對（2）給出證明.),()(xvxuy 設(shè)設(shè)相應(yīng)地有改變量相應(yīng)地有改變量)()(),(xvxuyxvv ，一改變量一改變量給給xx ),(xuu 則函數(shù)則函數(shù),u ,v . y 第1頁/共27頁而而),()(xuxxuu ),()(xvxxvv ),()()()(xvxuxxvxxuy )()()

2、()(xxvxuxxvxxu ),()()()(xvxuxxvxu )(xxvu .)(vxu xy )(xxvxu .)(xvxu xyx 0lim)(lim0 xxvxux .)(xvxu )(limlim00 xxvxuxx .lim)(0 xvxux )()(xvxu )()(xvxu .)(vuvuuv 即即第2頁/共27頁);( )(xfCxCf 說明：定理1（1）可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。定理1（2）可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在點在點，設(shè)設(shè)例如例如xxwxvxu)()()(）（ uvw，仍可導(dǎo)仍可導(dǎo)且有wuvuwvvwu 由定理1（3）可

3、以得到：由定理1（2）可以得到：)0()(2 vvvCxvC.為常數(shù)為常數(shù)其中其中C處處在在則則xuvw第3頁/共27頁例1.4lnlog3cos512的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxxxya解y )4lnlog3cos51(2 xxxxa)4(ln)(log3)(cos5)()(212 xxxxaxsin5 axln3 x2 321x .ln105的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 例2解y )ln10(5 xx)(lnln)(1055 xxxx)1ln5(1054xxxx )1ln5(104 xx41 第4頁/共27頁.4sinsinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxxy例3解y )sinln( xxx)4(sin )

4、(sinln xxxxxxsinln)( xxxsin)(ln xx sinln xsin xxxcosln 例4.11的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxy解y 2)1()1)(1()1()1( xxxxx)11( xx2)1()1(1 xxx2)1(2 x4cos 第5頁/共27頁.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotc

5、sc)(cscxxx 同理可得例5解例6解)cossin( xxx2sec )cos1( x第6頁/共27頁.tan. 13的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解)tan(3 xxy633)(tan)(tanxxxxx 6223tan3secxxxxx .|sincos. 22 xyxxy，求，求設(shè)設(shè)解)sin(cos xxyxxcossin )(sin)(cos xx2| xy2cossin xxx1 42tan3secxxxx 62323tansecxxxxx 第7頁/共27頁二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)問題。的求導(dǎo)問題。先討論先討論xy2sin xy2sin )(cossincos)(sin2 xx

6、xx)2(sin xdxdyxxcossin2 )cos(sin2 xx)sin(cos222xx x2cos2 另一方面，xy2sin )2( x,sinuy 是由是由dudy,cosu dxdu復(fù)合而成，復(fù)合而成，xu2 于是dudydxdu ucos2 x2cos2 dudy dxdydxdu 從而可得公式)(sin u2 第8頁/共27頁xuufx 0lim)(定理2處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在對應(yīng)點在對應(yīng)點u處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxu)( )(ufy 函數(shù)函數(shù)處處仍仍可可導(dǎo)導(dǎo)，在在對對應(yīng)應(yīng)點點 xxf)( y則復(fù)合函數(shù)函數(shù)則復(fù)合函數(shù)函數(shù)且有)()(xufy 或記為dxdudud

7、ydxdy 證,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點由由uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(則則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx ).()(xuf xuxx 00limlim 第9頁/共27頁說明：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可推廣到多次復(fù)合的情形，例如，都可導(dǎo)，都可導(dǎo)，設(shè)設(shè))(),(),(xgvvuufy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)則則)(xgfy 或記為dxdy例1)sin(oxy 解為為常常數(shù)數(shù)。其其中中0, .)sin(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求oxy 復(fù)合而成，復(fù)合而成，uysin 是由是由0 xu與與dudy ucosdxdu于是dudydxdu ,

8、dxdy)cos(0 xucos y)(uf )(v ，)(xg dudy dvdu dxdv 第10頁/共27頁例2解.)2(53的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xy53)2( xy復(fù)合而成，復(fù)合而成，5uy 是由是由23 xu與與dudy dxdu于是 dudydxdu dxdy45u 23x 432)2(15 xx說明：對復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程能正確掌握后，從外向里逐層求導(dǎo)即可。可不必寫出中間變量，只要記住復(fù)合過程，例3解.tanln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )tan(ln xyxtan1 xx2sectan1 xxcossin1 45u23x)(tan x第11頁/共27頁例4解.3sin2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求

