吉林大學2016~2017第一學期隨機數學B試卷答案

1、吉林大學20162017學年第一學期概率論與數理統(tǒng)計B»試卷答案、填空題（每小題3分，滿分18分，把答案填在題中橫線上）2017年1月9日一二三四總分1 .設A,B是同一個試驗中的兩個事件，且P（A）=0.61,P（AB）=0.22,則P（AB）=0.61.2 .拋擲兩顆均勻的骰子，已知兩顆骰子點數之和為7點，則其中一顆為1點的概率為1/3.1.3 .設連續(xù)性隨機變量X的分布函數在某區(qū)間的表達式為-,其余部分為常數，寫出x11此分布函數的完整表達式F（x）=x2+1，當x<0時.1,當x_0時4 .設二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，D由曲線x=e點的值為1-，21

2、y=一,y=0,x=1,x=e2所圍成，則（X,Y）關于X的邊緣概率密度在x1/2e.2(J5 .設隨機變量Xi,X2，Xn相互獨立，并且服從同一個分布，期望為八一1n令X=，£Xi,則D(X)=nid6 .設總體XN",。2）,從總體X中抽取樣本X1,X2，Xn,樣本均值為X,樣本方差為S2,總體N和仃2均未知，則N的置信水平為1的置信區(qū)間為(X-t2(n-1)2S二、選擇題（每小題3分，滿分18分.每小題只有一個選項符合題目要求，把正確選項前的字母填在題后括號內）1.設A、B、C三個事件兩兩相互獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是（第1頁共6頁）(A)A與BC獨立

3、(B)AB與AUC獨立(C)AB與AC獨立(D)AUB與AUC獨立2.設F(x)為隨機變量X的分布函數，在下列概率中可表示為F(a)-F(a-0)的是(C)(A)P【XMa)(B)Pha)(C)PX=a)(D)Plx_a)3 .設兩個相互獨立的隨機變量(A)PiXY<0(QP(X-Y£04 .在假設檢驗中，原假設(A)Ho為真，接受H(C)Ho為真，拒絕H5 .設隨機變量X的數學期望P80<X<120至(D)(A)0.025(C)0.966 .設Xi,X2,X3是來自總體N(N,F列各式中不是統(tǒng)計量的為(D)(A)X2-2(C)max(X1，X2,X3)X與Y分別服

4、從正態(tài)分布(B)PiX(D)P'：XN(0,1)和N(1,1),則(B)Y<1?=-2-Y<1?=-2Ho,備擇假設也，則(B)稱為第二類錯誤(B)Ho不真，接受Ho(D)Ho不真，拒絕HoE(X)=100，方差D(Y)=10,則由切比雪夫不等式(B)0.5(D)0.975仃2)的一個樣本，其中N為已知，仃2為未知，則(B)lX1X3eX21(D)(XiX2X3)<T、(按照要求解答下列各題，每題10分，滿分50分)1.在電報通訊中，發(fā)送端發(fā)出的是由“g”和“-”兩種信號組成的序列。由于受到隨(第2頁共6頁)機干擾，接收端收到的是“g”和“-”及“不清”三種信號組成的

5、序列。假設發(fā)送“g”和“-”的概率分別為0.7和0.3;在已知發(fā)送“g”時，接收到“g”、“-”和“不清”的概率分別為0.8、0.1和0.1；在已知發(fā)送“-”時，接收到“g”、“-”和“不清”的概率分別為0.2、0.7和0.1.求（1）接收到信號“g”、“-”和“不清”的概率；（2）在接收到信號“不清”的條件下，發(fā)送信號為“-”的概率。解：（1）由全概率公式。俚通三即M聯喻1|勾）本聯&）”雕11|題）三077改®8隨3<0au0625分盟電動三774.1T30）.7三028心修）三0770.1皿0.1三（0.1（2）由貝葉斯公式得P(A2|B3)=P(A2)P(B31

6、A2)100.30.10.70.10.30.1=0.3P(A1)P(B3|A)P(A2)P(B31A2)2.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為F（x）=A+Barctanx,<x<求（1）常數A、B.（2）隨機變量x落在（-1,1）內的概率.（3）X的概率密度函數.解：(1)F(*)=0,F(f)=1得，二二11A+B(-)=0,A+B(1)=1,得慶=一，B=13分222二P(-1:二x：二1)=F(1)-F(-1)(2) 11二11二16分1(3) X的概率密度函數f(x)=F(x)=廠,-°°<x<f10分二(1x2)X-101p1412j43.已

7、知隨機變量X和Y的概率分布分別為Y01P1212并且P,XY=0；=1.（1）求二維隨機變量（X,Y）的概率分布（只寫出計算結果表格）（第3頁共6頁）(2)判別X和Y是否相互獨立。解：(1)二-101Pj014014121012012p.1412141(2)由X和Y的聯合分布律和邊緣分布律可知p1X-1,Y=0；，P；X=1P，Y=0；.已知隨機變量J4428所以X和Y不相互獨立。2221XY4.已知隨機變量X、Y分別服從N(1,32),N(0,42),PXY=1，設Z=+.232求(1)Z的數學期望與方差；(2) X與Z的相關系數；(3) X與Z是否相互獨立？為什么？解：(1)由EX=1,D

8、X=9,EY=0,DY=16,得EZ=E(Y)=1EX1EY=-,32323DZ=D(：-2)=D*)DI：)2Cov(|,；):9dx11八-DY-Cov(X,Y)434=1DX1DY1:xy.DX.DY=14-2=3943(2)XY11Cov(X,Z)-Cov(X,)Cov(X,X)Cov(X,Y)3232DX1：xyDX、DY=3-3=032可知X與Z是相所以XYu0(3)由于二維正態(tài)隨機變量相關系數為零和相互獨立兩者是等價的結論,(第4頁共6頁)互獨立的。10分而x加0<x<1.5.設總體X的概率密度為f（x）=，一一0>0為未知參數，0,其他Xi,X2，Xn是來自總

9、體X的樣本，求日的矩估計量和最大似然估計量。解：由于3=EX=j"x&x：-3分0I令此=a，即一2解得6的矩估計量為?=5分1-X設Xi,X2，Xn為樣本值，似然函數為nnnnL(i)fjf(x戶)、同為R=(為)7i1i1i1取對數，得lnL(-)=lIn12n+(而-1)2lnxiiW令dlnL(u)d解得6的最大似然估計值為?11，lnxif23ij2nClnxi)2i12e的最大似然估計量為?=下100lnXi）2i1四、按照要求解答下列各題（第一小題8分，第二小題6分,滿分14分）X的概率密度為x0,x-0,e，f(x)=0,（第5頁共6頁）求隨機變量Y=X2的概率密度函數.解：設Y的分布函數為FY(y)=P(Y<y.當y<0時,Fy(y)=PY«y=pX2«y=0,當y30時,FY(y)=pY«y=px2<y=FxG/y)-Fx(-V7)，ey：二0.因此Y的概率密度函數為fY(y)=42«y0，2.設總體xu(0,e),Xi,X2,l,Xn(n22)是取自總體X的樣本，已知e的兩個無偏估計量為虜=2X,=-n-1max(X1,nX2,，Xn),判別有與居哪個更有效？解：D(«)=D(2X)