9、xy )3(sin2 xy)3(sin xxx3cos3sin2 x3sin2 )3( xxx3cos3sin6 x6sin3 例5解)lnln(ln xy.)lnln(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy )ln(ln1x )(ln x)ln(lnln1xxx )ln(ln x)ln(ln1x xln1 第12頁/共27頁例6解.)(sinsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求求nxnxyn )sin(sin xnxyn)(sinsinsin)(sin xnxxnxnnnxsin nxcos xcos xnn 1sin )cossinsin(cosxnxxnx xnxnn)1sin(sin1 例7解.)0()

10、ln(22的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 aaxxyy 221axx )(22 axx221axx 1(221ax xnsin n)222ax xn 1sin nx21第13頁/共27頁三、反函數(shù)求導(dǎo)法則)(1)(yxf 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)yIyx)( ,0)( y 且且,內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)xI定理3證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)

11、區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù))(xfy 且有且有第14頁/共27頁即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例1.)11(arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( )(arcsinxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx )(arcsin x類似的，有即.sinarcsin的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy )(sin1 y第15頁/共27頁;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例2.)(arctan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xx

12、y解,)2,2(tan內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yx )(tan y且且內(nèi)有內(nèi)有在在),( )(arctanxy2sec1 y2tan11 211x 即類似的，有.tanarctan的的反反函函數(shù)數(shù)是是yxxy y2sec, 0 )(tan1 y第16頁/共27頁例3解.),1, 0(yaaayx 求求設(shè)設(shè)的的反反函函數(shù)數(shù)，是是yxayaxlog ,),0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)，可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間 yxalog 而而)(log ya0 ayln1 內(nèi)有內(nèi)有在在),()( xa)(log1 yaayln aaxln )( xaaaxln )( x)( xexe )( x即得得時時當(dāng)當(dāng),ea 第17

13、頁/共27頁例4解.,12yeeyxx 求求設(shè)設(shè))()(12 xxeey)1(1 xex)2(2 xexxe22 xex121 例5解.,yshxy 求求設(shè)設(shè))( shxy)2( xxee2xxee chx )( shxchx 即類似的，有)( chxshx 第18頁/共27頁例6解.),(yxy 求求為實數(shù)為實數(shù)設(shè)設(shè) xy xeln xeln 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得)(ln xe y )ln(ln xex xx1 1 x1)( xx即指出：，假假定定在在以以上上計計算算過過程程中中0, x，上述公式仍成立。，上述公式仍成立。證明對于證明對于0 x實實際際上上可可以以第19頁/共27頁)2(a

14、rctan xy例7解.,arcsin3yxy 求求設(shè)設(shè))(arcsin3 xy)(3 x23)(11x 6213xx 例8解.,2arctanyyx 求求設(shè)設(shè))(arctan x2ln2arctan x2ln2arctan x2arctan122lnxx 211x aaaxxln)( 211)(arcsinxx 第20頁/共27頁練習(xí);)12arccos(. 12 xy.cot. 22xarcxy )12arccos(2 xy)12(2 x22)12(11 x22)12(14 xx)cot(2 xarcxy222)cot()cot(cot)(xarcxarcxxarcx 222)cot(1c

15、ot2xarcxxxarcx 第21頁/共27頁四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xx tansec 1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxcotcsc axln1 x1 0)( Cxcos x2sec aaxln 1 xxsin x2csc xe 211x 211x 211x 211x )( x)(sin x)(cos x)(tan x)(cot x)(sec x)(csc x)( xa)( xe)(log xa)(ln x)(arcsin x)(arccos x)(arctan x)cot( xarc)( shxchx )( chxshx 第22頁/共27頁2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu可導(dǎo)，則（2）vuvuuv)(, ）3uccu)( 是常數(shù))C（1） vuvu )(, 注意:;)(vuuv .vuvu 2)4(vuvvuvu )0( v（1）可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的情形。（2）可以推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的情形。第23頁/共27頁利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解